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Disciplina Geometria Analítica 
Aula 2 
Professor Nacib Mattar Jr. 
 
 
Organização da Aula 
Na aula de hoje, estudaremos os vetores na perspectiva algébrica, iniciando com o Plano Cartesiano 
Ortogonal, na sequência veremos as componentes de vetores, inclinação de um vetor, espaço 
tridimensional ℝ³ e por fim faremos operações com vetores. 
Antes de começar, acesse o material on-line e assista ao vídeo do professor Nacib Jr. sobre o conteúdo 
que será visto. 
Bons Estudos! 
 
 
Vetores Perspectiva Algébrica: Plano Cartesiano Ortogonal 
 
Plano Cartesiano Ortogonal – Plano xOy - ℝ² 
Componentes de um vetor 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
Observe a figura a seguir em que foi representado 
um vetor 𝑣 no Plano Cartesiano: 
No desenho que vimos anteriormente, foram indicadas as projeções do vetor sobre os eixos 𝑥 e 𝑦, obtidas 
por meio de retas paralelas aos eixos. Com as medidas destas projeções é possível determinar todas as 
características de 𝑣 : módulo, direção e sentido, como a seguir. 
Módulo: 
|𝑣 | = √𝑎2 + 𝑏2 
|𝑣 | = √52 + 32 
|𝑣 | = √25 + 9 
|𝑣 | = √34𝑢. 𝑐. 
Direção: 
tg 𝜃 =
𝑏
𝑎
 
tg 𝜃 =
3
5
 
𝜃 = â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒 
3
5
 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
3
5
) 
𝜃 ≅ 31° 
Sentido: Indicado pela 
orientação da seta, ou seja, do 
ponto 𝑂 = (0, 0) para o ponto 
𝐴 = (5, 3). 
 
O vetor 𝑣 representa toda a classe de vetores a ele equipolentes – vetores de mesmo módulo, direção e 
sentido –, e em geral, para representação no Plano Cartesiano e mesmo para simplificação de processos, 
para cada classe de vetores equipolentes toma-se o vetor cujo ponto inicial coincide com a origem do Plano 
Cartesiano – ponto 𝑂 = (0, 0). 
 
Sempre que se tratar de um vetor com ponto inicial na origem, as medidas das projeções sobre os eixos 
𝑥 e 𝑦 podem ser obtidas pelas coordenadas do ponto final do vetor. 
 
No exemplo vimos as medidas 5 e 3 usadas para determinação do módulo e da inclinação do vetor, elas 
são dadas pelas coordenadas do ponto 𝐴 = (5, 3). 
Observe a figura a seguir em que novamente se representou, no Plano Cartesiano, o vetor 𝑣 de ponto 
inicial em 𝑂 = (0, 0) e final em 𝐴 = (5, 3), isto é, o vetor 𝑣 = OA⃗⃗⃗⃗ ⃗: 
 
 
Nesta figura também estão indicados dois vetores chamados de versores e que possuem uma denominação 
padrão: 
Vetor 𝑖 : ponto inicial na origem e final em (1, 0) 
Vetor 𝑗 : ponto inicial na origem e final em (0, 1) 
As projeções de 𝑣 sobre os eixos 𝑥 e 𝑦 são vetores múltiplos de 
𝑖 e 𝑗 : neste exemplo, a projeção em 𝑥 é o vetor 5. 𝑖 e em 𝑦 o 
vetor 3. 𝑗 . 
Note ainda que 𝑣 = 5. 𝑖 + 3. 𝑗 , ou seja, 𝑣 é uma combinação linear 
de 𝑖 e 𝑗 : 
 
Para que não seja necessário desenhar o vetor 𝑣 
sempre que se quiser representá-lo ou ainda 
efetuar cálculos e análises, é possível identificá-lo 
por meio da combinação linear de 𝑖 e 𝑗 : 𝑣 = 5. 𝑖 +
3. 𝑗 . 
Há ainda outro modo de identificar 𝑣 , indicando-se 
somente os coeficientes desta combinação linear 
com o par ordenado: 𝑣 = (5, 3), sendo que 5, 
coeficiente de 𝑖 , é a componente 𝑥 do vetor 
(também denominada de abscissa) , e 3, 
coeficiente de 𝑗 , é a componente 𝑦 do vetor 
(também denominada de ordenada). 
Em resumo: 
 𝑣 = 5. 𝑖 + 3. 𝑗  v é combinação linear de 𝑖 
e 𝑗 
 𝑣 = (5, 3) as componentes de 𝑣 são os 
coeficientes da combinação linear 
 𝑣 = (5, 3) como 𝑣 tem ponto inicial na 
origem, as suas componentes coincidem com as 
coordenadas do seu ponto final: 𝐴 = (5, 3). 
 5 é a componente 𝑥 de 𝑣 (abscissa) 
 3 é a componente 𝑦 de 𝑣 (ordenada) 
O conjunto formado pelos dois vetores, {𝑖 , 𝑗 }, é uma base do espaço ℝ2, denominada de base canônica – 
os conceitos de combinação linear, dimensão, espaços vetoriais e bases de um espaço vetorial serão 
abordados na disciplina de Álgebra Linear, neste momento, será usada a nomenclatura adequada, porém, 
trataremos apenas dos aspectos essenciais para a compreensão dos temas aqui estudados – e isto significa 
que não apenas o vetor 𝑣 = (5, 3) pode ser escrito como combinação linear 𝑖 e 𝑗 , mas todos os vetores de 
duas componentes podem ser representados de maneira única como combinação linear 𝑖 e 𝑗 . 
Exemplo 1: 
 
Exemplo 2: 
 
Para vetores com número maior de componentes a definição das componentes é análoga, no entanto, a 
base utilizada como referência terá mais vetores. Para vetores com três componentes, a base canônica é 
{𝑖 , 𝑗 , �⃗� }, sendo 𝑖 = (1, 0, 0), 𝑗 = (0, 1, 0) e �⃗� = (0, 0, 1). Por exemplo, o vetor de componentes 𝑣 = (5, 3,−4) 
é dado pela combinação linear: 𝑣 = 5. 𝑖 + 3. 𝑗 − 4�⃗� . 
 
