Cap 3 - Condução Unidimensional em Regime Estacionário

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- O termo Unidimensional se refere ao fato de que apenas uma coordenada é necessária 
para descrever a variação espacial dependentes.
- Determinar expressões para a distribuição de temperatura e a para a taxa de 
transferência de calor em geometrias comuns. 
- Um objetivo adicional é apresentar o conceito de resistência térmica e mostrar como 
circuitos térmicos podem ser usados para modelar o escoamento do calor.
- Estudo em superfícies estendidas (aletas), que são usadas para aumentar a 
transferência de calor por convecção para um fluído adjacente.
Definido resistência como a razão entre um potencialmotriz e a correspondente taxa de 
transferência.
Resistência Térmica para
condução de calor em parede
plana:
��, ���� �
	
, 1 � 	
, 2
��
�
�
��
Resistência Térmica
para convecção
��, ���� �
	
, 1 � 	∞
�
�
1
��
Resistência Térmica
para Radiação
��, ��� �
	
	 � 	���
����
�
1
���
Diferença de Temperaturas Global
Diferença de Temperaturas Global
10��
A=1,8m²
hr=5,9 W/m²k
��, ���� �
	
, 1 � 	
, 2
��
Se U for definido em termos da área da superfície interna, as equações anteriores podem 
ser igualadas para fornecer:
Área Interna:
Raio Crítico de Isolamento
O isolamento adicional aumenta a resistência de condução da camada de
isolamento, mas diminui a resistência de convecção da superfície em virtude do
aumento da superfície externa para convecção. A transferência de calor a partir do
tubo pode aumentar ou diminuir, dependendo do efeito dominante.
� �,�� �!"#$ �
%
�
Raio Crítico de Isolamento
Um processo comum de geração de energia térmica envolve a conversão de energia
elétrica em um meio que conduz corrente elétrica (aquecimento ôhmico, resistivo ou de
Joule) A Taxa na qual energia é gerada em função da passagem de uma corrente I através
de meio com resistência e Re é:
Se esta geração de potência (W) ocorre uniformemente ao longo de todo o meio com
volume V, a Taxa volumétrica de geração (W/m³) é então:
A geração de energia também pode ocorrer como um resultado da desaceleração e
absorção de nêutrons no elemento combustível de um reator nuclear ou de reações
química exotérmicas que ocorrem em um meio. Reações endotérmicas apresentam
obviamente o efeito inverso.
Lembre-se de não confundir geração de energia com armazenamento de energia.
Para q (geração de calor uniforme) 
Para k (condutividade térmica constante)
A equação da condução de calor é:
A solução geral é:
Para as condições de contorno específicas:
As constantes podem ser avaliadas e têm a seguinte forma:
Neste caso, a distribuição de temperaturas é:
Condição de Contorno
Simétrica
Superfície Adiabática 
No Plano Central
Temperatura Máxima
Distribuição de Temperaturas
Condição de Contorno
Simétrica
Superfície Adiabática 
No Plano Central
É importante notar que no plano de simetria, 
o gradiente de temperatura é nulo, 
A equação acima também se aplica para
paredes planas que têm uma de suas
superfícies (x=0) perfeitamente isolada,
enquanto a outra superfície (x=L) é mantida a
temperatura fixa Ts
Condição de Contorno
Simétrica
Superfície Adiabática 
No Plano Central
Uma situação comum é aquela na qual é a
temperatura de um fluído adjacente, T ∞ e
não Ts que é conhecida.
Nesse caso se torna necessário relacionar
T∞ com Ts. Essa relação pode ser obtida
pela aplicação de um balanço de energia na
superfície.
A Taxa de Transferência de calor a partir de uma superfície a uma temperatura Ts
para o meio envolvente a T∞ é dada pela Lei de Newton do resfriamento como:
& � ��
'	
 � 	∞(
Para Ts e T∞ constantes, só existem duas formas de aumentar o coeficiente de 
transferência de calor:
- Aumentar h ou aumentar A
Para aumentar h, exige a instalação de
