Apostila de Matemática II - Aline Fuzaro Lopes

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SUMÁRIO
LIMITES
Sucessões ou sequências ......................................................................................................... 02
Das generalizações para as sequências ....................................................................... 02
Das sequências para as generalizações ....................................................................... 03
Exercícios ....................................................................................................................... 04
Convergência de sucessões ...................................................................................................... 05
1.2.1 Exercícios ......................................................................................................................... 05
Limites de funções ..................................................................................................................... 05
Exercícios ....................................................................................................................... 06
Formas indeterminadas ............................................................................................................. 07
Exercícios ....................................................................................................................... 08
Limites infinitos .......................................................................................................................... 09
1.5.1 Exercícios ......................................................................................................................... 09
DERIVADAS
O conceito de derivadas ............................................................................................................ 10
Técnica de derivação ................................................................................................................. 10
2.2.1 Exercícios ......................................................................................................................... 11
Interpretação geométrica ........................................................................................................... 11
Funções marginais ..................................................................................................................... 12
Custo marginal ............................................................................................................... 12
Receita marginal ............................................................................................................ 13
Produtividade marginal .................................................................................................. 14
Exercícios ....................................................................................................................... 15
Elasticidades .............................................................................................................................. 16
Exercícios ....................................................................................................................... 17
Aplicações de derivadas ............................................................................................................ 18
Máximos e mínimos ....................................................................................................... 18
Exercícios ....................................................................................................................... 19
ÁREAS E INTEGRAIS
Área de figuras planas ............................................................................................................... 20
3.1.1 Exercícios ......................................................................................................................... 20
Conceito de integral ................................................................................................................... 21
3.2.1 Exercícios ......................................................................................................................... 21
Integral definida ......................................................................................................................... 22
Exercícios ....................................................................................................................... 22
Integral definida para cálculo de área ........................................................................................ 23
Exercícios ....................................................................................................................... 23
LIMITES
Sucessões ou sequências
Uma sequência é um conjunto de números , disposta numa certa ordem (isto é, em correspondência com os números inteiros positivos) e formada segundo uma dada regra. Também podemos dizer que, uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos.
Cada números da sequência chama-se termo. é o primeiro termo, é o segundo termo e assim sucessivamente. é o n-ésimo termo ou termo geral.
Uma sequência será finita ou infinita, conforme tenha ou não, um número finito de termos.
Ex. 1: Os números , formam uma sequência finita.
Ex. 2: Os números , formam uma sequência infinita.
Das generalizações para as sequências
Seja a sucessão dada por com . A sequência obtida por essa generalização é conseguida substituindo o pelos números inteiros e positivos.
para temos 
para temos 
para temos 
para temos 
Logo, contruimos a sequência com as respostas obtidas pelas substuições da seguinte forma:
Ex. 1: Obtenha a sucessão dada pela generalização .
Das sequências para as generalizações
A sucessão é obtida por qual generalização? Para descobrir qual a generalização, não existe um macete ou uma fórmula, pois não estamos necessariamente falando de uma PA (progressão aritmética) ou uma PG (progressão geométrica). Portanto, é necessário ter um pouco de paciência e imaginação.
Percebe-se que para sair do 1 e chegar como resposta o 2, assim como para sair do 2 e chegar como resposta o 4, assim como para sair do 3 e chegar como resposta o 6, assim como para sair do 4 e chegar como resposta o 8, assim como para sair do 5 e chegar como resposta o 10 é necessário multiplicar cada um dos números por 2. Portanto, a função que generaliza essa sequência é dada por ou , com .
Ex. 1: Obtenha a generalização da sequência ;
Ex. 2: Obtenha a generalização da sequência .
Exercícios
Nas sucessões abaixo, escreva a função definidora de cada uma.
Escreva as sucessões provenientes das seguintes generalizações.
, com 
, com 
, com 
Convergência de sucessões
Dizemos que uma sucessão converge para um número fixo se, à medida que aumenta, o valor de se aproxima desse valor fixo.
Observe a sequência . Essa sequência está tendendo a 0 mesmo que a sua resposta nunca seja o próprio 0. Logo dizemos que a sequência converge para 0.
Dizemos que uma sucessão diverge se, à medida que aumenta, os valores de não convergem para nenhum valor fixo.
Observe a sequência . Essa sequência tende a aumentar cada vez mais. Logo dizemos que a sequência diverge para (mais infinito ou infinito positivo).
Agora observe a sequência . Essa sequência tende a diminuir cada vez mais. Logo dizemos que ela diverge para (menos infinito ou infinito negativo).
