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RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Aula 1 - Proposições e conectivos lógicos I. PROPOSIÇÕES 2 1. Reconhecimento de proposições 2 2. Proposições compostas e conectivos lógicos 11 3. Tabela verdade dos conectivos 15 4. Ordem de precedência entre os conectivos 42 5. Condição necessária e suficiente 45 6. Outros conectivos lógicos 48 II. TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA 54 1. Tautologia 54 2. Contradição 55 3. Contingência 55 III. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS 60 Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br 5. Outros exercícios sobre equivalências 69 IV. LEITURA OPCIONAL: ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES 84 V. LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO 92 VI. GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO 108 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA I. PROPOSIÇÕES 1. Reconhecimento de proposições Proposição é um conjunto de palavras (ou símbolos) que exprimem um pensamento de sentido completo e que pode ser julgado em verdadeiro (V) ou falso (F). Exemplo: P: A seleção brasileira de futebol é pentacampeã mundial. Sabemos que esta proposição é verdadeira. É comum utilizarmos letras para representar proposições. Acima teríamos a proposição "P". Outro exemplo: Q: Fernando Henrique Cardoso é o atual presidente do Brasil. Sabemos que esta proposição é falsa. Então é isso. Sempre que tivermos um conjunto de palavras e for possível julgar em verdadeiro ou falso, pronto, temos uma proposição. Uma coisa importante: uma proposição só pode ser julgada em verdadeiro ou falso. Não tem uma terceira opção! E uma proposição será só verdadeira ou só falsa (não dá para ser verdadeiro e falso ao mesmo tempo). É claro que, em contextos diferentes, a mesma proposição pode ter valores lógicos distintos. Assim, a proposição Q acima, em 1999, seria verdadeira. Em 2011, é falsa. Mas, em um dado contexto, a proposição assume um valor lógico único: ou é verdadeira, ou é falsa. Mais um exemplo: A lei Eusébio de Queirós foi assinada em 1850. A gente até pode não saber se a lei Eusébio de Queirós foi assinada mesmo em 1850 ou não. Concorda? Agora, o simples fato de não sabermos isso, não nos impede de afirmar que estamos diante de uma proposição. Por quê? Porque é possível julgá-la em verdadeiro ou falso. Ou é verdade que a lei Eusébio de Queirós foi assinada em 1850 (proposição verdadeira), ou é falso que a lei foi assinada naquele ano (proposição falsa). Não tem outra opção: ou isso é verdadeiro ou é falso. E mais: não podemos ter as duas situações simultaneamente. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA É impossível que a lei tenha sido assinada em 1850 e, além disso, não tenha sido assinada em 1850. O mais comum é que a gente relacione proposições a frases. Isso é feito porque, de fato, frases escritas são os exemplos mais corriqueiros de proposições. Mas, como dissemos no começo, uma proposição pode ser qualquer outro conjunto de símbolos que possua um significado, e que pode ser julgado em verdadeiro ou falso. Exemplo: 2 > 6 Estamos afirmando que o número .dois é maior que o número 6. Temos símbolos numéricos, o que não nos impede de dizer que isto é uma proposição. No caso, é uma proposição falsa. De forma geral, as proposições são frases declarativas. Declaramos algo, declaração esta que pode ser verdadeira ou falsa. Existem alguns tipos de frase que não são consideradas proposições, justamente porque não podem ser julgadas em verdadeiro ou falso. Exemplo: Que dia é hoje? Temos uma pergunta. Não foi feita qualquer declaração. A pessoa apenas quer uma informação, sobre a data atual. Isso não pode ser julgado em verdadeiro ou falso. Outro exemplo: Saia do meu quarto! Temos uma ordem, uma frase imperativa. Também não pode ser julgada em verdadeiro ou falso. Estes exemplos não são proposições lógicas porque não podem ser nem verdadeiros nem falsos. Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta ou função proposicional. Exemplo: x - 5 = 0 Não dá para julgar esta frase em verdadeiro ou falso, simplesmente porque não é possível descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato, x - 5 = 0 Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Caso contrário, se x for diferente de 5, a igualdade acima está errada. "x" é uma variável, pode assumir inúmeros valores. Quando a sentença possui uma variável, nós dizemos que ela é uma sentença aberta. Ela tem um termo que varia, o que impede julgá-la em verdadeiro ou falso. Logo, não é proposição. Basicamente é isto: sempre que a frase não puder ser julgada em verdadeiro ou falso, não é uma proposição. Às vezes, podemos ficar em dúvida se uma sentença é ou não proposição. Isso ocorre por conta das múltiplas funções da linguagem. O autor Irving Copi, de forma simplificada, aponta três funções básicas da linguagem: informativa (transmite informações), expressiva (expressa sentimentos) e diretiva (tem o propósito de "causar ou impedir uma ação manifesta"; exemplos: ordens, pedidos). A nossa matéria trataria apenas da primeira forma de utilização da linguagem (informativa), que se dá por meio de proposições e argumentos lógicos, que podem ser verdadeiros ou falsos, válidos ou inválidos. Evidentemente, esta divisão simplória não pode ser mecanicamente aplicada em qualquer caso. É comum que textos tenham, simultaneamente, mais de uma função (pode-se informar e expressar sentimentos ao mesmo tempo; pode-se tentar convencer e informar ao mesmo tempo etc.). Além disso, uma mesma frase, em um dado contexto, pode ter uma função informativa, em outro contexto, uma função expressiva, e em outro contexto, uma função diretiva. Exemplificando, a frase "Você sabia que João foi aprovado no concurso do TRT?" poderia, dependendo do contexto, ter uma função informativa. Quem diz a frase, no fundo, poderia estar apenas querendo informar que João foi aprovado. A frase seria, portanto, uma proposição, apesar de se tratar de uma interrogação. Apesar da complexidade da matéria, as provas de concurso cobram este assunto de maneira bem simplória. A questão típica relaciona diversas frases. Em seguida, temos que identificar quais delas são proposições. Para tanto, seguimos o resumo abaixo: Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA ATENÇÃO: Não são proposições: frases exclamativas, interrogativas, opinativas, as expressões de desejo, as expressões de sentimentos, as interjeições, orações imperativas, e aquelas que contenham variáveis (sentenças abertas). Ressalva: é possível transformar uma sentença aberta em proposição por meio da inclusão de quantificadores (matéria da aula 2). Pelo que vimos acima, podemos concluir que este resumo é extremamente simplório e não dá conta das nuances existentes no uso da linguagem, envolvendo o contexto em que é empregada e suas utilizações com funções múltiplas (diretiva, informativa e expressiva). Contudo, para concurso público, este quadrinho é mais que suficiente. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br EC 1. MRE 2008 [CESPE] Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V —, ou falsas — F —, mas não cabem a elas ambos os julgamentos. As proposições simples são freqüentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, e as proposições compostas são conexões de Uma argumentação lógica correta consiste de uma seqüência de proposições em que algumas são premissas, isto é,são verdadeiras por hipótese, e as outras, as conclusões, são obrigatoriamente verdadeiras por conseqüência das premissas. Considerando as informações acima, julgue o item abaixo. 1. Considere a seguinte lista de sentenças: I - Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II - O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA III - As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y. IV - O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. Nessa situação, é correto afirmar que, entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição. Resolução. A sentença I é uma pergunta. Perguntas, exclamações, ordens, desejos, expressões de sentimentos e/ou opinião, tudo isso não pode ser classificado como proposição. São todos exemplos de frases que não podem ser julgados em verdadeiro .ou falso, não sendo classificados como proposição. Na sentença II temos uma expressão de sentimento, de opinião sobre o Palácio do Itamaraty. Alguém está dizendo expressando sua opinião de que o Palácio é belo. Novamente, não é proposição. Na sentença III, temos duas variáveis (x e y). Quando temos variáveis, estamos diante de uma sentença aberta, que não pode ser julgada em verdadeiro ou falso. Logo, não é uma proposição. Como já dissemos, as sentenças com variáveis são chamadas de sentenças abertas. Às vezes, em vez de variáveis "x", "y", "z", as questões de concursos utilizam palavras que passam a idéia de indeterminação. Exemplo: "Ele foi eleito, pela FIFA, o melhor jogador de futebol do mundo em 2005". A palavra "ele" dá o teor de indefinição. Não sabemos quem é ele. Ou seja, temos uma variável. A sentença acima é aberta, podendo, dependendo de quem for "ele", ser julgada em verdadeiro (caso ele seja o Ronaldinho Gaúcho) ou falso (caso "ele" seja qualquer outra pessoa). Certamente, se, pelo contexto, "ele" for uma determinada pessoa, não há mais variáveis; passamos a ter uma proposição. Na sentença IV, temos outra expressão de opinião. Também não é proposição. