Aula 4 - Estrutura de Sólidos Cristalinos

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DOM BOSCO
ESTUDO DE CASO – CONTROLE DE PRODUÇÃO
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Profª Anne Cerqueira
2
 Conceito 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Ordenamento de curto alcance:
Organização apenas até átomos vizinhos
(c
) 
2
0
0
3
 B
ro
o
k
s/
C
o
le
 P
u
b
li
sh
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h
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Materiais Amorfos
3
 Conceito 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Ordenamento de curto alcance:
Organização apenas até átomos vizinhos
Materiais Amorfos
4
 Conceito 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Ordenamento de longo alcance:
Arranjo especial de átomos que se estende por 
longas distâncias (~>100nm)
Materiais 
cristalinos
5
 Conceito 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Ordenamento de longo alcance:
Arranjo especial de átomos que se estende por 
longas distâncias (~>100nm)
6
 Conceito 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Materiais Cristalinos...
Arranjos 3D periódicos
- metais
- muitas cerâmicas
- alguns polímeros
SiO2 cristalino
A
d
a
p
ta
d
o
 C
a
lli
s
te
r 
7
e
.
SiO2 amorfo
Si O
Materiais Amorfos...
Sem estrutura periódica
- estruturas complexas
- resfriamento rápido (quenching) 
7
 Conceito 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
gás líquido Sólido amorfo
cristal
8
 Conceito 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Estrutura cristalina é a maneira que os átomos, íons
ou moléculas estão distribuídos.
9
 Conceito 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Células Unitárias são pequenos
grupos de átomos que formam padrões
repetitivos
10
 Conceito 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Células Unitárias são paralelepípedos ou prismas cujos vértices coincidem com o centro
dos átomos.
O menor número de átomos que representam a simetria de uma estrutura cristalina.
11
 Conceito 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
O arranjo mais estável dos átomos em um cristal será aquele que
minimiza a energia livre por unidade de volume ou, em outras
palavras:
- preserva a neutralidade elétrica da ligação;
- satisfaz o caráter direcional das ligações covalentes;
- minimiza as repulsões íon-íon e, além disso,
- agrupa os átomos do modo mais compacto possível.
12
 Empacotamento atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
SISTEMAS CRISTALINOS: São todas
as formas de células unitárias
possíveis que podem ser "empilhadas"
e preencher totalmente o espaço
tridimensional.
13
 Empacotamento atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
A geometria da célula unitária é definida por três arestas a,
b, c e três ângulos , , , os parâmetros de rede.
Sistemas Cristalinos
14
 Empacotamento atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Existem cristais com sete combinações
diferentes de a, b, c, , , .
Sistemas Cristalinos
15
 Empacotamento atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
16
 Empacotamento atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
17
 Empacotamento atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
- Redes Cristalinas: OS QUATORZE RETICULADOS CRISTALINOS DE BRAVAIS
- Representam as possibilidades de preenchimento dos sete reticulados cristalinos por átomos
18
 Empacotamento atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 CONCEITOS IMPORTANTES PARA A CARACTERIZAÇÃO DOS RETICULADOS CRISTALINOS 
- NÚMERO DE COORDENAÇÃO: Representa o número de átomos mais próximos à um átomo de
referência.
- PARÂMETRO DO RETICULADO: Constitui uma relação matemática entre uma dimensão da
célula e o raio atômico
- FATOR DE EMPACOTAMENTO ATÔMICO: É a relação entre o volume dos átomos no interior da
célula unitária pelo volume total da célula
Volume de átomos em uma célula unitária
Volume total da célula unitária
FEA =
19
 Empacotamento atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 CONCEITOS IMPORTANTES PARA A CARACTERIZAÇÃO DOS RETICULADOS CRISTALINOS 
Volume de átomos em uma célula unitária
Volume total da célula unitária
FEA =
20
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico Simples (CS)
Ex: Po
- Possui uma célula unitária com átomos localizados em todos os oito vértices.
21
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico Simples (CS)
Célula Unitária : 1 x 8 = 1 átomo 
8 
22
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico Simples (CS)
a = 2R
23
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico Simples (CS)
- Volume da Célula
24
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico Simples (CS)
- NÚMERO DE COORDENAÇÃO: Representa o número de átomos mais próximos à um
átomo de referência.
