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Teoria do rotor
A teoria do rotor aplicada a turbomáquinas com enfoque em bombas centrífugas.
Prof. Vitor Rosa
1. Itens iniciais
Propósito
A compreensão dos conceitos básicos de escoamento, diagramas de projeção meridiana e aplicação da
equação de Euler na ação do rotor sobre o escoamento é essencial para a base da prática do engenheiro.
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de
seu smartphone/computador.
Objetivos
Reconhecer os conceitos básicos sobre escoamento de fluidos.
Analisar os diagramas de projeção meridiana e diagramas de velocidade.
Aplicar a equação de Euler no cálculo de parâmetros de projeto em rotores de turbomáquinas.
Introdução
Conteúdo interativo
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1. Conceitos fundamentais sobre escoamento de fluidos
Vamos começar!
Conceitos fundamentais sobre escoamento
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Conteúdo interativo
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Campo de velocidade
Todos nós estamos acostumados com os fluidos, como a água que bebemos, o ar que respiramos e a gasolina
que colocamos nos nossos veículos. Assim, para o projeto de máquinas de fluxo, é necessário conhecermos
um pouco mais sobre a natureza do fluido e os parâmetros que podemos obter quando estão escoando, por
exemplo, no interior de uma tubulação. 
Antes disso, vamos entender um pouco mais sobre o que é um fluido.
Vamos tomar como exemplo a água. A água é uma molécula composta por dois átomos de hidrogênio ligados
a um átomo de oxigênio. Quando a água está no estado sólido, essas moléculas não possuem um movimento
livre, isto é, estão presas em uma posição fixa no espaço. 
Quando passamos para a fase líquida, as forças que
mantinham as moléculas presas em posições fixas no
espaço diminuem drasticamente, permitindo que as
moléculas executem um movimento de rotação (giram em
torno do próprio eixo) e um movimento de translação
(percorrem uma trajetória em um dado domínio). Mas as
forças de ligação são fortes o suficiente para as moléculas
se agruparem e formarem uma superfície livre. Vejam que,
quando colocamos um líquido em um recipiente, ele se
adéqua ao seu volume e permite a formação de uma coluna
de ar na parte superior.
Por fim, na fase gasosa, as forças de ligação são
completamente removidas e as moléculas estão livres para
percorrer qualquer trajetória, ocupando assim todo o volume em que estão contidas, não formando uma
superfície livre. Veja uma ilustração a seguir.
Sólido Líquido
Gasoso
Quando estamos tratando de fluidos (líquido e gás) devemos estabelecer um limite para o volume que iremos
trabalhar. 
Exemplo
Se trabalharmos o escoamento com uma escala de grandeza do volume da molécula da água,
poderíamos enxergar os elétrons e os prótons presentes. O problema é que há um grande espaço vazio
entre as órbitas dos elétrons e o núcleo atômico onde se encontram os prótons, de modo que teríamos
um sistema descontínuo. 
Ao trabalhar com escoamento em tubulações, máquinas de fluxo e demais equipamentos, não é preciso
trabalhar em uma escala de volume tão reduzida. Podemos definir o nosso campo de trabalho em uma escala
microscópica em que vemos todas as moléculas como algo liso e contínuo, cujas propriedades irão variar
ponto a ponto, mas não molécula a molécula. 
Essa abordagem é denominada de teoria do contínuo, sendo a base para toda a análise que vamos
executar daqui para a frente.
Por exemplo, em um fluido, a massa específica (comumente chamada de densidade) para uma temperatura e
pressão constantes irá variar apenas nas três direções espaciais (x, y, z) e na coordenada temporal (t) na
abordagem do contínuo. Veja:
Outro importante parâmetro na análise de escoamento de fluidos é o campo de velocidades, o qual fornece a
variação do vetor velocidade do escoamento em função das três direções espaciais e da grandeza temporal.
Veja:
Podemos escrever o vetor velocidade em função das suas componentes escalares , nas
direções e . 
De modo geral, cada componente escalar irá variar em função de x, y, z e t. Observe que o vetor indica a
velocidade de uma partícula de fluido que está passando no ponto x, y e z no instante t em um dado campo
fixo do espaço, ou seja, uma visão euleriana do escoamento. A visão euleriana é útil para estudar o perfil de
velocidades de um fluido ocorrente em um equipamento, por exemplo, ao passar por uma tubulação. Mas
haverá casos em que será mais prático acompanhar a trajetória da partícula do fluido, como uma partícula
entrando em um rotor de uma bomba e sendo expelida na descarga. 
Ao acompanhar a partícula durante a sua trajetória, estamos em uma visão langrangeana, sendo que as
componentes de velocidade se tornam funções de posição para determinado instante de tempo.
Escoamento viscoso e não viscoso
É necessário entender que tipos de força estão atuando sobre as partículas de um fluido. Cada partícula pode
sofrer a ação de forças de superfície, como o atrito e a pressão, originadas pelo contato com outras partículas
ou superfícies sólidas; e forças de campo, como a gravitacional e a eletromagnética, que agem sobre as
partículas.
Se tivermos um meio em que não há influência de um campo eletromagnético, teremos apenas a influência do
campo gravitacional agindo sobre a partícula do fluido, a qual é dada pela equação (4):
Em que é a força gravitacional na base volumétrica é a massa específica do fluido e é o
vetor aceleração da gravidade.
No caso das forças de superfície, temos uma geração de tensões. Podemos entender a tensão como a ação
de uma força sobre uma área. Quando uma partícula de fluido está escoando e encosta em outra partícula,
uma força é gerada ali, que, por sua vez, em relação à área de onde ocorreu o atrito, uma tensão é gerada.
Mas por que há uma geração de tensão?
Eq. 1
Eq. 2
Eq. 3
Eq. 4
Atenção
Newton avaliou teoricamente essa questão. Ele verificou que as tensões aparecem somente quando o
fluido está em movimento e o seu valor depende da variação de velocidade desse movimento. 
Por exemplo, considere a água escoando por uma tubulação. Quando o movimento é iniciado, as partículas de
água junto à parede do tubo terão uma velocidade zero devido ao chamado princípio da aderência. Conforme
avançamos para o centro do tubo, a velocidade vai aumentando cada vez mais até alcançar um valor máximo
no meio do tubo.
Essa variação de velocidade em função do raio do tubo é
chamada de gradiente de velocidade ou taxa de
cisalhamento. Newton observou que, conforme essa taxa
de cisalhamento aumenta, também há um aumento das
tensões, as quais ele chamou de tensão de cisalhamento.
