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Revisão de Álgebra Matricial Profa. Patricia Maria Bortolon Fonte: BOLDRINI, C. e WETZLER, F.; Álgebra Linear. 3ª. ed. São Paulo. Editora Harbra, 1986 Álgebra Matricial • Da Matemática do 1º. Grau: 2 1 :(2) Em 1 33 143 42)1( :(1) Em 1 :(2) De )2(1 )1(42 y xy x x x xx xy xy xy y = -2x + 4 y = x + 1 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Eq1 Eq2 Linear (Eq1) Linear (Eq2) Álgebra Matricial Indivíduo Altura (m) Peso (kg) Idade (anos) 1 1,70 70 23 2 1,75 60 45 3 1,60 52 25 4 1,81 72 30 • Após estudar 300 artigos teóricos e empíricos lanço a seguinte hipótese sobre a relação entre essas variáveis: Peso = β0 + β1Altura + β2Idade Álgebra Matricial • Posso escrever as seguintes equações com os dados das pessoas que tenho: • As incógnitas são β0, β1,β2 • E se tivéssemos estudando o que afeta a rentabilidade sobre o PL das empresas? 723081,1 522560,1 604575,1 702370,1 210 210 210 210 Álgebra Matricial Empresa ROE Ativo (milhões R$) D/E Vale 26,8 214.662 27,0 Petro 11,5 519.970 20,1 BRFoods 5,9 27.751 29,6 Gol 7,3 9.064 60,2 • Suponha que após ler 300 artigos teóricos e empíricos você possa lançar a seguinte hipótese: ROE = β0 + β1Ativo + Β2D/E • Você escolhe 4 empresas para compor a amostra: Vale, Petro, BRFoods e Gol e utiliza os dados de 2010: Álgebra Matricial • Posso escrever as seguintes equações com os dados que tenho: 3,72,60064.9 9,56,29751.27 5,111,20970.519 8,2627662.214 210 210 210 210 Álgebra Matricial • Podemos representar esses dados dispondo-os em linhas e colunas. A isso chamamos matriz: • Pode ser representada entre ( ); [ ]; ║ ║ 3,72,60064.91 9,56,29751.271 5,111,20970.5191 8,260,27662.2141 Álgebra Matricial • Exemplos: Amxn = m indica o no. de linhas e n o no. de colunas aij = é o elemento localizado na i-ésima linha e j-ésima coluna Na matriz A => a11=2 a23=3 Na matriz B => b23=4 b13=11 11 4 7 9 0 5 8 1 1 3 5 1 3 6 2 2X32X3 BA Álgebra Matricial • Escalar: no. real = matriz 1 x 1 = [k] • Tipos Especiais de Matrizes: – Matriz Quadrada: quando m = n – Matriz Nula: quando aij = 0 i e j 654 103 021 00 00 Álgebra Matricial • Tipos Especiais de Matrizes: – Matriz Coluna: vetor coluna = Amx1 – Matriz Linha: Vetor linha = A1xn y x 3 4 1 00103 Álgebra Matricial • Tipos Especiais de Matrizes: – Matriz Diagonal: aij = 0 i ≠ j em uma matriz quadrada nxn – Matriz Identidade ou Unidade: quando em uma matriz quadrada aii = 1 e aij = 0 i ≠ j 600 020 001 100 010 001 Álgebra Matricial • Tipos Especiais de Matrizes: – Matriz Triangular Superior: aij = 0 p/ i > j em uma matriz quadrada – Matriz Triangular Inferior: aij = 0 p/ i < j em uma matriz quadrada 600 420 531 631 048 001 Álgebra Matricial • Tipos Especiais de Matrizes: – Matriz Simétrica: quando m = n e aij = aji 645 423 531 Operações com Matrizes • Adição – As matrizes precisam ser de mesma ordem – Amxn = [aij] e Bmxn = [bij] – C = A + B = [aij + bij]mxn – Propriedades da soma: 1. Comutatividade: A + B = B + A 2. Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C 3. A + 0 = A, onde 0 é a matriz nula m x n 14 8 9 3 7 3 4 3 5 3 1 1 0 0 2 1 e 9 5 8 4 7 3 6 2 C BA Operações com Matrizes • Subtração – Segue o mesmo princípio da soma • Multiplicação por escalar: – Seja k um escalar e A = [aij]mxn – k . A = [k . aij]mxn – Exemplo: – Propriedades: 1. k (A + B) = k A + k B 2. (k1 + k2) A = k1A + k2A 3. 