CIRC_ELE_I_A11

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Edmarcio BelatiUFABC
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CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Aula 11Aula 11
� Potência Instantânea
U
FABC
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–
C
ircuito
s
 Elétrico
s
 I
1
Prof. Dr. Edmarcio Antonio Belati
edmarcio.belati@ufabc.edu.br
30/03/2015
� Potência Instantânea
� Potência Média
� Valor efetivo
Edmarcio BelatiUFABC
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POTÊNCIA EM CIRCUITO CA
Circuitos
 Elétrico
V(t)
i(t)
)t(i)t(v)t(p ⋅=
U
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 /E
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–
C
ircuito
s
 Elétrico
s
 I
2
A Potência Instantânea p(t) de um circuito elétrico em corrente
alternada é dada por p(t)=v(t)⋅ i(t) e a energia líquida fornecida pela
fonte nos instantes t1 e t2 é dada pela expressão:
dt)t(i)t(v)t(W)t(W
t
t
∫ ⋅=−
2
1
12
Resistivo
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POTÊNCIA EM CIRCUITO CA
A potência p(t) pode ter valores positivos ou negativos dependendo 
do instante considerado.
- p positiva – indica uma transferência de energia da fonte
para o circuito;
- p negativa – indica uma transferência de energia do circuito 
para a fonte.
A potência instantânea p(t)=v(t)⋅ i(t) é dada em função do tempo.
U
FABC
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–
C
ircuito
s
 Elétrico
s
 I
3
A potência instantânea p(t)=v(t)⋅ i(t) é dada em função do tempo.
Temos que:
)tcos(E)t(v Vm θ+ϖ⋅=
)tcos(I)t(i Im θ+ϖ⋅=
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POTÊNCIA INSTANTÂNEA
)tcos()tcos(IV)t(p IVmm θ+ϖθ+ϖ=
A potência instantânea liberado para o elemento é:
Sabendo que:
cos α cos β = (1/2) cos (α - β) + (1/2) cos (α + β) 
U
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C
ircuito
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 Elétrico
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4
cos α cos β = (1/2) cos (α - β) + (1/2) cos (α + β) 
temos:
[ ])tcos()cos(IV)t(p IVIVmm θ+θ+ϖ+θ−θ= 22
Logo a potência instantânea tem uma parcela constante e uma
parcela cossenoidal com frequência de pulsação que é igual a 2
vezes a frequência da corrente alternada (frequência da rede).
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POTÊNCIA MÉDIA
∫ θ+θ+ϖ+θ−θ=
T
IVIV
mm
média dt)]tcos()[cos(
IV
T
P
0
2
2
1
A potência média é:
Resolvendo a integral tem-se:
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C
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 Elétrico
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Resolvendo a integral tem-se:
)cos(IVP IVmmmédia θ−θ= 2
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POTÊNCIA MÉDIA
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s
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POTÊNCIA MÉDIA
Elemento somente resistivo
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A tensão está em fase com a corrente.
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Elemento somente indutivo
POTÊNCIA MÉDIA
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A tensão está defasada 90° da corrente ( corrente 
atrasada - fator de potência indutivo).
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Elemento somente capacitivo
POTÊNCIA MÉDIA
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A tensão está defasada 90° da corrente ( corrente 
adiantada - fator de potência capacitivo).
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POTÊNCIA EM CIRCUITO CA
Exercício 1 - O circuito mostrado na figura está em regime
permanente. A corrente na malha é: .Am)tcos()t(i o41100721 −=
25 Ω 
120mH 
+ vR(t)-
+
VL(t)
-
V)tcos()t(v f o1510020 −=
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C
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-
i(t)
As tensões nos elementos são:
V)tcos()t(v f o1510020 −=
V)tcos()t(vR o4110018 −=
V)tcos(,)t(vL o49100668 +=
Encontre a potência média liberada para cada dispositivo neste 
circuito.
Reposta: 6,5 W; 6,5 W; 0 W
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POTÊNCIA EM CIRCUITO CA
Exercício 2 - Um circuito RLC é mostrado na figura abaixo com uma
tensão .Vtcos)t(v f 107=
a) Determine a potência instantânea liberada para o circuito
pela fonte de tensão.
b) Encontre a potência instantânea liberada para o indutor.
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Vf(t)
0,3 H 
4 Ω 50mF 
Wtpb
Wtpa
)6,3020cos(3,28)
)3,6020cos(2,1554,7)
o
o
−=
−+=Resposta:
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VALOR EFICAZ
O valor efetivo (ou valor eficaz) de uma forma de onda é uma
medida de sua eficácia em liberar potência para uma carga.
O conceito de um valor efetivo vem do desejo de ter uma tensão
(ou corrente) senoidal que libere para a carga a mesma potência
média que uma tensão (ou corrente) cc equivalente.
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s
 Elétrico
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Vf(t) R
i(t)
Vef R2
Ief(t)
Vamos encontrar a corrente Ief que libere a mesma potência média
que uma corrente I(t) para o resistor R.
R R
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VALOR EFICAZ
A potência média liberada para o 
resistor R pela fonte alternada é:
∫=
T
Rdti
T
P
0
21
A potência liberada pela corrente 
contínua é:
Resolvendo para Ief tem-se:
21
0
21
/
T
ef dtiT
I 