25
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico Simples (CS)
- EMPACOTAMENTO ATÔMICO: É a relação entre o volume dos átomos no interior da
célula unitária pelo volume total da célula
onde a = 2R
Como em uma célula CS existe 1 átomo,
(1 átomo/célula)( )
FEA = 
FEA = 
4
3
3Rp
= 0,52
4
3
p
26
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Corpo Centrado (CCC)
- Possui uma célula unitária com átomos localizados em todos os oito vértices e um
único átomo localizado no centro do cubo.
ex: Cr, W, Fe (), Ta, Mo
27
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Corpo Centrado (CCC)
Célula Unitária : 1 x 8 + 1 = 2 átomos 
8 
28
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Corpo Centrado (CCC)
aR
3
4R
a =
29
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Corpo Centrado
(CCC)
- Triângulo NOP:
- Triângulo NPQ:
- Mas e , então:
30
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Corpo Centrado (CCC)
- Volume da Célula
31
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Corpo Centrado (CCC)
- NÚMERO DE COORDENAÇÃO: Representa o número de átomos mais próximos à um
átomo de referência.
32
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Corpo Centrado (CCC)
- EMPACOTAMENTO ATÔMICO: É a relação entre o volume dos átomos no interior da
célula unitária pelo volume total da célula
onde a = 4R/√3
Como em uma célula CCC existem 2 átomos,
(2 átomos/célula)( )
FEA = 
FEA = 
8
3
3Rp
= 0,68
4
3
p
33
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Face Centrada (CFC)
ex: Al, Cu, Au, Pb, Ni, Pt, Ag
- Possui uma geometria cúbica, com os átomos localizados em cada um dos vértices e
nos centros de todas as faces do cubo.
34
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Face Centrada (CFC)
Célula Unitária : 1 x 8 + 1 x 6 = 4 átomos 
8 2 
35
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Face Centrada (CFC)
36
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Face Centrada (CFC)
37
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Face Centrada (CFC)
38
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Face Centrada (CFC)
- NÚMERO DE COORDENAÇÃO: Representa o número de átomos mais próximos à um
átomo de referência.
39
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Cúbico de Face Centrada (CFC)
- EMPACOTAMENTO ATÔMICO: É a relação entre o volume dos átomos no interior da
célula unitária pelo volume total da célula
onde a = 2R√2
Como em uma célula CFC existem 4 átomos,
(4 átomos/célula)( )
FEA = 
FEA = 
16
3
3Rp
= 0,74
4
3
p
40
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Empacotamento Atômico 
41
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Simples (HS)
- São células unitárias com a forma hexagonal. As faces superior e inferior da célula
unitária são compostas por seis átomos que formam hexágonos regulares e que se
encontram em torno de um único átomo no centro.
42
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Simples (HS)
Célula Unitária : 1 x 12 + 1 x 2 = 3 átomos
6 2 
43
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Simples (HS)
a = 2R
44
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Simples (HS)
45
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Simples (HS)
- NÚMERO DE COORDENAÇÃO: Representa o número de átomos mais próximos à um
átomo de referência.
46
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Simples (HS)
- EMPACOTAMENTO ATÔMICO: É a relação entre o volume dos átomos no interior da
célula unitária pelo volume total da célula
Como em uma célula HS existem 3 átomos,
(3 átomos/célula)( )
FEA = 
FEA = 
12
3
3Rp
= 0,60
4
3
p
47
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Compactada (HC)
- São células unitárias com a forma hexagonal.. As faces superior e inferior da célula
unitária são compostas por seis átomos que formam hexágonos regulares e que se
encontram em torno de um único átomo no centro. Um plano intermediário fornece três
átomos adicionais,localizados entre os planos superior e inferior.
48
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Compactada (HC)
Célula Unitária : 1 x 12 + 1 x 2 + 3 = 6 átomos
6 2 
49
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Compactada (HC)
c
a
c/a = 1,633
a = 2R
50
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Compactada (HC)
- Considerando o Tetraedro JKLM :
O átomo M está no meio do caminho entre as faces superior
e inferior da célula unitária que é :
Os átomos no ponto J, K e M,
O triângulo JHM
51
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Compactada (HC)
- Agora determina-se considerando-se o triângulo JKL
- Substitui-se o valor de 
- Portanto, c/a
52
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Compactada (HC)
53
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Compactada (HC)
- NÚMERO DE COORDENAÇÃO: Representa o número de átomos mais próximos à um
átomo de referência.