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Gabarito: errado. Agora, uma observação. Note que as sentenças II e IV, dependendo do contexto, poderiam ser vistas como proposições. Para melhor entendimento, vamos focar na sentença II. Temos uma função expressiva, pois a pessoa nos passa o seu sentimento quanto à beleza do palácio. Mas também temos uma função informativa. Somos informados que o prédio foi construído no século XIX. E agora vem o mais importante: na hora da prova, não é para sair brigando com o enunciado. Não! Faça aquilo que o examinador quer que você faça. 0 adjetivo "bela" não está aí à toa. Este adjetivo está aí justamente para remeter a uma expressão de sentimento/opinião. Se o examinador fez questão de colocar o adjetivo "bela", é porque ele quer que você classifique a frase como "não proposição". Pronto. Simples assim. Se ele quisesse que tal frase fosse proposição, ele certamente tiraria o adjetivo "bela". Para a sentença IV os comentários são análogos. Somos informados que o Barão foi um diplomata e, além disso, há uma expressão de sentimento/opinião quanto à sua notabilidade. A palavra "notável" está lá justamente para nos remeter à função expressiva. Logo, não é proposição. EC 2. FINEP 2009 [CESPE] Acerca de proposições, considere as seguintes frases: 1 Os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de financiamento de projetos. II O que é o CT-Amazônia? III Preste atenção ao edital! IV Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde-amarelo. São proposições apenas as frases correspondentes aos itens a) I e IV. b) II e III. c) III e IV. d) I, II e III. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA e) I, II e IV. Resolução A frase II é uma pergunta, não podendo ser julgada em V ou F. A frase III é uma ordem, que também não é proposição. Logo, são proposições as frases I e IV. Gabarito: A EC 3. TRT 17 - 2009 [CESPE] Julgue o item a seguir: . Na sequência de frases abaixo, há três proposições. - Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil? - O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. - Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES. - Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. Resolução Observem que a primeira sentença é uma pergunta, que não pode ser julgada em verdadeiro ou falso. Logo, não é proposição. As demais sentenças são proposições, pelo que o item é verdadeiro. Gabarito: certo EC 4. SEFAZ/SP 2006 [FCC] Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I - Que belo dia! II - Um excelente livro de raciocínio lógico. III - O jogo terminou empatado? IV - Existe vida em outros planetas do universo. V - Escreva uma poesia. A frase que não possui esta característica comum é a: Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA a) I b) II c) III d) IV e) V Resolução: A frase I é uma exclamação. Não pode ser julgada em verdadeiro ou falso, logo não é proposição. A frase II contém uma opinião sobre o livro, não sendo possível julgar em verdadeiro ou falso. Não é proposição. A frase III é uma pergunta, que também não é proposição. A frase IV pode ser julgada em verdadeiro ou falso. É uma proposição. A frase V é uma ordem. Não é proposição. Só a frase IV é proposição. Gabarito: D EC 5. SEBRAE 2010 [CESPE] Julgue o item a seguir. Entre as frases apresentadas a seguir, identificadas por letras de A a E, apenas duas são proposições. A: Pedro é marceneiro e Francisco, pedreiro. B: Adriana, você vai para o exterior nessas férias? C: Que jogador fenomenal! D: Todos os presidentes foram homens honrados. E: Não deixe de resolver a prova com a devida atenção. Resolução. Em B temos uma pergunta, que não pode ser julgada em V ou F. Não é proposição. Em C temos uma exclamação, também não é proposição. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Em D temos uma opinião sobre os presidentes. A pessoa expressa sua opinião de que os presidentes são honrados. Em "E" podemos ter, dependendo do contexto, uma ordem, um pedido, um conselho. Seria a função diretiva da linguagem. Em qualquer um destes casos, não é proposição. Apenas "A" é proposição. Assim, eu marcaria "errado". Contudo, no gabarito definitivo, a questão foi dada como certa. Gabarito: certo EC 6. BB/2007 [CESPE] Na lógica sentenciai, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Assim, frases como "Como está o tempo hoje?" e "Esta frase é falsa" não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C, etc. Uma proposição da forma "A ou B" é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma "Se A então B" é F se A for V e B for F, caso contrário é V. Considerando as informações contidas no texto acima, julgue o item subsequente. 1. Na listade frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. "A frase dentro destas aspas é uma mentira." A expressão X + Y é positiva. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? Resolução "A frase dentro destas aspas é uma mentira." É uma oração declarativa, mas não pode ser classificada em verdadeiro ou falso. Suponhamos que a frase seja verdadeira. Neste caso, concluímos que é verdade que a frase dentro das aspas é mentira. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Ou seja, supor que a frase é verdadeira nos leva a concluir que ela é mentirosa. Diferentemente, se supormos que a frase é falsa, vamos concluir que ela é verdadeira. Qualquer que seja o valor lógico atribuído, chegaremos a uma contradição. Portanto, não é possível julgá-la em verdadeiro ou falso. Por este motivo, não é uma proposição. Vamos para a próxima frase: A expressão X + Y é positiva. Temos variáveis. Trata-se de uma sentença aberta. Logo, não é proposição. Em seguida temos: Estamos declarando que o valor da conta acima é igual a 7. Trata-se de uma proposição. No caso, sabemos que é uma proposição falsa, pois o resultado da soma seria 5 (e não 7). Na sequência: "Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira" Nova frase declarativa. É uma proposição. Por fim: O que é isto? É uma frase interrogativa e, portanto, não é uma proposição. O item está errado porque há exatamente duas proposições. Gabarito: errado 2. Proposições compostas e conectivos lógicos Geralmente simbolizamos proposições por letras do alfabeto. P: A seleção brasileira de futebol é pentacampeã mundial. Q: Fernando Henrique Cardoso é o atual presidente do Brasil. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA As duas proposições acima são simples. Elas não podem ser divididas em outras proposições menores. Quando juntamos duas ou mais proposições simples, formamos outra proposição, maior, chamada de proposição composta. Exemplo: R: Pedro é alto. S: Júlio é baixo. Acima temos duas proposições simples. Podemos juntá-las por um conectivo, formando uma proposição composta. T: Pedro é alto e Júlio é baixo. Observem que a proposição T é formada pelas proposições simples R e S, unidas pelo conectivo e. Além do conectivo e há diversos outros: Além disso, é importante saber que existe a negação, que pode ser Várias questões de prova pedem que a gente transforme uma frase escrita para a simbologia lógica, ou vice versa. EC 7. STF 2008 [CESPE] Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S: P: Nesse país o direito é respeitado. Q: O país é próspero. R: O cidadão se sente seguro. S: Todos os trabalhadores têm emprego. Considere também que os símbolos representem os conectivos lógicos "ou", "e", "se ... então" e "não", respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 1. A proposição "Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro" pode ser representada simbolicamente por Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Se (o país é próspero), então (todos os trabalhadores têm emprego). 