Médias aritmeticas

Prévia do material em texto

1
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição: Média
Prof. Joseane de Menezes 
Sternadt
2/44
MÉDIA ou VALOR ESPERADO
“Por que sempre sai a mesma 
quantidade de tempo antes” quando 
vai de casa para o trabalho. 
3/44
Quando repetimos uma grande quantidade
de vezes o trajeto, anotamos mentalmente o
tempo, criamos uma amostra representativa
e calculamos mentalmente a média, que é um
valor em torno do qual os valores tendem a
se concentrar.
4/44
Isso significa que há maior probabilidade de
ocorrerem valores próximos da média.
A média também é chamada de valor
esperado, porque se espera que ela, ou
valores próximos dela, ocorram.
Então, saímos sempre num
tempinho próximo ao valor da
média que gastamos porque,
no fundo, esperamos que a
média se repita.
5/90
As medidas de tendência central 
são assim denominadas por 
indicarem um ponto em torno do 
qual se concentram os dados. 
Este ponto tende a ser o centro 
da distribuição dos dados.
Medidas de Tendência CentralMedidas de Tendência Central
Média Média -- Moda Moda -- MedianaMediana
6/90
MédiaMédia
Aritmética 
simples
Aritmética 
Ponderada
Dados Brutos ou Rol
DF SEM intervalos de 
classes
DF COM intervalos de 
classes
2
7/44
1 Somatório – Notação Sigma (ΣΣΣΣ) 
 ∑
=
=++++
n
1i
in32 1 Xx ... x x x
Onde: xi representa as parcelas
a serem somadas e representa
a operação de adição a ser
feita entre as parcelas. Deve-se
ler a expressão como “soma
dos valores xi, para i variando
de 1 até n.”
8/44
1.1Média Aritmética Simples – Notação X
A média aritmética simples de um conjunto de
valores nada mais é do que a soma desses
valores dividida pela quantidade de valores.
 
n
X
X
n
1i
i∑
=
=
9/44
1.1.1 1º Caso – Dados brutos ou o rol
Basta aplicarmos a equação: 
 
n
X
X
n
1i
i∑
=
=
10/44
Exemplo 1 : 
Para calcular a média das idades, do número
de filhos e do salário dos funcionários da
empresa, podemos utilizar os dados brutos da
Tabela 1 da aula 1 ou o Rol mostrado na
Tabela a seguir.
Solução:
O total de observações é n = 40.
11/44
Ordem
Idade
Ordem
Idade
Ordem
Idade
Ordem
Idade
Ordem
Idade
1ª 18 11ª 27 21ª 37 31ª 40 36ª 45
2ª 21 12ª 27 22ª 37 32ª 42 37ª 45
3ª 23 13ª 28 23ª 37 33ª 42 38ª 46
4ª 23 14ª 28 24ª 37 34ª 42 39ª 48
5ª 23 15ª 29 25ª 37 35ª 43 40ª 49
6ª 24 16ª 32 26ª 38
7ª 25 17ª 32 27ª 38
8ª 25 18ª 33 28ª 39
9ª 26 19ª 35 29ª 39
10ª 26 20ª 36 30ª 40
ROL -
Idade 12/44
Os 40 funcionários juntos viveram 1362 anos.
 
n
X
X
n
1i
i∑
=
=
34,05 
40
1362
 
40
X
X
40
1i
i
IDADE ===
∑
=
anos
1362 = 
18 +21 +23 +23 +23 + ...+48 +49
Não arredondar!
3
13/44
1 0
2 1
3 1
4 2
5 2
6 3
7 1
8 2
9 4
10 3
Nº de 
filhos
Nº
11 0
12 0
13 0
14 2
15 2
16 3
17 2
18 0
19 2
20 2
Nº de 
filhos
Nº
21 1
22 0
23 3
24 0
25 4
26 0
27 0
28 3
29 2
30 2
Nº de 
filhos
Nº
31 1
32 1
33 1
34 2
35 4
Nº de 
filhos
Nº
36 1
37 2
38 0
39 4
40 0
Nº de 
filhos
Nº
Tabela 1
Número de Filhos
14/44
Se fôssemos fazer uma 
festa somente para os 
filhos dos funcionários, 
convidaríamos 63 
pessoas.
 
