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Formulário - Derivadas e Integrais

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 
FÓRMULAS DERIVADAS 
 
1. � = � + � � �′ = �′ + �′ 
2. � = � − � � �� = �� − �′ 
3. � = �. � � �� = ��. � + ��. � 
4. � = � �	⁄ 		 � �� =	 (��. � − ��. �) �²⁄ 
5. � = �� � �� = �. ����. �′ 
6. � = 	 √�� � �� = �′ (�. √����� 	)⁄ 
7. � = 	√�				 � �� = �′ (2. √�⁄ ) 
8. � = 	��				 � �� = ��. ln �	 . �′ 
9. � = 	 ��				 � �� =	��. �′ 
10. � = 	 log� |�|	� �� =	�′ (�. ln �)⁄ 
11. � = 	 ln |�|						� �� =	�′ �⁄ 
12. � = 	��		� �� = 	�. ����. �� + ��. ln � . �′ 
13. � = 	 �!	�		� �� = ��. "# � 
14. � = 	"# 	�		� �� = −��. �! � 
15. � = 	$%	�					� �� = ��. �"&	� 
16. � = 	"#$%	�	� �� = −��. "# �"&	� 
17. � = 	 �"	�				� �� = ��. �"	�	. $%	� 
18. � = 	"# �"	�		� �� = −��. "# �"	�	. "#$%	� 
19. � = 	�'" �!	�		� �� =	�′ √1 − �&⁄ 
20. � = 	�'""# 	�		� �� =	−�′ √1 − �&⁄ 
21. � = 	�'"$%	�		� �� =	�′ (1 + �&⁄ ) 
22. � = 	�'""#$%	�		� �� =	−�′ (1 + �&)⁄ 
23. � = 	�'" �"	�		� �� =	�′ (�. √1 − �&	)⁄ 
24. � = 	�'" �"	�		� �� =	−�′ (�. √1 − �&⁄ ) 
25. � = 	 �!ℎ	�		� �� = cosh �	. �′ 
26. � = "# ℎ	�		� �� = senh �	. �′ 
27. � = $%ℎ	�		� �� =	 �"ℎ&�	. �� 
28. � = "#$%ℎ	�		� �� =	−"# �"ℎ&�	. �� 
29. � = �"ℎ	�		� �� =	− sech �	. $%ℎ	�	. �′ 
30. � = "# �"ℎ	�	� �� =	− cosech� 	. "#$%ℎ	�	. �′ 
31. "# �"ℎ&. −	 �!ℎ&. = 1 
32. 1 −	$%ℎ&. = �"ℎ&. 
33. "#$%ℎ&. = 1 − "# �"&. 
34. � = arg �!ℎ	�	� �� = ��. (1/	√�& + 1) 
35. � = arg cosh� � 	�� = ��. (1/2�² − 1 ), u > 1 
36. � = arg $%ℎ	� 	� �� = ��. (1/(1 − �&), |u| < 1 
37. � = arg "#$%ℎ	�	� �� 	= ��. (1/(1 − �&)) 
38. � = arg sech� �	y� = ��. (−1/(�. √1 − �&)) 
39. � = arg "# �"ℎ	�	��� = ��. 6−1/7�. √1 − �&89
 
 
 
 
 
 
 