Caso os vetores da base canônica sejam 
dispostos em colunas, pode-se sempre 
formar a matriz identidade – assim é 
possível determinar qual é a base canônica 
em um espaço com vetores de 𝑛 
componentes: 
Em geral, os exemplos tratados nesta seção apresentaram vetores de duas componentes porque com isso 
a visualização no Plano Cartesiano pode auxiliar na compreensão dos temas, no entanto, a menos que seja 
dito o contrário, os desenvolvimentos algébricos aqui apresentados podem ser aplicados a vetores com 
qualquer número de componentes. 
Quer conhecer um pouco mais sobre os vetores no plano cartesiano? Clique no link a seguir e leia 
atentamente um artigo sobre isso! 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/vetor2d/vetor2d.htm 
 
 
Antes de prosseguir com seus estudos, não esqueça de acessar o material on-line e assistir ao vídeo com 
o professor Nacib Jr. Confira as explicações com atenção! 
Vetores Perspectiva Algébrica: Componentes de um Vetor 
Componentes de um vetor 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
Dado um vetor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ qualquer, pode-se dizer que OA⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗: 
 
 
As componentes de OA⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ podem ser obtidas diretamente das coordenadas dos pontos 𝐴 e 𝐵, já que 
estes vetores têm ponto inicial na origem, e a equação OA⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ é equivalente a AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = OB⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑂A⃗⃗⃗⃗ ⃗, com 
a qual são calculadas as componentes do vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
Observe o exemplo em que se calculam as componentes do vetor 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, sendo 𝐴 = (−2, 2) e 𝐵 = (1, 3): 
 
Cálculo das componentes do vetor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗: 
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = OB⃗⃗⃗⃗ ⃗ − OA⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, 3) − (−2, 2) 
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1 − (−2), 3 − 2) 
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (3, 1) 
 
As componentes encontradas indicam qual é o 
vetor equipolente a 𝐴𝐵 que tem ponto inicial na 
origem: 
 
O vetor OP⃗⃗⃗⃗ ⃗, com P = (3, 1), é equipolente a 𝐴𝐵: possui módulo, direção e sentido coincidentes com 𝐴𝐵. 
 
Para obter mais informações, acesse o material on-line e assista a videoaula preparada pelo professor 
Nacib Jr. especialmente para você! 
Confira! 
 
 
 
 
 
 
 
Vetores Perspectiva Algébrica: Inclinação de um Vetor 
Determinação do módulo e da direção de um vetor 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
Dado um vetor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗, com 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) e 𝐵 = (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵), tem-se: 
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴) 
|AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)𝟐 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)𝟐 
𝑅𝑒𝑙𝑎çõ𝑒𝑠 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠
{
 
 
 
 𝑠𝑒𝑛(𝜃) =
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
|AB⃗⃗⃗⃗ ⃗|
cos(𝜃) =
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
|AB⃗⃗⃗⃗ ⃗|
𝑡𝑔(𝜃) =
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
 
Observe que, na figura a seguir, aplicando-se a relação de Pitágoras no triângulo retângulo indicado, 
construído por linhas paralelas aos eixos coordenados, obtém-se (|AB⃗⃗⃗⃗ ⃗|)2 = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)
2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)
2, e 
então |AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2.Por exemplo, para o vetor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗, com 𝐴 = (−2, 2) e 
𝐵 = (1, 3), cujas componentes são AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (3, 1), 
tem-se: 
|AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)𝟐 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)𝟐 
|AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √3𝟐 + 1𝟐 
|AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √10 𝑢. 𝑐. 
Além disso, tem-se: 𝑡𝑔(𝜃) =
𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴
 
𝑡𝑔(𝜃) =
1
3
 
𝜃 = â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒 
1
3
 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
1
3
) 
𝜃 ≅ 18° 
 
 
 
Exemplo 1: Dado o vetor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ onde 𝐴 = (3, 7) e 𝐵 = (5, 11), determine AB⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
Resolução: 
O vetor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ tem origem no ponto 𝐴 e extremidade no ponto 𝐵. Portanto, 𝑥𝐴 = 3, 𝑦𝐴 = 7, 𝑥𝐵 = 5, 𝑦𝐵 = 11. 
 
 
Como queremos calcular o módulo de AB⃗⃗⃗⃗ ⃗, vamos utilizar a fórmula: |AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2. 
O primeiro passo é substituirmos 𝑥𝐴, 𝑥𝐵, 𝑦𝐴 e 𝑦𝐵 pelos respectivos valores: 
|AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(5 − 3)2 + (11 − 7)2 
Vamos subtrair os valores que estão entre parênteses: |AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √22 + 42 
Elevando 2 ao quadrado e 4 ao quadrado, temos |AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √4 + 16 
O próximo passo é somarmos 4 e 16: |AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √20 
Finalmente, vamos calcular a raiz quadrada de 20: |AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 4,47 
Podemos concluir, então, que o módulo de AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ é igual a 4,47. 
 