0.A = 0 4. k1(k2A) = (k1k2)A 62 204 31 102 e2 A A k k Operações com Matrizes • Transposição – Uma matriz transposta é obtida trocando-se as linhas e colunas da matriz original. Uma matriz Amxn ficará Anxm. Denota-se A’ – Exemplo: 21' 2 1 23 31 ' 23 31 431 102 ' 41 30 12 32 23 CC BB AA x x Operações com Matrizes • Transposição – Propriedades: 1. Uma matriz é simétrica se, e somente se, A’ = A 2. A’’ = A 3. (A + B)’ = A’ + B’ 4. (kA)’ = kA’ 5. (AB)’ = B’A’ Exemplo de Aplicação • Suponha que você está tentando prever o retorno de uma carteira. Analistas fizeram as previsões de retorno de 3 ações para 3 estados da economia. • Se você estiver planejando investir 30% em Vale, 30% em Petro e 40% em Gol, que retornos terá em cada estado? Estado da Natureza Vale Petro Gol BOOM 5% 4% 6% ESTÁVEL 3% 3% 2% RECESSÃO 2% 1% 0% Exemplo de Aplicação • Retornos esperados: – BOOM: 30% x 5% + 30% x 4% + 40% x 6% = 5,1% – ESTÁVEL: 30% x 3% + 30% x 3% + 40% x 2% = 2,6% – RECESSÃO: 30% x 2% + 30% x 1% + 40% x 0% = 0,9% • O que fizemos foi uma multiplicação de matrizes: 131333 %9,0 %6,2 %1,5 %40 %30 %30 %0%1%2 %2%3%3 %6%4%5 xxx Multiplicação de Matrizes Amxn x Bnxp = Cmxp • Cada elemento cij é o somatório dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pela j-ésima coluna de B • O no. de colunas de A e o no. de linhas de B precisam ser iguais 2323 22 23 75 44 22 4.3)1(50.31.5 4.2)1(40.21.4 4.1)1(20.11.2 40 11 35 24 12 xx x x Multiplicação de Matrizes • Propriedades: 1. Em geral AB ≠ BA Note, ainda, que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0 2. AI = IA = A (o que justifica o nome da matriz identidade) 3. A(B+C) = AB + AC (distributividade à esquerda) 1611 21222 1611 e 000 000 000 Então 321 642 321 e 012 123 111 Sejam BAAB BA Multiplicação de Matrizes • Propriedades: 4. (A+B)C = AC + BC (distributividade à direita) 5. (AB)C = A(BC) (associatividade) 6. (AB)’ = B’A’ (observe a ordem) 7. 0.A = 0 e A.0 = 0 Representando algumas operações matemáticas na forma matricial • Somatório: n i inn n i in n nx n nx n n i i xxxxxxx xxxx x x x x x x xxxx 1 2121 1 21 2 1 1 2 1 1 21 1 1 1 1 'Ou 111' Então 1 1 1 , 1x x1 1x Representando algumas operações matemáticas na forma matricial • Somatório de quadrados: n i in n n n n i i xxxx x x x xxx xxxx 1 222 2 2 1 2 1 21 22 2 2 1 1 2 ' Então xx Representando algumas operações matemáticas na forma matricial • Somatório de produtos cruzados: xy yx ' ' Então 1 2211 2 1 21 2211 1 n i iinn n n nni n i i yxyxyxyx y y y xxx yxyxyxyx Sistemas de Equações Lineares • A cada sistema de equações que precisa ser resolvido podemos associar uma matriz )''2(3/1).'2( 4570 2230 1341 )'3( )'2( )'1( 4570 2230 134 )( )'3()3(1).1( )'2()2(2).1( 5231 4452 1341 )3( )2( )1( 523 4452 134 )( 321 321 321 321 321 321 xxx xxx xxx II xxx xxx xxx I Sistemas de Equações Lineares • A cada sistema de equações que precisa ser resolvido podemos associar uma matriz )3(3).'''3( 3/23/100 3/23/210 3/113/101 )'''3( )'''2( )'''1( 3/23/100 3/23/20 3/113/10 )( )'''3()''3(7).''2( )'''1()''1(4).''2( 4570 3/23/210 1341 )''3( )''2( )''1( 4570 3/23/20 134 )( 321 321 321 321 321 321 iv xxx xxx xxx IV xxx xxx xxx III Sistemas de Equações Lineares • A cada sistema de equações que precisa ser resolvido podemos associar uma matriz 2100 2010 3001 )3( )2( )1( 2100 200 300 )( )2()2(3/2).3( )1()1(3/1).3( 2100 3/23/210 3/113/101 )3( )2( )1( 2100 3/23/20 3/113/10 )( 321 321 321 321 321 321 v v v viviv viviv iv iv iv xxx xxx xxx VI xxx xxx xxx V Sistemas de Equações Lineares • Ou ainda: • Observações: – As operações realizadas preservam as igualdades – (x1, x2, x3) é solução do sistema I e também do II, III, IV, V e VI – Operações possíveis: • Multiplicar uma equação por no. ≠ 0 • Adicionar uma equação a outra • Permutar duas equações 2 2 3 3 2 1 x x x Sistemas de Equações Lineares • Conceitos: – Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é: – Com aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n – Uma solução é uma n-upla de números (x1, x2, ..., xn) que satisfaça simultaneamente estas m equações mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 Sistemas de Equações Lineares • Conceitos: – O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial: A x X = B mnmnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa 2 1 2 1 21 22221 11211 Sistemas de Equações Lineares • Conceitos: – Matriz Ampliada: – A matriz ampliada do sistema VI é: mmnmm n n baaa baaa baaa 21 222221 111211 2100 2010 3001 2100 200 300 321 321 321 xxx xxx xxx Sistemas de Equações Lineares • Sistemas de equações lineares equivalentes: se toda solução de um sistema é também solução de outro • Para resolver o sistema inicial reduzimos a matriz ampliada a uma matriz-linha reduzida à forma escada. • Definição: a) 1º. elemento não nulo de uma linha não nula é 1 b) Cada coluna que contém o 1º. Elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas d) Se as linhas 1, ..., r são linhas não nulas, e se o 1º. elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki, então, k1 < k2 < ... < kr Sistemas de Equações Lineares • Posto: é o no. de linhas não nulas da matriz-linha reduzida à forma escada linha equivalente • Nulidade: é o no. n – p onde n é o no. de colunas. • Exemplos: sredundante equações 2 há 1 Nulidade 2 Posto 000 000 9/110 9/1401 8164 151 241 312 1 Nulidade 3 Posto 8/11100 4/1010 8/7001 1121 5301 0121 B A Sistemas de Equações Lineares • Também dizemos que as duas primeiras equações são “independentes” e as demais “dependentes” • Uma linha é dependente de outra se ela puder ser escrita como soma de produtos destas outras linhas por constantes • O mesmo que dizer que esta linha é uma combinação linear das outras • POSTO = no. de equações independentes sredundante equações 2 há 1 Nulidade 2 Posto 000 000 9/110 9/1401 8164 151 241 312 1 Nulidade 3 Posto 8/11100 4/1010 8/7001 1121 5301 0121 B A Sistemas de Equações Lineares Soluções de um sistema de equações lineares a x = b 1. a ≠ 0 => solução única => x = b/a 2. a = 0 e b = 0 => 0 x = 0 => qualquer no. real é solução 3. a = 0 e b ≠ 0 => 0 x = b => não existe solução Sistemas de Equações Lineares Soluções de um sistema de equações lineares Exemplo 1: 1 3 110 301 631 512 63 52 2 1 21 21 x x xx xx -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Posto do sistema reduzido = 2 Posto da matriz ampliada = 2 Sistemas de Equações Lineares Soluções de um sistema de equações lineares Exemplo 2: 000 2/52/1 000 2/52/111536 512 1536 52 21 21 21 21 xx xx xx xx -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -4 -2 0 2 4 6 Admite infinitas soluções. Conjunto de soluções definidos por pares x1 e x2 que satisfaçam x1 = 