Aula 3_REVISAO PONTO REV 1

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Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.
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A projeção ortogonal de um ponto é o pé da perpendicular baixada do ponto 
ao plano. Na Figura, A é a projeção do ponto (A) sobre o plano .
(A)
A
()
projetante (A)A
Chama-se projetante de
um ponto, a perpendicular
baixada deste ponto ao 
plano de projeção.
 (A)A é a projetante
do ponto (A). Denomina-se
“cota” o comprimento 
da projetante.
CONVENÇÃO:
um ponto individualizado
no espaço - ponto objetivo -
é representado por uma letra
maiúscula do alfabeto latino
entre parênteses e sua projeção
pela mesma letra sem 
parênteses. 
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Determinação do Ponto
•1) Método das Projeções: ao contrário do método anterior, que utiliza somente um plano de projeção, neste método, para que um ponto fique bem determinado, uma só projeção não é suficiente. 
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A
(A)
A’ 
( )
( ’)
Podemos notar que na épura, as duas projeções de um ponto pertencem à uma mesma reta perpendicular à L.T. esta reta é denominada linha de chamada. A distância de um ponto ao Plano Horizontal (PH), é denominada COTA do ponto; que em projeção é representada em épura pela distância da sua projeção vertical até a linha de terra. 
A distância de um ponto ao Plano Vertical (PV), é denominada AFASTAMENTO do ponto; que em projeção é representada em épura pela distância da sua projeção horizontal até a linha de terra. 
PV
A2
(A)
PH
A1
AFASTAMENTO
(A)A2
COTA
(A)A1
AFASTAMENTO
(A)A2
COTA
(A)A1
A2
A1
A0
L
T
MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE PARA DETERMINAÇÃO DO PONTO (A)
“Consiste em determinar duas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares,
um horizontal representado por ( ) e outro vertical ( ’ ), que se interceptam segundo uma linha chamada LINHA DE TERRA”. 
CONVENÇÕES:
• o ponto (O), centro de projeção, é sempre situado na frente do plano vertical e acima do plano horizontal, e a uma distância infinita dos mesmos. 
• a projeção de um ponto (A) no plano horizontal () é designada pela letra maiúscula A, sem parênteses
• a projeção do mesmo ponto (A) no plano vertical (‘ ) é designada por A’ 
A
(A)
A’ 
( )
( ’)
Sobre cada plano, a projeção do ponto (A) é o pé da perpendicular baixada do ponto sobre o plano. 
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Os planos de projeção, perpendiculares entre si, formam (i) quatro regiões que são chamados DIEDROS e, (ii) quatro semi-planos chamados:
1º diedro
2º diedro
3º diedro
4º diedro
VERTICAL INFERIOR (’I)
 (A)
(P) 
 (’S)
(’I)
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HORIZONTAL ANTERIOR (A)
HORIZONTAL POSTERIOR (P)
VERTICAL SUPERIOR (’S)
COTA E AFASTAMENTO 
• Chama-se COTA de um ponto a distância deste ponto ao plano horizontal de projeção.
• Chama-se de AFASTAMENTO de um ponto a distância deste ponto ao plano vertical de projeção. 
(A)A’ = COTA
(A)A = AFASTAMENTO
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A’ 
( ’)
COTAS
(+)
(+)
(-)
(-)
AFASTAMENTO
(-)
(+)
(-)
(+)
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 Coordenadas: 
	
Abscissa de um ponto (X): a posição da projeção do ponto A na linha de terra, é necessário estabelecer um referencial. Se a abscissa for medida a direita da origem ela é positiva logo X  0, se for medida a esquerda da origem ela é negativo logo X 0. 
Representação de um ponto por suas coordenadas descritivas: 
	
	As coordenadas: abscissa, afastamento e cota de um ponto são denominadas coordenadas descritivas de um ponto.
	Um ponto é representado numericamente pela expressão (P) [x; y; z), onde: (P): significa o ponto objeto, 
X: abscissa, 
Y: afastamento, 
Z: cota. 
separados por ; e entre []. 
 