54
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Hexagonal Compactada (HC)
- EMPACOTAMENTO ATÔMICO: É a relação entre o volume dos átomos no interior da
célula unitária pelo volume total da célula
Como em uma célula HC existem 6 átomos,
(6 átomos/célula)( )
FEA = 
FEA = 
24
3
3Rp
= 0,74
4
3
p
55
 Empacotamento Atômico 
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Os reticulados cristalinos mais importantes são:
Retículo 
Cristalino
Átomos por 
célula
Número de 
Coordenação
Parâmetro 
de Rede
Fator de 
Empacotamento
CS 1 6 2R 0,52
CCC 2 8 0,68
CFC 4 12 0,74
HS 3 12 2R 0,60
HC 6 12 2R 0,74
 Estrutura Cristalina nos Materiais
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Tipo de Material Cristalino Amorfo
Metal
Cerâmica
Polímero
56
57
 Cerâmica
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Estrutura do tipo AX
- Número de Coordenação: 6 - Número de Coordenação: 8
Cloreto de Sódio (NaCl). 
Perovskita.
 Estrutura Cristalina nos Materiais
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
58
 Estrutura Cristalina nos Materiais
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
59
 Estrutura Cristalina nos Materiais
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
60
61
 Cálculo de Densidade
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
62
 Cálculo de Densidade
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
- Exemplo: Cobre têm raio atômico de 0,128nm (1,28 Å), uma estrutura cfc, um peso
atômico de 63,5 g/mol. Calcule a densidade do cobre.
63
 Polimorfismo e Alotropia
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Polimorfismo = existência de mais de uma
estrutura cristalina para um mesmo material
dependendo da temperatura e da pressão.
Alotropia = polimorfismo em elementos
puros.
64
 Polimorfismo e Alotropia
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
ALOTROPIA DO CARBONO
GRAFITE
Grafite: comportamento mais cerâmico do que metálico, ligações fracas entre os planos (Van
der Walls), bom lubrificante a seco.
65
 Polimorfismo e Alotropia
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DIAMANTE
Diamante: é o material mais duro na natureza. O diamante é duro porque todas as suas
ligações são covalentes.
ALOTROPIA DO CARBONO
66
 Polimorfismo e Alotropia
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Na temperatura ambiente, o Ferro
têm estrutura ccc, número de
coordenação 8, fator de
empacotamento de 0,68 e um raio
atômico de 1,241Å.
 A 910°C, o Ferro passa para
estrutura cfc, número de
coordenação 12, fator de
empacotamento de 0,74 e um raio
atômico de 1,292Å.
 A 1394°C o ferro passa novamente
para ccc.
CCC
CFC
CCC
Até 910°C
De 910-1394°C
De 1394°C-PF
ALOTROPIA DO FERRO
67
 Polimorfismo e Alotropia
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
ALOTROPIA DO FERRO
68
 Polimorfismo e Alotropia
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Fe + C
69
 Polimorfismo e Alotropia
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Baixa densidade, boa resistência
mecânica, alta resistência à
fadiga e à corrosão;
 Modificação do comportamento
mecânico é obtido com a adição
de elementos de liga ao titânio;
 Elementos de liga podem mudar
a estabilidade das estruturas
cristalinas.
ALOTROPIA DO TITÂNEO
70
 Polimorfismo e Alotropia
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
- Exemplo: O ferro passa de ccc para cfc a 910 ºC. Nesta temperatura os raios atômicos
são respectivamente , 1,258Å e 1,292Å. Qual a percentagem de variação de volume
percentual provocada pela mudança de estrutura?
Resolução:
- Antes da Transformação - Depois da Transformação
71
 Polimorfismo e Alotropia
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
- Exemplo: À temperatura ambiente, o estrôncio exibe estrutura CFC. Ao ser aquecido
acima de 557 oC, esse arranjo atômico transforma-se em CCC. Determine a variação de
volume que envolve essa transformação alotrópica. Considere que o raio atômico
permanece constante.
Resolução:
72
 Polimorfismo e Alotropia
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
- Exemplo: À temperatura ambiente, o estrôncio exibe estrutura CFC. Ao ser aquecido
acima de 557 oC, esse arranjo atômico transforma-se em CCC. Determine a variação de
volume que envolve essa transformação alotrópica. Considere que o raio atômico
permanece constante.