5/2 – ½ x2 O posto tanto da matriz de coeficientes quanto da matriz ampliada é 1. Grau de liberdade do sistema: é a nulidade da matriz de coeficientes. Neste caso 2 – 1 = 1 <= o sistema tem uma variável livre Sistemas de Equações Lineares Soluções de um sistema de equações lineares Exemplo 3: 100 02/1 100 02/11 1036 512 1036 52 21 21 21 21 xx xx xx xx Não tem solução = incompatível = impossível O posto da matriz de coeficientes é 1 e o da matriz ampliada é 2. -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Sistemas de Equações Lineares Soluções de um sistema de equações lineares • Então, um sistema pode admitir: 1. Uma única solução = possível = compatível = determinado 2. Infinitas soluções = possível = indeterminado 3. Nenhuma solução = impossível = incompatível Sistemas de Equações Lineares Soluções de um sistema de equações lineares • Teorema: 1. Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz de coeficientes 2. Se além disso p = n, a solução será única 3. Se, entretanto, p < n , podemos escolher n – p incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas n – p = graus de liberdade Determinante e Matriz Inversa • a x = b => solução é x = b / a • Matriz 2 x 2 • Matriz 3 x 3 AA 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 322311122133312213231231322113332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa aaa aaa aaa A A Determinante e Matriz Inversa • Cada termo tem apenas um elemento de cada linha e coluna • Uma matriz N x N terá N! elementos no seu cálculo, assim, uma matriz 5 x 5 terá 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 termos em sua expansão • Se a matriz é 2 x 2 cada termo tem 2 elementos da matriz, se é 3 x 3 terá 3 elementos em cada termo, se é 5 x 5, 5 elementos • Para a regra para o sinal de cada termo ver pag. 66 e 67 do Boldrini Determinante e Matriz Inversa • Propriedades: 1. Se todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos então det A = 0 2. Uma matriz com determinante igual a zero é chamada matriz singular, se ≠ 0 é uma matriz não singular 3. det A = det A’ 4. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante o det fica multiplicado por esta constante 5. Trocadas as posições de duas linhas o determinante troca de sinal 6. Se duas linhas da matriz são dependentes o determinante é nulo 7. det (A.B) = det A . det B Determinante e Matriz Inversa • Menor: o menor do elemento aij é o determinante da submatriz resultante da retirada da linha i e da coluna j • Co-fator = é um menor sinalizado 32233322 3332 2322 1111 333231 232221 131211 é demenor o aaaa aa aa Ma aaa aaa aaa A ij ji ij Mc )1( Determinante e Matriz Inversa • Matriz de Co-fatores: é a matriz onde cada elemento aij é substituído por seu co-fator, denotada por cof(A) ou • Matriz Adjunta: é a transposta de uma matriz de co- fatores • Teorema: A ')'( AcofAadjA nIdetAadjAAAA )().