Algebra e matrizes

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Licenciatura em Engenharia Informática e Telecomunicações 
TURMA: 4 TURNO: Tarde 
DISCIPLINA: Álgebra Linear e Geometria Analítica 
TEMA: Álgebra e Matrizes 
 
 
 Discentes: Docente: Walter 
 Aiverson Octávio Guila 
 Aylton José Constantino 
 Bento Misael Manhice 
 Enzo Ethan Chemane 
 Lenon Ferdinando De Almeida Sitoe 
 
 
 
Maputo, Abril de 2024 
 
 
Índice 
1. Introdução .................................................................................................... 1 
2. Álgebra ........................................................................................................ 2 
2.1. História .................................................................................................. 2 
2.2. Definição ................................................................................................ 2 
2.3. Como fazer uma Conta Algébrica ........................................................... 3 
2.4. Propriedades básicas para fazer uma conta álgebra ................................ 3 
2.5. Tipos de Álgebra .................................................................................... 5 
2.6. Diferença entre Matemática e Álgebra .................................................... 6 
2.7. Importância da Álgebra ......................................................................... 6 
3. Matrizes ....................................................................................................... 7 
3.1. Definição ................................................................................................ 7 
3.2. Dimensões das Matrizes ......................................................................... 7 
3.3. Tipos de Matrizes ................................................................................... 7 
3.4. Operações .............................................................................................11 
3.5. Ponto de uma Matriz ............................................................................ 12 
4. Conclusão ................................................................................................... 14 
 
 
 
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1. Introdução 
A história da álgebra é uma jornada fascinante que remonta a civilizações antigas, onde 
os matemáticos desenvolveram sistemas aritméticos avançados para resolver problemas 
complexos. Desde então, a álgebra evoluiu e se transformou em um dos pilares 
fundamentais da matemática moderna, desempenhando um papel crucial em várias 
disciplinas científicas e tecnológicas. 
Desde suas origens na antiga Babilônia, passando pela tradução e adaptação ao longo dos 
séculos, até chegar ao termo "álgebra" como o conhecemos hoje, essa disciplina 
atravessou fronteiras culturais e linguísticas, deixando um legado rico e influente. 
Nesta introdução, exploraremos não apenas a história da álgebra, mas também sua 
definição, suas aplicações práticas e suas propriedades fundamentais. Além disso, 
discutiremos os diferentes tipos de álgebra, desde a elementar até a abstrata, e 
destacaremos sua importância na resolução de problemas do mundo real e no 
desenvolvimento do pensamento abstrato. 
Ao longo deste trabalho, mergulharemos mais fundo na álgebra, examinando suas 
técnicas de resolução, propriedades e aplicações em diversas áreas do conhecimento. 
Através dessa jornada, esperamos proporcionar uma compreensão mais completa e 
apreciação pela importância e versatilidade da álgebra na matemática e além. 
 
 
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2. Álgebra 
2.1. História 
As origens da álgebra se encontram na antiga Babilônia, cujos matemáticos 
desenvolveram um sistema aritmético avançado, com o qual puderam fazer cálculos 
algébricos. Com esse sistema eles foram capazes de aplicar fórmulas e calcular soluções 
para incógnitas numa classe de problemas que, hoje, seriam resolvidos como equações 
lineares, equações quadráticas e equações indeterminadas. 
Na data de 1140, Robert de Chester traduziu o título árabe para o latim, como Liber 
Algebrae et almucabala. No século XVI, é encontrado em inglês como Algiebar and 
Almachabel, e em várias outras formas, mas foi finalmente encurtado para Álgebra. As 
palavras significam "restauração e oposição". 
Os mouros levaram a palavra al-jabr para a Espanha, um algebrista sendo um restaurador 
ou alguém que conserta ossos quebrados. Por isso, Miguel de Cavalcante em Dom 
Quixote (II, cap. 15) é feita menção a "um algebrista que atendeu ao infeliz Sansão". Em 
certo tempo não era raro ver sobre a entrada de uma barbearia as palavras "Algebrista y 
Sangrador" (Smith, Vol. 2, páginas 389-90). 
O uso mais antigo da palavra álgebra no inglês em seu sentido matemático foi por Robert 
Recorde no The Pathwaie to Knowledge ("O Caminho para o Conhecimento") em 1551: 
"também a regra da falsa posição, que traz exemplos não somente comuns, mas alguns 
pertinentes à regra da Álgebra". 
"Álgebras" (no plural) aparece em 1849 no Trigonometry and Double 
Algebra ("trigonometria e Dupla Álgebra") de Augustus de Morgan 
 