n
X
X
n
1i
i∑
=
=
filhos
1,575 
40
63
 
40
X
X
40
1i
i
FILHOSN ===
∑
=
o
63 = 0 +1 +1 +2 +2 +3 + ... + 0 + 4 + 0 
Não arredondar!
15/44
Interpretações:
Os valores das séries se 
concentram em torno de: 
5,02625 salários mínimos; 
34,05 anos e 
1,575 filhos.
16/90
ExemploExemplo
Suponha termos feito uma 
coleta de dados relativos 
às estaturas de 40 alunos, 
que compõem uma 
amostra dos alunos do 
colégio A, resultando no 
seguinte quadro de 
valores.
E
X
T
R
A
17/90
1,50 1,54 1,55 1,57 1,60
1,51 1,55 1,56 1,58 1,60
1,52 1,55 1,56 1,58 1,60
1,53 1,55 1,56 1,60 1,60
1,61 1,62 1,64 1,66 1,69
1,61 1,62 1,64 1,67 1,70
1,61 1,63 1,64 1,68 1,72
1,61 1,63 1,65 1,68 1,73
Média = 64,25 : 40 = 1,60625 cm
E
X
T
R
A
18/90
Exemplo que não está na sua apostilaExemplo que não está na sua apostila
Turma Notas dos alunos
A 4 5 5 6 6 7 7 8
B 1 2 4 6 6 9 10 10
C 0 3 7 7 7 7,5 7,5 -
Considere as notas finais relativas 
aos alunos de três turmas:
E
X
T
R
A
4
19/90
Turma Notas dos alunos
A 4 5 5 6 6 7 7 8
A média aritmética para a amostra 
correspondente à Turma A é:
8
48
8
87766554
n
X
X
n
1i
i
=
+++++++
==
∑
=
6,00X =
20/90
Turma Notas dos alunos Média 
da 
Turma
A 4 5 5 6 6 7 7 8 6,00
21/90
Turma Notas dos alunos Média 
da 
Turma
A 4 5 5 6 6 7 7 8 6,00
B 1 2 4 6 6 9 10 10 6,00
C 0 3 7 7 7 7,5 7,5 - 6,00
Calculando as médias para as 
Turmas B e C, obtemos:
22/90
Figura 1 – Representação das distribuições das notas 
de três turmas e correspondentes posições das 
médias aritméticas.
Fonte: Barbetta (2004, p. 70).
23/90
Observe que as três turmas 
apontaram para uma mesma média 
aritmética: 6,00.
Isso mostra que a média
aritmética resume o 
conjunto de dados, em 
termos de posição 
central, mas não fornece
qualquer informação 
sobre outros aspectos da 
distribuição. 
24/44
1.1.2 2º Caso – Distribuição de freqüência 
sem intervalos de classes
i Número de 
Filhos
fi
1 0 11
2 1 8
3 2 12
4 3 5
5 4 4
40
Na aula 2 construímos:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 +
2 + 2 + 2 + 2 + 2 +
2 + 2 = 24 filhos
= 2 . 12
5
25/44
Então, quando conhecemos a distribuição de
freqüência sem intervalos de classes devemos
calcular a média aritmética aplicando a equação:
 
n
.fX
X
n
1i
ii∑
=
=
∑= ifnOnde:
26/44
i Número de 
Filhos Xi
Funcioná
-rios fi
1 0 11
2 1 8
3 2 12
4 3 5
5 4 4
40 63
∑
=
n
1i
ii .fX
 
n
.fX
X
n
1i
ii∑
=
=
27/44
i Número de 
Filhos
Funcioná
-rios fi
1 0 11 0.11 = 0
2 1 8 1. 8 = 8
3 2 12 2.12 = 24
4 3 5 3.5 = 15
5 4 4 4.4 =16
40 63
∑
=
n
1i
ii .fX
filhos
1,575 
40
63
 