('. Determinante e Matriz Inversa • Matriz Inversa: dada uma matriz quadrada A de ordem n, a inversa de A é uma matriz B tal que A . B = B . A = In Onde In é a matriz identidade de ordem n. Escrevemos A-1 para a inversa de A. Observações: 1. Se A e B são quadradas de mesma ordem, ambas inversíveis, então A . B é inversível e (AB)-1 = B-1 . A-1 De fato: AB(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AIA-1 = AA-1 = I (B-1A-1)(AB) = I Determinante e Matriz Inversa • Matriz Inversa: • Observações: 2. Nem toda matriz tem inversa 3. Se A tem inversa, podemos escrever: AA-1 = In det(A.A-1) = det (In) det A . det A-1 = 1 Se A tem inversa: i. det A ≠ 0 ii. det A-1 = Adet 1 Determinante e Matriz Inversa • Matriz Inversa: • Observações: 4. (A-1)’ = (A’)-1, isto é, a transposta da inversa de A é a inversa da transposta Teorema: Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e somente se det A ≠ 0 Neste caso: )( 1 adjA detA A 1 Exemplo: pag. 744 Gujarati Determinante e Matriz Inversa • A inversa e a resolução de sistemas lineares: • Se o no. de equações é igual ao no. de incógnitas: mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 mnmnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa 2 1 2 1 21 22221 11211 A x X = B Matriz de coeficientes Matriz de incógnitas Matriz de termos independentes Determinante e Matriz Inversa • A inversa e a resolução de sistemas lineares: • Supondo det A ≠ 0 e portanto, que exista A-1: A-1(AX) = A-1B (AA-1)X=A-1B InX = A -1B X = A-1B mmnmm n n n b b b aaa aaa aaa x x x 2 1 1 21 22221 11211 2 1 Valor Esperado • Variável Aleatória Discreta • Variável Aleatória Contínua • Propriedades x xxfXE )()( dxxxfXE )()( )().()( :tesindependen são Y e X Se )()( )( YEXEXYE bXaEbaXE bbE Variância • Variável Aleatória Discreta • Variável Aleatória Contínua x x xfXEX )()()var( 22 dxxfXX )()()var( 2 Variância • Propriedades ),cov()var()var()var( :então tes,independen são não Y e X Se )var()var()var( )var()var()var( )var()var()var( :então tes,independen são Y e X Se )var()var(:então ,constantes são e Se 0)var( )()( 22 2 222 YXYXYX YbXabYaX YXYX YXYX XabaXba b XEXE Retorno e Variância de Carteiras na Forma Matricial • Exemplo com 3 ativos • Seja Ri o retornos dos ativos i = A, B, C e assuma que os retornos R1, R2 e R3 são normalmente distribuídos com • Carteira x • Retorno da carteira ijjiiiii RRRRE ),cov(,)var(, 2 1 ativo no investido capital do % CBA i xxx ix CCBBAAxp RxRxRxR , Retorno e Variância de Carteiras na Forma Matricial • Retorno esperado da carteira • Variância da carteira • Distribuição de probabilidade da carteira CCBBAAxpxp xxxRE ,, BCCBACCAABBA CCBBAAxpxp xxxxxx xxxR 222 var 222222, 2 , ),(~ 2,,, xpxpxp NR Retorno e Variância de Carteiras na Forma Matricial • Representação Matricial 2 2 2 , 1 1 1 ,, CBCAC BCBAB ACABA C B A C BA C B A x x x R R R x 1μR Retorno e Variância de Carteiras na Forma Matricial • Sobre a matriz de covariâncias – Usando álgebra matricial a matriz de covariâncias do vetor de retornos R é definida a partir de: – Se R tem N elementos, então será uma matriz N x N ')cov( μRμRR E 2 21 2 2 212 112 2 1 nnn n n Retorno e Variância de Carteiras na Forma Matricial • Para o caso em que N = 2: 2 212 12 2 1 212 211 2 221122 2211 2 11 2 221122 2211 2 11 2211 22 11' 1212 )var(),cov( ),cov()var( . RRR RRR RERRE RRERE RRR RRR E RR R R EE xx μRμR Retorno e Variância de Carteiras na Forma Matricial • Retorno da carteira: • Retorno esperado da carteira: xR Rx ' )(', CCBBAA C B A CBAxp RxRxRx R R R xxxR xμ μx ' )(', CCBBAA C B A CBAxp xxx xxx Retorno e Variância de Carteiras na Forma Matricial • Variância da carteira: BCBBACCAABBA CCBBAA C B A CBCAC BCBAB ACABA CBA xp xxxxxx xxx x x x xxx E E 222 ')')((' )')((')'var( 222222 2 2 2 2 , xxxμRμRx xμRμRxRx
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