Resolução:
73
 Polimorfismo e Alotropia
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
74
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DIREÇÕES?
(o,o,o)
75
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
a, b e c definem os eixos de um sistema de coordenadas em
3D. Qualquer linha (ou direção) do sistema de coordenadas
pode ser especificada através de dois pontos: · um deles
sempre é tomado como sendo a origem do sistema de
coordenadas, geralmente (0,0,0) por convenção;
76
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
- INDICAÇÃO DE DIREÇÕES E PLANOS ENVOLVE O ESTABELECIMENTO DE POSIÇÕES
NO CRISTAL, DAS POR SUAS COORDENADAS
77
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
- Coordenadas de Pontos:
A posição de um ponto numa rede cristalina é definida, num sistema de coordenadas
cartesianas, em termos do número de parâmetros de rede em cada direção. As coordenadas
são escritas como as três distâncias, separadas por vírgulas.
78
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
- A PARTIR DOS VETORES , E , PODE-SE REPRESENTAR QUALQUER VETOR NO
SISTEMA CRISTALINO.
- UM VETOR DA ORIGEM ATÉ O PONTO (X,Y,Z) É REPRESENTADO POR:
DETERMINAÇÃO DE UMA DIREÇÃO
79
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DETERMINAÇÃO DE UMA DIREÇÃO
- Uma direção é dada pelas componentes do vetor que a
escreve no sistema ortogonal x,y,z, partindo da origem, até o
ponto (x,y,z);
- As coordenadas são reduzidas ao menor conjunto de
números inteiros;
- A unidade de medida de cada eixo é função do parâmetro de
rede de cada eixo e assim, não representa valores reais de
distância;
- A notação empregada é [u v w] (entre colchetes) e representa
uma linha que vai da origem até um ponto de coordenadas
(u,v,w);
80
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DETERMINAÇÃO DE UMA DIREÇÃO
- Os índices negativos são representados por uma barra sobre
os mesmos: ;
- Quaisquer direções paralelas são equivalentes;
- Um vetor que passa na origem, em (1,1,1), em (2,2,2), e em
(3,3,3) pode ser identificado pela direção [111];
- Em cristais, uma família de direções está associada a um
conjunto de direções com características equivalentes. A
notação empregada para representar uma família de direções
é <uvw>, que contém as direções: , , , , ,
.
81
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DETERMINAÇÃO DE UMA DIREÇÃO
82
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DETERMINAÇÃO DE UMA DIREÇÃO
 São representadas
entre colchetes=[uvw]
 Família de direções: 
<uvw>
83
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DETERMINAÇÃO DE UMA DIREÇÃO
 São representadas
entre colchetes= [hkl]
Se a subtração der
negativa, coloca-se
uma barra sobre o
número
84
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DETERMINAÇÃO
DE UMA DIREÇÃO
 São representadas entre 
colchetes= [hkl]
 Quando passa pela 
origem
85
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DETERMINAÇÃO DE UMA DIREÇÃO
 São representadas entre 
colchetes= [hkl]
Os números devem ser divididos
ou multiplicados por um
fator comum para dar números 
inteiros
86
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DETERMINAÇÃO DE UMA DIREÇÃO
 A simetria desta estrutura permite que as direções
equivalentes sejam agrupadas para formar uma
família de direções:
<100> para as faces
<110> para as diagonais das faces
<111> para a diagonal do cubo
<110>
<100>
<111>
87
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DETERMINAÇÃO DE UMA DIREÇÃO
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CCC
 No sistema ccc os átomos se
tocam ao longo da diagonal do
cubo, que corresponde a
família de direções <111>
 Então, a direção <111> é a de
maior empacotamento
atômico para o sistema ccc
88
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DETERMINAÇÃO DE UMA DIREÇÃO
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CFC
 No sistema cfc os átomos se
tocam ao longo da diagonal da
face, que corresponde a
família de direções <110>
 Então, a direção <110> é a de
maior empacotamento
atômico para o sistema cfc
89
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Exemplo: Determine os índices para a direção mostrada na figura abaixo.
90
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Resolução.
91
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 Exemplo.
92
 Direções Cristalinas
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Resolução.
93
 Planos Cristalinos
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
- Para a determinação da estrutura cristalina Os métodos de difração medem diretamente a
distância entre planos paralelos de pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para
determinar os parâmetros do reticulado de um cristal.
