CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL l.LISTA3.DIFERENCIAÇÃO.IMPLÍCITA /TAXAS.RELACIONADAS/DIFERENCIAÇÃO.HIPERBÓLICA/INTEGRAL-TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÕNCAVO DA BAHIA 
CETEC CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS TECNOLOGICO 
DISCIPLINA: CET 146/062 CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL I - CÁLCULO A 
PROFº DOUTOR*****JÚLIO CESAR **ENGENHARIA SANITÁRIA / BACHARELADO 
 CIÊNCIAS EXATAS**/2012.1 
 
3º LISTA DE EXERCÍCIOS DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA /TAXAS RELACIONADAS/ 
 
 DIFERENCIAÇÃO HIPERBÓLICA / INTEGRAL – TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
Nos exercícios abaixo, ache 
dx
dy
 por DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA 
1º) xyxCos =)( R. )(
)(1
xySenx
yxSeny
dx
dy +
−= 
2º) 1643 3423 +=+− xyyxx R. 
)yx(y
yxx
dx
dy
14
22
22
42
−
−−
= 
3º) 23 4yxyx =+ R. 
xyx
yy
dx
dy
−
+
=
3
5
3
2
3
2
24
 
 
4º) 5ln =+





x
y
y
x
 R. 
x
y
dx
dy
= 
 
5º) ( ) 71 2 =−+ yxey x R. 
xye
)ey(y
dx
dy
x
x
21 −+
−
= 
6º) ( ) 2yyxArcCosx =−+ pi ( ) ( )( )2
2
12
1
yxyx
xyxArcCosyx
dx
dy
+−+
−++−
= 
 
Nos exercícios abaixo x e y são funções de uma terceira variável t. 
 
7º) Se 2522 =+ yx e 5=
dt
dx
, ache 
dt
dy
 em (3 , 4) R. -15/4 
8º) 
4
522
=+ yCosxSen e 1−=
dt
dx
, obter 
dt
dy
 em 





pipi
4
3
;
3
2
 R. 
2
3
− 
 
9º) Dada a equação 233 =++ yxyx , considere x como função diferenciável de y e 
determine 
dy
dx
. R. 
yx
yx
dy
dx
+
−−
= 2
2
3
3
 
 
10º)Uma célula bacteriana tem a forma esférica. Se o raio da célula estiver crescendo a uma 
taxa de 0,01 micrômetros por dia quando ela tiver 1,5 µm, qual será a taxa de crescimento 
do volume da célula naquele instante? R. 0,28 µ3m/dia 
 
11º) Um tanque com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado a uma taxa de 6 
m3/dia. A altura do cone é de 24 m e o raio da base é de 12 m. Ache a velocidade com que o 
nível da água está abaixando, quando a água tiver uma profundidade de 10m. 
 R. pi25/6 m/min 
12º) A demanda por um determinado tipo de cereal é dada pela equação 
04950652 =−+ ppx , onde x centenas de caixas são demandadas por semana quando p 
for o preço unitário. Se o preço corrente for $ 30 por caixa e o preço estiver crescendo a 
uma taxa de $ 0,20 por semana, ache a taxa de variação da demanda. 
 R. Decrescente à taxa de 55 caixas por semana. 
13º)Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o 
pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de 
comprimento por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando 
seu pé está a 15 unidades de comprimento da parede? R. – 9/4 u.c/s 
 
14º) A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV = C, onde P é a pressão em número de 
quilos por unidade quadrada de área, V é o número de unidades cúbicas do volume do gás 
e C é uma constante. Num dado instante, a pressão é de 150 Kg/m2, o volume é 1,5 m3 e 
está crescendo a uma taxa de 1,0 m3/min. Ache a taxa de variação da pressão nesse 
instante. R. 100 kg/m2. 
 
 
 DIFERENCIAÇÃO HIPERBÓLICA 
 
 
DIFERENCIE AS SEGUINTES FUNÇÕES: 
 
15º) utgheuf u2)( = R uSecheutghe uu 2222 + 
 
16º) ( )2)( sSechsenArcsG = R. - 22 sSechs 
 
17º ) ( )3ln)( tSenhtf = R. 32 coth3 tt 
 
18º) ( )xSentghArcy 2= R. xSec 22 
 
19º) ( )
( ) 232
coshcosh2
2
cosh
1
1
.
1
)(
t
etSenhtetR
t
e
tF
ttt
−
+−
−
= 
20º) ( )xeCoshArcxxh .)( = R. x
x
x
eCoshArc
e
ex
+
−12
 
21º) ( ) 






−
=
xCos
xCos
Senx
RxSenSechArcxf 1.)( 
 
22º) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )( )222
222
2 31
123
.
3
)(
++
+−+−
+
=
xxCotgh
xCotghxCotghArctgxxxCschR
x
xCotghtgArc
xf 
 
 USE DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA PARA DETERMINAR : 
dx
dy
. 
23º) ySechxRySenhx 2.2 = 
 
24º) 
yCoshySech
xSechxtgh
dx
dyRytghysenhxtgh
2
2
.2 2
2
2
+
==− 
OBTER OS DIFERENCIAIS DAS SEGUINTES FUNÇÕES: 
 
25º) ( )
32025
5
.25)( 2 ++
−
=+=
rr
drdgRrCotghArcrg 
26º) 
6
2
3
1
3
.
x
dxxdyRxSenhArcy
+
== 
 
 
INTEGRAL INDEFINIDO - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
Verifique as Equações seguintes: 
 
27º ) Caxx
ax
dx
+±+=
±∫
2
2
ln 28º) CxArc
xx
dx
+=
−
∫ sec12
 
29º) C
a
xArctg
axa
dx
+





=
+∫
1
22 30º) C
xArcsenh
x
dx
+





=
+
∫ 24 2
 
31º) Cedxxhe xx +−=∫ coth2coth csc 32º) Cxa
xa
axa
dx
+
−
+
=
−
∫ ln2
1
22 
 
Calcule os Integrais 
33º) CxArctgR
x
dx
+







+∫ 7
2
2
7
2
:
27 2
 
34º) C
x
xR
x
dx
+
−
+
−
∫ 65
65ln
6
1
:
65 2
 
35º) ( ) CxRdx x
x
++−
+∫
32ln
2ln3
1
3
:
32
 
36º) ( ) ( )( ) CxxRxxx
dx
+++
+++
∫
2
22
1ln2:
1ln1
 
37º) ( ) ( ) CxArctgxRdx
x
xArctgx
+−+
+
−
∫
22
2 2
11ln
2
1
:
1
 
38º) CeRdxe
xx
xx +
+∫ 13ln
3
:3 
39º) CxxR
x
dx
++−
+∫
1ln22:
1
 
40º) CxxxRdxxx +−∫ 93
ln
:ln
33
2
 
41º) ( ) CxxtgArcxRdxxArctg ++−∫ 21ln2
1
: