Introdução à Atuária

Prévia do material em texto

Introdução à Atuária
Conteúdo
1 Capa 1
2 Origens e evolução da ciência atuarial 2
2.1 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.1 O Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 Seguro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Renda Atuarial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Esperança matemática 4
4 Tábuas de mortalidade 5
4.1 História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3.1 Deduções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3.2 Funções lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Tábuas de comutação 7
6 Probabilidades para uma ou mais cabeças 8
6.1 Eventos mutuamente exclusivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.2 Probabilidades envolvendo uma cabeça . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7 Cálculo de Prêmios 9
8 Risco de Sobrevivência 10
8.1 Formula genérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8.2 Sobrevivência Capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8.3 Rendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8.4 Anuidade Tontineira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
9 Risco de Morte 12
9.1 Formula genérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
9.2 Seguros contra morte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
10 Risco Misto 13
i
ii CONTEÚDO
10.1 Formula genérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
10.2 Seguro Dotal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
11 Onde está a diferença? 14
12 Modelos de Planos 15
13 Regimes Financeiros 16
14 Métodos de Financiamento 17
15 Exercícios de Compreensão 18
16 Legislação no Brasil 19
16.1 Sobre a profissão de atuário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16.2 Sobre Entidades Fechadas de Previdência Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 Tábuas 20
17.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17.2 Wiki-00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17.3 Comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
17.4 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18 Wiki-00 22
18.1 Wiki-00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
18.2 Fontes, contribuidores e licenças de texto e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
18.2.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
18.2.2 Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
18.2.3 Licença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Capítulo 1
Capa
Introdução à Atuaria
Índice
Wikilivristas que cooperaram com o desenvolvimento e
manutenção deste wikilivro:
• Felipearaldi (msg · ctrib D E · logs B M)
1
Capítulo 2
Origens e evolução da ciência atuarial
Mesmo parecendo uma ciência recente, as origens da
atuária remontam as primeiras preocupações em criar ga-
rantias aos indivíduos de uma sociedade e se estudar o
nascimento e a morte das pessoas.
No século XVII, na Inglaterra e na Holanda, os governos
empenhavam-se em vender aos seus súditos títulos pú-
blicos que asseguravam ao tomador a recepção de uma
renda vitalícia. Assim, foi tornando-se necessário deter-
minar com a maior precisão a importância em dinheiro
que deveria ser cobrada em contraprestação ao serviço,
para que não houvesse prejuízo à coroa. Esse trabalho
foi destinado aos melhores matemáticos da época.
Com isso, foi-se criando a base para o surgimento da ma-
temática atuaria, principalmente a partir do cálculo da
probabilidade de Pascal. Graunt e Edmond Halley, na In-
glaterra, e De Witt, na Holanda, fizeram estudos levando
em conta as leis da probabilidade e a expectativa de vida
humana a partir dos registros de nascimentos e óbitos.
Formalmente, a ciência atuarial nasceu no final da pri-
meira metade do século XIX, na Inglaterra. Os primeiros
estudos destinavam-se para entidades da área de pensão
e aposentadoria, basicamente com o objetivo de estudar
a mortalidade da população.
No século XX, a área de seguros expandiu a abrangência
do estudo atuarial, e a inserção cada vez mais freqüente
das empresas de seguro e pensão no mercado financeiro,
fez com que as ciências atuariais especializassem-se cada
vez mais em campos econômicos e financeiros.
A atuária se desenvolveu principalmente à medida que
matemáticos, economistas e filósofos se interessaram
pelo assunto. Entre os séculos XVIII e XX, tivemos a
construção de várias tábuas de mortalidade, como tam-
bém o desenvolvimento das comutações, ferramenta do
cálculo atuarial. Também aconteceu nesse período o 1º
Congresso Internacional de Atuária em Bruxelas, no ano
de 1895.
A partir de então, as empresas seguradoras passaram a
oferecer programas de seguro de vida e outras especiali-
zações, cada vez mais desenvolvidos cientificamente.
2.1 Fundamentos
A Ciência Atuarial - assim como seu principal campo de
estudo: o seguro - desenvolveu-se desde os seus primór-
dios sob o principio do mutualismo, onde os indivíduos
se organizam em grupos com o interesse de proteger-se
de tragédias e perdas.
Outro caráter importante para que os cálculos atuariais
correspondam o máximo a realidade e a utilização da Lei
dos grandes números.
2.1.1 O Risco
Pense em risco como a probabilidade de ocorrência de
um determinado evento que gere prejuízo econômico. É
importante diferenciar risco de probabilidade: a proba-
bilidade é parte do risco, que para ser assim classificado
precisa, basicamente, ser causador de uma perda econô-
mica, reparável.
Existem ainda outras exigências para a segurabilidade de
um risco, a saber, o risco deve ser:
• Possível;
• Incerto;
• Futuro;
• Independer da vontade humana;
• Mensurável
• Homogêneo e não catastrófico
2.1.2 Seguro
O seguro é uma operação formalizada por um contrato,
no qual uma parte se compromete a cobrir eventuais pre-
juízos no caso de um acidente coberto pelo contrato, e
em troca recebe para isso uma quantia em dinheiro para
que possa fazer frente a esse prejuízo. A esse pagamento
dá-se o nome de prêmio de seguro.