Exemplo 2: Determine o módulo de um vetor 𝑣 cuja origem está no ponto (2, 3) e cuja extremidade está 
no ponto (−1, 1). 
Resolução: 
Inicialmente iremos representar os pontos (2, 3) e (−1, 1) em um sistema 
de eixos coordenados, também conhecido como plano cartesiano. 
Para representarmos o ponto (2, 3), vamos considerar, a partir da origem 
do plano cartesiano, duas unidades sobre o eixo-𝑥, da esquerda para a 
direita e, a partir desse ponto, três unidades na direção do eixo- 𝑦, de 
baixo para cima. Em relação ao ponto (−1, 1), vamos considerar, a partir 
da origem, uma unidade da direita para a esquerda, pois a componente em relação a 𝑥 é negativa e, a 
partir desse ponto, uma unidade para cima, na direção do eixo- 𝑦. Agora é só representar o vetor com 
origem em (2, 3) e extremidade em (−1, 1). 
O próximo passo é determinarmos as 
componentes 𝑎 e 𝑏 do vetor. Como a origem de 𝑣 
está no ponto (2, 3) e a extremidade no ponto 
(−1, 1), basta calcularmos (−1, 1) − (2, 3). 
Vamos subtrair as respectivas componentes de 
cada ponto, ou seja, −1− 2 e 1 − 3: (−1 − 2, 1 −
3) 
o que resulta em (−3,−2) 
Logo, as componentes do vetor 𝑣 são −3 e −2. 
Para calcularmos o módulo de 𝑣 , vamos utilizar a 
fórmula 
|𝑣 | = √𝑎2 + 𝑏2 
Substituindo 𝑎 e 𝑏 por −3 e −2, temos 
|𝑣 | = √(−3)2 + (−2)2 
Elevando −3 e −2 ao quadrado: |𝑣 | = √9 + 4 
Somando 9 e 4: |𝑣 | = √13 
Calculando a raiz quadrada de 13: |𝑣 | = 3,61 
Portanto, o módulo de 𝑣 é igual a 3,61.
Exemplo 3: Dado o vetor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ onde 𝐴 = (3, 7) e 𝐵 = (5, 11), determine a sua direção. 
 
Resolução: 
Para determinarmos a direção do vetor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗, basta 
encontrarmos o valor de 𝜃. Vamos utilizar a 
fórmula 𝑡𝑔(𝜃) =
𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴
 
Sabemos que 𝑥𝐴 = 3, 𝑦𝐴 = 7, 𝑥𝐵 = 5, 𝑦𝐵 = 11. 
Substituindo esses valores na fórmula acima, 
temos 𝑡𝑔(𝜃) =
11−7
5−3
 
Calculando 11 − 7 e 5 − 3, temos 𝑡𝑔(𝜃) =
4
2
 
Dividindo 4 por 2, temos: 𝑡𝑔(𝜃) = 2 
Como queremos encontrar o valor de 𝜃, 
precisamos calcular o arco cuja tangente é igual a 
2, ou seja, vamos utilizar a função 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔: 𝜃 =
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 
Com o auxílio de uma calculadora científica, temos 
que 𝜃 = 63,43° 
Sendo assim, a direção do vetor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ é de 63,43°. 
Observe que, como conhecemos o módulo de AB⃗⃗⃗⃗ ⃗, 
podemos obter o valor de 𝜃 utilizando seno ou 
cosseno. 
Exemplo 4: Sendo 𝐴 = (2,3) e 𝐵 = (8, 5), determine as componentes de AB⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
Resolução: 
Sabemos que AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = OB⃗⃗⃗⃗ ⃗ − OA⃗⃗⃗⃗ ⃗. Logo, para encontrarmos as componentes de AB⃗⃗⃗⃗ ⃗, basta subtrairmos as 
componentes dos vetores OB⃗⃗⃗⃗ ⃗ e OA⃗⃗⃗⃗ ⃗. Os vetores OA⃗⃗⃗⃗ ⃗ e OB⃗⃗⃗⃗ ⃗ são os vetores com origem no ponto 𝑂 e 
extremidades nos pontos 𝐴 e 𝐵, respectivamente. Sendo assim, AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = OB⃗⃗⃗⃗ ⃗ − OA⃗⃗⃗⃗ ⃗ corresponde a 
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (8, 5) − (2, 3) 
Subtraindo as respectivas componentes, temos 𝐴𝐵 = (8 − 2, 5 − 3) 
o que resulta em 𝐴𝐵 = (6, 2) 
Portanto, as componentes do vetor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ são (6, 2). 
A figura abaixo apresenta os vetores OA⃗⃗⃗⃗ ⃗, OB⃗⃗⃗⃗ ⃗ e AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ e o vetor OP⃗⃗⃗⃗ ⃗ que é equipolente ao vetor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ e que tem 
ponto inicial na origem. 
 
 
Vamos aprender um pouco mais sobre Vetores Perspectiva Algébrica: Inclinação de um Vetor? Acompanhe 
a explicação do professor Nacib Jr. sobre o assunto no vídeo que está disponível no material on-line! 
Vetores Perspectiva Algébrica: Espaço Tridimensional ℝ3 
Analogamente ao que foi comentado para vetores no Plano 
Cartesiano, em ℝ3 pode-se entender os vetores como 
combinações lineares de 𝑖 = (1, 0, 0), 𝑗 = (0, 1, 0) e �⃗� = (0, 0, 1), 
vetores estes que compõem a base canônica do espaço ℝ3, 
sendo todos unitários (módulo igual a 1) e ortogonais entre si. 
Observe a figura a seguir: 
 
 
Como o vetor representado na figura possui ponto inicial na origem – ponto 0 = (0,0,0) –, seus 
componentes coincidem com as coordenadas do ponto final 𝑃 = (3,2,4), ou seja: 𝑣 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (3, 2, 4). 
 
Observe o desenho a seguir: 
Nesse desenho foram indicadas as projeções do vetor sobre os 
eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧: 3𝑖 , 2𝑗 e 4�⃗� . 
Pode-se escrever: 𝑣 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3. 𝑖 + 2. 𝑗 + 4. �⃗� . 
Em resumo: 
 𝑣 = 3. 𝑖 + 2. 𝑗 + 4. �⃗�  𝑣 é combinação linear de 𝑖 , 𝑗 e �⃗� . 
 𝑣 = 3 + 2 + 4  componentes de 𝑣 : coeficientes da combinação linear 
 𝑣 = 3, 2, 4  ponto inicial na origem: componentes coincidem com as coordenadas do ponto final: 
𝑃 = 3, 2, 4. 
 3 é a componente 𝑥 de 𝑣 (abscissa) 
 2 é a componente 𝑦 de 𝑣 (ordenada) 
 4 é a componente 𝑧 de 𝑣 (cota) 
 
Para exemplificar, caso se queira calcular o módulo do vetor 𝑣 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3𝑖 + 2𝑗 + 4�⃗� , pode-se realizar o 
procedimento a seguir, análogo ao realizado para vetores com duas componentes, incluindo agora a 
terceira componente do vetor: 
|𝑣 | = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
|𝑣 | = √32 + 22 + 42 
|𝑣 | = √9 + 4 + 16 
|𝑣 | = √29 𝑢. 𝑐. 
 
