Trigonometria

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Trigonometria: Fórmulas das Funções
Trigonometria é a área da matemática que estuda as relações envolvendo os lados de um triângulo retângulo, que um polígono que possui três ângulos. A origem do nome vem do grego que refere-se a medidas de três ângulos. A partir dos lados do triângulo é que encontramos as razões seno, cosseno e tangente. Na Geometria também existe outras abordagens que utilizam a trigonometria, como nos estudos das esferas. 
Funções trigonométricas
As funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente, são as relações no triângulos retângulo (triângulo com um angulo que mede 90°) das razões entre os lados do triângulo em função do ângulo. Podemos encontrar essas funções através dos catetos, oposto e adjacente e da hipotenusa.
Cateto oposto
O cateto oposto é o que fica no lado oposto ao ângulo referência (θ).
Cateto adjacente
O cateto adjacente é o que está ao lado (adjacente) do ângulo de referência (θ).
Hipotenusa
A hipotenusa é o lado mais longo do triângulo, oposto ao ângulo reto.
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Seno (sen)
O seno é dado pela razão do cateto oposto sobre a hipotenusa.
Cosseno (cos)
O cosseno é dado pela razão entre o cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Tangente (tan ou tg)
A tangente é a razão dada pelo cateto oposto sobre a cateto adjacente.
A partir das funções trigonométricas acima, podemos encontrar outras funções trigonométricas: cotangente, cossecante e secante.
Cotangente (cot)
A cotangente é o inverso da tangente, dado pelo cateto adjacente sobre o cateto oposto, que é o mesmo que o cosseno sobre o seno.
Cossecante (csc)
A cossecante é o inverso do seno, ou seja, a hipotenusa sobre o cateto oposto.
Secante (sec)
A secante é a razão dada pela hipotenusa sobre o cateto adjacente.
Círculo trigonométrico
O círculo trigonométrico ou ciclo trigonométrico é a disposição no plano cartesiano para facilitar a visualização das funções trigonométricas durante o estudo da trigonometria. Dessa forma, é possível visualizar graficamente durante o estudo dessas funções e poderá entender a disposição do seno, cosseno, tangente, cotangente, cossecante e secante. Veja abaixo:
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras define que a relação em um triângulo ABC, com ângulo reto em C, vale a seguinte relação: (AB)² = (AC)² + (BC)². Em outras palavras, Pitágoras descobriu que o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Considere o triângulo retângulo:
Vamos chamar os lados AB de a, BC de b e AC de c, então:
a² = b² + c²
Onde
· a é a hipotenusa;
· b é cateto oposto;
· c o cateto adjacente.
O Teorema de Pitágoras diz que: “O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos”.
A hipotenusa é o lado do triângulo que tem a maior medida e fica oposta ao ângulo reto, enquanto os catetos existem dois: o cateto adjacente e o cateto oposto. O cateto adjacente é aquele que fica ao lado de um ângulo e o cateto oposto fica em frente a um determinado ângulo. Veja no triângulo abaixo:
Hipotenusa: a hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto.
Cateto Oposto: o cateto oposto fica oposto a um dos ângulos.
Cateto Adjacente: o cateto adjacente fica ao lado de um dos ângulos.
Fórmula do Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual a hipotenusa ao quadrado. Isso pode ser traduzido em uma fórmula:
a² = b² + c²
Onde:
· a: representa a hipotenusa;
· b e c: representa os catetos oposto e adjacente.
Exemplo:
Considere um triângulo com as seguintes medidas:
· Hipotenusa: 5 cm
· Cateto Adjacente: 4 cm
· Cateto Oposto: 3 cm
Aplicando o Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos catetos tem que ser igual a medida da hipotenusa ao quadrado, assim: a² = b² + c²
Então: 5² = 3² + 4² ⇒ 25 = 9 + 16 ⇒ 25 = 25
Exercícios Resolvidos
Calcule a medida da hipotenusa para o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, sendo que os catetos AB e BC, têm medidas de 6 cm e 8 cm, respectivamente.
Cálculos dos quadrados dos catetos:
· (AB)² = 6² = 36 cm
· (BC)² = 8² = 64 cm
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
· (AC)² = (AB)² + (BC)²
· x² = 36 + 64, com x > 0 ⇔ x² = 100 ⇔ x = √100 ⇔ x = 10 cm
Calcule a medida do cateto AB do triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, sabendo que a hipotenusa AC tem medida igual a 10 cm, e o cateto BC mede 5 cm.