 Representação de um ponto por suas coordenadas descritivas: 
	
	Um ponto P está determinado quando se conhece abscissa, afastamento e cota.
Exemplo: P [1,4,2].
X: abscissa = 1
Y: afastamento = 4
Z: cota = 2 
COORDENADAS
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(+)
(+)
(-)
(-)
COTAS
AFASTAMENTO
CONVENÇÕES:
• (A) = o ponto no diedro
 A’ = COTA
A = AFASTAMENTO
1ª POSIÇÃO: O PONTO (A) ESTÁ NO 1º DIEDRO
COORDENADAS
EXEMPLO 1: O PONTO (A) ESTÁ NO 1º DIEDRO
 [1 ; 2; 1 ] equivale à [x, y, z]
 A cota (z), igual a 1 e sendo positiva, é marcada acima da linha de terra 
LT
A’ 
Cota
O
1 cm
1 cm
Afastamento
2 cm
O ponto está portanto no 1o diedro!
A simples inspeção das coordenadas já nos indicava isto, pois cota e afastamento positivos significa ponto no 1o. diedro
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X: abscissa = 1
Y: afastamento = 2
Z: cota = 1 
B
B’
C
C’
A’
A
0
1 cm 2 cm 2cm
Posição de um ponto no 1o diedro = [x, y, z] 
Cota
Afastamento
Cota A’ = 3 cm
Cota B’ = 1,5 cm
Cota C’ = 1 cm
 3 cm
 1,8 cm
Afastamento de A = 1,5 cm
Afastamento de B = 1 cm
Afastamento de C = 1,8 cm
X: abscissa
Y: afastamento
Z: cota
EXERCÍCIO
Construir e ler as épuras dos seguintes pontos, utilizando uma só linha de terra: 
	
Exemplos:
A [3; 4; 2]
B [6; 3; 7]
C [8; 6; 3,5]
D [10; 5; 2]
E [5; 5; 5]
F [7; 5; 9]
 
	
G [4; 5; 1]
H [9; 6; 7]
I [8; 1,5; 5,5]
J [2; 6; 6]
L [0; 10; 5]
M [7; 10; 3]
2. Segunda posição diedro (B) = (2 ,-4 , 3 )
B’ = COTA
B= AFASTAMENTO
3. Terceiro posição diedro (C) = (2,-3 , - 3 )
C’ = COTA
C= AFASTAMENTO
4. Quarta posição diedro (D) = (2, 4,- 3 )
D’ = COTA
D= AFASTAMENTO
5ª POSIÇÃO:
5. Quinta posição Diedro (F) = (0, 3, 0)
F’ = COTA
F= AFASTAMENTO
F’
F
6ª POSIÇÃO:
5. Sexta posição Diedro (E) = (0, 3, 0)
E
E’
E’ = COTA
E= AFASTAMENTO
8. Sétima posição diedro (J) = (0, 0, 3)
J’
J
J’ = COTA
J= AFASTAMENTO
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SIMETRIA DE PONTOS 
(A)
()
(B)
(M)
 Dois pontos (A) e (B) são simétricos em relação à um plano (), quando este plano é o mediador do segmento formado pelos dois pontos. 
 Ou seja, a simetria entre pontos existe quando um plano, perpendicular ao segmento formado por estes dois pontos, contém o ponto médio do segmento. 
 Note, no desenho acima, que o segmento (A)(M) é igual ao segmento (M)(B). 
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SIMETRIA DE PONTOS 
Vamos considerar a simetria de um ponto em relação:
1) aos planos de projeção
2) à linha de terra
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SIMETRIA DE PONTOS 
1) PONTOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO
LT
A’
B’
A=B
Diz-se que um ponto (B) é simétrico a um ponto (A) em relação ao plano horizontal de projeção (), quando possui:
- a mesma abscissa, 
- o mesmo afastamento em grandeza e sentido;
- a cota de mesma grandeza mas de sentido contrário.
Note na figura que os afastamento dos pontos (A) e (B) são iguais e ambos positivos (mesmo sentido) e suas cotas iguais e de sentido contrário
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SIMETRIA DE PONTOS 
1) PONTOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Diz-se que um ponto (D) é simétrico a um ponto (C) em relação ao plano vertical de projeção (’), quando possui:
- a mesma abscissa, 
- a mesma cota em grandeza e sentido;
- o afastamento da mesma grandeza porém de sentido contrário.
Note na épura que as projeções verticais C’ e D’ coincidem e as projeções horizontais C e D são simétricas em relação à linha de terra.
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