 
Para um vetor cujo ponto inicial não coincida com a origem do sistema de coordenadas, por exemplo, um 
vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, com 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) e 𝐵 = (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵), a determinação das suas componentes também segue o 
procedimento apresentado anteriormente para vetores de ℝ2: 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵) − (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴, 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴) 
E então, o módulo do vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ pode ser calculado por: 
Dado um vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, com 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) e 𝐵 = (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵), tem-se: 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴, 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴) 
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + ( 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2 + (𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)2 
Exemplo 1: determine o módulo do vetor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗, com 𝑃 = (3, 5, 1) e 𝑄 = (−1, 0, 3). 
Pode-se calcular |𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| diretamente pela expressão |𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥𝑄 − 𝑥𝑃)
2
+ ( 𝑦𝑄 − 𝑦𝑃)
2
+ (𝑧𝑄 − 𝑧𝑃)2, como a 
seguir: 
|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥𝑄 − 𝑥𝑃)
2
+ ( 𝑦𝑄 − 𝑦𝑃)
2
+ (𝑧𝑄 − 𝑧𝑃)2 
|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(−1 − 3)2 + ( 0 − 5)2 + (3 − 1)2 
|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(−4)2 + (−5)2 + 22 
|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √16 + 25 + 4 
|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √45 
|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √4.5 
|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √9. √5 
|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 3√5 𝑢. 𝑐. 
 
Ou ainda, pode-se calcular inicialmente os 
componentes de 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ para só então calcular o 
módulo do vetor:𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥𝑃 − 𝑥𝐴, 𝑦𝑄 − 𝑦𝑃, 𝑧𝑄 − 𝑧𝑃) 
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1 − 3, 0 − 5, 3 − 1) 
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−4,−5, 2) 
 
 
Com os componentes do vetor, calcule-se o 
módulo: 
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √(−4)2 + (−5)2 + 22 
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √16 + 25 + 4 
|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √45 
|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √9.5 
|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √9. √5 
|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 3√5 𝑢. 𝑐. 
Exemplo 2: Calcule o módulo do vetor 𝑣 = 2𝑖 + 7𝑗 − 5�⃗� . 
Resolução: 
A seguir temos a representação gráfica do vetor 𝑣 : 
Para calcularmos o módulo de 𝑣 , vamos utilizar a fórmula |𝑣 | = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
Vamos agora substituir as componentes 𝑥, 𝑦 e 𝑧 por 2, 7 e −5 
|𝑣 | = √22 + 72 + (−5)2 
Elevando esses termos ao quadrado, temos |𝑣 | = √4 + 49 + 25 
O próximo passo é somarmos os termos que estão sob o radical: |𝑣 | = √78 
Calculando a raiz quadrada de 78, temos: |𝑣 | = 8,83 que é o módulo de 𝑣 . 
Exemplo 3: Sejam 𝑀 = (1, 1, 3) e 𝑁 = (3, 2, 1), determine o módulo de |𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗|. 
Resolução: 
Graficamente, temos abaixo o vetor 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
Estamos trabalhando com vetores do ℝ3. Por isso 
podemos encontrar 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ utilizando a fórmula 
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + ( 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2 + (𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)2 
Como as extremidades do vetor estão sendo 
chamadas de 𝑀 e de 𝑁, podemos reescrever a 
fórmula acima como 
|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥𝑁 − 𝑥𝑀)2 + ( 𝑦𝑁 − 𝑦𝑀)2 + (𝑧𝑁 − 𝑧𝑀)2 
Substituindo respectivamente 𝑥𝑀, 𝑦𝑀 e 𝑧𝑀 por 1, 1 
e 3 e 𝑥𝑁, 𝑦𝑁 e 𝑧𝑁 por 3, 2 e 1, temos 
|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(3− 1)2 + ( 2 − 1)2 + (1 − 3)2 
Vamos agora subtrair os termos que estão entre 
parênteses |𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √22 + 12 + (−2)2 
Agora iremos elevar 2, 1 e −2 ao quadrado: 
|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √4 + 1 + 4 
Fazendo 4 + 1 + 4, temos |𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √9 
Finalmente, calculando a raiz quadrada de 9, 
temos |𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 3 
Sendo assim, o módulo de 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ é igual a 3. 
 
Confira, clicando no link abaixo, um artigo sobre o Espaço Tridimensional. 
Leia com atenção! 
 
http://www.professores.uff.br/kowada/ga/ead/ga2V1aula1.pdf 
 
 
E para encerrar esta parte da aula, acesse o material on-line e assista ao vídeo do professor Nacib Jr. para 
complementar seu conhecimento! 
 
Vetores Perspectiva Algébrica: Operação por Meio das Componentes dos Vetores 
Igualdade de vetores 
Dados 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, . . . , 𝑎𝑛) e �⃗� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, . . . , 𝑏𝑛) dois vetores quaisquer com n componentes cada um, 
tem-se 𝑎 = �⃗� se, e somente se: 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖∀𝑖 ∈ {1, 2, 3,… , 𝑛}. 
 
Produto de vetor por escalar 
Ao se multiplicar um vetor por um escalar, os componentes do vetor resultante serão dados pelos 
componentes do vetor inicial multiplicadas pelo escalar. 
Formalmente, pode-se dizer que, dado um vetor 𝑣 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, . . . , 𝑐𝑛) e um escalar 𝑘 ∈ ℝ, tem-se: 
𝑘. 𝑣 = (𝑘. 𝑐1, 𝑘. 𝑐2, 𝑘. 𝑐3, … , 𝑘. 𝑐𝑛) 
Por exemplo, para 𝑣 = (−2, 1) e 𝑘 = 2: 
 
𝑣 = (−2, 1) 
2. 𝑣 = 2. (−2, 1) 
2. 𝑣 = (2. (−2), 2.1) 
2. 𝑣 = (−4, 2)
Por exemplo, para 𝑣 = (8, 4) e 𝑘 = 3: 
 