Assim, temos que se a relação entre a tensão de
cisalhamento e a taxa de cisalhamento for linear com
repouso em zero, teremos o chamado fluido newtoniano.
Newton estabeleceu o coeficiente de viscosidade para
relacionar a tensão (τ) e a taxa de cisalhamento ,
conforme apresentado na equação (5).
O coeficiente de viscosidade ou viscosidade dinâmica ( ) é uma propriedade que o fluido possui quando está
escoando. Qualquer fluido que siga a lei expressa na equação (5) é um fluido newtoniano, como a água, a
gasolina e o ar.
Isso significa que a viscosidade é constante desde que a temperatura também seja constante. Para
líquidos, conforme a temperatura aumenta, a viscosidade diminui; para gases, o efeito é o oposto. 
No entanto, há muitos fluidos que não possuem a descrição dada pela equação (5), sendo chamados de 
fluidos não newtonianos, como pastas, resinas e tintas.
Se um fluido for dito ideal, isso significa que não há geração de atrito e, portanto, não há um desenvolvimento
de tensões de cisalhamento. Esses fluidos não possuem viscosidade e esse escoamento é denominado de 
não viscoso ou invíscido.
Na prática, não há uma condição plena de fluido ideal, porém há situações em que nos aproximamos muito
disso. Para isso, vamos definir o número deReynolds (Re).
Em que é a massa específica do fluido, v é a velocidade média do escoamento, é o comprimento
característico do escoamento e é a viscosidade do fluido.
Eq. 5
Eq. 6
O numerador da equação (6) é chamado de forças inerciais e o denominador representa as forças viscosas.
Veja mais informações sobre as forças considerando o número de Reynolds:
> 100.000
Veja que o numerador é muito mais influente que o denominador, de modo que podemos desprezar a
força viscosa. Esse escoamento seria considerado não viscoso ou invíscido. No projeto de aeronaves,
o escoamento do ar é considerado invíscido, uma vez que em grandes altitudes o ar é muito rarefeito. 
entre 10 e 100.000
O problema ocorre com Reynolds entre 10 e 100.000, pois aqui não é interessante desprezar os
efeitos inerciais nem os efeitos viscosos.
>10
Agora, se o número de Reynolds for menor que 10, podemos considerar um escoamento
completamente viscoso. 
No projeto de máquinas de fluxo e máquinas térmicas, o escoamento é considerado viscoso. 
Escoamento laminar e turbulento
Se abrirmos uma torneira com uma vazão muito pequena, a água escoará para fora de uma forma suave. No
entanto, se aumentarmos a vazão, a água sairá de uma forma mais agitada ou caótica. Esses são exemplos de
escoamentos viscosos laminar e turbulento, veja mais detalhes a seguir.
O escoamento laminar, devido à organização, ocorre predominantemente de forma unidimensional (apenas em
uma das três dimensões espaciais), unidirecional (apenas em uma direção) e permanente ou estacionário (sem
variação de propriedades com o tempo).
Desse modo, a velocidade de escoamento é simplesmente chamada de v. Para um tubo com seção circular
constante, a velocidade média do escoamento é dada por:
Escoamento laminar 
No escoamento laminar, temos as partículas
do fluido se movendo em camadas lisas ou
lâmina.
Escoamento turbolento 
No escoamento turbulento, temos uma
mistura das partículas do fluido, então
acontece uma rotação e translação nas
três direções espaciais.
Em que é a pressão na seção de entrada do escoamento, é a pressão na seção de saída do
escoamento, R é o raio da tubulação, é a viscosidade dinâmica do fluido e é o comprimento do tubo
entre as tomadas de pressão e .
No escoamento turbulento, a velocidade é composta por uma velocidade média e pelas suas flutuações
nas direções e . Desse modo, podemos escrever na forma vetorial:
Os termos sem o subscrito (‘) representam as velocidades médias em cada uma das três direções. Os termos
com o subscrito (‘) representam as flutuações das velocidades médias.
As flutuações de velocidade ocorrem devido a três parâmetros exclusivos da turbulência, como indicado a
seguir.
Vorticidade
Propriedade referente à rotação das partículas
do fluido.
Transiência
Acelerações das partículas do fluido (aqui
podemos também contabilizar desacelerações).
Mistura
As partículas estão se misturando em nível
infinitesimal em cada uma das camadas do
fluido.
Observe o escoamento turbulento unidimensional e unidirecional apresentado na imagem a seguir. Veja que,
no esquema apresentado, a velocidade média em x é representada por uma linha reta, enquanto as flutuações
de velocidade são representadas de forma aleatória em torno dessa linha. 
Escoamento turbulento unidimensional e unidirecional.
Geralmente, as flutuações de velocidade são tratadas como funções e probabilidade devido à sua
aleatoriedade durante o escoamento. Ainda há mais um detalhe: o exposto na imagem pode ser uma condição
permanente, ou seja, sem variação no tempo, desde que a velocidade média permaneça invariante no tempo.
Eq. 7
Eq. 8
Caso ocorra uma tendência da velocidade média, as flutuações também acompanharão essa variação no
tempo, caracterizando uma condição transiente.
Na prática, todo escoamento turbulento é rotacional e transiente. 
A obtenção analítica de um perfil de velocidade no escoamento turbulento é muito complicada, sendo inviável
na maioria dos casos. 
Como alternativa, temos equações empíricas e semiempíricas obtidas a partir de experimentos ou simulações
numéricas realizadas em computadores. 
Na equação (9), temos um cálculo aproximado para a velocidade média em escoamento turbulento no interior
de tubos, a chamada lei de potência 1/7.
Escoamento compressível e incompressível
Nos escoamentos com variação desprezível da massa específica, temos o chamado escoamento
incompressível (observado em bombas e turbinas hidráulicas), porém, quando essas variações deixam de ser
desprezíveis, temos escoamento compressível (observado em sopradores e compressores).
Para muitos líquidos, a temperatura tem pouca influência sobre a massa específica. Em pressões moderadas,
os líquidos são incompressíveis. Mas, em elevadas pressões, a compressibilidade dos líquidos torna-se
importante.
Por exemplo, o golpe de aríete e a cavitação ilustram o efeito da compressibilidade nos líquidos. Veja mais
sobre eles a seguir:
Golpe de aríete
O golpe de aríete (também chamado de martelo hidráulico) ocorre devido à propagação e à reflexão
de ondas acústicas em um líquido confinado. Por exemplo, quando uma válvula é bruscamente
fechada em um tubo. Nesse momento, ocorre um ruído similar à batida de um martelo. A propagação
de ondas é perigosa, uma vez que, devido à intensidade, pode ocorrer fratura da tubulação e
vibrações indesejadas na estrutura na qual o tubo está colocado.
