Conceitos e aplicações de Probabilidade em concursos públicos

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Por
Mario
Ferrara
13 mar 2018 -
10 min de
leitura
Por acaso você já jogou na
loteria, ou foi resolver uma
questão objetiva e não fazia
ideia de qual alternativa
assinalar daí você chutou,
então você sabe o que é
probabilidade, bom, pelo
menos aplica de alguma
forma. Hoje irei ensinar os
principais conceitos de
probabilidade e algumas
aplicações práticas.
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Fonte: http://1.bp.blogspot.com
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Devemos agradecer a
vários matemáticos os
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avanços dos cálculos
probabilísticos, entre eles
alguns que se destacaram,
são eles Pacioli, Cardano e
Tartaglia (todos italianos)
Alguns outros matemáticos
aprofundaram mais neste
assunto, citaremos aqui
Blaise Pascal e Pierre de
Fermat.
A probabilidade, um
assunto desconhecido por
Fermat até então, passou
tentar descobrir as regras
matemáticas que
descrevessem com maior
precisão as leis do acaso.
Mais especificamente numa
carta datada de 24 de
agosto de 1654,
endereçada a Pascal,
Fermat discute o seguinte
problema: dois jogadores A
e B, quando A precisa de 2
pontos para ganhar e B de
3 pontos, o jogo será
certamente decidido em
quatro jogadas. Para saber
quem tem mais hipóteses
de ganhar, o matemático
escreve todas as
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combinações possíveis
entre as letras a, que
representa uma jogada em
favor do jogador A e b, que
representa uma em favor do
jogador B:
01 – aaaa 09 – baaa
02 – aaab 10 – baab
03 – aaba 11 – baba
04 – aabb 12 – babb
05 – abaa 13 – bbaa
06 – abab 14 – bbab
07 – abba 15 – bbba
08 – abbb 16 – bbbb
Assim sendo, num total de
16, há 11 casos favoráveis
a A e 5 favoráveis a B, visto
que a ocorrência de 2 ou
mais a é favorável a A e a
ocorrência de 3 ou mais b a
B. A solução dada por
Pascal é a seguinte:
suponhamos que cada um
dos jogadores aposte a
mesma quantia, 32 pistolas
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(moeda da época), aquele
que tirar primeiramente três
vezes, seguidas ou não, o
número que aposta no
dado, de 1 a 6, ganhará,
num total de quatro
partidas. Suponhamos
também que o primeiro
jogador tenha ganhado
duas partidas e o segundo
apenas uma. Como dividir,
se a partida for interrompida
agora, as 64 pistolas?
Pascal explica que, se o
jogo terminar empatado
então cada um fica com 32
pistolas, logo o primeiro
jogador já as tem, porém
como ele ainda pode
ganhar, deve-se partilhar as
outras 32 pistolas, ficando o
primeiro jogador com 48 e o
segundo com 16.
Alguns autores afirmam que
a história da probabilidade
se deu pelo fato de
interessar ao homem,
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estudar os fenômenos que
envolviam determinadas
possibilidades, alguns
indícios alegam que o
surgimento da teoria da
probabilidadeteve início
com os jogos de azar, que
foram disseminados na
Idade Média. Este tipo de
jogo é praticado através de
apostas, daí o motivo de
tentar prever o que poderia
ocorrer, ou seja, antecipar o
futuro.
Definições em
Probabilidade
A teoria da probabilidade
é o ramo da Matemática
que cria e desenvolve
modelos matemáticos para
estudar os experimentos
aleatórios. Alguns
elementos são necessários
para efetuarmos os cálculos
probabilísticos.
– Experimentos
aleatórios: fenômenos que
apresentam resultados
imprevisíveis quando
repetidos, mesmo que as
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condições sejam
semelhantes.
Exemplos:
a) lançamento de 3 moedas
e a observação das suas
faces voltadas para cima
b) jogar 2 dados e observar
o número das suas faces
c) abrir 1 livro ao acaso e
observar o número das
suas faces.
– Espaço amostral:
conjunto de todos os
resultados possíveis de
ocorrer em um determinado
experimento aleatório.
Indicamos esse conjunto
por uma letra maiúscula: U,
S, A, Ω … variando de
acordo com a bibliografia
estudada.
– Evento: é qualquer
subconjunto de um espaço
amostral (S); muitas vezes
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um evento pode ser
caracterizado por um fato.
Indicamos pela letra E.
Veremos agora alguns
eventos particulares:
– Evento certo: que possui
os mesmos elementos do
espaço amostral (todo
conjunto é subconjunto de
si mesmo); E = S.
E: a soma dos resultados
nos 2 dados ser menor ou
igual a 12.
– Evento impossível:
evento igual ao conjunto
vazio.