𝑣 = (8, 4) 
3. 𝑣 = 3. (8, 4) 
3. 𝑣 = (3.8, 3.4) 
3. 𝑣 = (24, 12)
 
Nos dois exemplos, as componentes do vetor 𝑘. 𝑣 foram calculadas algebricamente, sem necessidade de 
se recorrer aos desenhos, incluídos nos exemplos apenas como recurso pedagógico. 
Observe os exemplos a seguir: 
1. Dado 𝑣 = (−2, 0, 1, 0 − 7), determine −3. 𝑣 . 
𝑣 = (−2, 0, 1, 0 − 7) 
−3. 𝑣 = −3. (−2, 0, 1, 0 − 7) 
−3. 𝑣 = (−3. (−2),−3.0,−3.1,−3. (−7)) 
−3.𝑣 = (6, 0,−3, 21) 
 
 
 
2. Dado 𝑣 = (2,
1
3
, 5, √2), encontre as componentes de 0,4. 𝑣 . 
𝑣 = (2,
1
3
, 5, √2) 
0,4. 𝑣 = 0,4. (2,
1
3
, 5, √2) 
0,4. 𝑣 =
4
10
. (2,
1
3
, 5, √2) 
0,4. 𝑣 = (
4
10
. 2,
4
10
.
1
3
,
4
10
. 5,
4
10
. √2) 
0,4. 𝑣 = (
8
10
,
4
30
,
20
10
,
4√2
10
) 
0,4. 𝑣 = (
4
5
,
2
15
, 2,
2√2
5
) 
 
3. Dado 𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, sendo 𝐴 = (1,−3, 5) e 𝐵 = (0, 2,−1), determinar as componentes de 2. 𝑣 . 
 
Cálculo das componentes de 𝑣 : 
𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝑣 = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝑣 = (0, 2,−1) − (1,−3, 5) 
𝑣 = (0, 2,−1) − (1,−3, 5) 
𝑣 = (0,−1, 2 − (−3),−1 − 5) 
𝑣 = (−1, 5,−6) 
Cálculo das componentes de 2. 𝑣 : 
𝑣 = (−1, 5,−6) 
2. 𝑣 = 2. (−1, 5,−6) 
2. 𝑣 = (2. (−1), 2.5, 2. (−6)) 
2. 𝑣 = (−2, 10,−12) 
 
 
Exemplo 1: Qual é o vetor resultante da multiplicação do escalar 3 pelo vetor 𝑣 = (4,−3, 6)? 
Resolução: 
O resultado da multiplicação de 3 pelo vetor 𝑣 = (4,−3, 6) é simples de ser obtido. Basta multiplicarmos 3 
pelas componentes de 𝑣 . 
3. 𝑣 = 3. (4,−3, 6) 
3. 𝑣 = (3.4, 3. (−3), 3.6) 
3. 𝑣 = (12,−9, 18) 
Logo, 3. 𝑣 é igual a (12,−9, 18). 
 
 
Exemplo 2: Calcule 5. �⃗⃗� onde �⃗⃗� é igual a (−1, 7, 0, 4, 2). 
Resolução: 
Vamos multiplicar cada componente de �⃗⃗� por 5 para encontrarmos o vetor 5. �⃗⃗� . 
�⃗⃗� = (−1, 7, 0, 4, 2) 
5. �⃗⃗� = 5. (−1, 7, 0, 4, 2) 
5. �⃗⃗� = (5. (−1), 5.7, 5.0, 5.4, 5.2) 
5. �⃗⃗� = (−5, 35, 0, 20, 10) 
Logo, 5. �⃗⃗� é igual a (−5, 35, 0, 20, 10). 
 
Exemplo 3: Sejam 𝑃 = (6, 10, 4) e 𝑄 = (2, 5, 2), calcule 2. 𝑣 onde 𝑣 = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Inicialmente, precisamos calcular o valor das 
componentes de 𝑣 . Como 𝑣 = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗, podemos fazer 𝑣 = 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
É fácil perceber que 𝑂𝑄 = (2, 5, 2) e que 
𝑂𝑃 = (6, 10, 4). Portanto: 𝑣 = (2, 5, 2) − (6, 10, 4) 
Vamos subtrair as respectivas componentes: 
𝑣 = (2 − 6, 5 − 10, 2 − 4) 
Logo: 𝑣 = (−4,−5,−2) 
 
Agora que temos as componentes de 𝑣 , podemos 
calcular 2. 𝑣 multiplicando cada componente de 𝑣 
por 2: 
2. 𝑣 = 2(−4,−5,−2) 
2. 𝑣 = (2. (−4), 2. (−5), 2. (−2)) 
2. 𝑣 = (−8,−10,−4) 
 
Enfim, o valor de 2. 𝑣 é (−8,−10,−4). 
 
Adição e subtração de vetores 
Dados dois vetores 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, . . . , 𝑎𝑛) e �⃗� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, . . . , 𝑏𝑛), ambos com n componentes, o vetor 
𝑎 ± �⃗� é dado por: 
𝑎 ± �⃗� = (𝑎1 ± 𝑏1, 𝑎2 ± 𝑏2, 𝑎3 ± 𝑏3, . . . , 𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛) 
Observe o exemplo a seguir, para vetores com duas componentes: 
Dados 𝑣 1 = (2, 4) e 𝑣 2 = (3, 2), calcular 𝑣 1 + 𝑣 2. 
𝑣 1 + 𝑣 2 = (2, 4) + (3, 2) 
𝑣 1 + 𝑣 2 = (2 + 3, 4 + 2) 
𝑣 1 + 𝑣 2 = (5, 6) 
Representação geométrica de 𝑣 1 + 𝑣 2: 
 
Mais exemplos: 
1. Dados 𝑣 = (1, 4, 3) e �⃗⃗� = (5, 2, 0), calcular: 𝑣 + �⃗⃗� e �⃗⃗� − 𝑣 . 
𝑣 + �⃗⃗� = (1, 4, 3) + (5, 2, 0) 
𝑣 + �⃗⃗� = (1 + 5, 4 + 2, 3 + 0) 
𝑣 + �⃗⃗� = (6, 6, 3) 
�⃗⃗� − 𝑣 = (5, 2, 0) − (1, 4, 3) 
�⃗⃗� − 𝑣 = (5 − 1, 2 − 4, 0 − 3) 
�⃗⃗� − 𝑣 = (4,−2,−3) 
 
