Apostila Álgebra Linear

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NMF105 
Algebra Linear 
Notas de aula 
 
2010
-rev1 
Prof. Fabio Lacerda 
Prof. Emerson Costa 
Prof. Ronaldo Pimentel 
ÍNDICE 
 
UNIDADE 1 – MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES .................................. 1 
1.1 INTRODUÇÃO..................................................................................................................................... 1 
1.2 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZ ............................................................................................................. 2 
1.2.1 Matriz quadrada .......................................................................................................................... 2 
1.2.2 Matriz nula .................................................................................................................................. 2 
1.2.3 Matriz coluna ............................................................................................................................... 2 
1.2.4 Matriz linha.................................................................................................................................. 2 
1.2.5 Matriz diagonal ............................................................................................................................ 2 
1.2.6 Matriz identidade ........................................................................................................................ 3 
1.2.7 Matriz triangular .......................................................................................................................... 3 
1.2.8 Matriz triangular .......................................................................................................................... 3 
1.2.9 Matriz simétrica ........................................................................................................................... 3 
1.3 OPERAÇÕES BÁSICAS COM MATRIZES .............................................................................................. 4 
1.3.1 Adição .......................................................................................................................................... 4 
1.3.2 Multiplicação ............................................................................................................................... 4 
1.3.3 Transposição ................................................................................................................................ 5 
1.4 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ......................................................................................................... 8 
1.5 OPERAÇÕES ELEMENTARES COM LINHAS DE MATRIZ .................................................................... 11 
1.6 MATRIZ INVERSA ............................................................................................................................. 12 
1.6.1 Cálculo da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan ......................................................... 12 
1.7 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................................................................ 13 
1.7.1 Definições básicas ..................................................................................................................... 13 
1.7.2 Método de Gauss ...................................................................................................................... 15 
1.7.3 Usando matriz inversa ............................................................................................................... 16 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 ............................................................................................................................ 17 
UNIDADE 2 – DETERMINANTES ............................................................................................ 27 
2.1 DETERMINANTE ............................................................................................................................... 27 
2.2 MENOR COMPLEMENTAR ................................................................................................................ 29 
2.3 COFATOR ou COMPLEMENTO ALGÉBRICO ...................................................................................... 30 
2.4 DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE (GERAL) .......................................................................................... 30 
2.5 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ............................................................................................ 33 
2.6 CÁLCULO DE DETERMINANTES (REGRA DE CHIÓ) ............................................................................ 34 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 ............................................................................................................................ 38 
UNIDADE 3 – ESPAÇOS VETORIAIS ...................................................................................... 40 
3.1 ESPAÇOS VETORIAIS REAIS ............................................................................................................... 40 
3.2 SUBESPAÇOS VETORIAIS REAIS ........................................................................................................ 43 
3.3 COMBINAÇÃO LINEAR ...................................................................................................................... 46 
3.4 ESPAÇOS GERADOS .......................................................................................................................... 51 
3.5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ....................................................................................... 55 
3.6 BASES E DIMENSÃO .......................................................................................................................... 62 
3.6.1 Base de um Espaço Vetorial ...................................................................................................... 62 
3.6.2 Dimensão de um Espaço Vetorial .............................................................................................. 71 
3.7 MUDANÇA DE BASE .......................................................................................................................... 75 
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 ............................................................................................................................ 81 
UNIDADE 4 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES ................................................................... 91 
LISTA DE EXERCÍCIOS 4 ............................................................................................................................ 95 
BIBLIOGRAFIA E REFERÊNCIAS ........................................................................................... 96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 1 
NMF105 – ALGEBRA LINEAR 
 
Prof. Emerson Costa (responsável pela disciplina) 
Prof. Fabio Lacerda (flacerda@fumec.br) 
 
 
 
 
UNIDADE 1 – MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Notas de Aula 
 
 
 
11..11 IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
 
Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Sua utilização passa a ser 
indispensável quando o número de variáveis e observações em um problema torna-se muito 
grande. 
 