E: o número de uma das
faces de um dado comum
ser 7.
E: Ø
– Evento simples: evento
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que possui um único
elemento.
E: a soma do resultado de
dois dados ser igual a 12.
E: {(6,6)}
Probabilidade em
espaços equiprováveis
Considerando um espaço
amostral S, não vazio, e um
evento E, sendo E ⊂ S, a
probabilidade de ocorrer o
evento E é o número real P
(E), tal que:
Sendo 0 ≤ P(E) ≤ 1 e S um
conjunto equiprovável, ou
seja, todos os elementos
têm a mesma “chance de
acontecer.
Onde:
n(E) = número de
elementos do evento E.
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n(S) = número de
elementos do espaço
amostral S.
Exemplo:
Lançando-se um dado, a
probabilidade de sair um
número ímpar na face
voltada para cima é obtida
da seguinte forma:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S)
= 6
E = {1, 3, 5} n(E)
= 3
 Vamos
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exercitar a
mente???
 01. (Pref. Niterói –
Agente Fazendário – FGV)
O quadro a seguir mostra a
distribuição das idades dos
funcionários de certa
repartição pública:
Escolhendo ao acaso um
desses funcionários, a
probabilidade de que ele
tenha mais de 40 anos é:
(A) 30%;
(B) 35%;
(C) 40%;
(D) 45%;
(E) 55%.
Resposta: D.
Resolução
O espaço amostral é a
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soma de todos os
funcionários:
2 + 8 + 12 + 14 + 4 = 40
O número de funcionários
que têm mais de 40 anos é:
14 + 4 = 18
Logo a probabilidade é:
Antes de deixar alguns
exercícios para vocês, caso
tenham interesse em algum
filme que aborde o tema de
probabilidade, sugiro que
assistam “Quebrando a
banca”.
Um filme onde tem alunos
do MIT, que aprendem a
contar cartas para jogarem
blackjack, visto que contar
cartas não pode ser
considerado ilegal, porém
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administradores de
cassinos não possuem
tanto interesse em pessoas
que consigam esse fato,
pois os levam a falência,
devido ao alto índice de
sucesso. O filme mostra
como o conceito de
probabilidade condicional
pode ser entendido através
de estratégias que
permitem obter um maior
número de vitórias em jogos
e, consequentemente,
‘quebrar a banca’.
O resto deixo para que
vocês descubram quando
assistirem! ����
Agora como eu disse no
início, vocês sabem qual é
a chance de acertar um
jogo da mega sena?
Qual é a chance de
“ganhar” fazendo uma
aposta simples, escolhendo
6 números?
Pois eu vos digo!
-Difícil…. extremamente
difícil acertar os 6 números,
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estatisticamente falando, é
praticamente impossível,
mas daí não depende da
probabilidade e sim da
sorte, pois com os cálculos
e com a matemática,
basicamente impossível….
Vamos aos
cálculos então:
Com apenas uma única
aposta simples de 6
números…
Temos 60 possibilidades
para o primeiro número, 59
para o segundo, 58 para o
terceiro, 57 para o quarto,
56 para o quinto e 55 para o
sexto, assim basta
multiplicar 60 . 59 . 58 . 57 .
56 . 55 = 36.045.979.200,
calma pessoal, essa não é
a chance, pois acha quea
chance que temos de
ganhar na mega sena será
de 1 em mais de 36 bilhões,
não né, muito difícil…. pois
sabemos que os números
não precisam sair em
ordem (ou seja, tanto faz
por exemplo o número 10
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ser sorteado como primeiro
número, ou segundo, ou
terceiro, etc. o que importa
é ele ser sorteado, portanto
temos que retirar essas
possibilidades) assim, como
temos 6 sorteios teremos _
_ _ _ _ _ = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
=720 opções de alternação
entre os números, logo
devemos dividir o número
gigante encontrado acima
por 720, daí obteremos
36.045.979.200/720 =
50.063.860, viram? Agora
sim é fácil ganhar na mega
sena, temos 1 chance em
pouco mais de 50
milhões… hahahahahaha
Sem menos importância
devemos comentar um
pouco sobre Voltaire e sua
façanha em ficar rico com a
loteria francesa no século
XVIII.
Isto também é explicado
pelo filósofo Roy Sorensen
no seu Cabinet of
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Philosophical Curiosities
(Gabinete de Curiosidades
Filosóficas): em 1728, o
governo francês não podia
pagar os juros de seus
títulos. O ministro das
Finanças teve a ideia de
oferecer aos detentores
desses títulos a
possibilidade de comprar
números de loteria por um
milésimo de seu preço. Ou
seja, se o título valia
100.000 libras, o número da
loteria custaria 100. Os
vencedores poderiam
recuperar o investimento e
ganhavam mais 50.000
libras que eram sorteadas
no dia 8 de cada mês. (Sim,
a moeda do país foi a libra
francesa até 1795, quando
foi substituída pelo franco).