 
2. Dados 𝑣 = (7,−2, 1, 1) e �⃗⃗� = (−1, 1, 2, 3), calcular: 2. 𝑣 + 10. �⃗⃗� e 3. (𝑣 − �⃗⃗� ). 
 
𝑣 = (7,−2, 1, 1) e �⃗⃗� = (−1, 1, 2, 3) 
2. 𝑣 + 10. �⃗⃗� = 2. (7, −2, 1, 1) + 10. (−1, 1, 2, 3) 
2. 𝑣 + 10. �⃗⃗� = (2.7, 2. (−2), 2.1, 2.1) + (10. (−1), 10.1, 10.2, 10.3) 
2. 𝑣 + 10. �⃗⃗� = (14,−4, 2, 2) + (−10, 10, 20, 30) 
2. 𝑣 + 10. �⃗⃗� = (14 + (−10), −4 + 10, 2 + 20, 2 + 30) + (−10, 10, 20, 30) 
2. 𝑣 + 10. �⃗⃗� = (4, 6, 22, 32) 
3. (𝑣 − �⃗⃗� ) = 3. ((7,−2, 1, 1) − (−1, 1, 2, 3)) 
3. (𝑣 − �⃗⃗� ) = 3. ((7 − (−1),−2 − 1, 1 − 2, 1 − 3)) 
3. (𝑣 − �⃗⃗� ) = 3. (8,−3,−1,−2) 
3. (𝑣 − �⃗⃗� ) = (3.8, 3(−3), 3. (−1), 3. (−2)) 
3. (𝑣 − �⃗⃗� ) = (24,−9,−3,−6) 
 
Exemplo 1: Considere os vetores �⃗� = (2, 3) e 𝑣 = (−5, 7). 
Determine: 
a) �⃗� + 𝑣 
b) 5�⃗� + 2𝑣 
c) −�⃗� + 𝑣 
d) �⃗� −𝑣 
e) −2�⃗� + 3𝑣 
 
 
 
 
Resolução: 
a) Para calcularmos o valor de �⃗� + 𝑣 , vamos somar as respectivas componentes de (2, 3) e (−5, 7), ou 
seja, vamos somar 2 + (−5) e 3 + 7 
(2, 3) + (−5, 7) 
(2 + (−5), 3 + 7) 
(2 − 5, 3 + 7) 
(−3, 10) 
Portanto, �⃗� + 𝑣 = (−3, 10). 
 
 
b) Inicialmente, precisamos obter os valores de 5�⃗� 
e de 2𝑣 
5�⃗� = 5. (2, 3) 
5�⃗� = (10, 15) 
e 
2𝑣 = 2. (−5, 7) 
2𝑣 = (−10,14) 
A soma 5�⃗� + 2𝑣 corresponde à soma de (10, 15) e 
(−10, 14) 
(10, 15) + (−10, 14) 
(10 + (−10), 15 + 14) 
(10 − 10, 15 + 14) 
(0, 29) 
 
Logo, 5�⃗� + 2𝑣 = (0, 29). 
 
 
c) A soma −�⃗� + 𝑣 é dada por 
−(2, 3) + (−5, 7) 
(−2,−3) + (−5, 7) 
(−2 + (−5),−3 + 7) 
(−2 − 5,−3 + 7) 
(−7, 4) 
 
Podemos concluir que −�⃗� + 𝑣 = (−7, 4). 
 
d) Vamos agora calcular a diferença entre �⃗� e 𝑣 , 
representada por �⃗� − 𝑣 . Podemos fazer �⃗� + (−𝑣 ). 
(2, 3) + (−(−5, 7)) 
(2, 3) + (−(−5),−7) 
(2, 3) + (5,−7) 
(2 + 5, 3 + (−7)) 
(2 + 5, 3 − 7) 
(7,−4) 
Logo, �⃗� − 𝑣 = (7,−4). 
e) Para calcularmos o valor de −2�⃗� + 3𝑣 , vamos calcular −2�⃗� e 3𝑣 e, em seguida, somar as respectivas 
componentes: 
−2. (2, 3) + 3. (−5, 7) 
(−2.2,−2.3) + (3. (−5), 3.7) 
(−4,−6) + (−15, 21) 
(−4 + (−15),−6 + 21) 
(−4 − 15,−6 + 21) 
(−19, 15) 
 
Donde −2�⃗� + 3𝑣 = (−19, 15). 
Exemplo 2: Considere os vetores �⃗� = (3, 5, 1, 4) e 𝑣 = (4, 0, 2, 6). Calcule 4�⃗� + 3𝑣 . 
Resolução: 
O valor de 4�⃗� + 3𝑣 pode ser facilmente calculado. Primeiro vamos substituir �⃗� e 𝑣 por (3, 5, 1, 4) e 
(4, 0, 2, 6), respectivamente. 4�⃗� + 3𝑣 = 4. (3, 5, 1, 4) + 3. (4, 0, 2, 6) 
O próximo passo é multiplicarmos cada componente de �⃗� = (3, 5, 1, 4) por 4 e cada componente de 𝑣 =
(4, 0, 2, 6) por 3. 4�⃗� + 3𝑣 = (4.3, 4.5, 4.1, 4.4) + (3.4, 3.0, 3.2, 3.6) 
Que resulta em: 4�⃗� + 3𝑣 = (12, 20, 4, 16) + (12, 0, 6, 18). 
Vamos agora somar as respectivas componentes de cada vetor: 4�⃗� + 3𝑣 = (12 + 12, 20 + 0, 4 + 6, 16 + 18) 
Logo, 4�⃗� + 3𝑣 = (24, 20, 10, 34). 
Portanto a soma 4�⃗� + 3𝑣 é igual a (24, 20, 10, 34). 
Produto Escalar 
 
