MATRIZES E DETERMINANTES

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MATRIZES 
E
DETERMINANTES
 
Material Didático
Notas de Aula
I – MATRIZES
1. Definição: Matriz m x n é uma tabela de m . n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos:
1. é uma matriz 2 x 3;
2. é uma matriz 2 x2;
3. é uma matriz 4 x 3.
Como podemos notar nos exemplos 1, 2 e 3 respectivamente, uma matriz pode ser representada por colchetes, parênteses ou duas barras verticais.
2. Representação de uma matriz:
	As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna ocupadas pelo elemento.
Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n é representada por:
ou, abreviadamente, A=, onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa, .
	Por exemplo, na matriz anterior, é o elemento da segunda linha com o da terceira coluna.
	
Exemplo 1: Seja a matriz A=, onde :
	Genericamente, temos: . Utilizando a regra de formação dos elementos dessa matriz, temos:
	
	
	Assim, A=.
3. Matrizes especiais:
	3.1 Matriz linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha.
	Ex: .
	3.2 Matriz coluna: É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna.
	Ex: .
	3.3 Matriz quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz é de ordem n.
	Ex: 
	 Matriz de ordem 2				 Matriz de ordem 3
	Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
	Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i = j.
	Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i + j = n + 1..
Exemplo:
	
	Descrição da matriz:
	
· O subscrito 3 indica a ordem da matriz;
· A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos –1, 0 e –6;
· A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5;
· 
= -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1;
· 
= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 = 3 + 1.
	3.4 Matriz nula: É toda matriz em que todos os elementos são nulos.
	
Notação: 
Exemplo: 
	3.5 Matriz diagonal: É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal são diferentes de zero.
	
Exemplo: 		 .
	3.6 Matriz identidade: É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos e os da diagonal principal são iguais a 1.
	
Notação: onde n indica a ordem da matriz identidade.
Exemplo: 		 
ou : 
	
3.7 Matriz transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas.
Notação: .
Exemplo: Se então =
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, é do tipo n x m. Note que a primeira linha de A corresponde à primeira coluna de e a segunda linha de A corresponde à segunda coluna de .
	3.8 Matriz simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A=. 
	
OBS: Se A = -, dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
Exemplo: Se 		 
	3.9 Matriz oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus elementos. 
Notação: - A
Exemplo: Se então =
	3.10 Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são idênticos. 
Notação: A = B.
Exemplo: Se e A = B, então c = 0 e b = 3
Simbolicamente: para todo e todo .
Resolver a primeira lista de exercícios
	1ª LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA II
1-) Escreva a matriz A=, onde =2i+3j
2-) Escreva a matriz B=, onde = .
3-) Escreva a matriz C=, onde .
4-) Escreva a matriz D=, onde = i – j.
5-) Escreva a matriz A=, onde 
6-) Escreva a matriz A=, onde 
7-) Escreva a matriz A=, onde 
8-) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Determine o traço de cada uma das matrizes A =.
9-) Dada a matriz A= , determinar:
a-) a transposta de A
b-) a oposta de A
	
10-) Dadas as matrizes A= e , determinar a, b e x para que A=.
11-) Determinar os valores de a e b, tais que:
12-) Determine x e y na igualdade:
13-) Seja A=, onde =i + j. Determine m, n e p em B= a fim de que tenhamos A=B.
14-) Determine a, b, x e y, tais que:
15-) Determine x e y, tais que:
a-) 
b-) 
	RESPOSTAS
1-) A=
2-) B=
3-) C=
4-) D=
5-) A=
	