O seguro surge da necessidade do homem em controlar o
risco.
2
2.2. RENDA ATUARIAL 3
Existem indícios que já na Babilônia, 23 séculos antes
de Cristo, caravanas de cameleiros que cruzavam o de-
serto mutualizavam entre si os prejuízos com morte de
animais. Na China antiga e no Império Romano também
havia seguros rudimentares, através de associações que
visavam ressarcir membros que tivessem algum tipo de
prejuízo.
Com o Renascimento e a expansão marítima da época
Mercantilismo a cobertura aos riscos ganhou nova im-
portância.Tornaram-se comuns operações chamadas de
Contrato de Dinheiro e Risco Marítimo que consistia
num empréstimo dado a um navegador, e que previa uma
cobrança maior no caso de sucesso da viagem e o perdão
da dívida se a embarcação e a carga fossem perdidas. Foi
em virtude dos seguros marítimos que se desenvolveu a
gestão de risco na maior parte do mundo.
No século XVII, o mercado securitário se expandiu e
ganhou novos produtos de cobertura terrestre, especial-
mente em decorrência do Grande Incêndio de Londres
de 1666, que destruiu cerca de 25% da cidade.
2.2 Renda Atuarial
O cálculo de uma renda atuarial leva em conta, além de
uma taxa de juros que descapitalize o montante a ser
pago, a incerteza sobre seu pagamento, como no caso de
uma aposentadoria, onde o risco de a pessoa estar ou não
viva para o recebimento de uma renda interfere no valor
que ela precisará pagar para, se viva estiver, receber tal
pensão.
Tomemos como exemplo uma determinada pessoa que
deseja receber durante 10 meses uma renda de $ 90,00.
Usando puramente a matemática este individuo precisara
de $ 900,00 ( 10× $90, 00 ) hoje para obter está renda.
Utilizando as operações financeiras, com uma taxa de ju-
ros de 5% aomês o custo destas rendas hoje passa a custar
$694,96 ( 1,0510−10,05×(1,05)10 × $90, 00 ).
Supondo-se o mesmo rendimento da operação financeira
acima e uma incerteza do pagamento desta renda de 20%
a renda atuarial fica em $ 555,96 ( 0, 8× 1,0510−10,05×(1,05)10 ×
$90, 00 ).
Capítulo 3
Esperança matemática
Esperança Matemática, também conhecida por valor
esperado ou expectância, é um conceito estatístico que
caracteriza a soma das probabilidades de cada possibili-
dade de saída de um experimento aleatório multiplicada
pelo seu valor. Isto é, representa o valor médio esperado
de uma experiência se ela for repetida muitas vezes.
Em atuária, esperança matemática é basicamente o re-
sultado que se espera obter com uma variável aleatória,
ou um conjunto delas, multiplicado pela probabilidade
de ocorrência dessas variáveis, acrescido de um fator de
capitalização financeira, que visa manter o valor do di-
nheiro durante o tempo. Por representar o valor de equi-
líbrio entre receitas e despesas de determinado produto,
a esperança matemática também é conhecida como preço
puro ou preço de custo.
Ao resultando desta relação é agregado o carregamento,
uma taxa que objetiva financiar as despesas de adminis-
tração da empresa e da comercialização do produto.
4
Capítulo 4
Tábuas de mortalidade
Nₒ ⛻ₒ⛴ᵤ⛺ₒ Tá⛲ᵤₐ⛿ ⛷á ᵤ⛻ₐ ⛴ₑ⛿⛳ᵣᵢçãₒ ⛻ₐᵢ⛿ ⛽ᵣₑ⛳ᵢ⛿ₐ ⛴ₐ⛿ ✀á⛲ᵤₐ⛿ ⛴ₑ ⛻ₒᵣ✀ₐ⛺ᵢ⛴ₐ⛴ₑ
⛻ₐᵢ⛿ ᵢ⛻⛽ₒᵣ✀ₐ⛼✀ₑ, ᵢ⛼⛳⛺ᵤᵢ⛼⛴ₒ ᵤ⛻ ⛳ₒ⛻⛽ₐᵣₐ✀ᵢᵥₒ
Tábua de Mortalidade, também chamada de Tábua de
Vida ou ainda Tábua A(c)tuarial é uma tabela utilizada
no cálculo atuarial, para planos de previdência e seguros
de vida, tanto no setor público, quanto no setor privado.
São utilizadas para calcular as probabilidades de vida e
morte de uma população, em função da idade.
As tábuas são criadas a partir de dados provenientes prin-
cipalmente de Censos Populacionais. Ela apresenta a
probabilidade de morte e sobrevida de um determinado
número de indivíduos em certa idade, entre outros dados
que variam conforme a tábua.