 
FÓRMULAS INTEGRAIS 
1. :�	;� = �� −	: �	;� 
2. :�<	;� = �<=� . �
<=� + 	> → !	 ≠ −	1 
3. : �� ;� = ln|�| + 	> 
4. : ��	;� = �� + 	> 
5. :��	;� = �AB� . �� + 	> 
6. : sin � 	;� = 	−	cos � + 	> 
7. : cos � 	;� = 	 sin � + 	> 
8. : �"&�	;� = 	 tan � + 	> 
9. : " "&�	;� = −	cot � + 	> 
10. : sec � tan � 	;� = 	 sec � + 	> 
11. : csc � cot � 	;� = 	− csc � + 	> 
12. : tan� 	;� = 	− ln|cos �| + 	> 
13. : cot � 	;� = 	 ln|sin �| + 	> 
14. : sec � 	;� = 	 ln|sec � +	tan �| + 	> 
15. : csc � 	;� = 	 ln|csc � −	cot �| + 	> 
16. : �√�E�	�E 	;� = 	 sin�� �� + 	> 
17. : ��²=�²;� = �� 	tan�� �� + 	> 
18. : ��√�E�	�E 	;� = 	 �� sec�� �� + 	> 
19. : ��E�	�E ;� = �&� ln F�=����F + 	> 
20. : �√�E�	�E 	;� = lnG� + √�& − �&G 	+ 	> 
21. : cos& � 	;� = �&� + �H sin 2� + 	> 
22. : sin& � 	;� = �&� − �H sin 2� + 	> 
23. : sinh � 	;� = cosh � + 	> 
24. : cosh � 	;� = senh� + 	> 
25. : sech² � 	;� = tanh � + 	> 
26. : csch& � 	;� = cotanh � + 	> 
27. : sech � tanh� 	;� = −sech � + 	> 
28. : cosech � cotanh� 	;� = −cosech � + 	> 
29. Integrais Trigonométricas: 
a. : sin< . 	;. = 	: sin<��. sin . 	;. � n ímpar 
b. : cos< . 	;. = 	: cos<��. cos . 	;. � n ímpar 
Lembre-se: 
� sin& . +	cos& . = 1 
� sec& . = 1 +	 tan& . 
c. sin& . = ��IJK&L& � n par 
d. cos& . = �=IJK&L& � n par 
e. : sin� . cos< . 	;. = 	: sin���. cos< . sin . 	;. � m ímpar 
f. : sin� . cos< . 	;. = 	: sin�. cos<�� . cos . 	;. � n ímpar 
g. : tan� . sec< . 	;. = 	: tan���. sec<�� . sec . tan . 	;. � m ímpar (n par ou ímpar) 
h. : tan� . sec< . 	;. = 	: tan�. sec<�& . sin& . 	;. � n par (m par ou ímpar) 
30. Substituições Trigonométricas: 
a. √�& −	.& � . = � sin M 
b. √�& +	.& � . = � tan M 
c. √.& −	�& � . = � sec M 
31. Integrais Definidas: : N�.
;. = O�P
 − 	O��
Q� 
32. Áreas: : [N�.
 − 	%�.
];.Q� 
33. Sólidos de Revolução: : T[N�.
Q� ]²	;. 
34. Transformação de Coordenadas Polares para Coordenadas Cilíndricas: 
a. U& = .& + �& 
b. . = U. cos M 
c. � = U. sin M 
d. tan M = VL 
35. Gráficos: 
a. Reta: M = > 
b. Reta: U. sin M = ±> ou U. cos M = ±> 
c. Circunferências: U = 2�. cos M ou U = 2P. sin M 
d. Limaçon com um laço: U = � ± P. cos M ou U = � ± P. sin M � 0 < �Q < 1 
e. Cardióide: U = � ± P. cos M ou U = � ± P. sin M � �Q = 1 
f. Limaçon com um dente: U = � ± P. cos M ou U = � ± P. sin M � 1 < �Q < 2 
g. Limaçon convexa: U = � ± P. cos M ou U = � ± P. sin M � �Q ≥ 2 
h. Rosácea: U = �. cos !M ou U = �. sin !M ; n ímpar � n pétalas; n par � 2n pétalas 
i. Lemniscata: U² = �. cos !M ou U² = �. sin !M 
36. Integrais em Coordenadas Polares: 
a. Áreas: : �&U&;MZ[ 
b. Geometria Plana: \ " = 	 �&U&M 
c. Comprimento de um arco: ] = 	: ^�_`_a
& + U&Z[ ;M 
37. Formas Indeterminadas e Integrais Impróprias: 
a. 
b
b ou 
c
c � aplicar Regra de L’Hopital 
b. 0.∞ � N�.
 1 %�.
⁄e 
c. 0b ; ∞b ou 1c� � = N�.
f�L
 � ln � = %�.
 ln N�.
 