Por exemplo, seja a composição de uma carteira de ações e a sua evolução ao longo do 
primeiro semestre: 
 
Movimentação (em número de ações) 
Ação Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun 
PETR4 (Petrobras) 200 262 180 85 0 167 
VALE5 (Vale) 0 0 343 203 150 110 
USIM5 (Usiminas) 50 0 162 215 400 300 
GVTT3 (GVT) 0 160 40 0 420 480 
 
 
 
 Poderia ser abstraída para:Generalizando, tem-se: 
�� � � = ���� ��� ⋯ ������ ��� ⋯ ���⋮ ⋮ ⋱ ⋮��� ��� ⋯ ���� = [���]� � � 
 
 
NMF105 – Notas de aula 2 
11..22 TTIIPPOOSS EESSPPEECCIIAAIISS DDEE MMAATTRRIIZZ 
 
 
1.2.1 Matriz quadrada � O número de linhas é igual ao número de colunas (m = n). 
Exemplos: 
���� = � 2 −7 85 3 5
−1 2 4
� ∴ ���� = �2� ∴ ���� = �1 23 4	 
 
 
1.2.2 Matriz nula � Todos os elementos da matriz são nulos (��� para todo i e j). 
Exemplos: 
���� = �0 0 0 00 0 0 0	 ∴ ���� = �0� ∴ ���� = �0 00 0
0 0
� 
 
 
1.2.3 Matriz coluna � Possui uma única coluna (n=1). 
Exemplos: 
���� = � 1−2
3
� ∴ ���� = �0
	 ∴ ���� = �
2�
� 
 
 
1.2.4 Matriz linha � Possui uma única linha (m=1). 
Exemplos: ���� = �1 −2 3� ∴ ���� = �0 
� ∴ ���� = �
 2 � 
� 
 
 
1.2.5 Matriz diagonal � Matriz quadrada (m=n) onde ��� = 0 para � ≠ �. Ou seja, todos os 
elementos fora da diagonal principal são nulos. 
Exemplos: 
���� = �2 00 0	 ∴ ���� = �1 0 00 −5 0
0 0 �� ∴ ���� = �
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
� 
 
 
NMF105 – Notas de aula 3 
 
1.2.6 Matriz identidade � Representada por I, matriz quadrada (m=n) onde ��� = 1 para 
� = � e ��� = 0 para � ≠ �. Ou seja, possui “1” na diagonal 
principal e “0” para todas as outras entradas. 
Exemplos: 
�� = �1 00 1	 ∴ �� = �
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
� ∴ �� = �1 0 00 1 0
0 0 1
� 
 
 
1.2.7 Matriz triangular � Matriz quadrada (m=n) onde ��� = 0 para � > �. 
Exemplos: 
���� = �1 10 1	 ∴ ���� = �
1 
 0 0
0 0 −2 2
0 0 0 0
0 0 0 1
� ∴ ���� = �0 0 −40 � 0
0 0 1
� 
 
 
1.2.8 Matriz triangular � Matriz quadrada (m=n) onde ��� = 0 para � < �. 
Exemplos: 
���� = �1 01 0	 ∴ ���� = �
0 0 0 0
0 0 0 0
10 −2 0 0
5 � 0 0� ∴ ���� = �
2 0 0
−1 4 0
3 � 1� 
 
 
1.2.9 Matriz simétrica � Matriz quadrada (m=n) onde ��� = ��� . 
Exemplos: 
���� = �0 77 0	 ∴ ���� = � 1 −4 0−4 5 0
0 0 �� ∴ ���� = �
� � � �� � � �� � ℎ �� � � � � 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 4 
 