Cavitação
A cavitação é um fenômeno que ocorre devido à redução de pressão em uma tubulação, ocasionando
a origem de bolhas de vapor. Dependendo da intensidade da formação dessas bolhas, quando voltam
à fase líquida por um súbito aumento da pressão do escoamento, a onda de choque propagada na
mudança de fase pode danificar a tubulação. 
Geralmente, a cavitação ocorre bastante em bombas centrífugas, quando a sucção apresenta uma grande
queda de pressão devido ao pequeno diâmetro do tubo e a distância da bomba em relação à origem da
sucção. Quando as bolhas de vapor entram no rotor da bomba e encontram a pressão positiva, a onda de
choque chega a arrancar pedaços do rotor, o que é danoso para a bomba. 
Eq. 9
Em relação ao escoamento de gases, caso o escoamento
seja isotérmico (sem variação de temperatura ou com
variação desprezível), desde que as velocidades do
escoamento sejam pequenas em relação à velocidade do
som, o escoamento pode ser considerado incompressível.
Para sabermos se o escoamento de fato pode ser
considerado incompressível ou não, podemos calcular o 
número de Mach (Ma), o qual é dado por:
Caso o número de Mach seja menor que 0,3, podemos considerar o escoamento de um gás incompressível,
uma vez que nessa condição a variação de massa específica é menor que 5%. Porém, se for maior que 0,3, o
escoamento é compressível. 
Atenção
Um fluido jamais irá escoar com uma velocidade maior que a do som. Caso a velocidade do som seja
ultrapassada no escoamento, a quantidade de movimento é perdida, ou seja, a porção de fluido que está
atrás da porção que está em velocidade sônica fica “atrasada”. Como isso não é viável fisicamente, o
fluido tem a velocidade máxima a velocidade do som. 
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Campo de velocidade
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Turbulência
Conteúdo interativo
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Eq. 10
Considere as afirmações a seguir sobre o campo de velocidades.
 
I – O campo de velocidade fornece a descrição detalhada da velocidade nas três direções espaciais, porém
não na coordenada temporal.
II – Um escoamento bidimensional permanente apresenta um campo de velocidade variando apenas em duas
direções espaciais.
III – Em escoamentos irrotacionais, a partícula de fluido não possui um movimento de rotação em torno do
próprio eixo.
 
Estão corretas apenas as afirmativas:
A
I.
B
I e II.
C
I e III.
D
II.
E
II e III.
A alternativa Eestá correta.
A afirmativa I está incorreta, uma vez que o campo de velocidades fornece a descrição da velocidade do
escoamento em função das três coordenadas espaciais (por exemplo, x, y e z no sistema de coordenadas
cartesianas) e também em cada instante de tempo. Veja que, para cada instante de tempo, se fixarmos um
ponto, a velocidade mudará em função do tempo. A afirmativa II está correta, uma vez que escoamentos
bidimensionais permanentes têm a variação da velocidade da partícula fluida ocorrendo somente nas
direções x e y e constante no tempo. Ou seja, para cada instante de tempo, se olharmos um ponto, as
velocidades tanto em x como em y permanecem inalteradas, porém diferentes ponto a ponto. A afirmativa
III está correta, uma vez que, para escoamentos irrotacionais, temos como característica a ausência de
rotação da partícula de fluido em torno do seu próprio eixo. Esse tipo de escoamento é muito comum com
líquidos viscosos.
Questão 2
Considere as afirmações a seguir sobre escoamentos turbulentos:
 
I – Todo escoamento turbulento não é transiente.
II – Todo escoamento turbulento é rotacional.
III – A velocidade média possuirá flutuações.
 
Estão corretas apenas as alternativas:
A
I.
B
I e II.
C
I e III.
D
II.
E
II e III.
A alternativa E está correta.
A afirmativa I está incorreta: todo escoamento turbulento é transiente. Devido à grande mistura entre as
camadas de fluido e às flutuações de velocidade, temos uma variação temporal de todas as propriedades
do escoamento. A afirmativa II está correta, uma vez que a rotação das partículas em torno do seu próprio
eixo é uma das características da turbulência. Veja que, pelo escoamento turbulento ser um "caos", não
faria sentido as partículas do fluido não rotacionarem. A afirmativa III está correta, pois, na prática, em cada
direção espacial, a velocidade terá valores aleatórios (chamados de flutuação) ao decorrer do tempo. Isso
ocorre devido às variações bruscas na transmissão da quantidade de movimento durante esse tipo de
escoamento.
2. Diagramas de projeção meridiana
Vamos começar!
Projeções meridianas
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Conteúdo interativo
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Diagrama de projeção ortogonal e visualização de pontos
de estudo
O estudo que abrange a dinâmica de contato entre o rotor e o fluido de trabalho tem grande importância no
correto dimensionamento desses componentes, buscando conhecer os efeitos e a mecânica de interação
entre essas partes. 
O deslocamento de um fluido pela superfície do rotor é feito, em grande parte, de maneira
tridimensional, de modo que o fluido percorre a superfície de contato nas aletas do rotor, sendo
redirecionado durante esse contato.
Sendo o rotor um elemento rotativo que opera de modo simétrico, para entender melhor o deslocamento
dessa interação, o desenho de construção desse conjunto geométrico é desmembrado em um sistema
composto de duas projeções: 
1ª Projeção
Uma projeção em um plano de representação
normal.
2ª Projeção
Uma projeção em um plano de representação
meridiano.
Essa forma de interpretação permite que possam ser tomados pontos de interesse no espaço para estudo de
diferentes variáveis. A representação criada nesses dois planos de referência também faz com que se tenha
uma visualização mais clara do posicionamento espacial no qual se encontram esses pontos. A imagem abaixo
demonstra uma configuração primária desse modelo de representação que será descrito a seguir. 
Projeções meridiana e normal de um ponto P no espaço.
A primeira representação, denominada de projeção em plano normal, é uma componente composta por um
plano que corta perpendicularmente o eixo de simetria do rotor e, por consequência, se encontra em direção
normal ao eixo da máquina de fluxo.
O ponto em estudo presente no espaço que contenha uma variável de interesse será sempre projetado
diretamente ao plano normal. Note pela representação apresentada anteriormente que, independentemente
da altura, a posição na qual esse ponto se encontra será diretamente transferida ao plano normal.