As tábuas demortalidade são elaboradas com base em um
grupo inicial de indivíduos, conhecido por coorte, com
uma mesma idade inicial, chamada de raiz da tábua, até
a morte do mais longevo, causando a extinção total do
grupo em uma idade final, omega ( ω ), que é a ultima
idade atingível nesta tábua.
Como as tábuas analisam as probabilidades de sobrevi-
vência e morte em relação da idade, é preciso que uma
tábua analise um coorte com indivíduos de mesmas chan-
ces de sobrevivência. Para que isso ocorra e, uma tábua
apresente dados confiáveis, os indivíduos estudados nas-
cidos em um mesmo espaço de tempo, que convivam em
uma mesma região geográfica, fechada a migração, sob
as mesmas condições de vida.
Como não são considerados novos nascimentos ou ou-
tras formas de entrada de pessoas, diz-se que o cenário
proposto por uma tábua é estacionário, sendo registrados
apenas os óbitos dos membros do coorte. Assim, o nú-
mero de indivíduos que atingem uma determinada idade
é obrigatoriamente igual ou menor do que os indivíduos
que estavam vivos no início da idade anterior.
4.1 História
Embora não haja consenso e alguns autores acreditem que
as primeiras tábuas foram construídas na Roma Antiga,
os primeiros esforços para construção de uma Tábua de
Mortalidade com algum rigor técnico foram empreendi-
dos pelo cientista inglês John Graunt. Ao longo de sua
vida, ele esforçou-se para a obtenção de dados referentes
à mortalidade de pessoas, mas faleceu sem concluir seu
trabalho.
Outro inglês, Edmund Halley em 1693, pode ser conside-
rado o primeiro a concluir uma tábua de mortalidade so-
bre princípios científicos. Esta tábua foi construída com
dados da cidade polonesa de Breslaw (atual Wroclaw),
que apresentava pouca influência migratória. Em home-
nagem a cidade a tábua recebeu o nome de Breslaw Table.
4.2 Nomenclatura
Não exista uma regra fixada para a nomenclatura das tá-
buas de mortalidade alguns padrões podem ser observa-
dos na maioria das tábuas.
Sigla
As tábuas de mortalidade são usualmente conhecidas por
suas siglas. Por exemplo:
• Annuity Mortality Table (AT);
• Commissioner’s Standard Ordinary Table (CSO);
• Experiência Brasileira (EB).
Em alguns casos a sigla também indica o país de origem.
Como ocorre com as tábuas UK (United Kingdom, Reino
Unido em inglês) e US (United States, Estados Unidos em
inglês)
Ano
O número que acompanha a tábua representa o ano base
da pesquisa que deu origem a ela. Por exemplo:
• CSO-58: Ano base de 1958;
• EB-75: Ano base de 1975;
• AT-2000: Ano base de 2000.
Sexo
5
6 CAPÍTULO 4. TÁBUAS DE MORTALIDADE
As letras M (Masculino ou Male em inglês) e F (Femi-
nino ou Female em inglês), geralmente no final da sigla,
representam o sexo da coorte pesquisada. Por exemplo:
• AT-2000M: Coorte masculina;
• EB-75F: Coorte feminina.
A indicação sobre o sexo na sigla pode estar também ime-
diatamente anterior ao ano, como nas tábuas GK, a saber:
• GKM−95: Coorte masculina;
• GKF−95: Coorte feminina.
4.3 Funções
As tábuas de mortalidade são divididas em colunas que
cruzam a idade (representada por x ) com uma informa-
ção.
Principais funções
• Sobreviventes ( lx ): indica o número de indivíduos
no inicio da idade x .
• Falecimento ( dx ): indica o número de indivíduos
que faleceram ao longo da idade x .
• Probabilidade de Morte ( qx ): indica a probabili-
dade de um indivíduo com idade x de falecer ao
decorrer desta idade.
• Probabilidade de Sobrevivência ( px ): indica a pro-
babilidade de um indivíduo com idade x de sobre-
viver ao longo desta idade, ou seja, de chegar com
vida a próxima idade.
• Esperança Completa de Vida ( eox ): indica a média
de anos que os indivíduos de idade x viverão.
4.3.1 Deduções
A partir do conhecimento das funções aplicado a concei-
tos atuarias das tábuas pode-se chegar a algumas relações:
• l0 ≥ l1...lx−1 ≥ lx ≥ lx+1...lω−1 ≥ lω > 0
• dx = lx − lx+1
• ndx = lx − lx+n
• l0 =
∑ω
x=0 dx
• lω = dω
• px = lx+1lx = 1− qx
• npx = lx+nlx
4.3.2 Funções lineares
Funções lineares são aqueles que se utilizam suposições
de mortalidade lineares, ou seja, de que os indivíduos vão
morrendo em um mesmo ritmo ao longo de um ano.
• Tempo vivido & Sobreviventes na metade da idade
( Lx ): É uma média entre os vivos nas idades x
e x + 1 que auxilia nos cálculos envolvendo tempo
vivido por uma coorte e que necessitam do número
de indivíduos na metade de uma idade. Embora te-
nha dois nomes distintos é calculada de uma mesma
forma lx+lx+12 .