6-) A=
7-) 
8-) trA = 4 e trB = 4
9-) a-) b-) –A=
10-) a = 3, b = 2 e x = 1
11-) a = 1 e b = 1
12-) x = 81 e y=
13-) m = -2 n = 4 e p = -3
14-) a = 2, b = 1, x = 1 e y = 1
15-) a-) x = 8 e y = 
 b-) x = e y = 
4. Adição de Matrizes: 
Dadas as matrizes A= e B =, chamamos de soma das matrizes A e B a matriz C =, tal que , para todo e todo .
Notação: A + B = C
OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n).
Propriedades : A, B e C são matrizes do mesmo tipo (m x n), valem as seguintes propriedades:
1) Associativa: 
	(A + B) + C = A + (B + C)
2) Comutativa
	A + B = B + A
3) Elemento Neutro
	A + O = O + A = A
onde O é a matriz nula m x n.
4) Elemento Oposto
	A + (-A) = (-A) + A = O
Exemplos:
1) 
2) 
5. Subtração de Matrizes: 
Dadas as matrizes A= e B=, chamamos de diferença entre as matrizes A e B a soma de A com a matriz oposta de B 
Notação: A - B = A + (-B)
OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n).
Exemplo:
1) 
6. Multiplicação de um número real por uma matriz: 
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n , o produto de x por A é uma matriz do tipo m x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x.
Notação: B = x.A 
OBS.: Cada elemento de B é tal que = x
Propriedades : Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:
1) Associativa: 
	x.(y.A) = (x.y).A
2) Distributiva de um número real em relação a adição de matrizes:
	x.(A+B) = x.A + x.B
3) Distributiva de uma matriz em relação a soma de dois números reais:
	(x + y).A = x.A + y.A
4) Elemento Neutro: x.A = A, para x = 1, ou seja:
	1.A = A
Exemplo:
1) 
7. Multiplicação de matrizes: 
	
	O produto de uma matriz por outra não pode ser determinado através do produto dos seus respectivos elementos. A multiplicação de matrizes não é análoga à multiplicação de números reais.
	Assim, o produto das matrizes A= e B= é a matriz C=, onde cada elemento é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B.
	OBS: Elementos correspondentes de matrizes do mesmo tipo m x n, são os elementos que ocupam a mesma posição nas duas matrizes. Exemplo: Sejam e . Os elementos são elementos correspondentes.
	Decorrência da definição: 
	A matriz produto A.B existe apenas se o número de colunas da primeira matriz (A) é igual ao número de linhas da segunda matriz (B).
Assim: 
Note que a matriz produto terá o número de linhas (m) do primeiro fator e o número de colunas (n) do segundo fator.
Exemplos:
1) 
Se 
2) 
Se 
3) 
Propriedades : Verificadas as condições de existência, para a multiplicação de matrizes são válidas as seguintes propriedades:
	(A.B).C = A.(B.C)
1) Associativa: 
2) Distributiva em relação à adição:
	a) A.(B+C) = A.B + A.C
b) (A+B).C = A.C + B.C
3) Elemento Neutro:
	
A. = .A = A
onde é a matriz identidade de ordem n.
Atenção: Não valem as seguintes propriedades:
1) 
Comutativa, pois, em geral, A.B B.A
2) 
Sendo uma matriz nula, A.B = não implica, necessariamente, que A = ou B = .
Exemplos:
1) Sendo A= e B=, vamos determinar A.B e B.A e comparar os resultados
Solução:A.B = .
= 2.1 + 3.3 = 2 + 9 = 11
= 2.2 + 3.4 =4 + 12 = 16
= 4.1 + 1.3 = 4 + 3 = 7
= 4.2 + 1.4 = 8 + 4 = 12
Assim:
A.B = .= 
B.A = .= 
Comparando os resultados, observamos que A.B B.A, ou seja, a propriedade comutativa para multiplicação de matrizes não vale.
2) 
Seja A=, determine:
a) A.B
b) B.A
Solução:
a) A.B = =
 
= 
b) B.A = =
 
= 
Conclusão: Verificamos que A.B B.A
8. Matriz Inversa: 
	
	Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz , de mesma ordem, tal que A.= .A = , então é matriz inversa de A. (Em outras palavras: Se A.= .A = , isto implica que é a matriz inversa de A, e é indicada por ).
	Notação: 
	Exemplo: Sendo A = , vamos determinar a matriz inversa de A, se existir.
Solução:
	Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A.
	Como, para que exista inversa, é necessário que A.= .A = , vamos trabalhar em duas etapas:
 Passo: Impomos a condição de que A. = e determinamos :
A. 
 = .= 
 
A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo método da adição e chegamos à:
Assim temos:
=.= 
 Passo: Verificamos se A = :
.A = .= 
 