d. ∞−∞ � Algebrismo \ L’Hopital 
38. Integrais com Limites de Integração Infinitos 
a. : N�.
;.c� =	 limh→c : N�.
;.h� 
b. : N�.
;.��c =	 limh→�c : N�.
;.�h 
c. : N�.
;.c�c =	 limh→�c : N�.
;.�h +	limh→c : N�.
;.h� 
39. Função Gama e Beta 
a. i�!
 = 	: .<����L	;.cb 
b. i�! + 1
 = !i�!
= !! 
c. i 6�&9 = √T 
d. k��, !
 = m��
=m�<
m��=<
 
e. k��, !
 = 2: sin&��� M cos&<�� M 	;MnEb 
f. k��, !
 = : .����1 − .
<��	;.�b 
40. Funções Implícitas 
a. 
_V
_L =	�_o_L _o_Vp 	 
b. 
_q
_L =	�_o_L _o_qp 		 e _q_V =	�_o_V _o_qp , sendo z = f(x,y) 
41. Derivadas direcionais e gradientes 
a. r = cos M s +	sin M t 
b. u�N�., �
 = N.�., �
 cos M + 	N��., �
 sin M 
c. ∇N�., �
 = N.�., �
s + 	N��., �
t 
d. DuN�., �
 = r. ∇f�x, y
 
e. DuN�., �, z
 = 	 _{_L cos | + _{_V cos k + _{_q cos } 
f. ∇N�., �, z
 = 	 _{_L s + _{_V t + _{_q ~ 
g. DN�., �, z
 = r. ∇N�., �, z
 
42. Extremos das funções de duas variáveis 
a. D�., �
 = N..�., �
. N���., �
 − [N.��., �
]² 
i. D(x, y
 < 0 � Ponto de Sela 
ii. D(x, y
 > 0 : 
1. N..�., �
	#�	N���., �
 > 	0 � Ponto de Mínimo 
2. N..�., �
	#�	N���., �
 < 	0 � Ponto de Máximo 
43. Integrais Duplas: : : N�., �
;�;. = 	: [: N�., �
;�]	;._IQ�_IQ� 
44. Integrais Triplas: 
a. : : : N�., �, z
;z;�;.{€ =	: {: [: N�., �, z
;z];�};.{€_IQ�_IQ� 
b. : : : N�., �, z
;�;z;._I =	: {: [: N�., �, z
;�];z};._I{€Q�{€Q� 
c. : : : N�., �, z
;z;.;�{€ =	: {: [: N�., �, z
;z];.};�{€Q�_IQ�_I 
d. : : : N�., �, z
;.;z;�Q� =	: {: [: N�., �, z
;.];z};�Q�{€_I{€_I 
e. : : : N�., �, z
;�;.;z_I =	: {: [: N�., �, z
;�];.};z_IQ�{€Q�{€ 
f. : : : N�., �, z
;.;�;zQ� =	: {: [: N�., �, z
;.];�};zQ�_I{€_I{€ 
45. Momento e Centro de Massa em 2 dimensões 
a. � =	: : ƒ�., �
;\` 
b. �. =	: :�ƒ�., �
;\` e �� =	: : .ƒ�., �
;\` 
c. .̅ = �V� e �… = �L� 
46. Momento de massa em três dimensões 
a. � = ∬ :ƒ�., �, z
;‡ˆ 
b. 
i. �.� = ∬ :zƒ�., �, z
;‡ˆ 
ii. �.z = ∬ :�ƒ�., �, z
;‡ˆ 
iii. ��z = ∬ :.ƒ�., �, z
;‡ˆ 
c. 
i. .̅ = ‰Vq� 
ii. �… = ‰Lq� 
iii. z̅ = ‰LV� 
iv. Se ƒ�., �, z
 = 1 � .̅, �…, z̅ = "�!$'ós;� 
47. Coordenadas Cilíndricas 
a. . = U cos M 
b. � = U sin M 
c. U² = .² + �² 
d. tan M = VL 
e. � = U sin M 
f. ∬ :N�U, M, z
;‡ = 	: : : N�U, M, z
‹;z;U;MŒ&�`,a
Œ��`,a
f&�a
f��a
Z[ˆ 
48. Coordenadas Esféricas 
a. . =  sin∅ cos M 
b. � =  sin∅ sin M 
c. z =  cos∅ 
d. & = .² + �² + z² 
e. ∬ :N�, ∅, M
;‡ = 	: : : N�, ∅, M
 ‘’“ ∅ ;;∅;MQ�_I<�ˆ 
49. Funções com valores vetoriais: U�$
 = 	N�$
” + %�$
• + ℎ�$
– 
50. Comprimento de curva: : ^�_L_h
& + �_V_h
& + �_q_h
&Q� 	;$ 
51. Limites, Derivadas e Integrais de funções vetoriais 
a. limh→� U�$
 = [limh→� N�$
]” + [limh→� %�$
]• + [limh→� ℎ�$
]– 
b. U′�$
 = lim∆h→b `�h=∆h
�`�h
∆h 	 
c. : U�$
;$ = [: N�$
;$]” +Q� [: %�$
;$]• +Q� [: ℎ�$
;$]–Q�Q� 
52. Interpretação geométrica e física de derivada de funções vetoriais 
a. ��$
 = U��$
	 