Operação de ampla utilização na física, no cálculo de ângulos e em problemas geométricos de modo geral, 
retorna como resultado um número real (escalar) e pode ser definida como a seguir: 
 
Dados dois vetores 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, . . . , 𝑎𝑛) e �⃗� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, . . . , 𝑏𝑛), ambos com n componentes, o produto 
escalar entre eles, denotado por 𝑎 . �⃗� , é dado por: 
 
𝑎 . �⃗� = (𝑎1. 𝑏1, 𝑎2. 𝑏2, 𝑎3. 𝑏3, . . . , 𝑎𝑛. 𝑏𝑛) 
 
Exemplos: 
 
1. Dados 𝑣 = (5, 0) e �⃗⃗� = (−2, 0), calcular: 𝑣 . �⃗⃗� . 
𝑣 . �⃗⃗� = 5. (−2) + 0.0 
𝑣 . �⃗⃗� = −10 
 
2. Dados 𝑣 = (3, 0) e �⃗⃗� = (0,−4), calcular: 𝑣 . �⃗⃗� . 
𝑣 . �⃗⃗� = 3.0 + 0. (−4) 
𝑣 . �⃗⃗� = 0 
3. Dados 𝑣 = (3, 1) e �⃗⃗� = (−4, 5), calcular: 𝑣 . �⃗⃗� . 
𝑣 . �⃗⃗� = 3. (−4) + 1.5 
𝑣 . �⃗⃗� = −12 + 5 
𝑣 . �⃗⃗� = −7 
 
4. Dados 𝑣 = (−1, 2,−3, 4) e �⃗⃗� = (5, 7,−6, 4), calcular: 𝑣 . �⃗⃗� . 
𝑣 . �⃗⃗� = −1.5 + 2.7 + (−3). (−6) + 4.4 
𝑣 . �⃗⃗� = −5 + 14 + 18 + 16 
𝑣 . �⃗⃗� = 43 
 
Propriedades do produto escalar: 
Dados três vetores quaisquer, 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ e 𝑣3⃗⃗⃗⃗ , cada um com 𝑛 componentes, e um escalar real 𝑘, são válidas 
as propriedades: 
I. 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = 𝑣2⃗⃗⃗⃗ . 𝑣1⃗⃗⃗⃗ 
II. 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . (𝑣2⃗⃗⃗⃗ + 𝑣3⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . 𝑣2⃗⃗⃗⃗ + 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . 𝑣3⃗⃗⃗⃗ 
III. (𝑘. 𝑣1⃗⃗⃗⃗ ). 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. (𝑣1⃗⃗⃗⃗ . 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ) 
IV. 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . 𝑣1⃗⃗⃗⃗ > 0⃗ , 𝑠𝑒 𝑣1⃗⃗⃗⃗ ≠ 0⃗ 𝑒 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ , 𝑠𝑒, 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ 
O produto escalar entre dois vetores 𝑎 e �⃗� , cada um com 𝑛 componentes, também pode ser formulado 
por: 𝑎 . �⃗� = |𝑎 |. |�⃗� |. cos (∝) 
sendo ∝ o ângulo entre os vetores 𝑎 e �⃗� . 
Exemplos: 
1. Dados 𝑣 = (5, 0) e �⃗⃗� = (−2,0), calcular 𝑣 . �⃗⃗� . 
Como o ângulo entre 𝑣 e �⃗⃗� é de 180°, tem-se: 
 
𝑣 . �⃗⃗� = |𝑣 |. |�⃗⃗� |. cos (∝) 
𝑣 . �⃗⃗� = |√52 + 02| . |√(−2)2 + 02| . cos (∝) 
𝑣 . �⃗⃗� = 5.2. (−1) 
𝑣 . �⃗⃗� = −10 
 
2. Dados 𝑣 = (3, 0) e �⃗⃗� = (0,−4), calcular 𝑣 . �⃗⃗� . 
Neste, 𝑣 e �⃗⃗� formam entre si dois ângulos de diferentes medidas, um de 90º e o outro de 270º – considere 
sempre o de menor medida. Assim: 
𝑣 . �⃗⃗� = |𝑣 |. |�⃗⃗� |. cos(∝) 
𝑣 . �⃗⃗� = |√32 + 02| . |√02 + (−4)2| . cos (90°) 
𝑣 . �⃗⃗� = 3.4.0 
𝑣 . �⃗⃗� = 0 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Sejam os vetores �⃗� = 2. 𝑖 + 7. 𝑗 + 4. �⃗� e 𝑣 = 5. 𝑖 + 6. 𝑗 + 3. �⃗� . Determine �⃗� . 𝑣 . 
 
Resolução: 
O produto escalar �⃗� . 𝑣 é obtido a partir da soma dos produtos das componentes dos vetores �⃗� e 𝑣 , ou seja, 
�⃗� . 𝑣 = 2.5 + 7.6 + 4.3. 
Fazendo as devidas multiplicações, temos �⃗� . 𝑣 = 10 + 42 + 12 
que resulta em �⃗� . 𝑣 = 64 
 
 
 
Exemplo 2: Determine o produto escalar �⃗� . 𝑣 onde �⃗� = (2, 1, 5, 3, 7) e 𝑣 = (5, 2, 8, 3, 1). 
Resolução: 
O produto escalar �⃗� . 𝑣 pode ser calculado como segue: �⃗� . 𝑣 = (𝑢1. 𝑣1, 𝑢2. 𝑣2, 𝑢3. 𝑣3, . . . , 𝑢𝑛 . 𝑣𝑛) 
Em particular, o produto �⃗� . 𝑣 com �⃗� = (2, 1, 5, 3, 7) e 𝑣 = (5, 2, 8, 3, 1) é igual a 
�⃗� . 𝑣 = 2.5 + 1.2 + 5.8 + 3.3 + 7.1 
 
Efetuando as multiplicações, temos: �⃗� . 𝑣 = 10 + 2 + 40 + 9 + 7 
Somando os termos, temos: �⃗� . 𝑣 = 68 
Logo, o produto escalar �⃗� . 𝑣 é igual a 68. 
 