Os métodos de difração também medem os ângulos entre os planos do reticulado. Estes são
usados para determinar os ângulos interaxiais de um cristal.
- Para a deformação plástica
A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo deslizamento dos átomos,
escorregando uns sobre os outros no cristal. Este deslizamento tende a acontecer
preferencialmente ao longo de planos direções específicos do cristal.
Porque são importantes?
94
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
- Para as propriedades de transporte 
Em certos materiais, a estrutura atômica em determinados planos causa o transporte de elétrons
e/ou acelera a condução nestes planos, e, relativamente, reduz a velocidade em planos distantes
destes.
Exemplo: Grafita
A condução de calor é mais rápida nos planos unidos covalentemente sp2 do que nas direções
perpendiculares a esses planos.
Porque são importates?
95
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
- PLANOS SÃO IDENTIFICADOS PELOS ÍNDICES DE MILLER.
- UM PLANO DEVE SATISFAZER A EQUAÇÃO:
ONDE a, b E c SÃO OS PONTOS DE INTERCEPTAÇÃO DO PLANO COM OS EIXOS x, y E Z.
- COMO a, b E c PODEM SER MENORES QUE 1 OU INFINITO NO CASO DO PLANO SER PARALELO
A UM EIXO, ADOTASE O INVERSO DOS VALORES DE a, b E c:
h=1/a; k=1/b; l=1/c
EQUAÇÃO DO PLANO
96
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
- ÍNDICES DE MILLER h, k E l
EQUAÇÃO DO PLANO
97
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
- Plano a ser determinado não pode passar pela origem origem
(0,0,0);
- Planos paralelos são equivalentes;
- Obtenção dos pontos de interceptação do plano com os eixos x, y e
z;
- Obtenção dos inversos das interceptações: h=1/a, k=1/b e l=1/c;
- Obtenção do menor conjunto de números inteiros;
- Índices obtidos devem ser apresentados entre parênteses: (hkl);
DETERMINAÇÃO DE UM PLANO
98
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DETERMINAÇÃO DE UM PLANO
99
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
100
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
Planos (010)
São paralelos aos 
eixos x e z (paralelo à 
face)
Cortam um eixo 
(neste exemplo: y em 
1 e os eixos x e z em 
)
1/ , 1/1, 1/  = (010)
101
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
Planos (110)
São paralelos a um 
eixo (z)
Cortam dois eixos 
(x e y) 
1/ 1, 1/1, 1/  = 
(110)
102
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
Planos (111)
Cortam os 3 eixos 
cristalográficos
1/ 1, 1/1, 1/ 1 = (111)
103
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
Quando as
intercessões
não são
óbvias
desloca-se o
plano até
obter as
intercessões
corretas
104
 Planos Cristalinos
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Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
FAMÍLIA DE PLANOS {110}
É PARALELO À UM EIXO
105
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
FAMÍLIA DE PLANOS {111}
INTERCEPTA OS 3 EIXOS
106
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
PLANOS NO SISTEMA CÚBICO
 A simetria do sistema cúbico faz com que a família de 
planos tenham o mesmo arranjamento e densidade
 Deformação em metais envolve deslizamento de planos 
atômicos. O deslizamento ocorre mais facilmente nos 
planos e direções de maior densidade atômica
107
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
PLANOS DE MAIOR DENSIDADE ATÔMICA NO 
SISTEMA CCC
 A família de planos {110} 
no sistema ccc é o de 
maior densidade atômica
108
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
PLANOS DE MAIOR DENSIDADE 
ATÔMICA NO SISTEMA CFC
 A família de planos {111} 
no sistema cfc é o de 
maior densidade atômica
109
 Planos Cristalinos
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Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
 Exemplo: Desenhe o plano (111) de uma célula unitária tetragonal simples, tendo uma relação c/a
igual a 0,62.
Resolução: O plano (111) corta os três eixos em pontos que distam da origem os parâmetros
correspondentes. Entretanto, o parâmetro do eixo z é menor que os parâmetros dos eixos x e y.
110
 Planos Cristalinos
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Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
 Exemplo: Desenhe o plano (112) de uma célula unitária cúbica
simples.
111
 Planos Cristalinos
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Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
 Exemplo: Desenhe o plano (112) de uma célula unitária cúbica simples.