Os detentores dos títulos
relutaram: parecia-lhes que
se tratava de uma
estratégia para arrecadar
ainda mais dinheiro às suas
custas, portanto não
perceberam que o sorteio
havia sido mal projetado.
Mas Voltaire e de La
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Condamine se deram conta
de que cada título dava
direito a um número de
loteria, independentemente
de seu valor. Ou seja, quem
tivesse um título de 100.000
libras poderia comprar um
número por 100 libras, e
quem tivesse um título de
1.000 poderia comprar um
número por apenas 1 libra.
Mas ambos disputavam o
mesmo prêmio de 50.000.
O filósofo e o matemático
se juntaram a outros 11
amigos para comprar a
maior quantidade possível
de títulos baratos. Não
demoraram a começar a
ganhar dinheiro, pois cada
mês jogavam com uma
porcentagem muito alta dos
números.
Eles tomaram a precaução
de assinar os títulos com
nomes falsos para que
ninguém percebesse que
quase sempre os mesmos
ganhavam, mas Voltaire
não conseguiu deixar de
cair na tentação de ser
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muito engraçado. De
acordo com Sorensen,
aqueles que tinham algum
desses números
costumavam escrever
frases de boa sorte no
verso, mas o filósofo
preferiu escrever
comentários sarcásticos
sobre o ministro das
Finanças. No final, já em
1730 e depois de vários
sorteios, alguém percebeu
e o governo tentou
recuperar esse dinheiro.
No tribunal, Voltaire
argumentou que os atos
que são legais
separadamente também
devem ser legais em seu
conjunto. Ou seja, se é
legal comprar títulos e é
legal usar esses títulos para
participar da loteria, por que
seria ilegal fazer as duas
coisas? O filósofo e seus
amigos foram absolvidos
depois de terem embolsado
entre 6 e 7 milhões de
libras. A parte de Voltaire
equivalia a meio milhão, o
que lhe deu independência
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financeira pelo resto da
vida. E o governo
abandonou sua loteria.
Embora não seja habitual,
também houve erros em
outros sorteios de loteria
mais recentes. Por
exemplo, os estudantes do
MIT aproveitaram uma falha
de projeto na loteria de
Massachusetts para
acumular vários milhões de
dólares até 2012, de acordo
com a revista Time. E o
canadense Mohan
Srivastava percebeu em
2003 que era possível
descobrir quais cartões de
um sorteio de raspadinha
tinham prêmios. Ele preferiu
avisar a empresa de loteria
a respeito do problema em
vez de tirar proveito dele. A
empresa só acreditou na
história depois que
Srivastava lhes enviou 10
cartões premiados… ainda
sem raspar.
Infelizmente não parece ser
o caso do primeiro prêmio
da loteria brasileira. Se
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assim for, não hesite em
nos contar sobre isso e
dividiremos a bolada meio a
meio. 
EXERCÍCIOS
 01. (TJ/RO – Técnico
Judiciário – FGV) Um
tabuleiro de damas tem 32
quadradinhos pretos e 32
quadradinhos brancos.
Um desses 64
quadradinhos é sorteado ao
acaso.
A probabilidade de que o
quadradinho sorteado seja
um quadradinho preto da
borda do tabuleiro é:
(A) ½;
(B) ¼;
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https://www.maxieduca.com.br/blog/wp-content/uploads/2018/03/exercicio-1-tabuleiro-de-xadrez.png
https://www.maxieduca.com.br/blog/wp-content/uploads/2018/03/exercicio-1-tabuleiro-de-xadrez.png
(C) 1/8;
(D) 9/16;
(E) 7/32.
02. Uma pessoa resolveu
chutar uma questão de
prova objetiva, onde a
questão trazia 5 possíveis
alternativas e apenas uma
era a correta, qual é a
probabilidade dessa pessoa
acertar a questão?
(A) 10%
(B) 15%
(C) 20%
(D) 25%
(E) 30%
Respostas:
01. E / 02. C
Conseguiram?
-Sim? Parabéns!
-Não? Calma não se
Conceitos e aplicações de Probabilidade em concursos públicos https://www.maxieduca.com.br/blog/matematica/probabilidade...
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desesperem…
Vamos lá!
01. Como são 14
quadrinhos pretos na borda
e 64 quadradinhos no total,
logo a probabilidade será
de:
02. Como possuímos 5
alternativas e apenas 1 é a
correta, a probabilidade
dela acertar será de 1/5 =
0,20 = 20%.
Que a força esteja com
vocês!
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