Cálculo do quadrado da hipotenusa AC e do cateto BC:
· (AC)² = 10² = 100 cm
· (BC)² = 5² = 25 cm
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
· (AC)² = (BC)² + (AB)²
· 100 = 25 + x², com x > 0 
· x² = 100 – 25 
· x² = 75 cm 
· x = √75 
· x = 5√3 c
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Geometria Euclidiana
Euclides definiu alguns conceitos que são usados no estudo da trigonometria aplicada no triângulo.
Lei dos Senos
A Lei dos Senos serve para relacionar o seno do ângulo de um triângulo qualquer com o lado oposto a este ângulo.
Exemplo: onsidere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a, b e c:
A lei dos senos é dada pela seguinte fórmula:
A fórmula diz que a razão entre um lado qualquer do triângulo e o seno do ângulo oposto a este lado, é igual a 2 vezes o tamanho do raio da circunferência.
Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos diz que podemos encontrar a medida de um lado de um triângulo, somando os lados opostos a ele e subtraindo pelo dobro do produto entre os lados opostos e o cosseno do ângulo, também, dos lados opostos.
Exemplo:
Considere o triângulo ABC abaixo, com lados a, b e c:
A lei dos cossenos é dada pela seguinte fórmula:
A fórmula diz que podemos encontrar a medida elevada ao quadrado de um lado do triângulo, realizando a soma dos lados opostos também ao quadrado. Após isso, subtraímos desta soma dos lados opostos ao quadrado, o produto entre as medidas dos lados opostos e o cosseno do ângulo oposto ao lado que queremos encontrar multiplicado por 2.
Lei das Tangentes
A Lei das Tangentes diz que é equivalente os comprimentos de um triângulo não isósceles com a tangente dos ângulos opostos a esses lados.
Exemplo: Considere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a, b e c:
A lei dos tangentes é dada pela seguinte fórmula:
Quadrantes do Círculo Trigonométrico
O círculo trigonométrico é dividido em 4 partes, chamadas de quadrantes:
São eles:
· I: primeiro quadrante 0° a 90°;
· II: segundo quadrante 90° a 180°;
· III: terceiro quadrante 180° a 270° ;
· IV: quarto quadrante 270° a 360° ;
· O: centro do círculo.
Arco e Circunferência
Em uma circunferência, dois pontos A e B dividem-na em duas partes. Essa divisão chamamos de arcos, sendo A e B as extremidades desse arco que simbolizaremos da seguinte maneira:
A parte em vermelho, entre A e B, é o que chamamos de arco.
Ângulo Central
Considere a circunferência C abaixo. Chamamos de ângulo central em C, um ângulo coplanar, cujo vértice é o centro de C, esse ângulo é denominado o ângulo central relativo a C.
A parte em vermelho, entre os pontos A e B, é o arco da circunferência contido num ângulo central, e é chamado de o arco correspondente a este ângulo.
Medidas de Ângulos e Arcos
Podemos medir ângulos e arcos de duas maneiras distintas: em graus e em radianos.
Medidas em Graus
Uma circunferência é dividida em 360 partes iguais entre si, cada uma dessas partes corresponde a um arco de 1º.
Um arco de 1º, dividido em 60 partes iguais entre si, cada uma dessas partes (arcos) corresponde a um minuto (1’).
Da mesma maneira, se dividirmos um arco de 1 minuto em 60 partes iguais entre si, cada uma dessas partes mede um segundo (1”).
Portanto, 1° = 60’ e 1’ = 60”
Um arco de circunferência com medidas a graus, b minutos e c segundos, então a°b’c”.
Medidas em Radianos
A medida de um arco, em radiano, é a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunferência na qual o arco está determinando. Radianoé simbolizado por rad.
Exemplo:
Seja a medida de um ângulo α, em radianos, cujo arco tem comprimento l que estão contidos numa circunferência com raio r, então:
Ou seja, a medida do ângulo α é o comprimento do arco definido como l sobre o comprimento do raio r.
As medidas de arcos em uma circunferência em graus e radianos são diretamente proporcionais, dessa forma podemos converter uma media em outra através de uma regra de três simples.
Logo, se quisermos converter uma medida em graus para radianos, por exemplo, devemos proceder da seguinte forma:
Graus          Radianos
a ——————– α
180 —————— π
Onde:
· α é a medida do ângulo em radianos;
· a é a medida do ângulo em graus;
Para isso, deve-se utilizar a seguinte fórmula:
A conversão é feita multiplicando em cruz.
Arco Orientado
Nas circunferências em trigonometria é adotado o percurso no sentido anti-horário como positivo e o sentido horário como negativo.
Exemplos:
Arco orientado de A a B, com centro O, e medidas π/2 ou 90°.