• Quantidade de existência ( Tx ): Essa função calcula
a quantidade de anos vividos por um coorte da idade
x até a idade ω , sendo fundamental no cálculoda
Esperança Completa de Vida. Tx = Lx + Lx+1 +
...+ Lω−1 + Lω (ou, Tx =
∑ω
x=x Lx ).
• Taxa central de mortalidade ( mx ): Essa função
apresenta os expostos ao risco de morte na metade
da idade x , calculada por dxLx , ou sua equivalente
2qx
2−qx .
Capítulo 5
Tábuas de comutação
Quando se aplica uma determinada taxa de juros sobre os
dados de uma tábua de mortalidade tem-se uma Tábua
de Comutação. As tábuas de comutação simplificam o
cálculo de diversas operações relacionadas a seguros de
vida e previdência, por exemplo.
Esse recurso foi desenvolvido pelo alemão Tittens, em
1785. A seguir, as funções que utilizadas neste wikilivro
segundo o sistema Barret de comutação:
Principais funções
Sobrevivência
• Dx = lx × vx : Comutação de primeira ordem
• Nx =
∑ω
x=xDx : Comutação de segunda ordem
• Sx =
∑ω
x=xNx : Comutação de terceira ordem
Morte
• Cx = dx.vx+1 : Comutação de primeira ordem
• Mx =
∑ω
x=x Cx : Comutação de segunda ordem
• Rx =
∑ω
x=xMx : Comutação de terceira ordem
Para:
v = (1 + i)−1 , onde,
7
Capítulo 6
Probabilidades para uma ou mais cabeças
Todas as probabilidades do campo atuarial são baseadas
na relação entre o número de casos favoráveis sobre o nú-
mero de casos possíveis. Quando nenhum dos casos do
espaço amostral se concretiza a probabilidade é 0, quando
todos os casos se concretizam, ou seja, casos possíveis =
casos favoráveis, a probabilidade é 1. Assim, conside-
rando P (A) a probabilidade de um evento A temos que
0 ≤ P (A) ≤ 1 . Por exemplo:
• Jogando um dado a probabilidade de dar um número
par é de 36
6.1 Eventos mutuamente exclusi-
vos
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando os mes-
mos não podem ocorrer simultaneamente. Isto é, a ocor-
rência de um evento implica a não ocorrência do outro
evento. Por exemplo, a probabilidade de após um arre-
messo de dados sair o número 1 é excludente em relação
ao número 2.Assim, P (A)+P (A¯) = 1 , sendo A¯ a pro-
babilidade de não ocorrer o evento A
6.2 Probabilidades envolvendo
uma cabeça
Utilizando-se de combinações das funções das Tábuas de
Mortalidade pode-se criar probabilidades que podem ser
utilizados na construção de arranjos securitários.
• n/qx = dx+nlx : Essa formulação calcula a probabi-lidade de um indivíduo com idade x chegar a idade
x + n e durante esta idade vir a falecer. Para isso,
pega-se o número de mortos na idade x + n e os
divide pelo número de vivos na idade x .
• /nQx = lx−lx+nlx : Essa formulação calcula a pro-babilidade de um indivíduo com idade x falecer an-
tes de chegar a idade x+n . Para isso, subtrai-se dos
indivíduos vivos na idade x os indivíduos vivos na
idade x+n , para se obter o número de mortos entre
as idades x e x + n (o que equivaleria a∑x+nx=x dx
) e dividi-los pelo número de pessoas vivas na idade
x .
• n/mQx = lx+n−lx+n+mlx : Essa formulação calculaa probabilidade de um indivíduo com idade x falecer
entre as a idade x + n e x + n + m . Para isso,
subtrai-se dos indivíduos vivos na idade x + n os
indivíduos vivos na idade x+n+m , para se obter
o número demortos entre as idades x+n e x+n+m
(o que equivaleria a∑x+n+mx=x+n dx ) e dividi-los pelo
número de pessoas vivas na idade x .
Essa formula é equivalente a npx −n+m px .
8
Capítulo 7
Cálculo de Prêmios
Um prêmio de seguro é a importância paga por alguém
em troca da transferência do risco a que ele está exposto
para uma empresa especializada na gestão de riscos, pelo
serviço por ela prestado, anteriormente a ocorrência do
sinistro (a materialização do risco). Para essa empresa, o
valor do prêmio, ou do conjunto de sua carteira, deverá
cobrir todos os custos com sinistros. Portanto, o valor
dos prêmios deve ser equivalente ao valor que se espera
desembolsar com os sinistros.
Há ainda outros dois fatores que são comumente apli-
cados em cálculos de prêmio: o carregamento e o fa-
tor financeiro. O carregamento - despesas administrati-
vas, corretagem, impostos, lucro e todos os outros fatores
sem referência direta com o risco - é geralmente calcu-
lado após o cálculo do risco que a operação envolve. As
questões financeiras, que levam em conta os rendimentos
que o capital pago hoje poderá ter até a data do ressarci-
mento das despesas com o sinistro, são calculadas atra-
vés de uma tábua de comutação (no caso, como estudado
aqui, de ramo vida).