2.2. Definição 
A álgebra é o ramo da Matemática que generaliza a aritmética. Ela testa e comprova as 
operações básicas e as relações entre conjuntos numéricos. Na álgebra, letras são 
utilizadas para representar números. Essas letras tanto podem representar números 
desconhecidos quanto um número qualquer pertencente a um conjunto numérico. Por 
exemplo, se (x) é um número par, então (x) pode ser 2, 4, 6, 8, 10, etc. Dessa maneira, (x) 
é um número qualquer pertencente ao conjunto dos números pares. 
 
3 
 
Além disso, a álgebra estuda propriedades das operações matemáticas, como 
associatividade, comutatividade, existência de elemento neutro e distributividade. Essas 
propriedades são válidas para todos os números reais e são fundamentais para resolver 
problemas complexos e modelar situações do mundo real. 
2.3. Como fazer uma Conta Algébrica 
Realizar uma conta algébrica envolve seguir as regras básicas de operações matemáticas 
(adição, subtração, multiplicação, divisão) aplicadas aos símbolos e variáveis. Aqui estão 
os passos básicos: 
1. Identifique a Expressão: determine a expressão algébrica que você precisa 
resolver. 
2. Simplifique a Expressão: combine termos semelhantes. Por exemplo, 2x+3x 
pode ser simplificado para 5x. 
3. Isolamento da Variável: se a expressão contiver uma variável desconhecida, 
como x, isole essa variável movendo todos os termos que não contêm x para o 
lado oposto da equação. Por exemplo, em 2x+3=9, subtraia 3 de ambos os lados 
para isolar x, resultando em 2x=6. 
4. Resolva a Equação: finalmente, divida ambos os lados da equação pelo 
coeficiente da variável para encontrar o valor da variável desconhecida. No 
exemplo anterior, dividindo ambos os lados por 2, obtemos x=3. 
 
2.4. Propriedades básicas para fazer uma conta álgebra 
Antes de começar a fazer contas algébricas, é importante entender os termos envolvidos. 
Alguns termos comuns incluem: 
 Variável: uma letra que representa um valor desconhecido. 
 Coeficiente: o número multiplicado pela variável. 
 Constante: um número fixo. 
 Expressão algébrica: uma combinação de variáveis, coeficientes e constantes. 
 
 
4 
 
Para resolver problemas de álgebra, é essencial compreender algumas propriedades 
básicas. Aqui estão elas: 
1. Propriedade Comutativa: indica que a ordem dos números não afeta o resultado da 
adição ou da multiplicação. 
a + b = b + a 
ab = ba 
2. Propriedade Associativa: mostra que a maneira como os números são agrupados em 
adições ou multiplicações não muda o resultado. 
 (a + b) + c = a + (b + c) 
 (ab)c = a(bc) 
3. Propriedade Distributiva: combina adição e multiplicação, distribuindo um fator 
sobre uma soma. 
a (b + c) = ab + ac 
4. Elemento Neutro: O número 0 é o elemento neutro da adição, e o número 1 éo 
elemento neutro da multiplicação. 
a + 0 = a 
a × 1 = a 
5. Inverso Aditivo: todo número tem um inverso aditivo, que é o número que, somado a 
ele, resulta em zero. 
a + (-a) = 0 
6. Inverso Multiplicativo: todo número, exceto o zero, tem um inverso multiplicativo, 
que é o número que, multiplicado por ele, resulta em um. 
a×1÷a = 1 
Exemplos de uma conta álgebra 
Exemplo 1: seja (x) o número que estamos procurando. Se adicionarmos 4 a esse número, 
multiplicarmos o resultado por 2 e somarmos novamente o número ( x ), obteremos 20. 
 