Portanto temos uma matriz , tal que: A.= .A = 
Logo, é inversa de A e pode ser representada por:
= .
Resolver a segunda lista de exercícios
	2ª LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA II
1-) Sendo A= e B=, calcule:
a-) A + B b-) A – B c-) B – A
2-) Calcule x, y e z, tais que .
3-) Sendo A=, onde =2i-j, e B=, com = calcule:
a-) A – B b-) B – A c-) 
4-) Verifique experimentalmente que, se A e B são matrizes do mesmo tipo, então .
Sugestão: Considere A e B as matrizes encontradas no exercício 3.
5-) Sendo A= e , determinar as matrizes X e Y, tais que: X + Y = A + B e 2X – Y = A – B.
6-) Dadas as matrizes A=, e C= calcule: 
a-) 3.(A – B) + 3.(B – C) + 3.(C – A)
b-) 2.(A - B) – 3.(B – C) – 3.C
c-) a matriz X, tal que 
 3.(X – A) + 2.B = 4.(X – A + 2.C)
7-) Sendo A= e B=, determine as matrizes X e Y, tais que 3X – Y = 2A – B e X + Y = A – B
16-) Dadas as matrizes A= e C=. Calcule: 
a-) A.B
b-) B.A
c-) A.C
d-) C.A
17-) (UFPA) A matriz A= é definida de tal modo que . Então, A é igual a:
a-) b-) c-) d-) e-) 
18-) (PUC-SP) Dadas as matrizes A= e B=, quadradas de ordem 2, com , se C=A + B, então é igual a:
a-) b-) c-) d-) e-) 
	
8-) Determine a relação existente entre as matrizes A= e B=.
9-) Sendo a matriz A= simétrica, determine c e y.
10-) Sendo A=, onde =2i-j, e B=, com = , determine X tal que 3A + 2X = 3B.
11-) Sendo A= e , calcule as matrizes X e Y no sistema .
12-) Sendo A= e B=-2A, determine a matriz X, tal que 
13-) Dadas as matrizes A=, tal que 
 = i - j, B=, tal que com = e C = AB, determine o elemento.
14-) Sendo A=, calcule .
15-) Determine a matriz X, tal que , sendo A= e B=.
19-) Verifique se B=é inversa de A=
20-) Determinar, se existir, em cada caso:
a-) A= b-) A=.
21-) Sendo A=, calcule .
22-) As matrizes A, B e C são invertíveis e de mesma ordem 2. Sendo B. e C.B = A, determine C e .
23-) (MACK) A é uma matriz mxn e B é uma matriz mxp. A afirmação falsa é:
a-) A + B existe se, e somente se, n = p
b-) A= implica m = n (= transposta de A)
c-) A.B existe se, e somente se, n = p
d-) A. existe se, e somente se, n = p
e-) .B sempre existe
	Respostas
1) 
a) b) c) 
2) x=2, y=-9 e z=-7
3) 
a) b) c) 
4) -------------
5) 
X= e Y=
6) 
a) b) c) 
7) 
X= e Y=
8) 
A= 
9) c=0 e y=2
10) 
X=
	11) 
X= e Y=
12) 
X=
13) 2
14) 
15) 
X=
16) 
a) b) c) AC= A d) CA= C
17) alternativa a)
18) alternativa b)
19) Sim, B é inversa de A
20) 
a) b) 
21) A inversa da inversa de uma matriz A é a própria matriz A.
22) 
C=
23) Alternativa c)
II – DETERMINANTES
Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada.
Aplicações dos determinantes na matemática:
· Cálculo da matriz inversa;
· Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
· Cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coordenadas dos vértices.
Determinante de primeira ordem
Dada uma matriz quadrada de ordem M=, chamamos de determinante associado à matriz M o número real .
 Notação: det M ou = 
 