uma bomba ou ventilador. Uma
alternativa seria aumentar a superfície,
anexando superfície estendidas,
chamadas de Aletas.
Radiador de Carro Motor Elétrico Transformador
Supostas aletas de refrigeração no 
dinossauro
Exemplo
Motor Moto
Processador de 
Computador
Tubos aletados
- Em primeiro lugar, devemos obter a distribuição de temperaturas ao longo da aleta
- Depois fazemos o balanço de energia em um elemento diferencial apropriado.
- Optamos por considerar condições
unidimensional na direção (x)
longitudinal, embora na realidade a
condução no interior da aleta seja
bidimensinoal.
- Na prática a aleta é fina e as
variações de temperaturas na direção
normal no interior da aletas são
pequenas quando comparadas à
diferença de temperaturas entre a
aleta e o meio ambiente.
- Considerações:
- Regime estacionário
- Condutividade térmica Constante
- Radiação na superfície desprezível
- Efeitos de geração de calor ausentes 
- Coeficiente de transferência de calor por 
convecção uniforme ao longo da aleta.
Aplicando a exigência da conservação de energia.
Da lei de Fourier sabemos:
Ac – Área transversal
A Taxa de Transferência de calor por Convecção:
Substituindo temos:
As – Área SuperfÍcie
Equação geral:
ou
OU
Iniciaremos pelos casos mais simples de aletas (a) planas retangulares e (b) piniformes
de seção transversal uniformes.
- Cada aleta está fixada a uma superfície base, que está a 
uma temperatura T(0)=Tb e se estende para o interior de 
um fluído à temperatura T∞.
- Ac é Constante (Ac – Área transversal)
- As = Px – (As = Área da superfície, P = Perímetro)
e
Consequentemente: 
Se reduz à: 
- Para simplificar a equação, transformamos a variável 
dependente definindo uma temperatura em excesso 
)	ficando:
Onde:
Ficando: Onde:
A equação acima é diferencial de segunda ordem, linear e
homogênea, com coeficientes constantes. Sua solução geral
tem a forma:
Para determinar as constantes C1 e C2, é necessário especificar as condições de contorno
apropriadas. Uma dessas condições pode ser especificada em termos da temperatura na
base da aleta (x=0)
A segunda condição, especificada na extremidade da aleta (x=L), pode corresponder a 
uma entre quatro diferentes situações físicas.
Considera haver transferência de calor por convecção na extremidade da aleta.
A taxa na qual a energia é transferida para o fluido por convecção na extremidade da
aleta deve ser igual à taxa na qual a energia atinge a extremidade por condução.
CASO A
OU
Após explicitar C1 e C2, pode mostrar, após alguma manipulação algébrica que:
CASO A
Distribuição da temperatura
Para encontrar a quantidade de calor transferida
em toda aleta, pode ser avaliada envolvendo o
uso da distribuição de temperaturas.
Procedimentos utilizando Fourier:
Onde, conhecendo a distribuição de temperatura, 
* � , �+	pode ser determinada fornecendo:
CASO B
Corresponde à hipótese de que a perda de calor por
convecção na extremidade da aleta é desprezível:
Substituindo na equação: 
Determinando C1 e C2, temos:
Utilizando a distribuição de temperatura temos:
CASO C
A temperatura na extremidade da aleta é especificada. Isto é, a segunda condição de
contorno * � � *� e as expressões ficam:
CASO D
Aleta muito longa: Em particular, tem-se � → ∞, *� → 0
Exercício Aleta
Definida como a razão entre a taxa de transferência de calor da aleta e taxa de 
transferência de calor que existira sem a presença da aleta.
Justificável
Resistência da aleta Eficiência
Eficiência de aletas planas (perfis retangular, triangular e parabólicos
Eficiência de aletas anulares de perfil retangular
Eficiência Global
Resistência térmica para 
conjunto de Aletas
At = Área total exposta
Af = Área superficial de uma aleta
Ab = Área superficial primaria (base)
N = Número dealetas
At = N.Af + Ab
Taxa de Transferência de Calor