Um cálculo de risco deve buscar igualar o Valor Atual dos
Prêmios (parte devida pelo segurado), com o Valor Atual
dos Benefícios (parte prometida pelo segurador).
No ramo vida, os cálculos de prêmio envolvem basica-
mente os riscos de sobrevivência e os riscos de morte,
como veremos a seguir, com prêmios únicos e puros;
ou seja, prêmios pagos a vista em uma única parcela e
que cobrem a esperança matemática dos sinistros futu-
ros agregados à margens técnicas de segurança; podendo
variar conforme sua temporariedade, diferimento e co-
berturas:
• Risco de Sobrevivência
• Risco de Morte
• Risco Misto
9
Capítulo 8
Risco de Sobrevivência
O risco de sobrevivência é o risco que a seguradora tem
que um beneficiário de produto que garantam o paga-
mento de uma oumais rendas durante seu período de vida
venha a sobreviver.
8.1 Formula genérica
Sobrevivência Capital
A formula que expressa a Sobrevivência Capital é dada
por nEx . Onde,
• x : idade atual do segurado;
• n : intervalo para recebimento.
Rendas Aleatórias
O risco de sobrevivência para os cálculos envolvendo ren-
das é expresso a partir da formulação m/nax . Onde,
• x : idade atual do beneficiário;
• m : período de diferimento;
• n : duração do beneficio;
• a ou a¨ : tempo de pagamento: início (tremado) ou
fim do período (sem trema).
Anuidade Tontineira
A formula que representa a Anuidade Tontineira é ex-
pressa por /nS¨x . Onde,
• x : idade atual do beneficiário;
• n : intervalo para recebimento.
8.2 Sobrevivência Capital
Sendo Q o Capital Segurado, o cálculo da Sobrevivência
Capital é dado por:
nEx =
Dx+n
Dx
×Q
8.3 Rendas
Baseados na formulação genérica para renda vista acima,
desenvolveremos agora as coberturas possíveis. Todos os
modelos apresentados abaixo calculam um prêmio único
e puro e utilizam uma renda (representada por R) unitária,
para facilitar as deduções.
As coberturas variam basicamente em três aspectos:
• Início da cobertura: imediato ou diferido, em m
anos.
• Duração da cobertura: vitalícia ou temporária, em
n anos.
• Época do pagamento: antecipado (ä) ou posteci-
pado (a)
Renda Imediata Vitalícia Antecipada
a¨x =
Nx
Dx
×R
Renda Imediata Vitalícia Postecipada
ax =
Nx+1
Dx
×R
Renda Diferida Vitalícia Antecipada
m/a¨x =
Nx+m
Dx
×R
Renda Diferida Vitalícia Postecipada
m/ax =
Nx+m+1
Dx
×R
Renda Imediata Temporária Antecipada
/na¨x =
Nx−Nx+n
Dx
×R
Renda Imediata Temporária Postecipada
/nax =
Nx+1−Nx+n+1
Dx
×R
Renda Diferida Temporária Antecipada
10
8.4. ANUIDADE TONTINEIRA 11
m/na¨x =
Nx+m−Nx+n+m
Dx
×R
Renda Diferida Temporária Postecipada
m/nax =
Nx+m+1−Nx+n+m+1
Dx
×R
8.4 Anuidade Tontineira
Nessa modalidade de seguro, o beneficiário paga peri-
odicamente uma quantia P e recebe, se vivo estiver no
momento x+ n o valor representado por /nS¨x .
/nS¨x =
Nx−Nx+n
Dx+n
× P
Capítulo 9
Risco de Morte
O risco de morte é o risco que a seguradora tem que
um segurado de produto que garantam o pagamento de
uma quantia em caso de morte, venha a falecer, dentro
de determinado período que compreenda a cobertura do
plano contratado.
9.1 Formula genérica
Seguro contra morte
O risco de morte para o cálculos envolvendo pagamento
de pecúlio é expresso a partir da formulação m/nAx .
Onde,
• x : idade atual do segurado;
• m : período de diferimento;
• n : duração da cobertura;
9.2 Seguros contra morte
Nos seguros que serãovistos nesta seção, o risco em ques-
tão é de morte. A ocorrencia da morte é certa, sua incer-
teza decorre do momento de sua ocorrência, que pode,
ou não, estar no período de cobertura de cobertura de
um plano. Para facilitar as deduções, o Capital Segurado
(representado por Q) será unitário.
Seguro Contra Morte Imediato e Vitalício
Ax =
Mx
Dx
×Q
Seguro Contra Morte Diferido e Vitalício
m/Ax =
Mx+m
Dx
×Q
Seguro Contra Morte Imediato e Temporário
/nAx =
Mx−Mx+n
Dx
×Q
Seguro Contra Morte Diferido e Temporário
m/nAx =
Mx+m−Mx+m+n
Dx
×Q
12
Capítulo 10
Risco Misto
Entende-se por risco misto o risco que envolve dois ou
mais risco diferentes e, geralmente, que sejam mutua-
mente excludentes. O exemplo mais comum nos funda-
mentos de Matemática Atuarial é o “Seguro Dotal” ou
“Dote Puro”, que envolve em um mesmo produto o risco
de morte e sobrevivência de um individuo.