 
5 
 
 A expressão algébrica para este problema é: 
2(x+4) +x=20 
Exemplo 2: suponha que queremos encontrar dois números consecutivos cuja soma é 18. 
Chamamos o primeiro número de (n) e o segundo será (n + 1). 
A expressão algébrica é: 
n+(n+1) =18 
Exemplo 3: 
Fator comum em evidência: 
 (ax + bx = x(a + b) ) 
Agrupamento: 
 (ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)) 
Trinômio Quadrado Perfeito (Adição): 
(a²+ 2ab + b²= (a + b) ²) 
 
2.5. Tipos de Álgebra 
Os principais tipos de álgebra são: 
 Álgebra elementar: é a base da álgebra ensinada na educação básica, focada na 
resolução de equações algébricas. 
 Álgebra linear: Trata de matrizes, vetores e sistemas de equações lineares, com 
aplicações em engenharia e computação. 
 Álgebra abstrata: estuda estruturas algébricas como grupos, anéis, corpos e 
espaços vetoriais. 
 Álgebra booleana: usada em computação, opera com um sistema binário 
representando valores verdadeiros ou falsos. 
 Álgebra homológica: um ramo mais recente que foca em objetos como anéis e 
módulos. 
 
 
6 
 
2.6. Diferença entre Matemática e Álgebra 
 Matemática: refere-se ao campo mais amplo que abrange uma variedade de 
disciplinas, como álgebra, geometria, cálculo, teoria dos números, entre outras. 
Envolve o estudo das propriedades e relações abstratas entre números, formas, 
estruturas e padrões. 
 Álgebra: é um dos ramos da matemática que se concentra especificamente na 
manipulação de expressões matemáticas usando símbolos e regras operacionais. 
Enquanto a matemática é um campo mais amplo, a álgebra é uma ferramenta 
fundamental dentro desse campo, utilizada para resolver equações, expressar 
relações e modelar situações do mundo real. 
 
2.7. Importância da Álgebra 
Além das razões já mencionadas, a álgebra desempenha um papel crucial em muitos 
outros aspetos da vida e do aprendizado: 
 Aplicação Prática: muitos problemas do mundo real podem ser formulados e 
resolvidos usando técnicas algébricas. Desde calcular a rota mais eficiente para 
uma viagem até projetar sistemas de comunicação sem fio, a álgebra está por trás 
de muitas soluções práticas. 
 Pensamento Abstrato: a prática com problemas algébricos ajuda a desenvolver 
habilidades de pensamento abstrato e capacidade de generalização, que são 
valiosas em muitos campos além da matemática, como ciência da computação e 
filosofia. 
 Ferramenta de Comunicação: a linguagem da álgebra fornece uma maneira 
concisa e poderosa de expressar relações e padrões matemáticos, tornando-se uma 
ferramenta essencial para comunicar ideias complexas de forma eficaz. 
 
 
 
 
7 
 
3. Matrizes 
3.1. Definição 
Matrizes são estruturas fundamentais na matemática e em diversas áreas científicas e 
tecnológicas. Elas representam conjuntos de números organizados em linhas e colunas. 
As matrizes estão estruturadas em um formato retangular ou em parenteses curvos. 
3.2. Dimensões das Matrizes 
As dimensões de uma matriz são determinadas pelo número de linhas e colunas que ela 
possui. Onde o 2 e o numero de linhas e o 3 o numero de colunas. Por exemplo: 
1. Uma matriz 2×3: 
[
1 2 3
4 5 6
] 
Nesta matriz, há 2 linhas e 3 colunas. Cada linha representa um conjunto de elementos 
que são organizados horizontalmente, e cada coluna representa um conjunto de elementos 
organizados verticalmente. Por exemplo: 
A12=2, porque o 2 esta localizado na primeira linha (1), e na segunda coluna (2). 
A23=6, isto porque o 6 esta localizado na segunda linha e na terceira coluna. 
 
3.3. Tipos de Matrizes 
Existem vários tipos de matrizes, mas vamos abordar sete (7) delas que são: 
 Matriz Quadrada 
 Matriz Retangular 
 Matriz Identidade 
 Matriz Triangular 
 Matriz Diagonal 
 Matriz Nula 
 
 
 
 
8 
 
1. Matriz Quadrada 
Possui número de linhas iguais ao número de coluna, formando uma estrutura 
semelhante à de um quadrado (todos os lados iguais). 
Exemplos: 
A═[
3 5
2 4
] B═[
3 1 3
0 4 −1
−2 3 5
] 
 
2. Matriz Retangular 
Possui um número de colunas e linhas diferentes, formando uma estrutura semelhante 
à de um retângulo. 
Exemplos: 
C═[
1 7 2
6 9 3
] D═[
1 2
3 4
5 6
] 
 
3. Matriz Identidade 
E uma matriz quadrada, com a diagonal principal contendo apenas o número um e os 
demais elementos iguais a zero. 
Exemplos: 
I2═[
1 0
0 1
] I3═[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
4. Matriz Triangular 
E uma matriz quadrada que possui que possui valores na diagonal principal diferentes 
de zero. Elas podem ser superiores ou inferiores. 
 
