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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PR FÓRMULAS DERIVADAS 1. � = � + � � �′ = �′ + �′ 2. � = � − � � �� = �� − �′ 3. � = �. � � �� = ��. � + ��. � 4. � = � � ⁄ � �� = (��. � − ��. �) �²⁄ 5. � = �� � �� = �. ����. �′ 6. � = √�� � �� = �′ (�. √����� )⁄ 7. � = √� � �� = �′ (2. √�⁄ ) 8. � = �� � �� = ��. ln � . �′ 9. � = �� � �� = ��. �′ 10. � = log� |�| � �� = �′ (�. ln �)⁄ 11. � = ln |�| � �� = �′ �⁄ 12. � = �� � �� = �. ����. �� + ��. ln � . �′ 13. � = �! � � �� = ��. "# � 14. � = "# � � �� = −��. �! � 15. � = $% � � �� = ��. �"& � 16. � = "#$% � � �� = −��. "# �"& � 17. � = �" � � �� = ��. �" � . $% � 18. � = "# �" � � �� = −��. "# �" � . "#$% � 19. � = �'" �! � � �� = �′ √1 − �&⁄ 20. � = �'""# � � �� = −�′ √1 − �&⁄ 21. � = �'"$% � � �� = �′ (1 + �&⁄ ) 22. � = �'""#$% � � �� = −�′ (1 + �&)⁄ 23. � = �'" �" � � �� = �′ (�. √1 − �& )⁄ 24. � = �'" �" � � �� = −�′ (�. √1 − �&⁄ ) 25. � = �!ℎ � � �� = cosh � . �′ 26. � = "# ℎ � � �� = senh � . �′ 27. � = $%ℎ � � �� = �"ℎ&� . �� 28. � = "#$%ℎ � � �� = −"# �"ℎ&� . �� 29. � = �"ℎ � � �� = − sech � . $%ℎ � . �′ 30. � = "# �"ℎ � � �� = − cosech� . "#$%ℎ � . �′ 31. "# �"ℎ&. − �!ℎ&. = 1 32. 1 − $%ℎ&. = �"ℎ&. 33. "#$%ℎ&. = 1 − "# �"&. 34. � = arg �!ℎ � � �� = ��. (1/ √�& + 1) 35. � = arg cosh� � �� = ��. (1/2�² − 1 ), u > 1 36. � = arg $%ℎ � � �� = ��. (1/(1 − �&), |u| < 1 37. � = arg "#$%ℎ � � �� = ��. (1/(1 − �&)) 38. � = arg sech� � y� = ��. (−1/(�. √1 − �&)) 39. � = arg "# �"ℎ � ��� = ��. 6−1/7�. √1 − �&89 FÓRMULAS INTEGRAIS 1. :� ;� = �� − : � ;� 2. :�< ;� = �<=� . � <=� + > → ! ≠ − 1 3. : �� ;� = ln|�| + > 4. : �� ;� = �� + > 5. :�� ;� = �AB� . �� + > 6. : sin � ;� = − cos � + > 7. : cos � ;� = sin � + > 8. : �"&� ;� = tan � + > 9. : " "&� ;� = − cot � + > 10. : sec � tan � ;� = sec � + > 11. : csc � cot � ;� = − csc � + > 12. : tan� ;� = − ln|cos �| + > 13. : cot � ;� = ln|sin �| + > 14. : sec � ;� = ln|sec � + tan �| + > 15. : csc � ;� = ln|csc � − cot �| + > 16. : �√�E� �E ;� = sin�� �� + > 17. : ��²=�²;� = �� tan�� �� + > 18. : ��√�E� �E ;� = �� sec�� �� + > 19. : ��E� �E ;� = �&� ln F�=����F + > 20. : �√�E� �E ;� = lnG� + √�& − �&G + > 21. : cos& � ;� = �&� + �H sin 2� + > 22. : sin& � ;� = �&� − �H sin 2� + > 23. : sinh � ;� = cosh � + > 24. : cosh � ;� = senh� + > 25. : sech² � ;� = tanh � + > 26. : csch& � ;� = cotanh � + > 27. : sech � tanh� ;� = −sech � + > 28. : cosech � cotanh� ;� = −cosech � + > 29. Integrais Trigonométricas: a. : sin< . ;. = : sin<��. sin . ;. � n ímpar b. : cos< . ;. = : cos<��. cos . ;. � n ímpar Lembre-se: � sin& . + cos& . = 1 � sec& . = 1 + tan& . c. sin& . = ��IJK&L& � n par d. cos& . = �=IJK&L& � n par e. : sin� . cos< . ;. = : sin���. cos< . sin . ;. � m ímpar f. : sin� . cos< . ;. = : sin�. cos<�� . cos . ;. � n ímpar g. : tan� . sec< . ;. = : tan���. sec<�� . sec . tan . ;. � m ímpar (n par ou ímpar) h. : tan� . sec< . ;. = : tan�. sec<�& . sin& . ;. � n par (m par ou ímpar) 30. Substituições Trigonométricas: a. √�& − .