A segunda projeção, chamada de projeção meridiana, é composta por um plano que corta os elementos
rotativos de maneira longitudinal. Dessa forma, pode-se dizer que o eixo de simetria do elemento rotativo está
contido como uma linha de referência existente nesse plano, representando o eixo do rotor.
Comentário
Observe na representação utilizada anteriormente que a projeção de um ponto (P) em estudo, no
entanto, não é feita com um rebatimento direto deste ponto em direção ao plano meridiano, como
acontece no plano normal. 
Para o plano meridiano, o rebatimento de cada ponto do rotor é feito de maneira circular, utilizando o eixo de
simetria como origem da circunferência. Nessa projeção, é possível afirmar também que quaisquer pontos
simétricos em relação ao eixo do plano meridiano compartilham a mesma semicircunferência que contém o
ponto P. Quaisquer pontos que estejam contidos nessa região terão a representação indicada na mesma
posição do ponto P, mesmo que não estejam na mesma orientação em relação ao plano normal, como
indicado na imagem a seguir.
Representação em plano meridiano e plano normal de dois pontos P e Q no espaço.
Diagrama de projeção ortogonal e as curvas de projeção
Compreendendo a fundamentação que esse diagrama utiliza para a visualização de pontos no espaço, é
possível implementar o campo de aplicação das geometrias que nele são representadas e analisadas. 
A próxima etapa de utilização desse diagrama consiste na combinação de diferentes pontos, que nesse
momento passam a representar regiões específicas na geometria do rotor. 
A união desses pontos dá origem às curvas projetadas no espaço, feitas seguindo uma trajetória
simétrica e que configuram, normalmente, uma geometria de revolução do elemento rotativo. 
Essas curvas podem representar diferentes pontos de estudo na geometria de um rotor, como seus limites
externos, a trajetória de desenvolvimento das pás ou até mesmo a trajetória na qual uma partícula de fluido
percorre durante sua interação com o rotor.
As linhas que são elaboradas em um diagrama de projeção ortogonal permitem compor o desenho de uma
curva contida no espaço gerando uma superfície de revolução. O eixo de simetria, presente no plano
meridiano de projeção, coincide com o eixo de giro do rotor, fazendo com que a revolução produzida por
essas representações gráficas pertençam a pontos específicos da geometria do rotor.
Comentário
Semelhante à representação dos pontos de estudo em plano normal e no plano meridiano, as curvas
desenhadas nesse diagrama passam agora a ter uma projeção em ambos os planos. 
Analogamente, as curvas projetadas no espaço do diagrama são representadas de maneira simétrica no plano
meridiano, uma vez que os pontos que estão contidos nessa curva mantêm o mesmo distanciamento em
relação ao eixo de simetria. 
As linhas que compõem essas curvas, quando traçadas
para o plano meridiano e para o plano normal, configuram
agora uma simplificação planar dessa curva espacial. Para
melhor visualização e compreensão, vamos utilizar como
exemplo um ponto M, que representa o diâmetro externo da
região superior da pá de um rotor, e um ponto N, que
representa o diâmetro externo da região inferior dessa
mesma pá.
Utilizando esses pontos, é possível projetar uma curva MN
que representa a trajetória que percorre o limite externo
desse rotor. A projeção obtida no plano meridiano representa a curvatura que as pás do rotor apresentam em
relação ao eixo de simetria.
Já a projeção em plano normal traz a representação de como a curvatura da pá se desenvolve a partir de sua
origem (diâmetro menor representado pelo ponto N).
Um modelo representativo que ilustra a decomposição de uma curva nas projeções de plano meridiano e 
plano normal é visto na imagem a seguir.
Diagrama de projeção ortogonal para representação de uma curva MN no espaço.
Diagramade projeção ortogonal e as representações de
um rotor
Com a criação das linhas entre pontos e a projeção de curvas espaciais no diagrama de projeção ortogonal,
parte-se para uma nova abordagem de avaliação de geometrias que o diagrama proporciona. 
Com as coordenadas espaciais que configuram a construção de um rotor, é possível interligar linhas que
demarcam a geometria de uma pá individual. Como as pás são simétricas ao rotor e ao eixo de referência do
plano meridiano, a representação de uma única pá nesse sistema significa dizer que todas as pás do rotor
podem ser representadas no plano meridiano a partir de uma única projeção. 
Observe a imagem a seguir que apresenta a reprodução de uma pá idealizada para o rotor de uma
turbobombas, tendo a representação no diagrama de projeção ortogonal.
Projeções meridiana e normal de uma pá para rotor de turbobombas.
Perceba que a representação meridiana do rotor, no entanto, não dispensa a necessidade da projeção normal.
Por se tratar de uma projeção ao plano e não de um corte das pás de um rotor, essa forma de reprodução
desconsidera o perfil de curvatura presente nesses elementos.
Atenção
Essa condição faz com que a representação do plano meridiano possa configurar diferentes perfis de pá.
Ao utilizar a projeção em plano normal, o padrão de curvatura da pá é introduzido ao diagrama, fazendo
com que a geometria real da pá seja descrita. A imagem apresenta um novo diagrama de representação
ortogonal, com dois modelos de rotor que satisfazem a projeção ao plano meridiano, apresentando uma
diferente representação referente ao plano normal. 
Como apresentado, a projeção das pás dos rotores para os planos de referência permite criar uma
representação mais acessível para as geometrias desses componentes. Como foi demonstrado, a projeção
dessas curvas pode ser feita de maneira unitária, uma vez que todos esses elementos são simétricos ao eixo
do rotor.
Contudo, uma vez que um ponto pode ser traçado de maneira semicircular para o plano meridiano, é possível
transcrever esse perfil originado para o plano normal de projeção. 
Diagrama de velocidades
O diagrama de velocidades é um sistema de avaliação que utiliza os recursos de projeção meridiana e
projeção normal para visualizar a interação que o fluido e as pás de um rotor possuem durante a transmissão
de energia. Nele, são desenhadas as projeções das pás de um rotor em estudo, assim como a trajetória
realizada por uma partícula de fluido, trazendo a decomposição vetorial das velocidades.
Demonstração
Para melhor compreensão desse sistema, vamos utilizar como exemplo um rotor de uma bomba centrífuga.