Resolução: O plano (112) é o recíproco de 1, 1, 1/2. Portanto, temos a, b e c iguais a 1,1 e ½
parâmetros da célula unitária respectivamente. Este plano está desenhado na figura abaixo. Como
planos paralelos têm os mesmos índices de Miller, um segundo plano pode ser desenhado cortando
os eixos em 2,2 e 1 parâmetros da célula.
112
 Planos Cristalinos
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Estrutura Cristalina
PLANOS CRISTALINOS
Problema 01 Esboce as direções dentro de uma célula unitária cúbica [001]; [111]; [010]
Problema 02 Construa planos localizados no interior de uma célula unitária cúbica (001); (111); (021)
113
 Planos Cristalinos
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Estrutura Cristalina
DENSIDADE ATÔMICA LINEAR E PLANAR
 Densidade linear = átomos/cm (igual ao fator de
empacotamento em uma dimensão)
 Densidade planar = átomos/unidade de área (igual ao
fator de empacotamento em duas dimensões)
114
 Planos Cristalinos
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DENSIDADE ATÔMICA LINEAR E PLANAR
 Exemplo: Esboce a densidade linear para a direção [100] em uma
estrutura cristalina CCC.
115
 Planos Cristalinos
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Estrutura Cristalina
Resolução.
116
 Planos Cristalinos
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DENSIDADE ATÔMICA LINEAR E PLANAR
 Exemplo: Calcule a densidade planar para o plano (110) em uma
estrutura cristalina CFC.
117
 Planos Cristalinos
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Resolução.
118
 Planos Cristalinos
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Resolução.
119
 Planos Cristalinos
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DENSIDADE ATÔMICA LINEAR E PLANAR
120
 Planos Cristalinos
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Resolução.
121
 Planos Cristalinos
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Resolução.
122
 Difração do Raio X
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
O FENÔMENO DA DIFRAÇÃO:
Quando um feixe de raios x é dirigido à um
material cristalino, esses raios são difratados
pelos planos dos átomos ou íons dentro do cristal
123
 Difração do Raio X
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
Fonte: Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de Ciência dos Materiais e Metalurgia da 
PUC-Rio
124
 Difração do Raio X
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
n= 2 dhkl.sen
 É comprimento de onda
N é um número inteiro de 
ondas
d é a distância interplanar 
 O ângulo de incidência
dhkl= a
(h2+k2+l2)1/2
Válido 
para 
sistema 
cúbico
DIFRAÇÃO DE RAIOS X
LEI DE BRAGG
125
 Difração do Raio X
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 É uma função dos índices de Miller e do parâmetro 
de rede
dhkl= a
(h2+k2+l2)1/2
DISTÂNCIA INTERPLANAR (dhkl)
126
 Difração do Raio X
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DISTÂNCIA INTERPLANAR (dhkl)
 Exemplo:
127
 Difração do Raio X
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DISTÂNCIA INTERPLANAR (dhkl)
Resolução:
128
 Difração do Raio X
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
TÉCNICAS DE DIFRAÇÃO
 TÉCNICA DO PÓ:
É bastante comum, o material a ser analisado
encontra-se na forma de pó (partículas finas orientadas
ao acaso) que são expostas à radiação x
monocromática. O grande número de partículas com
orientação diferente assegura que a lei de Bragg seja
satisfeita para alguns planos cristalográficos
129
 Difração do Raio X
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
 T= fonte de raio X
 S= amostra
 C= detector
 O= eixo no qual a amostra 
e o detector giram
Detector
Fonte
Amostra
O DIFRATOMÊTRO DE RAIOS X
130
 Difração do Raio X
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DIFRATOGRAMA
131
 Difração do Raio X
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DIFRATOGRAMA
 Exemplo:
132
 Difração do Raio X
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
DIFRATOGRAMA
Resolução:
133
 Sequência de Empilhamento
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
- Planos cristalinos com mesma natureza, mas com posicionamento diferentes dos átomos.
- HC: a seqüência de empilhamento de planos cristalinos na direção perpendicular à base.
134
 Sequência de Empilhamento
FASIPE
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS MATERIAIS
Estrutura Cristalina
- Planos cristalinos com mesma natureza, mas com posicionamento diferentes dos átomos.
- CFC: a seqüência de empilhamento de planos cristalinos na direção da diagonal do cubo.