CIRC_ELE_I_A04

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CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Prof. Dr. Edmarcio Antonio Belati
edmarcio.belati@ufabc.edu.br
Aula 4Aula 4
23/02/2015
Teorema de Thevénin
Teorema de Norton
Equivalente de Fontes
Exercícios
Edmarcio BelatiU
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Em 1883 M. Léon Thévenin enunciou o seguinte teorema:
“Qualquer estrutura linear ativa pode ser substituída por uma 
única fonte de tensão VTh em série com uma resistência RTh”.
Na prática, isso significa que qualquer circuito pode ser
representado conforme mostra a figura 1.
Figura 1: Teorema de Thevenin
TEOREMA DE THÉVENIN
2
Dado um circuito qualquer (circuito A), calcula-se o equivalente de
Thévenin entre dois pontos ‘A’ e ‘B’, da seguinte forma:
- VTh é a tensão medida nos terminais ‘A’ e ‘B’ do circuito A;
- RTh é a resistência entre os terminais ‘A’ e ‘B’ (slide 4).
Vth
A
B
Rth
A
B
Circuito A
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Em 1933, E. L. Norton enunciou o seguinte teorema:
“Qualquer estrutura linear ativa pode ser substituída por uma 
única fonte de corrente IN em paralelo com uma resistência RN”.
Esse teorema é o dual ao Teorema de Thevenin e, na prática, diz que 
um circuito qualquer pode ser representado conforme mostra a figura 2.
Figura 2: Teorema de Norton
TEOREMA DE NORTON
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Dado um circuito A qualquer, calcula-se o equivalente de Norton,
entre dois pontos ‘A’ e ‘B’, da seguinte forma:
- IN é a corrente que passa por um curto-circuito aplicado
nos terminais ‘A’ e ‘B’;
- RN tem o mesmo valor de RTh e é calculada como segue:
A
B
RN
A
B
IN
Circuito A IN RN
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Resistência dos Circuitos Equivalentes de Thévenin e Norton
A determinação da resistência dos circuitos equivalentes deve ser
feita como segue, em que o cálculo é diferenciando para cada caso.
Caso 1: o circuito contém somente fontes independentes. 
As fontes são anuladas e a resistência é calculada a partir dos terminais de 
onde se deseja obter o circuito equivalente. 
Caso 2: o circuito contém fontes independentes e fontes
dependentes.
A resistência equivalente é obtida a partir da corrente de curto-circuito
(Corrente de Norton, IN ) e da tensão de circuito aberto (Tensão de
Thevenin, VTh ), a partir da seguinte relação:
TEOREMAS DE THÉVENIN E NORTON
N
Th
NTh
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V
RR 
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Caso 3: o circuito contém, além de resistências, somente fontes
controladas.
Neste caso, a resistência dos circuitos equivalentes deve ser determinada
aplicando-se uma fonte de corrente aos terminais a-b e determinando-se a
tensão. Alternativamente, pode-se também aplicar uma fonte de tensão e
determinar a corrente. A resistência será determinada dividindo-se a tensão
pela corrente.
 - Deve-se atentar também para o fato de que quando o circuito contiver
fontes controladas (dependentes), a resistência equivalente pode assumir
valores negativos, significando que o circuito está fornecendo potência.
 - Fontes dependentes podem ser utilizadas para simular o efeito de
resistências negativas.
 - Finalmente, o procedimento delineado para caso 3 é geral e pode ser
empregado também nos casos 1 e 2, tomando-se o cuidado de anular as
fontes independentes.
TEOREMAS DE THÉVENIN E NORTON
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Verifica-se facilmente que a partir do equivalente de Thevenin
chega-se no equivalente do Norton e vice-versa.
NThTh IRV 
Th
Th
N
R
V
I 
Este é o princípio utilizado para faze troca de fonte de tensão
para fonte de corrente, conhecido como equivalente de fontes.
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N
Th
NTh
I
V
RR 
TEOREMAS DE THÉVENIN E NORTON
RN
A
B
IN
A
B
Vth
Rth
Equivalente de Fontes
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Exercício 1: Calcule o circuito equivalente de Thevenin e em seguida
encontre o equivalente de Norton responsável pela alimentação do
resistor RL da Figura abaixo.
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Exercício 2: Obter o equivalente de Norton e em seguida encontrar o
equivalente de Thevenin entre os terminais ‘A’ e ‘B’ do circuito da
figura.
TEOREMAS DE THÉVENIN E NORTON
Resp: VTh=40 V; RTh=RN=8 ; IN=5 A
Resp: VTh=-8 V; RTh=RN=18 ; IN=-0,44 A
50 V 
5  
20  
4  
A
B
RL
10 V 
10  
40  
A
B
2 A 
10  
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Exercício 3: Determine o equivalente de Thevenin responsável pela
alimentação do resistor RL do circuito da figura a baixo.
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TEOREMAS DE THÉVENIN E NORTON
Resp: VTh=-1 V; RTh=3 
4  RL
2 V 
3  
A
B
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Exercício 4: Encontre o
equivalente de Norton na
rede da figura ao lado nos
terminais A-B.
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Exercício 5: Efetue transformações de fontes para determinar I0
no circuito da figura ao lado.
I0
TEOREMAS DE THÉVENIN E NORTON 1  
1  2  
2  
4  
A
B
+ V1 -
2V1
8 V 
4  
3  
9  
6  
2  
12 V 
6  
12 V 
12  
Resp:
Resp: IO=- 23/48 A
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Exercício 1 - Determine o circuito equivalente de Norton do
circuito da figura.
3  
5  
4  
a
b
1/3 A
2,5 v1
+
-
v1
EXERCÍCIOS EXTRAS
Resp: RN=-18 ; IN=0,5 A
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Exercício 2 - Calcule o equivalente de Norton para o circuito
da figura em relação ao resistor de 4 Ω, e use o circuito
equivalente do Norton para encontrar o valor de v. Dica:
considere a fonte de 6 A no cálculo do equivalente do Norton.
R1
6ohm
I2
4A
I3
15A
R4
8ohm
R5
2ohm
R2
4ohm
I1
6A
+
-
v
Resp: RN =8; IN =0,75 A; v=2 V
EXERCÍCIOS EXTRAS
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Exercício 3 - Calcule o equivalente de Norton para os pontos a-b
da figura abaixo.
Resp: RN =3 K; IN =1 mA
Exercício 4 - Calcule o equivalente de Thévenin para os pontos a-
b da figura abaixo.
Resp: RTH =10 ; VTH =-24 V
EXERCÍCIOS EXTRAS
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1kΩ
2kΩ 1kΩ
6Ω
+ Vx -
2Vx1kΩ 2kΩ
+ A
- B
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Exercício 5 - Calcule o equivalente de Thévenin para os pontos A-
B da figura abaixo.
6kΩ 2kΩ
6Ω
Is
1kΩ8mA 4mA 
12 V 
2kΩ
3kΩExercício 6 - Determine a corrente Is no circuito abaixo usando a
técnica de transformação de fontes.
0
EXERCÍCIOS EXTRAS
Resp: ?
Resp:?
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Exercício 7 Calcular Vo utilizando o Teorema de Norton para o
circuito abaixo.
Resp: Vo=-144 V
2  9  
1  
A
B
5V1
4 A 
 +
V1
 -
 +
V0
 -
EXERCÍCIOS EXTRAS