Vamos considerar que os pontos (a’) e (b’) representam a projeção meridiana da trajetória de uma partícula de
fluido que interage com o rotor. Inserida nessa trajetória, se encontra a partícula (M’). A projeção dessa
partícula no plano de projeção normal é feita por um ponto (M). Agora veja mais detalhes sobre a relação da
velocidade e as trajetórias formadas:
1
Trajetória relativa
Quando em movimento, a velocidade angular presente na pá do rotor promove um arrasto dessa
partícula por toda a superfície, de modo a criar uma trajetória durante seu deslocamento. O curso
formado é conhecido como trajetória relativa e é considerado a partir de um sistema referencial
móvel. Nessa condição, um observador gira juntamente com a pá do rotor, caminhando da
extremidade interna (ponto de entrada do fluido) para sua extremidade. O desenho obtido desse
deslizamento da partícula é a reprodução do perfil da pá do rotor, no sentido ao qual se encontra
durante o seu giro.
2Trajetória absoluta
Em outra visualização, no entanto, podemos considerar um ponto de referência que se encontre fora
do sistema de giro. Nessa condição, dito “compor um sistema referencial fixo”, um observador
encontra-se na base da máquina de fluxo enquanto observa a combinação dos movimentos de giro e
do arrasto da partícula produzido na pá do rotor. A trajetória encontrada nessa observação externa é
chamada de trajetória absoluta e descreve o movimento que a partícula reproduz durante interação
com a máquina de fluxo.
Essas projeções, por se tratar de uma reprodução da curva de contato do rotor com a partícula e da curva de
deslocamento de uma partícula que interage com o rotor respectivamente, possuem a mesma projeção no
plano meridiano. Contudo, no plano normal ao eixo do rotor, essas projeções se separam, permitindo observar
com maior clareza a trajetória que as compõe.
Como essas curvas estão sobrepostas no plano meridiano, significa dizer que elas se cruzam em algum
momento do trajeto. Para facilitar a nossa visualização, vamos inserir o ponto (M) descrito anteriormente
nesse ponto de convergência entre as curvas. A imagem a seguir apresenta a representação do sistema
descrito, apresentando os planos meridiano e normal com as respectivas projeções das trajetórias relativa e
absoluta que compõem o sistema.
Projeções meridiana e normal de rotor com demonstração das trajetórias relativa e
absoluta.
A partir do diagrama apresentado, é possível conhecer a real trajetória da partícula e acrescentar nesse
sistema de referência as componentes de velocidade que existem associadas ao seu movimento. Para facilitar
a compreensão, utilizaremos as letras maiúsculas para representação vetorial, enquanto as letras minúsculas
ficarão para representação de seus módulos.
Temos um sistema de movimento angular em que o vetor de velocidade do movimento absoluto é
originado pela composição de dois vetores. O vetor é a parcela representativa da velocidade de arrasto
(u), conhecida também por velocidade circunferencial. Essa componente sempre estará posicionada sobre o
ponto de estudo com direção perpendicular ao eixo de giro, variando sua direção para condição de máquina
de fluxo operatriz ou motora. Já o vetor é um representativo da velocidade relativa (w), composta pela
tangente de arrasto da partícula pelo corpo da pá do rotor. Na imagem a seguir, são acrescentadas as
composições vetoriais de velocidade desse sistema demonstrativo.
Diagrama de velocidades com as respectivas componentes vetoriais.
Repare no diagrama que, para essa representação, apenas o vetor U aparece paralelamente a um dos eixos de
referência, representando inteiramente o valor de seu módulo. Já os vetores V e W aparecem de modo
inclinado em relação ao plano.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
O que é um rotor?
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Projeção meridiana
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Verificando o aprendizado
Questão 1
O diagrama de projeção ortogonal é utilizado para o estudo das geometrias de rotores. Para esse diagrama,
assinale a seguir a alternativa correta.
A
Dois pontos distintos podem, na mesma elevação, ser representados por um mesmo ponto no plano
meridiano.
B
As projeções de pontos no plano normal e no plano meridiano são feitas por um rebatimento direto desses
para os planos.
C
Dois pontos nunca podem estar representados por um mesmo ponto nos planos de referência.
D
Apenas um plano é suficiente para representar o posicionamento de um ponto no espaço.
E
A representação de um ponto no plano meridiano é feita de maneira assimétrica.
A alternativa A está correta.
A representação de um ponto para o plano meridiano de referência é feita de maneira circular a partir do
eixo de simetria presente nesse plano. Dois pontos distintos podem ser representados no plano meridiano
caso estejam na mesma altura e distância do eixo de simetria ou no plano normal caso estejam na mesma
coordenada em alturas diferentes. Para a representação espacial de um ponto, é necessária sua projeção
para ambos os planos meridiano e normal de referência. A projeção de um ponto para o plano meridiano é
feita de maneira circular a partir de seu eixo de simetria, de modo que sua representação final é simétrica.
Questão2
Considere as afirmações a seguir sobre o diagrama de projeção ortogonal.
 
I – A união de diferentes pontos forma curvas espaciais que representam limites de geometria do rotor.
II – As curvas espaciais representadas são simétricas, originando superfícies de revolução.
III – As curvas espaciais formadas por diferentes pontos são representadas apenas no plano meridiano de
referência.
 
Estão corretas as afirmações:
A
I.
B
II e III.
C
III.
D
I e III.
E
I e II.
A alternativa E está correta.
As afirmações I e II estão corretas, pois, conforme visto nas imagens ao longo deste conteúdo, diferentes
pontos, ao se unirem, formam curvas espaciais que representam limites de geometria do rotor. Já a
representação das curvas espaciais é simétrica, o que origina superfícies de revolução. Na afirmação III, as
curvas espaciais podem ser representadas em ambos os planos de referência, caracterizando o padrão de
revolução gerado.
3. Ação do rotor nas turbomáquinas
Vamos começar!
Ação do rotor nas turbomáquinas
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Princípio da quantidade de movimento angular
Considerando o rotor da bomba como um sistema, podemos definir o torque em relação à variação da
quantidade de movimento angular do fluido em relação ao tempo.
A equação (11) possui uma natureza vetorial com o seguinte significado: o princípio da quantidade de
movimento angular para um sistema estabelece que a taxa de variação da quantidade de movimento angular
deve ser igual à soma de todos os torques atuantes o sistema.
Exemplo
Imagine que você deseja abrir uma porta. Note que a porta irá executar um movimento rotacional em
torno de um eixo. Para conseguir impor um movimento na porta, será necessário aplicar uma força na
maçaneta, a qual está localizada a uma certa distância do centro de rotação da porta. 
Esse produto da força pela distância é chamado de momento linear. Para que essa força consiga movimentar
a porta é necessário que uma velocidade linear seja produzida de tal maneira que possa movimentar a massa
da porta. Como o movimento será rotacional, esse produto da velocidade linear pela massa multiplicado pelo
raio (distância entre o centro de aplicação da força e o centro de rotação) é chamado de quantidade de
movimento angular:
Na equação (12), o produto entre os vetores posição e velocidade é chamado de produto vetorial,
representado pelo símbolo x.