= ∫
Nota-se que Ief é a raiz
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RIP ef
2
=
Igualando tem-se:
∫=
T
ef dtiT
RRI
0
22
ef
quadrada do valor médio
quadrado. Assim, a corrente
efetiva Ief é comumente
chamada de corrente da raiz
média quadrádica IRMS ( do
inglês root mean square)
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VALOR EFICAZ
O valor efetivo da tensão é 
igualmente encontrado.
21
0
21
/
T
RMS dtvT
V 





= ∫
Resolvendo tem-se:
2
m
RMS
II =
Na prática, deve-se ter o
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Para uma corrente cossenoidal 
variável 
tem-se:
)tcos(Ii m ϖ⋅=
21
0
221
/
T
mRMS tdtcosIT
I 




 ϖ= ∫
cuidado em determinar quando
uma tensão é expressa em
termos de seu valor efetivo ou
do seu valor Im.
Obs. A tensão 110 V ou 220 V
das residências deve ser
entendida com o valor RMS ou
efetivo
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Exemplo:
Valores eficazes são empregados normalmente nas geração e
distribuição de potência.
Uma rede com valor de tensão nominal de 127 V, é um valor eficaz.
A potência que é fornecida em 60 Hz às residências vem através de
uma tensão que tem o valor máximo igual a 127√2≅180 V.
VALOR EFICAZ
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Valores máximos são geralmente empregados em eletrônica e
telecomunicações.
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Valor eficaz da corrente composta de senóides com diferentes
frequências e corretes com valores contínuos:
Potência média:
VALOR EFICAZ
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Portanto, o valor eficaz da corrente senoidal compostade
diferentes freqüências é
De forma análoga,
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VALOR EFICAZ
Exercício 3 – Encontre o valor efetivo da corrente para forma de onda 
em dente de serra mostrada na figara a seguir.
3
m
ef
II =Resposta:
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Exercício 4 – Calcule o valor efetivo da tensão sobre a resistência R 
do circuito mostrado abaixo quando ϖ=100rad/s.
V,Vef 824=Resposta:
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VALOR INSTANTÂNEO
Exercício 5 – Um circuito RLC é mostrado na figura abaixo. Encontre 
a potência instantânea liberada para o Indutor quando:
A)t102cos(1)t(i 3f pi=
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Resposta:
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Exercício 6 – Determine a potência gerada por cada fonte e a
potência média absorvida por cada elemento passivo no circuito da
fig. abaixo.
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Resposta: P1: -367,8 W; P2: 160 W; 
P0: 0 W; P4: - W; P5: 207,8 W.
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Exercício 7 – Calcule a potência média absorvida pelos elementos: 
capacitor, resistores e fonte.
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Resposta
Potência média fornecida pela fonte: -4,02 W
Potência média no resistor de 3 Ω: 3,37 W
Potência média no resistor de 6 Ω : 0,65 W
Potência média no capacitor: 0 W