40
X
X
40
1i
i
FILHOSN ===
∑
=
o
Mesma calculada com dados brutos. 28/90
Turma Notas dos alunos Média
A 4 5 5 6 6 7 7 8 6,00
Nota 
xi
Freq. 
fi
4
5
6
7
8
1
2
2
2
1
Total 8
29/90
Nota 
xi
Freq. 
fi
4
5
6
7
8
1
2
2
2
1
Total 8
5+5 = 5.2 =10
6+6 = 6.2 =12
7+7 = 7.2 =14
8 = 8.1 =8
4 = 4.1 =4
48
30/90
Nota xi Freq. fi xi fi
4
5
6
7
8
1
2
2
2
1
4
10
12
14
8
Total 8 48
6,00
8
48X ==
∑
∑
=
fi
fx
 X
ii
6
31/44
1.1.3 3º Caso – Distribuição de freqüência 
com intervalos de classes
i Idades (anos) fi
1 18 24 5 
2 24 30 10
3 30 36 4
4 36 42 12
5 42 48 7
6 48 54 2
40
Na aula 3 
construímos:
Do ROL 
obtivemos média 
34,05 anos.
32/44
Quando agrupamos os dados em intervalos de
classes, passamos a trabalhar com os dados
sem conhecimento de seus valores
individuais, ou seja, perdemos informação e
precisão.
O desconhecimento dos
valores individuais dos
dados faz com que se utilize
os pontos médios de classe
para calcular a média
estimada da série.
33/44
Ordem
Idade
1ª 18
2ª 21
3ª 23
4ª 23
5ª 23
6ª 24
7ª 25
8ª 25
9ª 26
10ª 26
Isso equivale a supor que a
média da idade dos 5
funcionários da primeira classe é
21, quando de fato é 21,6 anos.
34/44
Ordem
Idade
Ordem
Idade
1ª 18 11ª 27
2ª 21 12ª 27
3ª 23 13ª 28
4ª 23 14ª 28
5ª 23 15ª 29
6ª 24 16ª 32
7ª 25 17ª 32
8ª 25 18ª 33
9ª 26 19ª 35
10ª 26 20ª 36
Que a média da idade dos
10 funcionários da
segunda classe é 27
quando de fato é 26,5 anos
e assim, sucessivamente.
O pontomédio é uma
estimativa não tendenciosa
mas não é um valor
verdadeiro.
35/44
Para calcular esta média estimada usa-se a
mesma equação anterior, porém, substituindo-se
os valores da variável pelos pontos médios de
cada classe.
 
n
.fX
X
n
1i
ii∑
=
=
∑= ifnOnde:
36/44
i Idades (anos) fi Xi
1 18 24 5 
2 24 30 10
3 30 36 4
4 36 42 12
5 42 48 7
6 48 54 2
40
Calculando os pontos 
médios:
7
37/44
i Idades (anos) fi Xi
1 18 24 5 21
2 24 30 10 27
3 30 36 4 33
4 36 42 12 39
5 42 48 7 45
6 48 54 2 51
40
Calculando os pontos 
médios:
38/44
i Idades (anos) fi Xi
1 18 24 5 21
2 24 30 10 27
3 30 36 4 33
4 36 42 12 39
5 42 48 7 45
6 48 54 2 51
40
Calculando Xifi :
∑
=
n
1i
ii .fX
39/44
i Idades (anos) fi Xi
1 18 24 5 21 21.5 =105
2 24 30 10 27 27.10 = 270
3 30 36 4 33 33.4 = 132
4 36 42 12 39 39.12 = 468
5 42 48 7 45 45.7 = 315
6 48 54 2 51 51.2 = 102
40 1392
∑
=
n
1i
ii .fX
Calculando Xifi :
40/44
 
