2012-2-AD2-PC-Gabarito

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AD 02 – 2012-2 Pré-Cálculo 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação a Distância 2 
Pré-Cálculo 
 
1ª. Questão [3,0 pontos] 
(a) [1,0] Calcule os valores solicitados em cada um dos itens (i) a (iv). Para isso você pode reduzir os ângulos ao 
1º quadrante, isto é, compare os valores pedidos com os ângulos contidos no intervalo [ 
 
 
]. 
(i) (
 
 
) (ii) ( 
 
 
) (iii) (
 
 
) (iv) ( 
 
 
) 
Um exemplo do que está sendo pedido é: 
 (
 
 
) (
 
 
 ) ( 
 
 
) (
 
 
), agora basta calcular (
 
 
). 
(b) [1,0] Calcule os valores solicitados em cada um dos itens (i) a (iii). Para isso você pode encontrar os ângulos 
do intervalo [ ] que são congruentes com os ângulos em que você quer calcular o valor das funções. 
(i) (
 
 
) (ii) ( 
 
 
) (iii) (
 
 
) 
Um exemplo do que está sendo pedido é: 
 (
 
 
) (
 
 
) ( 
 
 
) ( 
 
 
) ( 
 
 
) (
 
 
), agora 
 
 
 [ ] . 
(c) [1,0] Se 
 
 
 e [ 
 
 
], calcule: 
(i) (ii) ( ) (iii) ( ) 
 
Resolução do item (a): 
(i) (
 
 
) (
 
 
 ) (
 
 
) 
 (
 
 
)
 (
 
 
)
 
 
 
√ 
 
 
 
√ 
 
√ 
 
 
(ii) ( 
 
 
) ( 
 
 
 ) (
 
 
) 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
(iii) (
 
 
) (
 
 
 ) (
 
 
) ( 
 
 
) (
 
 
) 
 (
 
 
)
 (
 
 
)
 
√ 
 
√ 
 
 
(iv) ( 
 
 
) ( 
 
 
 ) (
 
 
) 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
Resolução do item (b): 
(i) (
 
 
) (
 
 
) ( 
 
 
) ( 
 
 
) ( 
 
 
) (
 
 
) ⏞
 ( )( )
√ 
 
 
(ii) ( 
 
 
) ( 
 
 
) ( 
 
 
 
 
 
) ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 ( 
 
 
) (
 
 
) 
 
 (
 
 
)
 
 
√ 
 
 
 
√ 
 
 √ 
 
 √ 
(iii) (
 
 
) (
 
 
) ( 
 
 
) ( 
 
 
) (
 
 
) ( 
 
 
) 
 (
 
 
) 
 (
 
 
)
 (
 
 
)
 
 
 
√ 
 
 
 
√ 
 
√ 
 
 
 
AD 02 – 2012-2 GABARITO Pré-Cálculo 
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Resolução do item (c) 
(i) 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como [ 
 
 
] 
 
 
 
(ii) Sabemos que ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ⏞ 
 
 ( ) . 
Como 
 
 
 ⏞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Logo, substituindo na identidade acima, 
 ( ) ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
. 
(iii) Resolução 1 Usando a identidade ( ) 
 ( )
 ( )
. 
Já sabemos que ( ) 
 
 
 ( ), 
 ( ) ( ) ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Agora, sabemos que [ 
 
 
] [ ] ( ) ( ) 
 
 
 
Logo, ( ) 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 2 Usando as identidades: ( ) 
 
 ( )
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Logo ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão [2,5 pontos] 
(a) [1,2] Resolva a equação 
Represente as soluções no 1º e 2º quadrantes do círculo trigonométrico, depois generalize as soluções para 
 . 
(b) [1,3] Determine o domínio da função 
 ( ) √ ( 
 
 
 ) ( √ ) 
 
Primeira resolução do item (a): 
 
 Primeiro observamos que e estão definidas para 
 
 
 , onde é um inteiro e temos a 
seguinte igualdade trigonométrica para Assim 
 ( ) 
 
Mudando a variável, fazendo , temos, . 
Resolvendo a equação em , 
 ( ) ( )( ) . 
AD 02 – 2012-2 GABARITO Pré-Cálculo 
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Logo, voltando à variável original , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo { 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 } 
Segunda resolução do item (a): 
 
 Primeiro observamos que e estão definidas para 
 
 
 , onde é um inteiro e temos a 
seguinte igualdade trigonométrica para Assim 
 ( ) 
 ( ) 
 +1 = 0 
Mudando a variável, fazendo , temos, . 
Resolvendo a equação em , 
 ( ) ( )( ) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, voltando à variável original , 
 