Arco orientado de B a A, com centro O, e medidas -π/2 ou -90°.
Exercícios de Trigonometria, Resolvidos
1) Determine a medida x e y do triângulo retângulo a seguir. (Considere: sen(62,1°) = 0,88; cos(62,1°) = 0,47)
resposta
Cálculo da medida de x:
Cálculo da medida de y:
2) Determine sen(2x), sabendo que tg(x) + cotg(x) = 8.
Resposta
Pela questão temos que:
Usando a relação fundamental para a tg(x) e cotg(x), temos:
Assim,
sen²(x) + cos²(x) = 1
Logo,
Podemos escrever assim:
sen(x) . cos(x) = 1/8
Como,
sen(2x) = 2 . sen(x) . cos(x)
Então,
sen(2x) = 2 . 1/8 = 2/8 = 1/4
3) Esboce o gráfico para a função f(x) = 3 + sex(x). Determine também a imagem e o domínio da função.
resposta
O gráfico de f(x) tem o seguinte aspecto:
A imagem da função f(x) = 3 + sen(x) é obtida atribuindo os valores máximo e mínimo de sen(x).
Então, aplicando os valores extremos de f(x), temos:
f(-1) = 3 + (-1) = 2
f(1) = 3 + 1 = 4
Portanto, a imagem de f é: Im = [2, 4].
O domínio da função f(x) = 3 + sex(x) é definido para todos os valores reais, portanto, D = R
4) Determine o período, esboce o gráfico e determine as imagens para as funções a seguir:
a) f(x) = 2 sen(x)
b) f(x) = cos(7x)
c) f(x) = – cos(x)
d) f(x) = 1 – cos(4x)
e) f(x) = 1 + sen(-x)
resposta
a) f(x) = 2 sex(x)
Período da função seno ou cosseno é dado pela fórmula:
Onde k é o termo que acompanha o x.
Então o período da função acima é: p = 2π/1 = 2π
Gráfico:
A imagem de f(x) = 2 sen(x) é encontrada aplicando os valores máximos e mínimos da função sen(x), que é -1 e 1. Então:
f(-1) = 2 . (-1) = -2
f(2) = 2 . 1 = 2
O conjunto imagem é: Im f(x) = [-2, 2]
b) f(x) = cos(7x)
Período da função, aplicando a fórmula:
p = 2π/7, pois k = 7, termo que acompanha o x.
Gráfico:
Imagem:
f(-1) = -1
f(1) = 1
Logo, Im f(x) = [-1, 1]
c) f(x) = – cos(x)
Período:
p = 2π/k = 2π/1 = 2π
Gráfico:
Imagem: f(x) = – cos(x)
Aplicando os valores extremos da função cosseno (-1, 1), temos:
f(-1) = -(-1) = 1
f(1) = – 1
Portanto, Im f(x) = [-1, 1]
d) f(x) = 1 – cos(4x)
Período:
p = 2π/k = 2π/4 = π/2
Gráfico da função:
Imagem de f:
f(-1) = 1 – (-1) = 2
f(1) = 1 – 1 = 0
Portanto, a imagem de f(x) = 1 – cos(4x) é: [0, 2]
e) f(x) = 1 + sen(-x)
Período da função f(x) = 1 + sen(-x).
Usando a fórmula: p = 2π/k = 2π/(-1) = -2π
Gráfico da função:
Imagem de f(x) = 1 + sen(-x):
f(-1) = 1 – 1 = 0
f(1) = 1 + 1 = 2
Portanto, Im f(x) = [0, 2]
5) (FATEC) Se  , então  é igual a:
a) 8
b) 6
c) 4
d) 2
e) 1
resposta
Temos que:
Então
Logo,
Então podemos usar a relação trigonométrica derivada das funções básicas da trigonometrica para a tg(x) e cotg(x).
Portanto, temos:
Resposta C.
6) Quanto mede um arco de  radianos em graus?
Esconder resposta
Sabe-se que π = 180° e alguns ângulos em radiano ficam em função de π. Vamos trocar π por 180°. Assim:
Portanto,  radianos igual a 72°.
Dica: se a medida for em número real, utilize regra de três simples.
7) Determine o valor de x no triângulo abaixo (Use: cos(70°) = 0,34; sen(70°) = 0,94):
resposta
Pela lei dos cossenos temos que:
x² = b² + c² – 2 . b . c . cos(70) ⇒ x² = 5² + 4² – 2 . 5 . 4 . 0,34 ⇒ x² = 25 + 16 – 13,6 ⇒ x² = 41 – 13,6 ⇒ x = √27,4 = 5,23
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