 
 
9 
 
Superiores 
A soma de todos os valores de cada Linha deve ser maior que os de cada Coluna. 
Exemplo: 
 
G═[
1 −1 0 5
0 3 1 19
0
0
0
0
7
0
16
100
] Linhas>Colunas 
Linhas= g1+g2+g3=5+23+23+100=151 
Colunas= g1+g2+g3=1+2+8+135=146 
 
Inferiores 
A soma de todos os valores de cada linha deve ser menor que os de cada coluna. 
Exemplo: 
 
H=[
1 0 0
1 7 7
100 76 76
] Linhasinversão de matriz. Caso não seja possível determinar o posto por esse 
método, é recomendado utilizar outros métodos, como através do cálculo de menores. 
Passo 1: forme a matriz 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Passo 2: Redução de Linhas 
Para reduzir a matriz para sua forma de escada ou forma reduzida de linha, aplique 
operações elementares de linha, como trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um 
escalar e adicionar um múltiplo de uma linha para outra linha, até que a matriz esteja na 
forma desejada. 
 
 
Passo 3: conte o número de linhas não-nulas 
O número de linhas não-nulas na matriz reduzida é o mesmo que o posto da matriz 
original. Portanto, neste caso, o posto da matriz é: 2, pois apenas a primeira linha e a 
terceira linha são não-nulas. 
Este é um exemplo simples. Para matrizes maiores e mais complexas, os passos são os 
mesmos, mas podem exigir mais cálculos e mais atenção aos detalhes. 
 
 
 
14 
 
4. Conclusão 
Ao longo deste trabalho, exploramos a fascinante história da álgebra, desde suas origens 
na antiga Babilônia até sua evolução para se tornar um dos pilares fundamentais da 
matemática moderna. Desde as contribuições dos matemáticos babilônicos na resolução 
de problemas aritméticos até as traduções e adaptações ao longo dos séculos que deram 
origem ao termo "álgebra", testemunhamos o impacto duradouro dessa disciplina em 
nossa compreensão do mundo quantitativo. 
A álgebra não é apenas uma ferramenta para resolver equações e expressar relações 
matemáticas, mas também uma linguagem poderosa para modelar situações do mundo 
real e desenvolver soluções práticas para uma ampla gama de problemas. Desde a 
resolução de equações lineares até a manipulação de matrizes complexas, a álgebra 
permeia muitos aspetos da ciência, engenharia, economia e além. 
Além disso, ao discutir as propriedades básicas da álgebra e técnicas de resolução, como 
identificação de expressões, simplificação, isolamento de variáveis e aplicação de 
propriedades específicas, pudemos entender como essa disciplina fornece um conjunto de 
ferramentas valiosas para resolver problemas quantitativos de maneira eficaz e 
sistemática. 
À medida que concluímos nossa exploração sobre a álgebra, é evidente que sua 
importância transcende o campo da matemática, influenciando muitos outros aspectos da 
vida e do aprendizado. Da aplicação prática na solução de problemas do mundo real ao 
desenvolvimento do pensamento abstrato e habilidades de comunicação, a álgebra 
desempenha um papel vital em nosso mundo cada vez mais quantitativo e interconectado. 
Portanto, ao refletir sobre a jornada da álgebra, somos lembrados de sua versatilidade, 
poder e relevância contínua em nossa busca pelo entendimento e manipulação do mundo 
ao nosso redor. Que essa exploração nos inspire a continuar explorando e utilizando os 
princípios da álgebra para resolver os desafios do presente e do futuro. 
Que a álgebra continue a nos guiar em nossa busca pelo conhecimento e pela 
compreensão mais profunda do universo quantitativo em que vivemos.