& � . = � sin M b. √�& + .& � . = � tan M c. √.& − �& � . = � sec M 31. Integrais Definidas: : N�. ;. = O�P − O�� Q� 32. Áreas: : [N�. − %�. ];.Q� 33. Sólidos de Revolução: : T[N�. Q� ]² ;. 34. Transformação de Coordenadas Polares para Coordenadas Cilíndricas: a. U& = .& + �& b. . = U. cos M c. � = U. sin M d. tan M = VL 35. Gráficos: a. Reta: M = > b. Reta: U. sin M = ±> ou U. cos M = ±> c. Circunferências: U = 2�. cos M ou U = 2P. sin M d. Limaçon com um laço: U = � ± P. cos M ou U = � ± P. sin M � 0 < �Q < 1 e. Cardióide: U = � ± P. cos M ou U = � ± P. sin M � �Q = 1 f. Limaçon com um dente: U = � ± P. cos M ou U = � ± P. sin M � 1 < �Q < 2 g. Limaçon convexa: U = � ± P. cos M ou U = � ± P. sin M � �Q ≥ 2 h. Rosácea: U = �. cos !M ou U = �. sin !M ; n ímpar � n pétalas; n par � 2n pétalas i. Lemniscata: U² = �. cos !M ou U² = �. sin !M 36. Integrais em Coordenadas Polares: a. Áreas: : �&U&;MZ[ b. Geometria Plana: \ " = �&U&M c. Comprimento de um arco: ] = : ^�_`_a & + U&Z[ ;M 37. Formas Indeterminadas e Integrais Impróprias: a. b b ou c c � aplicar Regra de L’Hopital b. 0.∞ � N�. 1 %�. ⁄e c. 0b ; ∞b ou 1c� � = N�. f�L � ln � = %�. ln N�. d. ∞−∞ � Algebrismo \ L’Hopital 38. Integrais com Limites de Integração Infinitos a. : N�. ;.c� = limh→c : N�. ;.h� b. : N�. ;.��c = limh→�c : N�. ;.�h c. : N�. ;.c�c = limh→�c : N�. ;.�h + limh→c : N�. ;.h� 39. Função Gama e Beta a. i�! = : .<����L ;.cb b. i�! + 1 = !i�! = !! c. i 6�&9 = √T d. k��, ! = m�� =m�< m��=< e. k��, ! = 2: sin&��� M cos&<�� M ;MnEb f. k��, ! = : .����1 − . <�� ;.�b 40. Funções Implícitas a. _V _L = �_o_L _o_Vp b. _q _L = �_o_L _o_qp e _q_V = �_o_V _o_qp , sendo z = f(x,y) 41. Derivadas direcionais e gradientes a. r = cos M s + sin M t b. u�N�., � = N.�., � cos M + N��., � sin M c. ∇N�., � = N.�., � s + N��., � t d. DuN�., � = r. ∇f�x, y e. DuN�., �, z = _{_L cos | + _{_V cos k + _{_q cos } f. ∇N�., �, z = _{_L s + _{_V t + _{_q ~ g. DN�., �, z = r. ∇N�., �, z 42. Extremos das funções de duas variáveis a. D�., � = N..�., � . N���., � − [N.��., � ]² i. D(x, y < 0 � Ponto de Sela ii. D(x, y > 0 : 1. N..�., � #� N���., � > 0 � Ponto de Mínimo 2. N..�., � #� N���., � < 0 � Ponto de Máximo 43. Integrais Duplas: : : N�., � ;�;. = : [: N�., � ;�] ;._IQ�_IQ� 44. Integrais Triplas: a. : : : N�., �, z ;z;�;.{ = : {: [: N�., �, z ;z];�};.{_IQ�_IQ� b. : : : N�., �, z ;�;z;._I = : {: [: N�., �, z ;�];z};._I{Q�{Q� c. : : : N�., �, z ;z;.;�{ = : {: [: N�., �, z ;z];.};�{Q�_IQ�_I d. : : : N�., �, z ;.;z;�Q� = : {: [: N�., �, z ;.];z};�Q�{_I{_I e. : : : N�., �, z ;�;.;z_I = : {: [: N�., �, z ;�];.