 
Exemplo 3: Calcule o produto escalar entre os vetores �⃗� = (5, 0) e 𝑣 = (0, 6) utilizando a expressão 
𝑣 . �⃗⃗� = |𝑣 |. |�⃗⃗� |. cos(∝). 
Resolução: 
A figura abaixo ilustra os vetores �⃗� e 𝑣 : 
 
 
 
 
 
Como o ângulo entre esses vetores é igual a 90°, pois cada um desses vetores está sobre cada um dos 
eixos coordenados, temos 𝑣 . �⃗⃗� = |√52 + 02|. |√02 + 62|. cos (90°) 
Vamos calcular as potências e o valor de cos 90°: 𝑣 . �⃗⃗� = √25 + 0. √0 + 36. 0 
Efetuando as somas, temos 𝑣 . �⃗⃗� = √25. √36. 0 
Calculando as raízes, temos 𝑣 . �⃗⃗� = 5.6.0 
 
Finalmente vamos efetuar as devidas multiplicações 𝑣 . �⃗⃗� = 0 
Ou seja, o produto escalar 𝑣 . �⃗⃗� é igual a 0. 
Observação: O produto escalar entre dois vetores ortogonais é sempre igual a 0. 
 
 
Produto Vetorial 
Esta é também uma operação de ampla utilização na física e no cálculo, e retorna como resultado um 
vetor. Pode ser definida como a seguir: 
Dados dois vetores 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) e �⃗� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), ambos com 3 componentes, o produto escalar 
entre eles, denotado por 𝑎 . �⃗� , é dado por: 
𝑎 × �⃗� = 𝑑𝑒𝑡 (
𝑖 𝑗 𝑘
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
) = (𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2)𝑖 + (𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3)𝑗 + (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)𝑘 
 
 
Aplicações dos produtos vetorial e escalar serão estudadas nas próximas aulas! 
Exemplo: Dados 𝑎 = (1, 0, 2) e �⃗� = (−4, 3, 5), calcular: 𝑎 × �⃗� . 
𝑎 × �⃗� = 𝑑𝑒𝑡 (
𝑖 𝑗 𝑘
1 0 2
−4 3 5
) 
𝑎 × �⃗� = (0.5 − 2.3)𝑖 + (2. (−4) − 1.5)𝑗 + (1.3 − 0. (−4))𝑘 
𝑎 × �⃗� = −6𝑖 − 13𝑗 + 3𝑘 
𝑎 × �⃗� = (−6,−13, 3) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Dados os vetores 𝑎 = (4, 1, 2) e �⃗� = (3, 4,−1), calcule o produto vetorial 𝑎 . �⃗� . 
Resolução: 
Sabemos que 
𝑎 × �⃗� = (
𝑖 𝑗 𝑘
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
) 
Por isso vamos substituir os valores de 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 por 4, 1 e 2 e os valores de 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 por 3, 4 e −1, o que 
resulta em 
𝑎 × �⃗� = 𝑑𝑒𝑡 (
𝑖 𝑗 𝑘
4 1 2
3 4 −1
) 
 
ou, equivalentemente, 
𝑎 × �⃗� = (1. (−1) − 2.4)𝑖 + (2.3 − 4(−1))𝑗 + (4.4 − −1.3)𝑘 
Efetuando as multiplicações indicadas, temos 
𝑎 × �⃗� = (−1 − 8)𝑖 + (6 − (−4))𝑗 + (16 − 3)𝑘 
Vamos, agora, efetuar as somas e subtrações. Logo,teremos 
𝑎 × �⃗� = −9𝑖 + 10𝑗 + 13𝑘 
Sendo assim, o produto vetorial 𝑎 × �⃗� é igual a −9𝑖 + 10𝑗 + 13𝑘. Podemos também escrever esse 
produto como 𝑎 × �⃗� = (−9, 10, 13). 
 
 
 
Exemplo 2: Dados os vetores 𝑎 = (4, 1, 2) e �⃗� = (3, 4,−1), calcule o produto vetorial �⃗� × 𝑎 . 
Resolução: 
Substituindo os valores de 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 por 4, 1 e 2 e os valores de 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 por 3, 4 e −1 na expressão 
𝑎 × �⃗� = (
𝑖 𝑗 𝑘
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
) = (𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2)𝑖 + (𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3)𝑗 + (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)𝑘 
temos 
�⃗� × 𝑎 = (
𝑖 𝑗 𝑘
3 4 −1
4 1 2
) 
donde 
�⃗� × 𝑎 = (4.2 − (−1). 1)𝑖 + ((−1). 4 − 3.2)𝑗 + (3.1 − 4.4)𝑘 
O próximo passo é calcular as multiplicações necessárias 
�⃗� × 𝑎 = (8 − (−1))𝑖 + (−4 − 6)𝑗 + (3 − 16)𝑘 
Somando e subtraindo os termos necessários, temos 
�⃗� × 𝑎 = 9𝑖 − 10𝑗 − 13𝑘 
Logo, o produto vetorial �⃗� × 𝑎 é igual a 9𝑖 − 10𝑗 − 13𝑘. Podemos também escrever esse produto como 
�⃗� × 𝑎 = (9,−10,−13). 
 
Observação: Note que o vetor �⃗� × 𝑎 tem o mesmo módulo e direção, mas sentido contrário ao vetor 𝑎 . �⃗� . 
 
 
 
 
Sugestões de Estudo 
Para conhecer um pouco mais sobre Produto Escalar e Vetorial, e Operações com Vetores na Perspectiva 
Analítica, clique nos links do Youtube a seguir e confira atentamente! 
https://www.youtube.com/watch?v=gtR5eUxemUo 
https://www.youtube.com/watch?v=pVZucIu-icY 
https://www.youtube.com/watch?v=1q3RAr4wsjU 
Se você quiser ler um mais sobre as Operações com Vetores, clique no link e aprecie! 
http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap91s4.html 
 
Muito bem! Chegamos ao final de mais uma aula de Geometria Analítica. 
Para fixar melhor os conteúdos vistos, acesse o material on-line e veja o vídeo preparado pelo professor 
Nacib Jr. e aprimore seus conhecimentos!