 Exemplos: 
1. 
2. 
Determinante de segunda ordem
Dada a matriz M=, de ordem 2, por definição, temos que o determinante associado a essa matriz, ou seja, o determinante de ordem é dado por:
Assim:
Exemplo: Sendo M=, então:
 
 det M=
 Logo: det M = -2
Conclusão: O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
3. Menor Complementar
Chamamos de menor complementar relativo ao elemento de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o determinante , de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimos a linha e a coluna que passam por .
Exemplo 1: Dada a matriz M=, de ordem 2, para determinarmos o menor complementar relativo ao elemento (), retiramos a linha 1 e a coluna 1;
 
MC = menor complementar
		 , logo, 
 Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento é dado por:
		 
		 , logo, e assim por diante.
Exemplo 2: Dada a matriz M=, de ordem 3, vamos determinar:
a) 
b) 
c) 
d) 
Solução: 
OBS.: Vamos denotar “menor complementar” por MC
a) 
retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima , temos que:
= 
	b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que:
 ==
	c) retirando a linha 1 e a coluna 3 da matriz dada acima, temos que:
 ==
d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que:
 ==
4. Cofator 
Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento de uma matriz quadrada de ordem n o número , tal que .
Exemplo 1: Dada M=, os cofatores relativos a todos os elementos da matriz M são:
;
;
;
.
Assim, podemos também determinar a matriz dos cofatores (que será denotada por ) como sendo:
Exemplo 2: Sendo M=, vamos calcular os cofatores :
;
;
.
5. 
Matriz Adjunta
A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada adjunta de A. 
Assim: 
 
6. Teorema de Laplace
Definição: O determinante de uma matriz quadrada pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.
	Assim, fixando , temos:
onde, é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, e é o cofator ij.
Exemplo : Calcular com o auxílio do Teorema de Laplace, os seguintes determinantes:
a) 
Solução:
a) 
Aplicando Laplace na coluna 1, temos:
b) 
Como três dos quatro elementos da linha são nulos, convém aplicar Laplace nessa linha.
 OBS.: Então podemos rescrever como:
			
Agora precisamos calcular o valor de D para substituirmos em (I) Para isso aplicamos Laplace na linha (mais conveniente, pois um dos elementos é nulo), e obtemos:
	Finalmente, substituindo esse valor em (I), obtemos:
	 
 
7. Regra de Sarrus
Dispositivo prático para calcular o determinante de ordem.
Exemplo 1: Calcular o seguinte determinante através da Regra de Sarrus.
D=
Solução:
Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da :
Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:
Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja:
Assim: 
OBS.: Se desenvolvêssemos esse mesmo determinantede ordem com o auxílio do teorema de Laplace, veríamos que as expressões são idênticas, pois representam o mesmo número real.
Exemplo 2: Calcular o valor dos seguintes determinantes:
a) 
Solução:
a) 
b) 
Aplicando Laplace na linha, temos:
· 
Cálculo de : Como, na linha, dois elementos são nulos, é conveniente aplicar Laplace; assim:
· 
Cálculo de : Utilizando a Regra de Sarrus, temos:
Portanto,
 
 8. Matriz de Vandermonde
	Chamamos de matriz de Vandermonde toda matriz quadrada de ordem , com a seguinte forma:
	Observe que cada coluna dessa matriz é formada por potências de mesma base com expoentes inteiros, que variam de 0 até n-1. 
	O determinante da matriz de Vandermonde é dado por:
	Exemplo: Calcular o determinante da matriz 
	Solução:
	Como podemos escrever a matriz M na forma:
	
Então dizemos que a matriz M é uma Matriz de Vandermonde com .
Assim,
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES:
(de matriz quadrada de ordem n)
	As propriedades a seguir são relativas a determinantes associados a matrizes quadradas de ordem n. Estas propriedades, muitas vezes nos permite simplificar os cálculos. 
P1-) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
Exemplos:
	1-) 				2-) 
P2-) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
	1-) 	 		pois, L1 = L3
P3-) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é nulo.
Exemplo:
	1-) 	 		pois C3 = 2C1
P4-) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então o seu determinante é nulo.
Exemplos:
	1-) pois C1 + C2 = C3 2-) pois 2L1 + L2 = L3 
OBS.: Definição de combinação linear: 
Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ... ,vk, se existem escalares a1, a2, ... ,ak tal que:
v= a1. v1+...+ ak. vk
P5-) Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
	1-) 	
	Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:
P6-) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
	Exemplo:
Det A = Det At = 
P7-) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
 