10.1 Formula genérica
Seguro Dotal Misto
O risco de morte de um Seguro Dotal Misto é calculado
como um Seguro Contra Morte Temporário, e nesse pro-
duto é ainda agregado o Sobrevivência Capital, sua for-
mulação é reprentada por Ax:n¯| , onde:
• x : idade atual do segurado;
• n : duração da cobertura;
10.2 Seguro Dotal
Ax:n¯| =
Mx−Mx+n+Dx+n
Dx
×Q
13
Capítulo 11
Onde está a diferença?
Uma das questões que intriga a muita gente é como os
atuários diferenciam as fórmulas para os diversos ramos
da ciência. Ou seja uma renda vitalícia imediata para uma
cabeça usa a mesma fórmula, embora possa usar diferen-
tes tábuas ou taxas de juros.
A resposta a esse enigma foi formulada por um atuário
chamado Koontz em 1038 em um trabalho onde explica
essas diferenças. As diferenças não estão nas fórmulas e
sim nas condições de equilíbrio do sistema.
Por exemplo em seguros o equilíbrio se dá apenas fazendo
receita igual a despesa.
Nos fundos de pensão o equilíbrio se dá na solidariedade,
ou seja todos pagam sempre a mesma coisa, não importa
a idade ou o sexo e a consideração de igualdade entre re-
ceita e despesa e secundária.
Na previdência social a principal consideração é distri-
buição de renda, ou seja quem recebe o benefício o recebe
porque necessita dele e não porque pagou. Mesmo que
não tenha pago nada tem direito a receber o benefício.
A solidariedade é dada pelo pagamento de contribuições
iguais para todos os que são obrigados a contribuir e a
igualdade entre receita e despesa é absolutamente secun-
dária, pois sempre há garantia que não faltará um tostão
para o pagamento dos benefícios pelo tesouro nacional.
Trata-se de um sistema muito simples e fácil de compre-
ender.
14
Capítulo 12
Modelos de Planos
Em previdência, existem, basicamente, três modelos de
planos: Benefício Definido (BD), Contribuição Definida
(CD) e Contribuição Variável (CV).
Benefício Definido
Um plano de benefício previdenciários no modelo bene-
fício definido é aquele cujos benefícios programados têm
seu valor ou nível previamente conhecido.
Contribuição Definida
Um plano de benefícios previdenciários no modelo con-
tribuição definida é aquele cujos benefícios programa-
dos têm seu valor permanentemente ajustado ao saldo de
conta do participante, inclusive na fase de percepção de
benefícios.
Contribuição Variável
Um plano de benefícios previdenciários no modelo con-
tribuição variável é aquele cujos benefícios programados
apresentem a conjugação das características das modali-
dades de contribuição definida, na fase de acumulação, e
benefício definido, na fase de percepção.
15
Capítulo 13
Regimes Financeiros
Em previdência, existem, basicamente, três Regimes Fi-
nanceiros: Repartição de Capitais de Cobertura (RCC),
Repartição Simples (RS) e Capitalização.
16
Capítulo 14
Métodos de Financiamento
Em previdência, existem, basicamente, quatro Méto-
dos de Financiamento: Crédito Unitário (CU), Crédito
Unitário Projetado (PUC), Prêmio Nivelado Individual
(PNI) e Idade de Entrada Normal (IEN).
17
Capítulo 15
Exercícios de Compreensão
Gabarito
• Resposta: lx é a função sobrevivência que indica o
número de indivíduos no inicio da idade x , e dx é
a função falecimento que indica o número de indi-
víduos que faleceram ao longo da idade x .
• Desenvolvimento:
Veja seção Introdução à Atuaria/Tábuas de
mortalidade#Funções
18
Capítulo 16
Legislação no Brasil
NoBrasil, a profissão de atuário é regulada por lei federal.
Entretanto, os atuários não possuem conselho que reja a
profissão.
O conjunto de normas referente ao campo de atuação da
atuária (seguros, previdência, capitalização), é formado
por algumas leis e decretos, mas especialmente por Re-
soluções e Portarias publicadas pelos órgãos reguladores.
16.1 Sobre a profissão de atuário
• Decreto-lei 806/69
16.2 Sobre Entidades Fechadas de
Previdência Complementar
• Lei Complementar nº 108, de 2001
• Lei Complementar nº 109, de 2001
19
Capítulo 17
Tábuas
Neste apêndice são apresentadas tábuas de mortalidade,
com uma rápida descrição sobre suas características, uti-
lização, e endereços para maiores informações.
17.1 Grupos
Grupo AT
As United States Individual Annuity Mortality Table são
tábuas de origem estadunidense, elaboradas pela The So-
ciety of Actuaries. São especialmente importantes no Bra-
sil, devido ao fato de serem usadas pelos órgãos regula-
dores de previdência e seguros contra morte como parâ-
metro mínimos ou máximos de mortalidade[1], sendo, em
parte em razão disso, tábuas de grande utilização.