n
.fX
X
n
1i
ii∑
=
=
∑= ifnOnde:
 34,8anos
40
1392
 
n
.fX
X
n
1i
ii
===
∑
=
Calculando usando dados 
brutos ou Rol, a média seria 
34,05 anos. A média verdadeira 
é 34,05 anos, enquanto 34,8 
anos é uma média estimada.
41/44
Os cálculos feitos com base em distribuições
intervalares são imprecisos.
Por esta razão, utiliza-se a distribuição de
freqüência com intervalos de classes apenas
para apresentar os dados, mas se faz os
cálculos utilizando-se os dados brutos ou rol
e softwares apropriados.
Assim trabalharemos 
neste curso.
42/90
ExemploExemplo
Suponha termos feito uma 
coleta de dados relativos 
às estaturas de 40 alunos, 
que compõem uma 
amostra dos alunos do 
colégio A, resultando no 
seguinte quadro de 
valores.
E
X
T
R
A
8
43/90
1,50 1,54 1,55 1,57 1,60
1,51 1,55 1,56 1,58 1,60
1,52 1,55 1,56 1,58 1,60
1,53 1,55 1,56 1,60 1,60
1,61 1,62 1,64 1,66 1,69
1,61 1,62 1,64 1,67 1,70
1,61 1,63 1,64 1,68 1,72
1,61 1,63 1,65 1,68 1,73
Média = 64,25 : 40 = 1,60625 cm
E
X
T
R
A
44/90
Estatura fi Xi
1,50 |– 1,55 5 1,525
1,55 |– 1,60 10 1,575
1,60 |– 1,65 16 1,625
1,65 |– 1,70 6 1,675
1,70 |– 1,75 3 1,725
Total 40
E
X
T
R
A
45/90
Quando agrupamos os dados em
intervalos de classes, passamos a
trabalhar com os dados sem
conhecimento de seus valores
individuais, ou seja, perdemos
informação e precisão.
O desconhecimento dos
valores individuais dos
dados faz com que se
utilize os pontos médios de
classe para calcular a
média estimada da série.
2
lSlIXi
+
=
46/90
Estatura fi Xi
1,50 |– 1,55 5 1,525
1,55 |– 1,60 10 1,575
1,60 |– 1,65 16 1,625
1,65 |– 1,70 6 1,675
1,70 |– 1,75 3 1,725
Total 40
1,50+1,51+1,52
+1,53+1,54 
Media 1,520000 
1,70+1,72+1,73 
Media 1,716667 
Media 1,671667 
Media 1,561000
Media 1,616250
47/90
Estatura fi Xi Xifi
1,50 |– 1,55 5 1,525 7,625
1,55 |– 1,60 10 1,575 15,750
1,60 |– 1,65 16 1,625 26,000
1,65 |– 1,70 6 1,675 10,050
1,70 |– 1,75 3 1,725 5,175
Total 40 64,600
E
X
T
R
A
48/90
1,615
40
64,600
fi
fx
 X
ii
===
∑
∑
1,60625 
40
64,25
 