	Exemplos:
1-) Multiplicando C1 por 2, temos:	
2-) Multiplicando L1 por , temos:	
P8-) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
	
Exemplo:
 
Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos:	
P9-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
	Exemplos:
1-) 			2-) 
P10-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por .
	Exemplos:
1-) 			2-) 
P11-) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos:
det (AB) = det A × det B
Observação: Como A × A-1 = I, na propriedade acima, temos:
det (A-1) = 
	
Exemplo:
Se A = B = e A×B = , então: 
 
P12-) Se k Î Â, então det (k×A) = kn × detA.
Exemplo:
Sendo k=3, A = e k×A = , temos: 
 
P13-) det (A+B) detA + detB
 9. Inversão de matrizes com o auxílio da teoria dos determinantes
	A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte teorema:
	
	A matriz inversa de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se, e é dada por:
	OBS.: adj A é a matriz transposta da matriz dos cofatores: adj A = 
	Exemplos: 
1) 
Verificar se a matriz admite inversa
Solução:
A matriz A admite inversa se, e somente se, . Assim, como:
, existe a matriz inversa de ª
2) 
Calcular x para que exista a inversa da matriz 
Solução:
Verificar se existe a matriz inversa de A ()
Então: 
Assim, 
3) 
Calcular, se existir, a inversa da matriz com o auxílio da fórmula 
Solução:
	Passo 1: Calcular o determinante de A para ver se existe inversa.
	
Como 
	Passo 2: Calcular os cofatores dos elementos de A.
Assim, a matriz dos cofatores é dada por: 
	Passo 3: Cálculo da matriz adjunta de A.:
	
	
Passo 4: Cálculo da matriz inversa de A ():
	
:
Resolver a terceira lista de exercícios de GA I
	3ª LISTA DE GA I
1) Calcular o valor dos determinantes das seguintes matrizes:
a) A= b) A=
2) 
Calcular o valor de na igualdade =0 
3) 
O conjunto solução de é:
a) b){0;1} c){1} d){-1} e) {0}
4) 
Determinar a matriz formada pelos cofatores dos elementos da matriz A=.
5) 
Dada a matriz A= . Calcule , conhecida como matriz dos cofatores, e a matriz adjunta de A.
6) Calcule os seguintes determinantes, aplicando o Teorema de Laplace:
a) b) 
7) 
O determinante representa o polinômio:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
c) 
d) 
e) 
15) (MACK-SP) Se , A= e B = , então det(A.B) vale:
a) 8 b) 4 c) 2 d) –2 e) –4
16) (FAAP-SP) Dada a matriz A=, calcule o determinante da matriz inversa de A.
17) Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes:
a) A= b) B=
	8) 
(Fuvest – SP) O determinante da matriz , onde é igual a: 
a) 1 b) –1 c) d) e) 0
9) 
Utilizando a regra de Sarrus, calcule: 
10) 
Sendo A=, calcule:
a) det A
b) 
det 
11) 
Calcular x na igualdade 
12) 
Calcular x na igualdade 
13) 
Sendo A=, calcular det A.
14) Utilizando as propriedades dos determinantes, calcule os determinantes justificando os valores obtidos:
a) 
b) 
Respostas
1) a) 3 b) 1 c) –1
2) x= -4 ou x=1
3) alternativa c)
4) 
5) e 
 adjA= 
6) a) 0 b) –2
7) alternativa d) 
8) alternativa a)
9) 
10) a) –2 b) –2
11) x=1 ou x=-4
12) x=2 ou x=5
13) 600
14) a) 0 b) 0 c) 0 d) –60 e) 2
15) alternativa b)
16) 
17) a) 
 b) 
ij
b
j
i
(
)
1
x
4
ij
c
j
i
c
2
ij
+
=
(
)
3
x
1
ij
d
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
mn
3
m
2
m
1
m
n
3
33
32
31
n
2
23
22
21
n
1
13
12
11
a
a
a
a
 
 
 
 
 
 
a
 
a
a
a
a
 
a
a
a
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