Eq. 11
Eq. 12
Agora vamos integrar a equação (12) sobre toda a massa de fluido contida no sistema:
Mas essa massa de fluido pode ser escrita como o produto da densidade pelo volume de fluido:
Agora vamos trabalhar um pouco o torque. 
Por definição, o torque é uma grandeza vetorial que relaciona a variação da quantidade de
movimento angular do sistema em função do tempo. 
Há três tipos de torques atuantes no sistema, como veremos a seguir.
1º Torque
Torque devido às forças de superfície exercidas
sobre o sistema. Nesse caso, o movimento de
fluido dentro do rotor da bomba provoca forças
sobre o rotor.
2º Torque
Torque devido à influência do campo
gravitacional na massa do sistema. Aqui temos
a aceleração gravitacional gerando forças ao
longo do vetor posição .
3º Torque
Torque de eixo por agentes externos.
Movimento de rotação imposto pelo rotor no
bombeamento do fluido.
Matematicamente, temos o seguinte:
Em que é a força de superfície exercida pelo fluido sobre o sistema e é o vetor aceleração da
gravidade.
Eq. 13
Eq. 14
Eq. 15
Observe na equação (15) que o primeiro termo do membro
direito corresponde ao torque por forças de superfícies, o
segundo em relação ao torque devido à ação da força de
campo e o último termo, o torque de eixo.
A bomba é uma máquina geratriz que possui uma entrada e
uma saída constantes de fluido, de modo a ser um volume
de controle. Precisamos agora aplicar as equações aqui
formuladas para um sistema em um volume de controle.
Se chamarmos de uma propriedade extensiva e a sua
propriedade intensiva associada, temos a seguinte
formulação de sistema e de volume de controle:
No nosso caso, a propriedade é a quantidade de movimento angular, enquanto é o produto vetorial
entre e . Logo:
Incorporando as equações (14) e (15) na equação (17) e realizando um pouco de álgebra, chegamos a:
A equação (18) apresenta a formulação geral do princípio da quantidade de movimento angular para um
volume de controle inercial. O lado direito da equação apresenta todos os torque atuantes no volume de
controle, enquanto o lado esquerdo apresenta a taxa e variação da quantidade de movimento angular no
volume de controle, além da taxa líquida de fluxo da quantidade de movimento angular que atravessa a
superfície do volume de controle. 
A equação (18) é amplamente empregada para máquinas de fluxo, porém, na sua forma escalar, como
veremos mais adiante. 
Equação fundamental das turbomáquinas
Partindo da formulação geral do princípio da quantidade de movimento angular em volume de controle
inercial, temos que:
Eq. 16
Eq. 17
Eq. 18
Eq. 19
Em uma turbomáquina, é interessante escolher um volume de controle fixo contendo o rotor, a fim de avaliar o
torque gerado no eixo. Nas turbomáquinas, o torque de eixo é muito mais significativo que o originado por
forças de superfície. O torque devido à força de campo pode ser desprezado por simetria do rotor na
turbomáquinas. 
Se considerarmos o processo em regime estacionário (sem variação de tempo), temos que o torque de eixo é
dado por:
Algumas particularidades da equação (20):
Para uma turbomáquina que consome trabalho (como uma turbobomba), o torque requerido causa uma
variação da quantidade de movimento angular do fluido. Se for em uma máquina motora (como uma turbina
hidráulica), o torque produzido é decorrente da variação de quantidade de movimento angular do fluido.
Considere o rotor genérico de uma turbomáquina apresentado na imagem a seguir:
Rotor genérico de uma turbomáquina.
O sistema de coordenadas fixas escolhido foi o eixo , ou seja, o rotor da imagem rotaciona em torno das
coordenadas e y com uma rotação N. O fluido entra no rotor radialmente em , com uma velocidade
uniforme ; o fluido sai do rotor na posição radial com velocidade absoluta .
Se o escoamento for uniforme e idealizado entrando no rotor pela seção 1 e saindo pela seção 2, a integral da
equação (20) pode ser resolvida e o resultado escrito na forma escalar:
A equação (21) é válida para escoamento estacionário, sem atrito (idealizado), unidirecional, na entrada e na
saída do rotor e efeitos de pressão desprezíveis. Essa equação é conhecida como equação de Euler das
turbomáquinas ou equação fundamental das turbomáquinas.
A taxa de trabalho ou potência realizada sobre o rotor de uma turbomáquina é dada pelo produto do torque de
eixo vezes a rotação do impulsor: 
Eq. 20
Eq. 21
Se U for igual ao produto da rotação pelo raio, temos que:
Para máquinas geratrizes (bombas, ventiladores, sopradores e compressores), a potência produzida será
positiva; para máquinas motoras (turbinas), essa potência será negativa.
Dividindo a equação (23) pelo produto da vazão mássica pela aceleração da gravidade , temos que:
A equação 24 representa a carga teórica adicionado ao escoamento devido ao torque gerado no rotor da
turbomáquina. 
Aplicação da equação de Euler para bombas centrífugas
Vamos iniciar a nossa análise com a representação de um escoamento através de um rotor simples de bomba
centrífuga. A carga teórica adicionada ao escoamento devido à rotação do rotor é dada por: 
Se o fluido entrar com uma velocidade completamente radial no rotor, não teremos a componente tangencial 
 :
A componente de velocidade tangencial pode ser escrita como:
Em que é a velocidade tangencial do fluido na saída do rotor, é a componente normal de velocidade
do fluido na saída do rotor e é o ângulo de saída da pá do rotor.
Substituindo a equação (27) na equação (26),temos:
Eq. 22
Eq. 23
Eq. 24
Eq. 25
Eq. 26
Eq. 27
Para um rotor com largura , podemos escrever a vazão volumétrica de fluido como o produto da diâmetro
de saída do rotor e da componente normal de velocidade .
Isolando em (29):
Substituindo a equação (30) na equação (28) e rearranjando, temos:
A equação (31) pode ser reescrita como:
Em que:
As constantes e são funções da geometria e da velocidade da bomba. Note que a equação (32)
prevê uma variação linear da altura de carga H com a vazão volumétrica, o que caracteriza um modelo ideal,
uma vez que a equação de Euler não prevê atrito viscoso.