• Annuity Table 1949 (AT-49): Construída a partir de
dados coletados entre os anos de 1941 e 1946. Está
tábua trabalha com expectativa média de vida de 78
anos.
• Annuity Table 1983 (AT-83): Atualização da AT-
49 construída através de observações feitas entre os
anos 1971 e 1976.
• Annuity Table 2000 (AT-2000): Terceira tábua do
grupo AT. Representa a expectativa de vida de uma
população a partir de um estudo feito em 2000, con-
sidera que as pessoas vivem, em média, 84 anos.
GK’s
As tábuas do grupo GK são elaboradas com base na ex-
periência de seguradores suíços.
• GKM-80 e GKM-95: Tábuas masculinas.
• GKF-80 e GKF-95: Tábuas femininas.
CSOs
As Commissioner’s Standard Ordinary Tables constituem
um grupo de tábuas de mortalidade criadas a partir de
dados das seguradoras dos Estados Unidos.
• 1958 US Commissioner’s Standard Ordinary Table
(CSO-58): Construída com dados dos anos 1950 a
1954.
GAM
A The 1971 Group Annuity Mortality Table (GAM 71)
é uma tábua elaborada pela Joint Actuarial Committee of
the American Life Convention e pela The Life Insurance
Association of America.
• Tábua discriminada por sexo
Tábuas Brasileiras
O IBGE divulgou em 2003 uma tábua elaborada com
base na projeção da mortalidade a partir da tábua de três
anos antes, sobre a qual foram incorporados os dados ob-
tidos no Censo Demográfico de 2000 e as estimativas de
mortalidade infantil sobre o registro de óbitos do triênio
1999-2001.
Está tábua é feita com base em toda a população brasileira
e utilizada pelo Instituto Nacional de Seguridade Social
no cálculo do fator previdenciário e pelo Ministério da
Previdência Social como limite mínimo de taxa de sobre-
vivência para os Regimes Próprios de Previdência Social
da união, dos estados e Distrito Federal e dos municípios.
• Brasil-2001: Acesso a tábua completa para ambos
os sexos
17.2 Wiki-00
Wiki-00
Tábua fictícia apresentada neste livro para exemplificar
conceitos e elaborar exercícios, a fim de facilitar a com-
preensão. Elabora com base em dados da tábua GKM-
95.
20
17.4. REFERÊNCIAS 21
17.3 Comparativo
Tabela comparativa entre as principais tábuas existentes:
Tábuas Atuariais/Comparação entre tábuas
17.4 Referências
[1] Resolução CNSP nº 140, de 2005; Resolução CGPC nº
11, de 2002;Resolução CGPC nº 18 de 2006.
Capítulo 18
Wiki-00
Está é uma tábua demortalidade e comutação fictícia para
facilitar a compreensão de conceitos e resolução de exer-
cícios.
18.1 Wiki-00
22
18.2. FONTES, CONTRIBUIDORES E LICENÇAS DE TEXTO E IMAGEM 23
18.2 Fontes, contribuidores e licenças de texto e imagem
18.2.1 Texto
• Introdução à Atuária/Capa Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_Atu%C3%A1ria/Capa?
oldid=236129 Contribuidores: Jorge Morais, Felipearaldi, He7d3r.bot e Anónimo: 1
• Introdução à Atuária/Origens e evolução da ciência atuarial Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_
%C3%A0_Atu%C3%A1ria/Origens_e_evolu%C3%A7%C3%A3o_da_ci%C3%AAncia_atuarial?oldid=239756 Contribuidores: Mar-
cos Antônio Nunes de Moura, Jorge Morais, CommonsDelinker, Felipearaldi, MGFE Júnior, He7d3r.bot e Anónimo: 3
• Introdução à Atuária/Esperança matemática Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_Atu%
C3%A1ria/Esperan%C3%A7a_matem%C3%A1tica?oldid=236131 Contribuidores: Felipearaldi e He7d3r.bot
• Introdução à Atuária/Tábuas de mortalidade Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_Atu%
C3%A1ria/T%C3%A1buas_de_mortalidade?oldid=289196 Contribuidores: Jorge Morais, Felipearaldi, He7d3r, He7d3r.bot, Syum90 e
Anónimo: 1
• Introdução à Atuária/Tábuas de comutação Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_Atu%C3%
A1ria/T%C3%A1buas_de_comuta%C3%A7%C3%A3o?oldid=204870 Contribuidores: Jorge Morais, Felipearaldi, He7d3r e He7d3r.bot
• Introdução à Atuária/Probabilidades para uma ou mais cabeças Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_
%C3%A0_Atu%C3%A1ria/Probabilidades_para_uma_ou_mais_cabe%C3%A7as?oldid=204868 Contribuidores: Jorge Morais, Felipea-
raldi, He7d3r.bot e Anónimo: 1
• Introdução à Atuária/Cálculo de Prêmios Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_Atu%C3%
A1ria/C%C3%A1lculo_de_Pr%C3%AAmios?oldid=204858 Contribuidores: Jorge Morais, Felipearaldi e He7d3r.bot
