Lista II

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Calculo II - Lista II
A - Calcule os limites limn→∞(an) das seguintes sequências:
• 1) an =
∑n
k=1
1
(n+k)2
. (Resp. : 0)
• 2) an =
∑n
k=1
1
n√n+k . (Resp. : ∞)
• 3) an = n
√
an + bn, 0 < a < b. (Resp. : b)
• 4) an = n
√
α an + β bn, 0 < a < b, α, β > 0. (Resp. : b)
• 5) an = n
√
2n+4 + 3n−2. (Resp. : 3)
• 6) an = 8nn! . (Resp. : 0)
• 7) an = ln(n)nδ , δ > 0. (Resp. : 0)
• 8) an = n
√
n!. (Resp. : ∞)
• 9) an = n+k
√
n, k ∈ N. (Resp. : 1)
• 10) an = n
√
n+ k, k ∈ N. (Resp. : 1)
• 11) an = ln(n)
α
nδ
, α, δ > 0. (Resp. : 0)
• 12) an = 5
√
n+ 2− 5√n. (Resp. : 0)
• 13) Mostre que se 0 < a < b então limn→∞ n
√
an + bn = b.
• 14) Calcule o limite da sequência {2, 7, 12, 17, ..} . (Resp. : ∞)
• 15) Considere a sequência k > 0, a1 =
√
k, an+1 =
√
k + an. Mostre
que {an}∞n=1 é crescente e limitada. Calcule seu limite.
• 16) Para um dado número positivo a, considere a sequência de�nida
recursivamente: a1 = α, α ∈ R, an+1 = an+a2 . Calcule seu limite.
(Resp. : a)
• 17) Analise o limite da sequência {rn}∞n=1 para os diferentes valores de
r.
• 18) Calcule o limite da sequência{√
2,
√√
2,
√√√
2, ...
}
. (Resp. : 1)
• 19) Calcule o limite da sequência{√
6 + 2,
√
6 +
√
6 + 2,
√
6 +
√
6 +
√
6 + 2, ...
}
. (Resp. : 3)
• 20) Calcule o limite da sequência recursivamente de�nida:
an+1 =
1
2
(
x+ p
x
)
, p = primo, n ∈ N, (Resp. : √p)
• 21) Calcule o limite da sequência an = (n+1)nnn+1 . (Resp. : 0)
• 22) Mostre que se {an}∞n=1 é limitada e {bn}∞n=1 tal que
limn→∞ bn = 0, então limn→∞(anbn) = 0.
• 23) Demonstre, usando a de�nição de limite de uma sequência, que
limn→∞ rn = 0, −1 < r < 1.