Existem ainda as sucessões divergentes que não divergem nem para mais nem para menos infinito. São funções que oscilam entre os valores positivos e negativos e nunca se aproximam de um número fixo. A sequência é um exemplo dessa situação. Nesses casos, dizemos apenas que a sequência diverge.
Exercícios
Com base no exercício 2 da seção 1.1.3, diga quais sequências são convergentes (e para quais números convergem) e quais são divergentes.
Limites de funções
Intuitivamente, dada uma função e um ponto do domínio, dizemos que o limite da função é quandotende a pela direita (, se à medida que se aproxima de pela direita (isto é, por valores superioresa ), os valores de se aproximam de . Simbolicamente escrevemos .
Analogamente, dizemos que o limite da função é quandotende a pela esquerda (, se à medida que se aproxima de pela esquerda (isto é, por valores inferiores a ), os valores de se aproximam de . Simbolicamente escrevemos .
Caso , ou seja, os limites laterais são iguais, dizemos que existe o limite de quando tende a e escrevemos .
Quando os limites laterais e são distintos, dizemos que não existe o limite de quando tende a (embora existam os limites laterais).
Ex. 1: Calcule o limite da função , quando tende a 3.
Ex. 2: Calcule o limite da função , quando tende a 6.
Exercícios
Para cada função abaixo , calcule o .
 
 
 
Formas indeterminadas
Consideremos a função e vejamos qual o limite quando tende a 2.
Ao substituirmos o por 2, teríamos uma fração impossível de ser calculada e que é chamada de forma indeterminada. Assim, para resolvermos limites desse tipos temos que calculá-lo pela direita e pela esquerda, separadamente.
 Pela esquerda								Pela direita
Exercícios
Obtenha os limites.
Limites infinitos
Ex. 1: Calcule os limites laterais da função , quando tende a 3. Novamente, é claro que aparecerá uma divisão por 0 caso seja feita a substituição do x por 3.
 Pela esquerda								Pela direita
Exercícios
Encontre os limites laterais.
DERIVADAS
O Conceito de derivadas
Seja uma função e um ponto de seu domínio. Chamamos de derivada de no ponto , se existir e for finito, o limite dado por .
Indica-se a derivada de no ponto por ou ou ainda por .
Qual a derivada de no ponto ?
Técnica de derivação
Se (função constante), então , para todo .
Se , então 
Ex.1: Calcule a derivada da função 
Ex. 2: Calcule a derivada da função 
Exercícios
Derive as funções a seguir:
Interpretação geométrica
A derivada de uma função num ponto é a declividade dessa função nesse ponto. Sabe-se, porém, que a declividade de uma reta é a tangente do ângulo . Dessa forma podemos dizer que a derivada de uma função no ponto é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa .
Funções marginais
Em Administração e Economia, dada uma função , costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em por uma pequena variação de . Chama-se função marginal de à função derivada de . Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante.
Custo marginal
Ex. 1: Suponhamos que seja o custo total de fabricação de x pares de calçados da marca WW, dado pela equação 
Determine o custo real (custo efetivo) de produção da 51ª peça.
Determine o custo marginal quando e interprete o resultado.
Ex. 2: Consideremos a função custo , determinar o custo marginal para e interpretar o resultado.
Receita marginal
Ex. 1: Suponha que seja a receita total recebida na venda de cadeiras da loja BBC, e . Calcular a receita marginal para e interpretar o resultado.
Ex. 2: Consideremos a função receita total da venda de estantes dada por . Calcular a receita marginal para e interpretar o resultado.
Produtividade marginal
Ex. 1: A quantidade (em toneladas) produzida por mês de certo produto e o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função produção . Determinar a produtividade marginal quando e interpretar o resultado.
Ex. 2: Considere a função produção , onde é a produção mensal (em toneladas) e , o número de homens-hora empregados. Calcular:
A função produtividade marginal, ;
 e interprete o resultado.
Exercícios
O custo total de produção de unidade de certo produto é dado por Calcular:
a função custo marginal;
o custo marginal para ;
o número de unidades produzidas quando o custo marginal é R$ 600,00.
Dada a função custo , obtenha o custo marginal para e .
Dada a função custo , obtenha o custo médio para .
Dada a função receita obtenha a receita marginal quando .
A receita total recebida da venda de televisores em cores é dada por . Determinar: 
a função receita marginal;
a receita marginal quando .
Dada a função total , determinar a receita média para .
A quantidade (em quilograma) produzida por dia de certo produto é . O trabalho diário envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função produção . Determinar:
a função produtividade marginal;
a produtividade marginal quando .
Elasticidades
Suponhamos que o preço sofra uma variação e como consequência, a quantidade demandada sofra uma variação. Chamamos de elasticidade da demanda a variação percentual na quantidade e calculamos através da fórmula: .
O mesmo ocorre com elasticidade de oferta.
Economistas usam freqüentemente a seguinte terminologia para descrever em termos da elasticidade. A demanda é dita elástica se , é dita unitária se e é dita inelástica se . 
Ex. 1: Se a equação de demanda for dada por , obtenha a elasticidade da demanda para e interprete o resultado.
Ex. 2: Se a equação de oferta for dada por , obtenha a elasticidade da oferta para e interprete o resultado.
Exercícios
Se a equação de demanda for dada por , obtenha a elasticidade da demanda para e interprete o resultado.
Obtenha a elasticidade de oferta para , sabendo que a equação da oferta é dada por . Interprete o resultado.
Considere a função de demanda dada por . Obtenha a elasticidade da demanda para e interprete o resultado.
Aplicações de derivadas
Máximos e mínimos
Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são os problemas de otimização, em que devemos encontrar a maneira ótima (melhor maneira) de fazer alguma coisa.
Ex.1: Um monopolista (produtor único de um certo bem) tem um custo mensal dado por . A função de demanda mensal é . Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro, sabendo-se que:
a capacidade máxima de produção mensal é de 2.000 unidades?
a capacidade máxima de produção mensal é de 4.000 unidades?
Ex. 2: A função lucro da Companhia Acrosonic é dada por dólares, onde é o número de sistemas de som Acrosonic modelo F produzidos. Encontre onde a função é crescente e onde é decrescente.
Exercícios
Dada a função de demanda e a função custo , obtenha:
O valor de que maximiza a receita.
O valor de que maximiza o lucro.
O custo de produzir x unidades por dia de um produto é e a equação de demanda é . Obtenha o preço que maximiza o lucro.
Suponha que a equação de demanda de um monopolista seja e que a função custo seja . O valor de que maximiza o lucro e o preço correspondente.
A equação de demanda de um produto e e o custo total, . Que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro?
Uma pequena loja de gravatas vende cada uma por U$ 3,50. A função custo diário é estimada em dólares, em que é o número de gravatas vendidas em um dia típico é . Encontre o valor de que irá maximizar o lucro diário da loja.
Se o custo total de produção de um determinado bem é dado por , e a demanda por . Determine o preço que maximiza o lucro. 
A função de demanda de um produto é , e o único produtor tem uma função custo . Que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro?
ÁREAS E INTEGRAIS
Área de figuras planas
Área do retângulo – 
Área do quadrado – 
Área do triângulo – 
Área do paralelogramo – 
Área do losango – 
Área do trapézio – 
Área do círculo – 
Exercícios
 Calcule o valor da área de cada uma das figuras abaixo.
	a)
	b)   
	c) 
	d) 
	e) 
Conceito de integral
Chamamos de integral indefinida de e indicamos pelo símbolo a uma primitiva qualquer de adicionada a uma constante arbitrária . Assim, .
Ex. 1: 
Ex. 2: 
Ex. 3: Sabendo-se que o custo marginal é e que o custo fixo é R$ 100,00, obtenha a função custo.
Ex. 4: Sabendo-seque a função receita marginal é , obtenha a função receita e a função média.
Exercícios
Obtenha as integrais a seguir.
Sabendo-se que o custo marginal é e que o custo fixo é $ 400,00, obtenha a função custo.
Sabendo-se que o custo marginal é e que o custo fixo é $ 200,00, obtenha a função custo.
Sabendo-se que a receita marginal é , obtenha a função receita.
Sabendo-se que a receita marginal é , obtenha a função receita.
Integral definida
Suponha que o fabricante de uma moderna calculadora eletrônica determine que durante os 3 primeiros anos de produção, se anos decorreram desde que a calculadora foi introduzida pela primeira vez, unidades devem ser produzidas anualmente, onde (
Como deveria ser interpretada esta equação? Uma vez que alguém poderia concluir que 348 calculadoras são produzidas 1 ano após o lançamento do produto no mercado. Contudo, esta interpretação é válida somente se a taxa de produção for constante, na base anual. Isto é, 348 unidades deveriam ser produzidas durante o segundo ano somente se a taxa anual de produção durante o segundo ano fosse uma constante, 348 unidades, que seria o nível no fim do primeiro ano. Esta situação não ocorre. Por exemplo, .
Uma interpretação deste raciocínio está mostrada na figura abaixo.
A área sob o gráfico de uma função contínua não-negativa num intervalo é definida pela .
Ex. 1: Calcule a área da figura acima.
Exercícios
Calcule as seguintes integrais definidas:
Integral definida para cálculo de áreas
Exercícios
Obtenha as áreas destacadas:
APOSTILA DE MATEMÁTICA II