Eq. 28
Eq. 29
Eq. 30
Eq. 31
Eq. 32
Eq. 33
Eq. 34
Comentário
Na prática, a altura de carga da bomba não varia de forma linear, e sim de forma parabólica, sendo
necessária a realização de experimentos para a construção de uma curva mais realista. Porém, a curva
teórica prevista pela equação de Euler nos fornece um parâmetro de idealidade da bomba. 
O coeficiente linear da equação (32), representado pela constante , representa o ponto de pressão
máxima na bomba que ocorre com uma vazão zero, o chamado shut-off da bomba.
Já a constante representa a inclinação da reta da variação da altura de carga teórica da bomba com a
vazão volumétrica.
Na imagem a seguir, temos uma representação qualitativa da variação da curva de carga teórica em função da
vazão para diferentes configurações de pás de rotor de bomba centrífuga.
Note que, para pás com saída radial, ou seja, ângulo igual a , a constante é zero, o que
implica que a carga teórica da bomba independe da vazão.
Se as pás possuírem um ângulo maior que , isto é, pás curvadas para a frente, a constante será
negativa, o que implica que a carga teórica da bomba irá aumentar conforme o incremento da vazão
volumétrica.
Porém, com ângulo menor que , ou seja, com pás curvadas para trás, temos uma constante positiva
que implica uma diminuição da carga teórica com o aumento da vazão volumétrica.
Relação idealizada entre a carga teórica e a vazão volumétrica para bomba
centrífuga com as pás do rotor curvadas para a frente, curvadas para trás e radiais.
Demonstração
Uma bomba centrífuga é utilizada para o bombeamento de 0,028m³/s de água. A água entra no rotor de forma
axial através de um orifício com 40mm de diâmetro. A velocidade de entrada é axial e uniforme. O diâmetro de
saída do rotor é 150mm, sendo que o escoamento sai do rotor a 3,5m/s em relação às pás, que são radiais na
saída. A rotação do rotor é de 4.000rpm. 
Vamos determinar o torque na entrada do rotor e a potência requerida pela equação de Euler. Inicialmente,
vamos assumir algumas hipóteses a seguir.
1ª Hipótese
Os torques originados pelas forças de
superfície e de campo são desprezíveis.
2ª Hipótese
Escoamento permanente, incompressível e
uniforme nas seções de entrada e saída do
rotor.
Nessas condições, o torque de eixo é calculado por:
Para uma entrada axial, a componente da velocidade tangencial é igual a zero, e para pás de saída radial
a componente de velocidade tangencial é dada por:
Em que é o raio da saída da seção de saída do rotor. Substituindo a equação B na equação :
Mas a vazão em massa m pode ser escrita em função do produto da massa específica pela vazão volumétrica,
logo:
Lembrando que N deve estar em radianos por segundo!
Para transformar N em rpm para rad/s, basta dividir por 9,55. Assim, para N sendo 4.000rpm, em rad/s ele
assume o valor de 418,8rad/s. Substituindo os valores numéricos na equação D:
Eq. A
Eq. B
Eq. C
Eq. D
Eq. E
Com o torque de eixo calculado, a potência requerida pela bomba é dada por:
Mão na massa
Questão 1
Uma bomba centrífuga, girando a 3.400rpm, transporta água com uma vazão volumétrica de 1m³ por minuto.
A água (massa específica igual a 1.000kg/m³) entra axialmente e deixa o rotor com uma vazão de 0,01m³/s. Na
saída do rotor, as pás são radiais. Se a bomba requer uma potência de 5kW, qual o diâmetro do rotor na saída
da bomba?
A
115,6mm
B
125,6mm
C
135,6mm
D
145,6mm
E
155,6mm
A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Diâmetro do rotor
Eq. F
Eq. G
Eq. H
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Questão 2
Um líquido entra axialmente em uma bomba centrífuga. O rotor possui um raio de 300mm na saída da bomba.
Se o torque de eixo for de e a rotação de 2.500rpm, qual a vazão em massa desse escoamento?
A
2,36kg/s
B
2,46kg/s
C
2,56kg/s
D
2,76kg/s
E
2,86kg/s
A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Vazão em massa
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Questão 3
Uma bomba centrífuga deve transportar um hidrocarboneto quando a vazão volumétrica é igual a 0,022m³/s.
Sabendo que o raio do rotor na saída da bomba é de 220mm e que as pás são radiais (β2=90°), a massa
específica do fluido é 1.000kg/m³, a rotação é 400 radianos por segundo e que o fluido entra axialmente no
rotor, qual o torque de eixo nessas condições?
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
A potência requerida pela bomba é dada por:
Logo:
Para as condições descritas no enunciado, a potência requerida pode ser escrita na seguinte forma:
Substituindo a equação C em B:
Questão 4
Uma bomba centrífuga transporta um fluido ideal. Se o torque de eixo é de e a rotação é de
3.500rpm, qual a potência requerida?
A
18,3kW
B
20,3kW
C
23,3kW
D
26,3kW
E
29,3kW
A alternativa E está correta.
A potência requerida pela bomba é dada por:
A rotação em radianos por segundo é 366,49rad/s, logo:
Questão 5
Uma bomba centrífuga possui um torque de eixo de . Devido à entrada de líquido ocorrer axialmente,
não há componente tangencial de velocidade na entrada da bomba. Sabendo que o raio na seção de saída é
de 480mm, a massa específica do líquido é 880kg/m³ e a vazão volumétrica é de 0,002m³/s, qual a rotação
dessa bomba?
A
2098rpm
B
2138rpm
C
2338rpm
D
2438rpm
E
2538rpm
A alternativa C está correta.
Nessas condições, o torque de eixo é calculado por:
Para uma entrada axial, a componente da velocidade tangencial é igual a zero, e para pás de saída
radial a componente de velocidade tangencial é dada por:
Em que é o raio da saída da seção de saída do rotor. Substituindo a equação B na equação A:
Mas a vazão em massa pode ser escrita em função do produto da massa específica pela vazão
volumétrica:
 Isolando N na equação D e substituindo os valores numéricos:
Em rpm, basta multiplicar por 9,55; logo, temos uma rotação de 2.338rpm.
Questão 6
Uma bomba possui uma potência de 13kW. Sabendo que o torque de eixo é igual a , qual a rotação
dessa bomba?
A
1.311rpm
B
1.411rpm
C
1.511rpm
D
1.611rpm
E
1.711rpm
A alternativa B está correta.
A potência requerida pela bomba é dada por:
Isolando a rotação:
Em rpm, basta multiplicar por 9,55; logo, temos uma rotação de 1.411rpm.
