Aula 05 - Momento de uma Força (Continuação) (2015.2)

Prévia do material em texto

INTRODUÇÃO 
Até agora, no estudo de momentos, resolvemos os problemas através da determinação do braço de alavanca. Entretatnto, pode-
se obter a resposta através da decomposição das forças, o que é mais comum e intuitivo de se aplicar. Nesta aula, vamos estudar 
esta técnica e utilizá-la na resolução de exercícios extras ou até mesmo nos vistos anteriormente. 
Em alguns casos, principalmente os tridimensionais que envolvem reações de engaste nos vínculos, o desenvolvimento dos 
momentos através dos eixos x, y e z pode ser bastante trabalhoso, pois deve fornecer um sistema com muitas equações e 
incógnitas. Um método de resolução prático para esses e outros tipos de problemas está na escolha de um eixo arbitrário 
(escolhido de forma adequada) no qual se aplicará o momento gerado pela força. 
PRINCÍPIOS DOS MOMENTOS – TEOREMA DE VARIGNON 
Um dos princípios mais úteis da mecânica é o teorema de Varignon ou princípio dos momentos, 
o qual enuncia que o momento de uma força em relação a qualquer ponto é igual à soma 
dos momentos dos componentes desta força em relação ao mesmo ponto. 
 
Escrevendo a forma vetorial de momentos, temos: onde r é o vetor posição de um dado ponto até o 
ponto de aplicação de R, que é a resultante das forças. De acordo com o teorema de Varignon, temos: 
 
 
 
Na figura, ao lado, O é o ponto de rotação e A é o ponto de aplicação das forças. 
Assim, teremos o seguinte: 
 
 
 
Enunciando o teorema, temos: 
 
 
 
 
 
 
Esta propriedade foi originalmente estabelecida pelo matemático francês Pierre Varignon (1654 – 1722) bem antes da 
introdução da álgebra vetorial, e, por isso, é conhecida como teorema de Varignon. Com esta propriedade, torna-se possível a 
determinação direta do momento de uma força F através de duas ou mais forças componentes, geralmente decompostas 
paralelamente aos eixos de coordenadas. 
MOMENTO EM RELAÇÃO A UM EIXO ESPECÍFICO 
Tratando-se de corpos rígidos, podemos calcular um momento de uma força 
não somente em relação a um ponto, mas também em relação a um eixo qualquer. Para 
se calcular este momento são necessárias algumas especificidades, como veremos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De um modo mais geral, o momento de uma força F aplicada no ponto A em relação a um eixo que não passa pela origem é 
obtido escolhendo-se um ponto arbitrário B sobre o eixo (conforme figura) e determinando-se a projeção sobre o eixo BL do 
momento MO de F em relação a B. 
Escreve-se então: 
 
Onde rA/B = rA – rB representa o vetor traçado de B até A. 
Expressando MBL na forma de um determinante, temos: 
 
 
O momento em relação a um dado ponto O da 
resultante de diversas forças concorrentes é igual 
à soma dos momentos das várias forças em 
relação ao mesmo ponto O. 
Considere uma força F que atua sobre um corpo 
rígido e o momento MO dessa força em relação a 
O, como mostrado na figura ao lado. Seja OL um 
eixo através de O; definimos o momento MO 
sobre o eixo OL. Representando por λ o vetor 
unitário ao longo de OL, temos: 
Que mostra que o 
momento MOL de F em 
relação ao eixo OL é o 
escalar obtido 
desenvolvendo-se o 
produto triplo misto de 
λ, r e F. Expressando 
MOL na forma de um 
determinante, temos: 
Onde: λX, λY,λZ = cossenos diretores do eixo BL 
 XA/B = XA – XB YA/B = YA – YB ZA/B = ZA – ZB 
 FX, FY,FZ = componentes da força F 
Deve-se notar que o resultado obtido é independente da 
escolha do ponto B sobre o eixo dado.