2. A proposição "Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego" pode ser representada simbolicamente por 3. A proposição "O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma conseqüência de, nesse país, o direito ser respeitado" pode ser representada simbolicamente por Resolução. Primeiro item. Temos: "Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro" Vamos colocar parêntesis para delimitar as proposições simples: (Nesse país o direito é respeitado), mas (o cidadão não se sente seguro) As duas parcelas são unidas pela palavrinha "mas", que acrescenta uma informação. Ela tem um papel análogo ao do "e". É como se afirmássemos que o direito é respeitado e o cidadão não se sente seguro. Além disso, vemos que a segunda parcela apresenta uma negação. Portanto, a proposição mencionada pode ser representada por: Item certo Segundo item. A sentença é: Em símbolos: Item certo Terceiro item. A proposição é: "O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma conseqüência de, nesse país, o direito ser respeitado". Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Vamos usar parêntesis para delimitar as proposições simples: ((O país ser próspero) e (todos os trabalhadores terem emprego)) é uma conseqüência de, (nesse país, o direito ser respeitado). A expressão "é uma conseqüência", remete ao condicional (se... então). Podemos reescrever a frase assim: Se (nesse país, o direito é respeitado), então ((o país é próspero) e (todos os trabalhadores têm emprego)). Em símbolos, ficamos com: Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br Não foi essa a simbologia indicada pelo enunciado. Item errado. Gabarito: certo, certo, errado EC 8. TRT 1a Região 2008 [CESPE] Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F —, mas não se admitem os julgamentos V e F simultaneamente. As letras maiúsculas do alfabeto, A, B, C etc., são freqüentemente utilizadas para representar proposições simples e, por isso, são denominadas letras proposicionais. Alguns símbolos lógicos Considerando as definições apresentadas no texto anterior, as letras proposicionais adequadas e a proposição "Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz", assinale a opção correspondente à simbolização correta dessa proposição. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Resolução: Reescrevendo a frase: (Antônio não é desembargador) e (Jonas não é juiz). Sejam A e B as proposições a seguir: A: Antônio é desembargador. Gabarito: C 3. Tabela verdade dos conectivos Devemos ter muito clara em nossa cabeça a tabela-verdade de cada conectivo. Uma tabela-verdade é uma tabela em que combinamos todas as possibilidades das proposições simples para ver quais são os resultados das proposições compostas. Para entendermos como funciona a tabela para cada conectivo, veremos exercícios mais simples, por mim elaborados (exercícios propostos - sigla EP). Em seguida, veremos as questões de concurso. EP 1. João vai viajar. Antes de pegar a estrada, passou na oficina para que fosse feita uma revisão nos freios e na suspensão de seu carro. No dia seguinte, João vai à oficina buscar seu carro. Em cada uma das situações abaixo, como João classificaria o atendimento da oficina? a) foram checados os freios e a suspensão b) foram checados só os freios; a suspensão não foi checada c) foi checada só a suspensão; os freios não foram checados d) não foi checada a suspensão; os freios também não foram checados Resolução: Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br B: Jonas é juiz. Representando a proposição composta em símbolos: RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA O que João quer é realizar uma viagem segura. Ele só estará seguro se os dois itens mencionados forem checados. Não adianta nada estar com os freios bons e a suspensão ruim. João continuará correndo risco de acidente. Da mesma forma, não é seguro ele viajar com a suspensão em ordem se os freios não estiverem ok. Deste modo, a única situação em que João vai aprovar o atendimento da oficina será na letra"a", em que os dois itens são checados. Em qualquer outra hipótese, o atendimento terá sido falho. João só estará satisfeito com o atendimento quando os dois itens forem checados (suspensão e freios). Ele só estará satisfeito com o atendimento quando for checado o freio e também for checada a suspensão. Analogamente, uma proposição com o conectivo "e" só será verdadeira quando todas as suas "parcelas" forem verdadeiras. Ou ainda, quando todos os seus termos forem verdadeiros. ATENÇÃO: Existe apenas uma situação em que a conjunção é verdadeira: quando todas as suas "parcelas" são verdadeiras (ou ainda, quando todas as proposições simples são verdadeiras). Em outras palavras: para que a proposição composta seja verdadeira, as proposições simples devem ser conjuntamente verdadeiras (por isso o nome: conjunção) EP 2. Hoje é feriado e Maria quer fazer um almoço especial. Para tanto, incumbiu José, seu marido, de ir comprar a "mistura". Como eles moram numa cidade pequena, Maria sabe que muitos estabelecimentos comerciais estarão fechados (ou seja, José pode ter dificuldades para "cumprir sua missão"). Por isso ela deixou opções para ele: José pode comprar carne ou peixe. Em cada uma das situações abaixo, como Maria avaliaria o cumprimento da tarefa de José? a) José comprou a carne, mas não comprou o peixe. b) José comprou o peixe, mas não comprou a carne. c) José comprou a carne e o peixe. d) José não comprou nem carne nem peixe. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Resolução: A ideia de Maria é ter algo pra fazer de almoço. Se o José comprar qualquer um dos dois itens (peixe ou carne), terá cumprido sua tarefa com êxito e Maria poderá fazer o almoço. Assim, nas letras "a" e "b", Maria ficará satisfeita com José, tendo em vista que ele comprou pelo menos uma das duas opções de mistura. O almoço estará garantido. Na letra "c" José teve, igualmente, êxito. Comprou ambos: peixe e carne. Maria não só poderá fazer o almoço de hoje como também já poderá planejar o almoço do dia seguinte. Só na letra "d" é que Maria ficará insatisfeita com seu marido. Na letra "d", José voltou para casa de mãos abanando. José voltou sem nada e o almoço ficou prejudicado. Neste exemplo, José precisava comprar a carne ou o peixe. Isto significa que ele precisava comprar pelo menos um dos dois. Poderia ser só a carne, só o peixe, ou ambos, carne e peixe. A única situação em que José não cumpre sua tarefa é aquela em que ele não compra nada: nem carne nem peixe. Analogamente, uma proposição com o conectivo "ou" só será falsa se todas as suas "parcelas" forem falsas (ou ainda: se todas as proposições simples que a compõem forem falsas). ATENÇÃO: Existe apenas uma situação em que a disjunção é falsa: quando todas as suas "parcelas" são falsas (ou ainda, quando todas as proposições simples são falsas). Em outras palavras, a proposição composta será verdadeira mesmo que as proposições simples sejam separadamente (ou disjuntamente) verdadeiras, ou seja, mesmo que apenas uma delas seja verdadeira. EP 3. Augusto contratou um seguro de carro. O seguro protegia contra batidas. Assim, se Augusto bater o carro, então a seguradora paga a indenização. Como Augusto avaliaria a seguradora em cada situação abaixo: a) Augusto bate o carro e a seguradora paga a indenização Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA b) Augusto bate o carro e a seguradora não paga a indenização c) Augusto não bate o carro e a seguradora paga a indenização d) Augusto não bate o carro e a seguradora não paga a indenização Resolução Na letra "a", temos a situação normal de contrato. Augusto bateu o carro e a seguradora paga a indenização. A seguradora cumpriu com seu papel e Augusto ficará satisfeito com o serviço prestado pela seguradora. Na letra "b", Augusto bateu novamente o carro. A seguradora deveria pagar o seguro. Deveria, mas não o fez. Augusto certamente ficará insatisfeito com a seguradora, podendo acionar o Procon, a justiça, etc. Na letra "c", temos uma situação até meio irreal. Augusto nem bateu o carro e a seguradora está dando dinheiro para ele. Ô seguradora boa, hein! Podemos pensar que se trata de um prêmio, ou desconto, alguma vantagem. Seria a situação em que as seguradoras premiam bons clientes. Na letra "c", novamente o Augusto ficará satisfeito com o atendimento da seguradora. Muito satisfeito, por sinal. Na letra "d", Augusto não bate o carro e a seguradora não paga a indenização. Augusto tem o direito de ficar insatisfeito? Não, não tem. A seguradora não tinha obrigação de pagar indenização nenhuma. Afinal de contas, Augusto não bateu o carro. Na letra "d", Augusto não tem motivo algum para dizer que a seguradora prestou um mal serviço. Portanto, ele, não tendo motivos concretos para fazer uma avaliação negativa, diria que a Seguradora presta um bom serviço (ou seja, presume-se que seja uma boa empresa, até prova em contrário). Observe a situação inicial. Temos exatamente uma frase com "se... então". Se Augusto bater o carro, então a seguradora paga a indenização. Vamos dividir esta frase em duas "parcelas". A primeira parcela se refere a Augusto bater o carro. A segunda se refere à seguradora pagar a indenização. A única possibilidade de Augusto ficar insatisfeito ocorre quando a primeira "parcela" acontece (ou seja, quando ele bate o carro) e a segunda "parcela" não acontece (ou seja, quando a seguradora não paga a indenização). De modo análogo, uma proposição: se "p", então "q", só é falsa quando "p" é verdadeiro e "q" é falso. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Como os alunos costumam ter um pouco de dúvidas neste conectivo condicional, vejamos outro exemplo. EP 4. Júlia, hoje pela manhã, disse à sua amiga: hoje, se fizer sol, eu vou ao clube. Ao final do dia, temos as situações descritas abaixo. Em cada uma delas, avalie se Júlia disse a verdade ou se Júlia mentiu. a) fez sol e Júlia foi ao clube. b) fez sol e Júlia não foi ao clube. c) não fez sol e Júlia foi ao clube. d) não fez sol e Júlia não foi ao clube. Resolução: Na letra "a" fez sol. E Júlia disse que, se fizesse sol, ela iria ao clube. Como ela de fato foi ao clube, então ela disse a verdade. Na letra "b", novamente, fez sol. E Júlia disse que, se fizesse sol, ela iria ao clube. Como ela não foi ao clube, ela mentiu. Nas letras "c" e "d", não fez sol. Ora, Júlia não prometeu nada para o caso de não fazer sol. O compromisso dela era apenas para o caso de fazer sol. Ela assumiu um compromisso de, fazendo sol, ir ao clube. Ora, se não fez sol, então Júlia está liberada de seu compromisso. Ela não prometeu nada caso chovesse, ou ficasse nublado. Portanto, não interessa o que ela tenha feito nas letras "c" e "d". Você não pode dizer que ela mentiu. Se considerarmos que a situação inicial é composta de duas "parcelas", teríamos o seguinte: primeira parcela - fazer sol; segunda parcela - Júlia ir ao clube. Novamente, a única situação em que dizemos que Júlia mente ocorre quando a primeira parcela acontece (ou seja, faz sol) e a segunda não acontece (Júlia não vai ao clube). De modo análogo, uma proposição com o conectivo "se... então" só é falsa quando a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa. No condicional, a primeira parcela recebe o nome de antecedente e a segunda parcela recebe o nome de conseqüente. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR:VÍTOR MENEZE SANTANA ATENÇÃO: Existe apenas uma situação em que o condicional é falso: quando a primeira proposição for verdadeira e a segunda, falsa. Em outras palavras: o condicional só será falso se o antecedente for verdadeiro e o conseqüente for falso. RESUMINDO TUDO! Sejam duas proposições simples Tabela verdade do conectivo ou: Tabela verdade do conectivo "se ... então": Nas tabelas verdades acima, apresentamos qual o valor lógico de cada uma das proposições compostas, conforme o valor lógico de P e Q. Por fim, falta ver a tabela verdade da negação. A negação tem a propriedade de transformar o que era verdadeiro em falso (e vice versa). Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br proposições compostas são: Tabela verdade do conectivo e: P e Q. As tabelas verdades das RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Por enquanto, vamos ficar só com estes conectivos acima estudados. O bicondicional e a disjunção exclusiva, por serem pouco exigidos em prova, serão vistos posteriormente. Para praticar, vejamos alguns exercícios de concursos. EC 9. INSS 2008 [CESPE] Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br ambas, F; nos demais casos, será V. Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 5.° da Constituição Federal. A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue os itens a seguir. 1. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores Resolução. Para a resolução da questão, o candidato precisaria lembrar alguma coisinha do artigo 5° da CF. Vamos reproduzir alguns de seus incisos: XXXII - o Estado promoverá, na forma da lei, a defesa do consumidor; XLII - a prática do racismo constitui crime inafiançável e imprescritível, sujeito à pena de reclusão, nos termos da lei; 2. De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA LII - não será concedida extradição de estrangeiro por crime político ou de opinião. Deste modo, temos condições de saber se as proposições A, B e C são verdadeiras ou falsas. A: Falsa B: Verdadeira C: Falsa Vamos ao primeiro item: Queremos saber o valor lógico do condicional: Se B então C. Sabemos que a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa. Esta é a única situação em que o condicional é falso. Item errado Segundo item: Sabemos que A é falsa. Logo, a negação de A é verdadeira. Sabemos que C é falsa. Logo, a negação de C é verdadeira. EC 10.TRE ES 2010 [CESPE] Considere que a proposição "O professor Carlos participou do projeto ou a aluna Maria é eleitora" seja falsa. Nesse caso, a proposição "Se o professor Carlos participou do projeto, então a aluna Maria é eleitora" será verdadeira. Resolução: Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br verdadeira verdadeira A proposição solicitada foi: Temos um "ou" em que as duas "parcelas" são verdadeiras, o que faz com que a proposição composta seja verdadeira. Item errado. Gabarito: errado, errado RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Vamos dar nomes às proposições simples. p: O professor Carlos participou do projeto. q: a aluna Maria é eleitora. A proposição inicialmente fornecida é: Esta proposição é falsa. Uma proposição composta pelo conectivo "ou" só é falsa quando suas duas parcelas são falsas. Logo: p: falso q: falso Em seguida, temos que analisar a seguinte proposição: Temos um condicional em que a primeira parcela é falsa (p é falso). Isso já faz com que o condicional seja verdadeiro. Gabarito: certo. EC 11. PREVIC 2010 [CESPE] Se a proposição P for falsa, então a proposição proposição verdadeira. será uma Resolução. De fato, em um condicional, quando a primeira parcela é falsa, o condicional será verdadeiro, independente do valor lógico da segunda parcela. Gabarito: certo. EC 12. Bahia Gás 2010 [FCC] "Se a soma dos dígitos de um número inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6". Um valor de n que mostra ser falsa a frase acima é (A) 30. (B) 33. (C) 40. (D) 42. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA (E) 60. Resolução. A sentença dada não é uma proposição, pois contém uma variável (n). Já vimos que este tipo de sentença é chamado de função proposicional. Isto ocorre porque, a cada valor assumido por n , tem-se uma nova proposição, que pode ser julgada em V ou F. Muito bem. Queremos substituir n por um valor tal que a proposição assim originada seja falsa. Para que um condicional seja falso, a primeira parcela deve ser verdadeira e a segunda parcela deve ser falsa. A função proposicional dada foi: "Se a soma dos dígitos de um número inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6". Primeira parcela: A soma dos dígitos de um número inteiro n é divisível por 6 Segunda parcela: n é divisível por 6. Quando substituirmos n por um certo valor, a proposição será falsa. Isso ocorrerá quando a primeira parcela for verdadeira e a segunda for falsa. Ou seja, estamos procurando um número tal que: - a soma dos seus dígitos seja divisível por 6 (1a parcela verdadeira) - o número não seja divisível por 6 (2a parcela falsa). Agora devemos nos dirigir às alternativas para ver qual delas fornece um valor de n que obedeça a estas condições. Letra A: 30 A soma dos dígitos é: 3 + 0 = 3. A soma dos dígitos não é múltipla de 6. Este número não serve, pois não torna verdadeira a 1a parcela do condicional. Letra B: 33. A soma dos dígitos é: Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA 3 + 3 = 6. A soma dos dígitos é múltipla de 6, o que torna verdadeira a 1a parcela. Além disso, 33 não é múltiplo de 6, o que torna falsa a 2a parcela. Pronto. Achamos um número que satisfaz às nossas condições (primeira parcela verdadeira e segunda parcela falsa), fazendo com que o condicional seja falso. Gabarito: B EC 13. MRE 2009 [FCC] Questionados sobre a falta ao trabalho no dia anterior, três funcionários do Ministério das Relações Exteriores prestaram os seguintes depoimentos: - Aristeu: "Se Boris faltou, então Celimar compareceu." - Boris: "Aristeu compareceu e Celimar faltou." - Celimar: "Com certeza eu compareci, mas pelo menos um dos outros dois faltou." Admitindo que os três compareceram ao trabalho em tal dia, é correto afirmar que (A) Aristeu e Boris mentiram. (B) os três depoimentos foram verdadeiros. (C) apenas Celimar mentiu. (D) apenas Aristeu falou a verdade. (E) apenas Aristeu e Celimar falaram a verdade. Resolução. Para treinarmos a simbologia lógica, vamos dar nomes às proposições: a: Aristeu compareceu b: Boris compareceu c: Celimar compareceu. Sabemos que os três compareceram ao trabalho no dia em questão. Ou seja, todas as proposições simples acima são verdadeiras. Agora vamos analisar cada fala dos três funcionários. Aristeu diz: Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Em símbolos: Se Boris faltou, então Celimarcompareceu. Notem que o antecedente é falso, pois sabemos que Boris compareceu (b é verdadeiro; portanto, ~b é falso). O fato de o antecedente ser falso já nos garante que o condicional é verdadeiro, independente do valor lógico do conseqüente. Portanto, Aristeu falou a verdade. Boris diz: Em símbolos: Aristeu compareceu e Celimar faltou. Temos uma conjunção em que a primeira parcela é verdadeira (pois realmente Aristeu compareceu; a é verdadeiro) e a segunda parcela é falsa (pois Celimar compareceu; c é verdadeiro, logo ~c é falso). Se uma das parcelas é falsa, então a conjunção é falsa. Concluímos que Boris mentiu. Celimar diz: "Com certeza eu compareci, mas pelo menos um dos outros dois faltou." Vamos traduzir esta frase para a forma a que estamos acostumados? A expressão "pelo menos um" está relacionada com o conectivo "ou". Isto porque, para que o "ou" seja verdadeiro, pelo menos uma das suas parcelas deve ser verdadeira. Com isso, podemos reescrever a frase de Celimar assim: (Celimar compareceu) e (Aristeu faltou ou Boris faltou). Em símbolos: Entre parêntesis temos uma disjunção com duas parcelas falsas. Logo, a disjunção é falsa. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Vamos substituir a proposição entre parêntesis por seu valor lógico: Fixado o valor lógico de p, vamos para q. Em cada uma das situações acima, podemos ter q sendo verdadeiro ou falso. Isto está representado no diagrama abaixo. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br Agora restou uma conjunção em que a segunda parcela é falsa. Isto é suficiente para que a conjunção seja falsa. Portanto, Celimar mentiu. Concluímos que apenas Aristeu disse a verdade. Gabarito: D EP 5. Construa a tabela verdade para a proposição abaixo: Resolução. Vamos começar pela proposição p. Ela pode ser verdadeira ou falsa. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA E, para cada combinação de valores lógicos de p e q, temos duas possibilidades para r: verdadeiro ou falso. Veja diagrama abaixo: Ou seja, há 8 cominações possíveis de valores lógicos para p, q e r. Uma forma sistemática de abranger todos eles é assim. Para a proposição r, trocamos o valor lógico de linha em linha. Pronto. Fomos alternando os valores lógicos. Primeiro V, depois F, depois V, depois F. Ok, agora vamos para a proposição q. Vamos alternando os valores lógicos de duas em duas linhas. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Primeiro colocamos V e V. Depois F e F. Depois V e V. E assim por diante. E o jeito de fazer é sempre assim, vamos sempre dobrando. Vamos agora para a proposição p. Novamente dobramos. Alternamos os valores lógicos de 4 em 4 linhas. Observem que: - para "p", alternamos o valor lógico a cada 4 linhas - para "q", alternamos o valor lógico a cada 2 linhas - para "r", alternamos o valor lógico a cada 1 linha. Esta é uma forma sistemática de abranger todos os casos possíveis. No fundo, simplesmente transformamos o diagrama em uma tabela. E isso ajuda a lembrar que a tabela-verdade de uma proposição composta por n proposições simples terá 2n linhas. Exemplo: se a proposição for composta por 2 proposições simples, ela terá 22 = 4 linhas. Se a proposição for composta por 3 proposições simples, a tabela verdade terá 23 = 8 linhas. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Se a proposição for composta por 4 proposições simples, a tabela verdade Viu? Vai sempre dobrando (4, 8, 16, 32, ...) ATENÇÃO: Para tanto, consultamos as colunas p e q. Quando p e q são verdadeiros, a conjunção também é verdadeira. Em qualquer outro caso, ou seja, quando pelo menos uma das parcelas é falsa, a conjunção será falsa (em vermelho o que preenchemos agora, em azul o que já havia sido preenchido). Prof.VítorMenezes Santana www.pontodosconcursos.com.br Se uma proposição é composta por n proposições simples, sua tabela Agora que já conseguimos relacionar todas as combinações de valores lógicos para p, q e r, podemos continuar montando a tabela verdade. A proposição composta é: O parêntesis nos indica que devemos, primeiro, fazer o "e". V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F V V V V V V F V V F V V F F F V V F V F F F V F F F V V V V V V F V V F V F RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Pronto. Já fizemos a parcela que está entre parêntesis. Agora podemos finalmente fazer a coluna da proposição composta desejada. Em qualquer outro caso, o condicional é verdadeiro. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br Temos um condicional. Suas parcelas são: 1a parcela: 2a parcela: O condicional só é falso quando a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa. V V V V V V F V V F V F V F F F F V V F F V F F F F V F F F F F V V V V V V V F V F V F V F V V F F F V F V V F V F V F F V V F F F F V V F F V F F F F V F F F F F RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Para praticar, vejamos alguns exercícios de concursos. EC 14. Sebrae 2008 [CESPE] Julgue os itens a seguir: 1. Considere o quadro abaixo, que contém algumas colunas da tabela Nesse caso, pode-se afirmar que a última coluna foi preenchida de forma totalmente correta. 2. Considere o quadro abaixo, que apresenta algumas colunas da tabela Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br Pronto. Montamos a tabela-verdade da proposição composta verdade da proposição verdade referente à proposição F F V F V F F F F V V V V V V V F V V F V V V F F F F V V V F V F V F F V V RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Nesse caso, pode-se afirmar que a última coluna foi preenchida de forma totalmente correta. Resolução. Primeiro item. Note que a tabela-verdade do enunciado tem apenas 7 linhas (faltou uma linha). Este fato, contudo, não fez com que a banca anulasse o item. A ideia aqui, para ganhar tempo, é não preencher a tabela inteira. Antes de iniciarmos, é conveniente frisar a forma como foi construída a tabela. Observem que, para a proposição R, o valor lógico vai alternando de linha em linha. Para a proposição Q, o valor lógico muda de 2 em 2 linhas. Para P o valor lógico muda de 4 em 4 linhas. Isso é uma forma sistemática de abranger todas as combinações de valores lógicos das três proposições. Caso tivéssemos uma quarta proposição, seus valores lógicos seriam trocados a cada 8 linhas. Sempre assim, sempre dobrando. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br V V V V V V F F V F V V V F F F F V V V F V F F F F V F F F F F V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Isso até ajuda a lembrar que uma tabela-verdade precisa sempre ter 2n linhas, onde n é o número de proposições simples. Se for uma proposição simples, a tabela terá 2 linhas. Se forem 2 proposições simples, a tabela terá 4 linhas, e assim por diante, sempre dobrando. Continuando a questão. Na última coluna, temos um condicional. Sua primeira parcela é P e sua Se este é o único caso de falso, todas as demais linhas do condicional são verdadeiras. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br segunda parcela é O único caso em que o condicional éfalso é quando a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa. Logo, o condicional só será falso quando: P: Verdadeiro A segunda parcela do condicional é: Temos um "ou". Ele só será falso quando Q e R forem falsas. Logo, o único caso que o nosso condicional é falso é quando: P: Verdadeiro V V V V V F V F V V F F F F F V V F V F F F V F F F RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA A última coluna dada no item foi preenchida de forma correta. Item certo Segundo item. Novamente, vamos tentar não preencher a tabela inteira. Na última coluna, temos um "e", formado por duas parcelas. A primeira é Para ficar bem claro, vou colocar um tracejado para indicar que não nos Pe a segunda é Quando a primeira parcela é falsa, o "e" 'já é falso. Nem precisamos olhar o que acontece com a outra parcela. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br interessa o que acontece com V V V V V V F V V F V V V F F F F F V V V F V F V F F V V F F F V V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F V V V V V F V F V V F F F V V F F V F F F F V F F F F F RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Nas demais linhas, P é verdadeiro. Assim, o valor lógico do "e" vai Nos demais casos, a proposição dada na última coluna será verdadeira. A última coluna dada na questão não foi preenchida de forma correta. Item errado. Gabarito: certo, errado Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br depender da segunda parcela Na segunda parcela, temos um condicional. Ele só será falso quando (fazendo com que o "e" seja falso), quando Q for verdadeiro e R for falso. V V V V V F V F V V F F F V V F F V F F F F V F F F F F V V V V V F F F V F V V F F F V V F F V F F F F V F F F F F V V V V V V F F F V F V V V F F V F V V F F V F F F F V F F F F F RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA EC 15. STF 2008 [CESPE] 2. A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos representem, respectivamente, os conectivos "ou", "e", "implica" e "negação". As proposições são julgadas como verdadeiras - V - ou como falsas - F. Com base nestas informações, julgue os itens seguintes relacionados a lógica proposicional. 1. A última coluna da tabela-verdade corresponde à proposição Resolução: Primeiro item. Novamente, a ideia é não preencher a tabela inteira. Vamos preencher o necessário para responder à questão. V V V V V V F V V F V F V F F V F V V F F V F V F F V F F F F V V V V V V V F F V F V V V F F V F V V V F V F V F F V V F F F V V V V V V F V F V RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA V F F F V V F V F F F V F F F Na última coluna temos um condicional. O único caso em que ele é falso é quando a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa. V V V V V F V F V V F V F F F V V F V F F F V F F F Deste modo, em todas as outras linhas da última coluna o valor lógico será V. V V V V V V F V V F V V F V F F V F V V V F V F V Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br A primeira parcela é composta por um "e". Para que a primeira parcela seja verdadeira, P e R devem ser verdadeiros. P: verdadeiro R: verdadeiro Q: Falsa Logo, o único caso em que o condicional é falso é quando P é verdadeiro, R é verdadeiro e Q é falso. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA F F V V F F F V Observem que a última coluna não corresponde ao fornecido no enunciado. O item está errado. Item errado. Segundo item. V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Na última coluna temos um "ou". Ele só será falso quando as duas R é falso V V V V V F F F F V F V V F F F V V Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br parcelas forem falsas. Ou seja. é falso (logo P é verdadeiro) Na segunda parcela do "ou" temos um condicional. Ele só é falso quando . primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa. Ou seja, o condicione só é falso quando: Q é verdadeiro R é falso Portanto, a proposição P é verdadeiro Q é verdadeiro RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA F V F F F V F F F Vimos que o caso acima é o único em que a proposição falsa. Em todos os demais casos, ela é verdadeira. A última coluna ficou exatamente como informado no enunciado. Item correto. Item certo Gabarito: errado, certo EC 16. TRT 5a Região 2008 [CESPE] Na tabela abaixo, a última coluna da direita corresponde à tabela-verdade Resolução. O valor lógico de —A é o oposto do valor lógico de A. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br V V V V V V F F F F V F V V V F F V F V V V F V F V F F V V F F F V da proposição V V F V F F F V V F F V RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Temos um "ou", onde as parcelas são: E nós sabemos que, quando a primeira parcela do condicional é falsa, o condicional é verdadeiro Isto já nos permite concluir que o item está falso. Gabarito: errado EC 17. SEBRAE 2010 [CESPE] Considerando as proposições simples que compõem a frase "A música nos conecta a nós mesmos, aos outros e à alma do Brasil", é correto afirmar que a tabela-verdade da proposição referente a essa frase tem 8 linhas. Resolução: Note que a frase é composta de três proposições simples. Reescrevendo a frase, para ficar mais claro: (A música nos conecta a nós mesmos) e (a música nos conecta aos outros) e (a música nos conecta à alma do Brasil). Havendo três proposições simples, a tabela verdade da proposição composta terá 23 = 8 linhas. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br V V F V F F F F V V F F V V V F V F F F V F V V F F V Agora vamos focar na proposição Este "ou" é justamente a primeira parcela do condicional " 1a parcela: 2a parcela: B Este "ou" só será falso quando todas as parcelas forem falsas. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Gabarito: certo. EC 18.SEFAZ ES 2010 [CESPE] Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br julgue o item que se segue: 1. As tabelas-verdade de S e de T possuem, cada uma, 16 linhas. Resolução: Note que ambas as proposições compostas são formadas por 3 proposições simples: p, q, r. Logo, as tabelas-verdade têm 23 = 8 linhas. Gabarito: errado. EC 19. PREVIC 2010 [CESPE] O número de linhas da tabela-verdade da proposição a 6. Resolução. A proposição é composta por três proposições simples. Logo, a tabela verdade terá 23 linhas. 23 = 8 Oito não é inferior a seis. O item está errado. Gabarito: errado. 4. Ordem de precedência entre os conectivos Quando temos diversos conectivos, costumamos utilizar parêntesis ou colchetes para indicar qual tem precedência. Como exemplo, considere as duas proposições abaixo: Na primeira delas, o "ou" tem prioridade, por causa dos parêntesis. Primeiro fazemos "Q ou R". Depois, pegamos o resultado disso e fazemos a conjunção com P. Na segunda proposição, a conjunção tem preferência. Primeiro fazemos "P e Q". Depois pegamos o resultado disso e fazemos a disjunção com R. Há situações em que os parêntesis são omitidos. Neste caso, temos que saber a ordem de precedência entre os conectivos. A ordem é: 1°:operador "não" 2°: conectivo "e" 3°: conectivo "ou" 4°: conectivo "se então" Quando a frase está escrita em linguagem comum (em vez da utilização da simbologia lógica), não há como colocar parêntesis para indicar qual conectivo deve ser feito primeiro. Neste caso, seguimos a ordem acima indicada. EC 20. MPOG 2009 [ESAF] Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é: a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França. b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. Resolução: Letra A Temos um condicional: 1a parcela: Roma é a capital da Itália (verdadeiro) 2a parcela: Londres é a capital da França (falso) Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Quando a primeira parcela do condicional é verdadeira e a segunda é falsa, o condicional é falso. Letra B. Outro condicional em que a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa. Proposição falsa. Letra C. A proposição em questão é: Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. Temos um "e" e um "ou". Seguindo a ordem de precedência, primeiro fazemos o "e". Depois fazemos o "ou". Colocando parêntesis, ficaria assim: (Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França) ou Paris é a capital da França. A proposição é composta por um "ou". Primeira parcela: (Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França) Segunda parcela: Paris é a capital da França. Observem que a segunda parcela do "ou" é verdadeira. Isto já é suficiente para que a proposição inteira seja verdadeira. Achamos a alternativa correta. Gabarito: C ATENÇÃO: Ordem de precedência entre os conectivos: Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br operador "não" e ou se... então RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA EC 21. TCE RN 2009 [CESPE] Se A, B, C e D são proposições, em que B é falsa e D é verdadeira, então, independentemente das valorações falsa ou verdadeira de A e C, a proposição será sempre verdadeira. Resolução: Notem que a questão não usou parêntesis para indicar o que deve ser feito primeiro. Conhecendo a ordem de precedência entre os conectivos, já sabemos que a proposição dada é: Sabemos que B é falso e D é verdadeiro. Com isso, temos: Na primeira parcela do condicional temos a disjunção entre a proposição A e algo que é falso. Portanto, o valor lógico da disjunção vai depender do valor lógico de A. Se A for verdadeiro, a disjunção é verdadeira. Contrariamente, se A for falso, a disjunção é falsa. Ficamos com: Na segunda parcela do condicional temos uma conjunção entre a proposição C e algo que é verdadeiro. Logo, o valor lógico da conjunção dependerá de C. Esta proposição acima pode sim ser falsa. Basta que A seja verdadeiro e C seja falso. Assim, quando A é verdadeiro, B é falso, C é falso e D é verdadeiro, a Gabarito: errado 5. Condição necessária e suficiente proposição é falsa. Num condicional nós temos alguns nomes especiais. A proposição P é dita antecedente. Por sua vez, a proposição Q é o conseqüente. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA p é condição suficiente para q jr • • M r m q é condição necessária para p Para não confundir quem é necessário e quem é suficiente, uma dica. Observe a proposição. Se p, então q. A palavrinha "Se" começa com "S". E suficiente também começa com "s" A dica é: a proposição que estiver perto do "s" é a condição suficiente. Essa nomenclatura pode confundir muita gente. Esse "necessário" e "suficiente" não tem nada a ver com o uso rotineiro de tais palavras. Vocês não podem associá-los a uma relação de causa e conseqüência. Esta nomenclatura se refere ao comportamento dos valores lógicos na tabela-verdade. Observe a tabela para a proposição "se p, então q": Como nossa proposição composta é verdadeira, vamos ignorar a segunda linha. Analisando as linhas remanescentes, temos o seguinte: - em todas as linhas em que P é verdadeiro, Q também é; ou seja, na tabela-verdade, P ser verdadeiro é suficiente para Q também ser; - em todas as linhas em que Q é falso, P também é; logo, para que P seja verdadeiro, é necessário que Q também seja (embora isso não seja suficiente). Deste modo, as expressões "condição necessária" e "condição suficiente" apenas se referem ao comportamento dos valores lógicos na tabela verdade. Apenas isso. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br Se p, então q Mais alguns nomes. Num condicional verdadeiro, dizemos que P é condição suficiente para Q. E Q é condição necessária para P. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA "q". Dizemos também que "q" é condição necessária para "p". Mais nomes: - "p" é o antecedente - "q" é o conseqüente EC 22. MPOG 2009 [ESAF] Considere que: "se o dia está bonito, então não chove". Desse modo: a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. c) chover é condição necessária para o dia estar bonito. d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito. Resolução. Neste condicional, temos: Se (o dia está bonito), então (não chove). A proposição "o dia está bonito" está próxima do "S", de suficiente. Portanto: - o dia estar bonito é condição suficiente para não chover. - não chover é condição necessária para o dia estar bonito. Gabarito: A EC 23. BACEN 2005 [FCC] Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central q: fazer frente ao fluxo positivo Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br ATENÇÃO: dizemos que "p" é condição suficiente para Na proposição RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Se p implica em q, então: a) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo. b) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central c) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo d) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central e) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. Resolução: A proposição dada é: Se p, então q. Temos: - p é condição suficiente para q. - q é condição necessária para p. Traduzindo isso em palavras: - atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo. - fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária para a atuação compradora de dólares do Banco Central. Gabarito: C 6. Outros conectivos lógicos Agora que já praticamos os conectivos mais cobrados em prova (condicional, disjunção e conjunção), chegou a hora de estudarmos os dois conectivosrestantes: Disjunção exclusiva ("ou... ou") Nós já estudamos o "ou" (disjunção inclusiva). Pois bem, existe outro conectivo que é bem parecido com ele. É o "ou... ou". Agora são dois Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA A tabela verdade do "ou exclusivo" é: A tabela acima é quase igual à tabela do "ou inclusivo". A única diferença se dá na primeira linha. Quando as duas proposições simples são verdadeiras, a proposição composta é falsa. Vamos analisar apenas as linhas da tabela verdade em que a proposição composta é verdadeira. Nessas linhas, o fato de uma proposição simples ser verdadeira exclui a possibilidade da outra também ser. Por isso o nome "exclusivo". Podemos pensar que está excluído o caso em que as duas proposições são verdadeiras. Vejamos um exemplo, sem tabelas-verdade. A ideia é entendermos o que representa o conectivo "ou... ou". EP 6. Inácio é um veterinário. Num dado dia, ele recebe dois cães, gravemente feridos (Alfa e Beta, ambos vítimas de atropelamento). Os dois precisam de pronto atendimento. Do contrário, irão falecer. Inácio não tem outros veterinários para lhe auxiliar, só tendo condições de atender a um dos cães por vez. Avalie o comportamento de Inácio nas situações abaixo. a) Inácio atende Alfa e o salva; Beta não é atendido e morre. b) Inácio atende Beta e o salva; Alfa não é atendido e morre. c) Inácio tenta atender os dois ao mesmo tempo. Acaba não conseguindo atender nenhum dos cães de forma adequada e ambos morrem. d) Inácio não atende a nenhum dos dois e ambos morrem. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br V V F V F V F V V F F F V V F V F V F V V F F F "ou's", colocados na mesma proposição. É o chamado "ou exclusivo". Seu RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Resolução: Na letra "a", Inácio agiu corretamente. Ele não teria como atender os dois cães. Ele escolheu o cão Alfa e o salvou. Era o máximo que ele poderia fazer naquelas condições. Pelo menos um dos cães foi salvo. Na letra "a", dizemos que Inácio agiu de forma adequada, dadas as restrições que ele tinha. Pelo mesmo raciocínio, na letra "b" também dizemos que Inácio agiu de forma adequada. Ele só teria condições de salvar um cão. Ele escolheu Beta e o fez. Na letra "c" Inácio não foi um bom profissional. Tentou atender aos dois cães, o que ele já sabia que não seria possível. Consequentemente, nenhum cão foi atendido de forma adequada e ambos morreram. Na letra "d" Inácio também agiu de forma inadequada. Ao não atender nenhum dos cães, ele simplesmente não salvou Alfa nem Beta (quando era possível salvar um dos dois). Podemos dizer que ou Inácio atende Alfa ou Inácio atende Beta. As únicas formas de ele agir corretamente são quando ele atende só o Alfa ou só o Beta. Dividindo a frase em duas partes, teríamos: primeira parte - atender Alfa; segunda parte - atender Beta. O comportamento de Inácio só é adequado quando a primeira parte acontece (atende Alfa) e a segunda não (não atende Beta). Outra forma de seu comportamento ser adequado é quando a primeira parte não acontece (não atende Alfa) e a segunda parte acontece (atende Beta). De modo análogo, uma proposição com o conectivo "ou ... ou" só é verdadeira quando um termo é verdadeiro e o outro é falso. Qualquer outra situação implica em proposição falsa. É muito importante saber diferenciar a disjunção exclusiva (ou ... ou) da disjunção inclusiva. As tabelas-verdades de ambas são quase iguais. A diferença se dá apenas quando os dois termos são verdadeiros. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Na disjunção inclusiva, os dois termos verdadeiros implicam em proposição verdadeira. É só lembrar do exemplo do José, que poderia comprar carne ou peixe. Quando as duas parcelas acontecem (ou seja, quando ele compra carne e peixe), ele cumpriu sua missão (pois Maria poderá fazer o almoço). José agiu de maneira satisfatória. Na disjunção exclusiva, se os dois termos são verdadeiros, temos uma proposição falsa. É só lembrar do exemplo do Inácio. Inácio deveria atender ou Alfa ou Beta. Quando as duas parcelas acontecem (ou seja, quando ele atende os dois cães), aí ele não agiu de forma satisfatória (pois ambos, Alfa e Beta, morrem). Bicondicional (se e somente se) Seu símbolo é: " ^ " Sua tabela verdade é: Então, para que o "se, e somente se" seja verdadeiro, ou as duas proposições são verdadeiras ou as duas são falsas. Um exemplo para vocês gravarem a tabela verdade do bicondicional é o que segue: EP 7. Rosa foi ao médico, pois está sentindo dores. O médico faz alguns exames, para ver se ela está doente ou não, e, se necessário, receita um medicamento. Como Rosa avaliaria a qualidade do médico em cada uma das hipóteses abaixo? a) Rosa estava doente e o médico receitou um remédio. b) Rosa estava doente e o médico não receitou um remédio. c) Rosa não estava doente e o médico receitou um remédio. d) Rosa não estava doente e o médico não receitou um remédio. Resolução. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br V V V V F F F V F F F V RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Na letra "a", Rosa estava realmente doente. O médico detectou a doença e receitou um remédio. É exatamente o que se espera de um bom médico. Nesta situação, Rosa diria que seu médico realizou um bom atendimento. Na letra "b", Rosa estava doente. O médico, contudo, não detectou a doença e não receitou remédio algum. Para Rosa, ele certamente não foi um bom médico. Na letra "c", Rosa não estava doente. Ainda sim o médico receitou um remédio. Sabemos que os remédios não podem ser usados indiscriminadamente, quando a pessoa está saudável. A medicação desnecessária pode causar diversos efeitos negativos. Deste modo, na letra "c" Rosa diria que se trata de um médico ruim, que receitou remédios desnecessariamente. Na letra "d", Rosa não estava doente. O médico percebeu isso e não receitou remédio algum. Talvez só tenha recomendado descanso, repouso, algo do gênero. Mas agiu corretamente, ao não prescrever nenhuma medicação. Foi um bom médico. Podemos dizer que o médico deve receitar um remédio se e somente se Rosa estiver doente. Separando a frase acima em duas parcelas, temos: primeira parcela - o médico receita o remédio; segunda parcela - Rosa está doente. O médico só será qualificado como um bom médico se as duas parcelas ocorrerem ou se as duas não ocorrerem. Caso uma das parcelas ocorra e a outra não, então ele será um médico ruim. De forma análoga, uma proposição com o conectivo "se e somente se" só será verdadeira caso os dois termos sejam verdadeiros ou caso os dois termos sejam falsos. Se um dos termos for verdadeiro e o outro for falso, então a proposição com "se e somente se" será falsa. A disjunção exclusiva e o bicondicional, de forma geral, são pouco exigidos em concursos. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA EC 24. SEFAZ MG 2005 [ESAF] O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: "O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem". O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte: 1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamenteque Aladim beijou a princesa ontem? 3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã? O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são, respectivamente: a) Não, sim, não b) Não, não, sim c) Sim, sim, sim d) Não, sim, sim e) Sim, não, sim Resolução. Vamos dar nomes às proposições. A proposição d (de dragão) será: d: O dragão desaparecerá amanhã. A proposição a (de Aladim) será: a: Aladim beijou a princesa ontem A afirmação do mago é: Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br Item 1. A afirmação do mago é falsa e o dragão desaparece amanhã. Logo: d: Verdadeiro RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Ou seja, uma das parcelas do bicondicional é verdadeira. Para que o bicondicional seja falso, a segunda parcela deve ser falsa. Logo, no primeiro item, Aladim não beijou a princesa ontem. Item 2. A afirmação do mago é verdadeira e o dragão desaparece amanhã. Logo: d: Verdadeiro Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br Ou seja, uma das parcelas do bicondicional é verdadeira. Para que o bicondicional seja verdadeiro, a segunda parcela deve ser verdadeira. Logo, no primeiro item, Aladim beijou a princesa ontem. Item 3. A afirmação do mago é falsa e o Aladim não beijou a princesa ontem. Logo: a: Falso Uma das parcelas do bicondicional é falsa. Para que o bicondicional seja falso, a outra parcela deve ser verdadeira. Logo, no terceiro item, o dragão desaparecerá amanhã. As respostas às três perguntas são: não, sim, sim. Gabarito: D II. TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA 1. Tautologia Trata-se de uma proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valores lógicos V, independente dos valores lógicos que assumem suas proposições de origem. Exemplo: Ou chove ou não chove. Temos duas parcelas 1) Chove (p) 2) Não chove (~p) A tabela-verdade desta afirmação fica assim: RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Só temos respostas verdadeiras na tabela-verdade, independentemente dos valores lógicos de "p". Por isso, a afirmação "Ou chove ou não chove" é uma tautologia. 2. Contradição Trata-se de uma proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valores lógicos F, independente dos valores lógicos das proposições que lhe dão origem. Observem a última coluna (destacada em vermelho). A proposição composta é sempre falsa, não interessa o que ocorra com as proposições simples. 3. Contingência Há uma contingência quando não temos nem uma tautologia nem uma contradição, ou seja, quando a tabela-verdade apresenta alguns verdadeiros e alguns falsos, a depender do valor das proposições que dão origem à sentença em análise. Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br V V V V F F F V F F F V A tabela-verdade desta proposição composta fica: RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA O bicondicional pode ser tanto verdadeiro (quando suas duas parcelas são ou ambas verdadeiras ou ambas falsas) quanto falso (quando uma parcela é verdadeira e a outra é falsa). Com isso, o "se, e somente se" não é nem uma tautologia, nem uma contradição. É uma contingência. A contingência é a situação mais comum de ocorrer. Ela é a regra geral. A tautologia e a contradição são exceções. ATENÇÃO: Tautologia: proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valor lógico V Contradição: proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valor lógico F. Contingência: proposição composta que apresenta tabela verdade com valores lógicos V e F EC 25. STF 2008 [CESPE] 1. Uma tautologia é uma proposição lógica composta que será verdadeira sempre que os valores lógicos das proposições simples que a compõem forem verdadeiros. 2. Caso as colunas em branco na tabela abaixo sejam corretamente preenchidas, a última coluna dessa tabela corresponderá à expressão Resolução: Primeiro item. O item afirma que a tautologia é verdadeira apenas quando as proposições simples são todas verdadeiras. Ou pelo menos era isso que o item queria ter afirmado. Na minha opinião, a redação da questão poderia ter sido um pouquinho mais clara. Analisando o item, temos que a tautologia é sempre verdadeira, independente dos valores lógicos das proposições simples. Item Errado Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br V V V V F V F V F F F V RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Segundo item. Uma forma mais rápida de resolver é utilizando as ferramentas da álgebra de proposições, matéria que abordaremos ao final desta aula. Por enquanto, vamos para a nossa solução usual. Na última coluna, temos um "ou". Ele só será falso quando todas as parcelas forem falsas. Vamos preencher a tabela: Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br Vamos tentar fazer com que as duas parcelas acima sejam falsas, ao mesmo tempo. Na segunda parcela, temos um condicional. Ele só será falso quando Q for verdadeiro e P for falso. Q: verdadeiro P: falso 1a parcela: 2a parcela: Este é o único caso em que a segunda parcela da disjunção será falsa. Agora vamos para a primeira parcela. Temos uma conjunção. A primeira parcela da conjunção é P, que, como vimos acima, é falso. Logo, a conjunção inteira será falsa. Q: verdadeiro P: falso V V V F F V F F V V V F F V F F F F F F RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Em qualquer outra situação, A última coluna informada no comando da questão está correta. Gabarito: errado, certo. EC 26.SEFAZ SP 2006 [FCC] Considere as informações abaixo. I - O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. V V V V F V F V F F F F F F V será verdadeiro, o que faz com que a disjunção seja verdadeira. II - A proposição III - Se p e q são proposições, então a proposição tautologia. É verdade o que se afirma apenas em: a) I e II b) I e III c) I d) II e) III Resolução. Item I - vimos que o número de linhas de uma tabela verdade de uma proposição composta por n proposições simples é igual a 2n. Este número é sempre par. O item está certo. Item II. Temos um bicondicional: Primeira parcela: Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA Segunda parcela: 8 - 6 = 6 (falso) Quando as duas parcelas são falsas, o bicondicional é verdadeiro. O segundo item está errado. Terceiro item. Uma tautologia é uma proposição cuja tabela verdade só apresenta A última coluna, destacada em vermelho, corresponde aos valores lógicos para a proposição composta desejada. Notem que temos apenas valores lógicos verdadeiros. Trata-se realmente de uma tautologia. O item está certo. Gabarito: B EC 27.PREVIC 2010 [CESPE] Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br V V V F V V F F V V F V V F V F F V V V Uma contingência é uma proposição composta cuja tabela verdade apresenta tanto valores verdadeiros como falsos. Vamos montar a tabela verdade da proposição composta apresentada: A proposição Resolução. Na próxima aula, veremos uma forma bem mais rápida de resolvermos este tipo de questão. Veremos que este condicional não pode ser associado a um argumento válido. Portanto, este condicional não é tautológico. valores verdadeiros. O exemplo mais simples de tautologia é: Uma contradição é uma proposição composta
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