• Introdução à Atuária/Cálculo de Prêmios/Risco de Sobrevivência Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_
%C3%A0_Atu%C3%A1ria/C%C3%A1lculo_de_Pr%C3%AAmios/Risco_de_Sobreviv%C3%AAncia?oldid=271042 Contribuidores:
Marcos Antônio Nunes de Moura, Jorge Morais, Felipearaldi, He7d3r.bot e Anónimo: 1
• Introdução à Atuária/Cálculo de Prêmios/Risco de Morte Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%
A0_Atu%C3%A1ria/C%C3%A1lculo_de_Pr%C3%AAmios/Risco_de_Morte?oldid=204859 Contribuidores: Jorge Morais, Felipearaldi
e He7d3r.bot
• Introdução à Atuária/Cálculo de Prêmios/Risco Misto Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_
Atu%C3%A1ria/C%C3%A1lculo_de_Pr%C3%AAmios/Risco_Misto?oldid=204861 Contribuidores: Felipearaldi, He7d3r.bot e Anó-
nimo: 1
• Introdução à Atuária/Onde está a diferença? Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_Atu%
C3%A1ria/Onde_est%C3%A1_a_diferen%C3%A7a%3F?oldid=204866 Contribuidores: He7d3r.bot e Anónimo: 1
• Introdução à Atuária/Aplicações em Previdência/Modelos de Planos Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%
C3%A3o_%C3%A0_Atu%C3%A1ria/Aplica%C3%A7%C3%B5es_em_Previd%C3%AAncia/Modelos_de_Planos?oldid=236899
Contribuidores: Felipearaldi
• Introdução à Atuária/Aplicações em Previdência/Regimes Financeiros Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%
A3o_%C3%A0_Atu%C3%A1ria/Aplica%C3%A7%C3%B5es_em_Previd%C3%AAncia/Regimes_Financeiros?oldid=236432 Contri-
buidores: Felipearaldi e He7d3r
• Introdução à Atuária/Aplicações em Previdência/Métodos de Financiamento Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%
C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_Atu%C3%A1ria/Aplica%C3%A7%C3%B5es_em_Previd%C3%AAncia/M%C3%A9todos_de_
Financiamento?oldid=236822 Contribuidores: Felipearaldi e He7d3r
• Introdução à Atuária/Exercícios de Compreensão Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_
Atu%C3%A1ria/Exerc%C3%ADcios_de_Compreens%C3%A3o?oldid=204864 Contribuidores: JorgeMorais, Felipearaldi e He7d3r.bot
• Introdução à Atuária/Legislação no Brasil Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_Atu%C3%
A1ria/Legisla%C3%A7%C3%A3o_no_Brasil?oldid=236130 Contribuidores: Felipearaldi, He7d3r.bot e Anónimo: 2
• Introdução à Atuária/Tábuas Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_Atu%C3%A1ria/T%C3%
A1buas?oldid=236053 Contribuidores: Jorge Morais, Felipearaldi e He7d3r.bot
• Introdução à Atuária/Tábuas/Wiki-00 Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_Atu%C3%
A1ria/T%C3%A1buas/Wiki-00?oldid=204872 Contribuidores: Jorge Morais, Felipearaldi e He7d3r.bot
18.2.2 Imagens
• Ficheiro:Halley_wroclaw.gif Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/40/Halley_wroclaw.gif Licença: Public do-
main Contribuidores: ? Artista original: ?
• Ficheiro:Rekopis_chopin.jpg Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b4/Rekopis_chopin.jpg Licença: Public do-
main Contribuidores: ? Artista original: ?
• Ficheiro:Wikipedia-logo.png Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/63/Wikipedia-logo.png Licença: GFDL Con-
tribuidores: based on the first version of the Wikipedia logo, by Nohat. Artista original: version 1 by Nohat (concept by Paullusmagnus);
18.2.3 Licença
• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
	Capa
	Origens e evolução da ciência atuarial
	Fundamentos
	O Risco
	Seguro
	Renda Atuarial
	Esperança matemática
	Tábuas de mortalidade
	História
	Nomenclatura
	Funções
	Deduções
	Funções lineares
	Tábuas de comutação
	Probabilidades para uma ou mais cabeças
	Eventos mutuamente exclusivos
	Probabilidades envolvendo uma cabeça
	Cálculo de Prêmios
	Risco de Sobrevivência
	Formula genérica
	Sobrevivência Capital
	Rendas
	Anuidade Tontineira
	Risco de Morte
	Formula genérica
	Seguros contra morte
	Risco Misto
	Formula genérica
	Seguro Dotal
	Onde está a diferença?
	Modelos de Planos
	Regimes Financeiros
	Métodos de Financiamento
	Exercícios de Compreensão
	Legislação no Brasil
	Sobre a profissão de atuário
	Sobre Entidades Fechadas de Previdência Complementar
	Tábuas
	Grupos
	Wiki-00
	Comparativo
	Referências
	Wiki-00
	Wiki-00
	Fontes, contribuidores e licenças de texto e imagem
	Texto
	Imagens
	Licença