b. ��$
 = ���$
 = U"�$
 
53. Vetor tangente normal: ™�$
 = �G|`š�h
|GU��$
	 
54. Vetor Unitário Normal: ›�$
 = �G|œš�h
|G™��$
	 
55. Vetor Binormal: �$
 = ™�$
ž›�$
 
a. Curvatura: ™�$
 = `š�h
||`š�h
|| 
b. ~ = F_h_ŸF = Fœ
š�h
`š�h
F = 	 ||`
š�h
L`"�h
||
�||`š�h
||
³ 
56. Componente tangencial da aceleração e componente normal da aceleração 
a. Componente tangencial � �œ = `š�h
		.		`"�h
||`š�h
|| 
b. Componente normal da aceleração � �¡ = ||`š�h
		¢		`"�h
||||`š�h
|| 
57. Campos Vetoriais 
a. O�., �
 = £�., �, z
” + ›�., �, z
•	 + ¤�., �, z
– 
b. £��., �
 = ›.�., �
 → 	 _‰_V = _¡_L 
c. ∇N�., �, z
 = N.�.,�, z
” + N��., �, z
• + Nz�., �, z
– 
d. £��., �, z
 = ›.�., �, z
 → 	 _‰_V = _¡_L 
e. £z�., �, z
 = ¤.�., �, z
 → 	 _‰_q = _¥_L 
f. ›z�., �, z
 = ¤��., �, z
 → 	 _¡_q = _¥_V 
g. U#$	O�., �, z
 = 6_¥_V − _¡_q9 ” + 6_‰_q − _¥_L9 • + 6_¡_L − _‰_V9– 
h. U#$	O = ∇�x, y, z
žO�., �, z
 = |
” • –
_
_L
_
_V
_
_q
£ › ¤
| 
i. ∇. O = ;s�	O = 2�&L + 3.²z + 2�² 
j. ∇&N�., �, z
 = _²{_L² + _²{_V²+ _²{_q² 
58. Integrais de Linha ou Integrais Curvilíneas 
a. ¨ = : £�., �, z
;. + ›�., �, z
;� + ¤�., �, z
;z = : [£�N�$
, %�$
, ℎ�$

. N��$
 +Q�©
›�N�$
, %�$
, ℎ�$

. %��$
 + ¤�N�$
, %�$
, ℎ�$

. ℎ��$
 
b. ¨ = O;U = :ªO7U�$
8. U��$
«;$ 
59. Teorema de Green: ∮ £�., �
;. + ›�., �
;� = ∬6_¡_L − _‰_V9 ;\© 
 
 
60. Integrais de superfícies: 
a. ∬ ¨�., �, z
; = ∬ ¨7., �, N�., �
8^6_q_L9
& + 6_q_V9
& + 1	;\`LVK 
b. ∬ ¨�., �, z
; = ∬ ¨�., %�., z
, z
^6_V_L9
& + 6_V_V9
& + 1	;\`LqK 
c. ∬ ¨�., �, z
; = ∬ ¨�ℎ��, z
, �, z
^6_L_L9
& + 6_L_V9
& + 1	;\`VqK 
61. Integral do fluxo de F sobre S 
a. ∬ O!; K 
b. n = ∇­�®,¯,°
||­�®,¯,°
|| →	∇G�x, y, z
 = vetor	normal 
62. Teorema da divergência de Gauss: ∬ O!; K = ∬ :∇O;�ˆ 	 
63. Teorema de Stokes: ∮ O™; = ∬ �~b$O
!; KI

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