 
 
 
 
√ 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo { 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 } 
 
Terceira resolução do item (a): 
 
 Primeiro observamos que e estão definidas para 
 
 
 , onde é um inteiro Assim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Mudando a variável, fazendo , temos, . 
Resolvendo a equação em , 
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 ( ) ( )( ) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, voltando à variável original , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo { 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 } 
 
Resolução do item (b): Para determinar o domínio da função 
 ( ) √( 
 
 
 ) ( √ ) 
Devemos impor que: 
1) e para que ( ) esteja definida. 
2) ( 
 
 
) ( √ ) ( )( √ ) 
Fazendo a mudança de variável obtemos que 
( ) ( √ ) 
Estudando a variação de sinal de cada uma das funções: 
 ( ) e ( ) √ 
Temos 
 Raízes de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Raízes de √ 
√ 
 
 
Representando no eixo real a variação de sinal, temos: 
 ( 
 
 
) 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 (
 
 
 
√ 
 
) 
√ 
 
 (
√ 
 
 ) 
 0 
 √ 0 
( ) ( √ ) 0 0 0 
Concluímos que o ( ) ( √ ) para 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
Como e examinando para [ ), no círculo trigonométrico, 
temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AD 02 – 2012-2 GABARITO Pré-Cálculo 
5 de 7 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o conjunto solução da inequação é: 
 
 { 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 } 
Em notação de intervalo: [] [
 
 
 
 
 
] [
 
 
 
 
 
] 
 
3ª. Questão [2,0 pontos] 
 Seja ( ) (
 
 
) . 
(a). [1,2] Encontre ( ) o domínio da função. Escreva na forma de intervalo. Na resolução desse item, 
você verá como foi importantes aprender as propriedades de ordem dos números reais, aprender a resolver 
inequações e inequações com valor absoluto. 
(b) [0,8] Resolva a equação (
 
 
) 
 
 
. 
 Observe que ao resolver essa equação, você estará encontrando os pontos de interseção, se 
existirem, do gráfico da função ( ) (
 
 
) com a reta horizontal 
 
 
 . 
Resolução do item (a) 
Como arco cosseno está definido no intervalo [ ] , então é preciso que 
 
 
 . 
Portanto, 
 
 
 
 
 
⇔ 
 
⇔ 
 
⇔ 
√ √ √ | | | | e | | 
 ] e 
 
⇔ 
Vamos justificar 
 
⇔ acima, graficamente: 
 
 
 
Logo, 
 ( ) [ ] [ ] . 
 
Resolução do item (b) 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 √ √ . 
AD 02 – 2012-2 GABARITO Pré-Cálculo 
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Como, √ e √ então , o conjunto solução da equação 
 (
 
 
) 
 
 
 é { √ √ }. 
 
4ª. Questão [2,5 pontos] 
 Seja ( ) 
 
 
 ( ). 
(a) [1,0] Encontre o domínio da função .Encontre os pontos, se existirem, onde o gráfico da função 
 ( ) 
 
 
 ( ) intercepta o eixo - , para isso resolva a equação 
 
 
 ( ) . 
(b) [1,0] A partir do gráfico da função ( ) use transformações em gráficos e esboce o gráfico 
de ( ) 
 
 
 ( ). Esboce a sequência de gráficos, inclusive o gráfico de ( ), que você 
usou até encontrar o gráfico da função . Descreva em palavras as transformações ocorridas. Escreva no gráfico 
o ponto de interseção com o eixo - . 
(c) [0,5] Agora, esboce o gráfico de ( ) | 
 
 
 ( )| . Escreva no gráfico os pontos de 
interseção com os eixos coordenados. A partir do gráfico da função , diga qual é a imagem dessa função . 
 
Resolução do item (a) Como está definida no intervalo [ ] então é preciso que 
 , donde, somando , a todos os membros da inequação, temos . 
Concluímos que ( ) [ ] . 
Resolvendo 
 
 
 ( ) ; 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto onde o gráfico da função ( ) 
 
 
 ( ) intercepta o eixo – é o ponto (
 
 
 ). 
 
Resolução do item (b) Uma possível sequência de transformações é a seguinte: 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
→ ( ) 
 
 
 
 
→ 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ 
 
 
 
 
 
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→ 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
→ 
 ( ) | 
 
 
 ( ) | 
 ( ) [ 
 
 
]