};z_IQ�{Q�{ f. : : : N�., �, z ;.;�;zQ� = : {: [: N�., �, z ;.];�};zQ�_I{_I{ 45. Momento e Centro de Massa em 2 dimensões a. � = : : �., � ;\` b. �. = : :��., � ;\` e �� = : : .�., � ;\` c. .̅ = �V� e � = �L� 46. Momento de massa em três dimensões a. � = ∬ :�., �, z ; b. i. �.� = ∬ :z�., �, z ; ii. �.z = ∬ :��., �, z ; iii. ��z = ∬ :.�., �, z ; c. i. .̅ = Vq� ii. � = Lq� iii. z̅ = LV� iv. Se �., �, z = 1 � .̅, � , z̅ = "�!$'ós;� 47. Coordenadas Cilíndricas a. . = U cos M b. � = U sin M c. U² = .² + �² d. tan M = VL e. � = U sin M f. ∬ :N�U, M, z ; = : : : N�U, M, z ;z;U;M&�`,a ��`,a f&�a f��a Z[ 48. Coordenadas Esféricas a. . = sin∅ cos M b. � = sin∅ sin M c. z = cos∅ d. & = .² + �² + z² e. ∬ :N�, ∅, M ; = : : : N�, ∅, M ∅ ;;∅;MQ�_I<� 49. Funções com valores vetoriais: U�$ = N�$ + %�$ + ℎ�$ 50. Comprimento de curva: : ^�_L_h & + �_V_h & + �_q_h &Q� ;$ 51. Limites, Derivadas e Integrais de funções vetoriais a. limh→� U�$ = [limh→� N�$ ] + [limh→� %�$ ] + [limh→� ℎ�$ ] b. U′�$ = lim∆h→b `�h=∆h �`�h ∆h c. : U�$ ;$ = [: N�$ ;$] +Q� [: %�$ ;$] +Q� [: ℎ�$ ;$]Q�Q� 52. Interpretação geométrica e física de derivada de funções vetoriais a. ��$ = U��$ b. ��$ = ���$ = U"�$ 53. Vetor tangente normal: �$ = �G|`�h |GU��$ 54. Vetor Unitário Normal: �$ = �G|�h |G��$ 55. Vetor Binormal: �$ = �$ �$ a. Curvatura: �$ = `�h ||`�h || b. ~ = F_h_F = F �h `�h F = ||` �h L`"�h || �||`�h || ³ 56. Componente tangencial da aceleração e componente normal da aceleração a. Componente tangencial � � = `�h . `"�h ||`�h || b. Componente normal da aceleração � �¡ = ||`�h ¢ `"�h ||||`�h || 57. Campos Vetoriais a. O�., � = £�., �, z + �., �, z + ¤�., �, z b. £��., � = .�., � → __V = _¡_L c. ∇N�., �, z = N.�.,�, z + N��., �, z + Nz�., �, z d. £��., �, z = .�., �, z → __V = _¡_L e. £z�., �, z = ¤.�., �, z → __q = _¥_L f. z�., �, z = ¤��., �, z → _¡_q = _¥_V g. U#$ O�., �, z = 6_¥_V − _¡_q9 + 6__q − _¥_L9 + 6_¡_L − __V9 h. U#$ O = ∇�x, y, z O�., �, z = | _ _L _ _V _ _q £ ¤ | i. ∇. O = ;s� O = 2�&L + 3.²z + 2�² j. ∇&N�., �, z = _²{_L² + _²{_V²+ _²{_q² 58. Integrais de Linha ou Integrais Curvilíneas a. ¨ = : £�., �, z ;. + �., �, z ;� + ¤�., �, z ;z = : [£�N�$ , %�$ , ℎ�$ . N��$ +Q�© �N�$ , %�$ , ℎ�$ . %��$ + ¤�N�$ , %�$ , ℎ�$ . ℎ��$ b. ¨ = O;U = :ªO7U�$ 8. U��$ «;$ 59. Teorema de Green: ∮ £�., � ;. + �., � ;� = ∬6_¡_L − __V9 ;\© 60. Integrais de superfícies: a. ∬ ¨�., �, z ; = ∬ ¨7., �, N�., � 8^6_q_L9 & + 6_q_V9 & + 1 ;\`LVK b. ∬ ¨�., �, z ; = ∬ ¨�., %�., z , z ^6_V_L9 & + 6_V_V9 & + 1 ;\`LqK c. ∬ ¨�., �, z ; = ∬ ¨�ℎ��, z , �, z ^6_L_L9 & + 6_L_V9 & + 1 ;\`VqK 61. Integral do fluxo de F sobre S a. ∬ O!; K b. n = ∇�®,¯,° ||�®,¯,° || → ∇G�x, y, z = vetor normal 62. Teorema da divergência de Gauss: ∬ O!; K = ∬ :∇O;� 63. Teorema de Stokes: ∮ O; = ∬ �~b$O !; KI
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