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Quadratura de Gauss-Legendre A idéia da Quadratura de Gauss-Legendre é determinar fórmulas de integração que sejam exatas para polinômios de grau ≤ 2n - 1. Para isso, relaxa-se o critério de Newton-Cotes de que os pontos de integração sejam igualmente espaçados. Obs.: Onde n são pontos distintos utilizados. Graficamente: Os pontos podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível da área sob a curva. Então, considerando dois pontos (n=2), o trabalho é determinar uma fórmula do tipo: � ������� � ��� ��� ������ De modo que ela seja exata para polinômios de grau ≤ 3. Para facilitar os cálculos, façamos uma mudança de variável de x para t, no intervalo [-1,1], representando em: � ������� � � ��� � ������ Dizer que a fórmula é exata para polinômios de grau ≤ 3 equivale dizer que a fórmula é exata para ����� � �, � ��� � �, ����� � �� e ����� � �� Assim: � ���� � � � ���� � � � � ���� � ������� � � � �� � Chamaremos I � ���� � ���� �� � �� � �� � � � � � �� � �� ���� � � ��� Chamaremos II � ����� � ���� �� � ����� � � �� � ���� � ������� � � � ���� Chamaremos III � ����� � ���� �� � �� � �� � � � � ���� � ������� � � � ���� Chamaremos IV Podemos reunir I, II, III e IV em um sistema não linear de ordem 4: � ! " � � � � � � � � ��� � � � � ���� � �� � � ���� � � � Cuja solução é: � � � �#� �� � �#� � � � � Para generalizar o resultado para o intervalo [a, b], precisamos entender como x se relaciona com t: Para relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, tomando a equação da reta, temos que: ���� � �� � � ��� � �� �� � ��� ���� � $ % � $� � �� �� ���� � $ % � $� � % � $� x t a b -1 1 (-1, a) (1,b) ���� � % � $� � % � $ �$� ���� � % � $� � $ %� De modo que: �� � % � $� ��� Assim: � ������� ��� % � $� � �&����' � ��� % � $� � �&����' � ��� � % � $� ( �&��� �' ��&�����') Exemplo: Calcular * ���� ��� +� �����, usando a quadratura de Gauss Legendre com dois pontos. ���� � % � $� � $ %� ���� � - � �� � - �� � �� � �� � % � $� ��� �� � - � �� ��� � ���� � ������� �, �� �&����' � ��� �&����' � ���� ��� ���� ��� +��� �� � .� � % � $� & ��� � ������' � � � �#� ��� � � � /� �#� �0 � �/� �#� �0 � +/� �#� �0 � ��� � � ��12-� �� � �#� ����� � � / �#� �0 � �/ �#� �0 � + / �#� �0 � ����� � ���1��+ .� � % � $� & ��� � ������' .� � ���� 3 ��12-� � 3 ���1��+� .� � -��
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