Derivadas

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Derivadas
Explorando el concepto y la interpretación de las derivadas en cálculo.
La derivada es una herramienta fundamental en cálculo que permite analizar cómo cambian las funciones.
Introducción
Definición
01
La derivada de una función en un punto mide la tasa de cambio instantánea de esa función en ese punto. Matemáticamente, se define como el límite de la razón de cambio de la función a medida que el intervalo se aproxima a cero.
Concepto de derivada
Interpretación geométrica
Geométricamente, la derivada de una función en un punto corresponde a la pendiente de la tangente a la curva de la función en ese punto. Una pendiente positiva indica que la función está aumentando, mientras que una pendiente negativa indica que la función está disminuyendo.
Las derivadas de funciones se utilizan para determinar la tasa de cambio de una función en relación con sus variables. Existen funciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, cada una con sus propias derivadas que permiten calcular su comportamiento en diferentes intervalos.
Derivadas de funciones
Reglas de Derivación
02
La regla de la suma establece que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de sus derivadas. Es decir, si f(x) = g(x) + h(x), entonces f'(x) = g'(x) + h'(x). Esta regla es útil para simplificar el cálculo de derivadas cuando se trata de múltiples funciones.
Regla de la suma
Regla del producto
La regla del producto se utiliza para encontrar la derivada de un producto de dos funciones. Si f(x) = g(x) * h(x), entonces la derivada es f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x). Este método permite calcular efectivamente la derivada sin necesidad de expandir el producto.
La regla del cociente permite calcular la derivada de un cociente de dos funciones. Si f(x) = g(x) / h(x), entonces la derivada es f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2. Esta regla es esencial cuando se trabajan con funciones en forma de fracción.
Regla del cociente
Comprender las derivadas y las reglas de derivación es crucial para el análisis de funciones en cálculo. Estas herramientas no solo permiten calcular pendientes y tasas de cambio, sino que también son fundamentales en diversas aplicaciones en matemáticas, física y ingeniería.
Conclusiones
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