n
X
X
n
1i
i
===
∑
=
Média partindo da DF COM
intervalos de classes
Média partindo dos Dados Brutos
EXATA
APROXIMADA
EXTRA!!!
9
49/90
Os cálculos feitos com base em
distribuições intervalares são
imprecisos.
Por esta razão, utiliza-se a
distribuição de freqüência com
intervalos de classes apenas para
apresentar os dados, mas se faz
os cálculos utilizando-se os
dados brutos ou rol e softwares
apropriados.
Assim trabalharemos 
neste curso.
E
X
T
R
A
50/44
1.1.4Cálculo da média aritmética simples 
usando o Excel
Só se aprende mexendo...
O que fazer de sexta á noite até 
segunda de manhã?
51/44
1.2 Média Aritmética Ponderada –
Notação (p. 64)X
Na média aritmética ponderada, as
observações possuem importâncias diferentes
ou “pesos” diferentes, como ocorre quando
calculamos sua média.
52/44
Exemplo
Suponha que cada uma das suas duas médias
seja composta por um exercício obrigatório de
Peso 2 e uma prova de Peso 8.
Neste caso, a prova é 4 vezes mais importante
que o exercício, porque 8 : 2 = 4.
Vamos supor também que
você tenha merecido 9 no
exercício e 7 na prova. Sua
média será, então:
53/44
Peso Nota
E 2 9
P 8 7
54/44
Peso Nota
E 2 9
P 8 7
7,57,40
10
74M
10
5618
10
7.89.2M
===
+
=
+
=
nota
peso
nota.pesoM ==
10
55/90
ExemploExemplo
Suponha que necessitemos de uma 
média de três avaliações, cujas notas 
foram 8,5; 9,0; 7,5, mas a primeira 
avaliação tem Peso 2, a segunda 
Peso 3 e a terceira 
Peso 5. 
E
X
T
R
A
56/90
Nota Peso
8,5 2
9,0 3
7,5 5
notas
pesos
spesos.nota
w
wxX ==
∑
∑
=
57/90
Nota Peso
8,5 2
9,0 3
7,5 5
10
8,15
10
81,5
532
7,5.59,0.38,5.2X ==
++
++
=
58/44
Exemplo
Vamos solucionar agora um problema proposto
num “Provão” do MEC cujo enunciado está a
seguir.
O Administrador Financeiro da Empresa de
Vidros Transparentes determinou os vários
custos de capital, de acordo com suas fontes e
custos relativos, a saber:
59/44
FONTE DE CAPITAL CUSTO PARTICI-
PAÇÃO
Empréstimo a Longo 
Prazo
16% 40%
Ações Preferenciais 20% 10%
Ações Ordinárias 22% 50%
... a empresa deve aceitar
todos os projetos que
obtenham um retorno maior
ou igual a...
60/44
FONTE DE CAPITAL CUSTO PARTICI
-PAÇÃO
Empréstimo a Longo Prazo 16% 40%
Ações Preferenciais 20% 10%
Ações Ordinárias 22% 50%
11
61/44
Custo
ãoParticipaç
icipaçãoCusto.PartC ==
19,40%
100
1940C
100
1100200640C
501040
22.5020.1016.40C
==
=
++
=
=
++
++
=
62/44
1.3 Propriedades da Média
•••• A média de um conjunto de números é
única e sempre pode ser calculada.
•••• A média é influenciada (afetada) por
todos os valores da série. Assim, se um
valor se modifica, a média também se
modifica.
63/44
•••• Se somarmos uma constante a cada
um dos dados, a média ficará aumentada do
valor desta constante. Analogamente ela
ficará diminuída, multiplicada e dividida.
64/44
Somando 2 a cada valor.
8
5
40
5
791086
==
++++
=X
10
5
50
5
91112108
==
++++
=X
8 + 2 = 10
65/44
•••• A soma dos
desvios dos dados
até a média é
sempre zero.
Valor Desvios 
6 6 - 8 = -2
8 8 - 8 = 0 
10 10 - 8 = 2
9 9 - 8 = 1
7 7- 8 = -1
Soma Zero
8=X
66/90
Vamos falar mais das propriedades Vamos falar mais das propriedades 
da médiada média
A média depende da totalidade das 
observações e nenhuma outra 
medida de tendência central 
possui esta característica;
É única em um conjunto de dados e 
nem sempre tem existência real, 
ou seja, nem sempre é igual a 
um determinado valor 
observado;
1
2
12
67/90
A média é afetada por valores 
extremos observados;3
A média não é medida 
apropriada para 
representar os dados 
quando existem valores 
discrepantes. 
68/90
0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4 Média = 1,8 
0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 10 Média = 2,7
69/90
Por depender de todos os valores 
observados, qualquer 
modificação nos dados fará com 
que a média fique alterada. Isto 
quer dizer que somando-se, 
subtraindo-se, multiplicando-se 
ou dividindo-se uma constante a 
cada valor observado,a média 
ficará acrescida, diminuída, 
multiplicada ou dividida desse 
valor.
4
70/90
Somando 2 a cada valor.
8
5
40
5
791086X ==++++=
10
5
50
5
91112108X ==++++=
8 + 2 = 10
EXTRA!!!
71/90
A soma da diferença de cada valor 
observado em relação à média é zero, 
ou seja, a soma dos desvios é zero.
5
Valor Desvios 
6 6 - 8 = -2
8 8 - 8 = 0 
10 10 - 8 = 2
9 9 - 8 = 1
7 7- 8 = -1
Soma Zero
8=X
EXTRA!!!
72/44