Teoria na prática
Um laboratório foi contratado por uma indústria produtora de bombas centrífugas para calcular a curva de
desempenho teórica da bomba, ou seja, a curva da variação da altura manométrica em função da vazão
volumétrica.
O engenheiro verificou que a largura da pá do rotor na saída da bomba é de 100mm com um ângulo de pá de
60°. O diâmetro da seção de saída é de 380mm e a velocidade tangencial absoluta é de 3 metros por
segundos.
Qual seria a aplicação da equação de Euler para essa bomba?
Chave de resposta
Aplicando a equação de Euler para essa bomba considerando escoamento incompressível, permanente e
unidirecional, além das velocidades de entrada e saída serem uniformes, temos que a altura de carga
teórica é dada por: 
Em que:
Vamos iniciar pelo cálculo da constante com os valores numéricos no sistema internacional:
Substituindo os valores das equações (D) e (E) na equação (A):
A equação (F) representa a altura de carga teórica dessa equação. Note que a unidade da vazão
volumétrica será em m³/s para a carga H ser dada em metros.
Arbitrando valorespara Q começando pelo zero, podemos construir o gráfico que representa a curva
descrita na equação (F).
Curva de altura de carga teórica.
Observe na imagem que a curva de altura de carga teórica é decrescente de forma linear em relação à
vazão volumétrica. Podemos concluir que:
O ponto de pressão máxima da bomba ocorre com a vazão Q igual a zero, ou seja, o shut-off da
bomba.
Como a reta foi decrescente, isso indica que as pás do rotor na saída são curvadas para trás.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Em uma unidade industrial, temos uma bomba centrífuga de grandes dimensões sendo empregada para o
transporte de água de processo. A potência requerida na bomba é de 333kW. Mediu-se com um torquímetro o
torque gerado no eixo do rotor da bomba, o qual é de 880N.m. Nessas condições, qual é a rotação da bomba
em rpm?
A
3.614rpm
B
3.714rpm
C
3.814rpm
D
3.914rpm
E
4.014rpm
A alternativa A está correta.
A potência requerida pela bomba é dada por:
Isolando a rotação:
• 
• 
Em rpm, basta multiplicar por 9,55; logo, temos uma rotação de 3.614rpm.
Questão 2
Um processo requer uma bomba com um torque de eixo de 900N.m para uma rotação de 3.200rpm. Se o
líquido entra de forma axial na bomba e a vazão em massa processada é de 5kg/s, qual o diâmetro do rotor na
saída da bomba?
A
1.066mm
B
1.166mm
C
1.266mm
D
1.366mm
E
1.466mm
A alternativa E está correta.
Partindo da equação de Euler:
Como a entrada do fluido ocorre de forma axial, a componente tangencial de velocidade na entrada é zero.
Logo, é igual a zero. Assim:
A componente de velocidade tangencial é dada por:
Logo:
Isolando o raio do rotor na saída com a rotação em radianos por segundo (335rad/s) e substituindo os
valores numéricos com a rotação em radianos por segundo, temos que:
Multiplicando por dois, temos o diâmetro do rotor na saída igual a 1,466 metros ou 1.466mm.
4. Conclusão
Considerações finais
A teoria do rotor é um assunto fundamental para o projeto de máquinas geratrizes e motoras, uma vez que a
forma como o fluido passa pelo rotor irá impactar de maneira significativa a eficiência da operação da
máquina.
Vimos as principais características do escoamento de fluidos. Introduzimos o conceito de projeção meridional
e o diagrama de velocidades aplicados à pá do rotor. Finalizamos com a dedução da equação de Euler para
escoamento ideal de fluidos e a aplicamos para cálculos de torque e consumo de potência em rotores de
turbomáquinas.
Podemos concluir que o estudo detalhado de como uma bomba transmite energia ao fluido com a utilização
da teoria do rotor fornece ferramentas para o futuro engenheiro avaliar e otimizar unidades de bombeamento
já existentes, assim como o projeto de novas bombas.
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Agora, encerramos nosso estudo fazendo um breve resumo dos principais tópicos que foram abordados
ao longo dos módulos.
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Introdução à mecânica dos fluidos.
Referências
BRAN, R.; SOUZA, Z. Máquinas de fluxo: turbinas, bombas e ventiladores. Curitiba: Ao Livro Técnico, 1969.
 
MACYNTYRE, A. J. Bombas e instalações de bombeamento. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997.
 
MCCABE, W.; SMITH, J.; HARRIOT, P. Unit Operations for chemical engineering. 7. ed. Nova York: McGraw-Hill,
2004.
 
FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução à mecânica dos fluidos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2014.
 
GREEN, D. W.; SOUTHARD, M. Z. Perry’s chemical engineer’s handbook. 9. ed. Nova York: McGrawHill, 2018.
	Teoria do rotor
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Conceitos fundamentais sobre escoamento de fluidos
	Vamos começar!
	Conceitos fundamentais sobre escoamento
	Conteúdo interativo
	Campo de velocidade
	Sólido
	Líquido
	Gasoso
	Exemplo
	Escoamento viscoso e não viscoso
	Atenção
	> 100.000
	entre 10 e 100.000
	>10
	Escoamento laminar e turbulento
	Vorticidade
	Transiência
	Mistura
	Escoamento compressível e incompressível
	Golpe de aríete
	Cavitação
	Atenção
	Vem que eu te explico!
	Campo de velocidade
	Conteúdo interativo
	Turbulência
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	2. Diagramas de projeção meridiana
	Vamos começar!
	Projeções meridianas
	Conteúdo interativo
	Diagrama de projeção ortogonal e visualização de pontos de estudo
	1ª Projeção
	2ª Projeção
	Comentário
	Diagrama de projeção ortogonal e as curvas de projeção
	Comentário
	Diagrama de projeção ortogonal e as representações de um rotor
	Atenção
	Diagrama de velocidades
	Demonstração
	Trajetória relativa
	Trajetória absoluta
	Vem que eu te explico!
	O que é um rotor?
	Conteúdo interativo
	Projeção meridiana
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	3. Ação do rotor nas turbomáquinas
	Vamos começar!
	Ação do rotor nas turbomáquinas
	Conteúdo interativo
	Princípio da quantidade de movimento angular
	Exemplo
	1º Torque
	2º Torque
	3º Torque
	Equação fundamental das turbomáquinas
	Aplicação da equação de Euler para bombas centrífugas
	Comentário
	Demonstração
	1ª Hipótese
	2ª Hipótese
	Mão na massa
	Diâmetro do rotor
	Conteúdo interativo
	Vazão em massa
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Verificando o aprendizado
	4. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore +
	Referências