11..33 OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS BBÁÁSSIICCAASS CCOOMM MMAATTRRIIZZEESS 
 
 
1.3.1 Adição � a soma de duas matrizes de mesma ordem (�� � � = �� � �) é representada 
por “ A+B ”, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de 
A e B. Ou seja, 
� + � = � ��� + ��� ��� + ��� ⋯ ��� + ������ + ��� ��� + ��� ⋯ ��� + ���
⋮ ⋮ ⋱ ⋮��� + ��� ��� + ��� ⋯ ��� + ���� 
 
Exemplos: 
�1 −1
2 3
	 + �0 4
3 −3
	 = �1 3
5 0
	 ∴ �1 23 4
5 6
� + � 7 89 10
11 12
� = � 8 1012 14
16 18
� 
 
 ∴ �2 
 −3� + �� −1 0� = �2 + � 
 − 1 −3� 
 
Propriedades: 
i) A + B = B + A (comutatividade) 
ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade) 
iii) A + 0 = A , onde “0” é uma matriz nula 
 
 
 
1.3.2 Multiplicação � representada por “ k.A ”, é obtida multiplicando-se A por k. Ou seja, 
 
�� = ����� ���� ⋯ �������� ���� ⋯ ����
⋮ ⋮ ⋱ ⋮���� ���� ⋯ ����� 
 
Exemplos: 
 ���� � = −3 � � = � 0 −1 22 4 1
−1 3 −2
� 
 �� = −3. � 0 −1 22 4 1
−1 3 −2
� = � 0 3 −6−6 −12 −3
3 −9 6
� 
 
 
NMF105 – Notas de aula 5 
 ���� � = 
 � � = � 0 −
 20 2
 1
−1 0 −2
� 
 �� = 
. � 0 −
 20 2
 1
−1 0 −2
� = � 0 −
� 2
0 2
� 
−
 0 −2
� 
 
Propriedades: 
i) k.(A + B) = kA + kB 
ii) (k1 + k2).A = k1 A + k2 A 
iii) 0.A = 0, onde o primeiro “ 0 ” é um escalar e o segundo é uma matriz nula 
iv) k1 ( k2 A) = (k1 k2 )A 
 
 
 
1.3.3 Transposição � representada por “ �� ” ou por “�� ”, é obtida quando as linhas de A 
passam a ser colunas de B (= ��). Ou seja, ��� = ���. 
 
Exemplos: 
 � = �0 −1 �
2 4 8
	
� � �
 � �� = � 0 2−1 4� 8�
� � �
 
 
 � = � 
2
−1
�
� � �
 � �� = �
 2 −1�� � � 
 
Propriedades: 
i) Uma matriz (A) é simétrica somente se � = �� 
ii) ��� = � �� (��)� = � 
iii) (� + �)� = �� + �� 
iv) (��)� = ��� 
 
 
 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 6 
 
Exemplo 1: Sendo � = �−3 0 20 4 −6
−7 1 1
�, calcule 2� 
 
Solução: 
2. �−3 0 20 4 −6
−7 1 1
� = �2. −3! 2.0 2.22.0 2.4 2. −6!
2. −7! 2.1 2.1 � = �
−6 0 4
0 8 −12
−14 2 2
� 
Conclusão: 2� = � −6 0 40 8 −12
−14 2 2
	 
 
Exemplo 2: Sendo � = � 1 2 3−2 0 4
−3 0 2
�, calcule 2�� 
 
Solução: 
2. � 1 2 3−2 0 4
−3 0 2
�� = 2. �1 −2 −32 0 0
3 4 2
� = �2.1 2. −2! 2. −3!2.2 2.0 2.0
2.3 2.4 2.2
� 
= �2 −4 −64 0 0
6 8 4
� 
 
Conclusão: 2�� = �2 −4 −64 0 0
6 8 4
� 
 
 
Exemplo 3: Dadas � = �−3 0 20 4 −6
−7 1 1
�, � = � 2 4 66 4 2
−3 −4 0
� e � = � 1 2 3−2 0 4
−3 0 2
�, calcule X 
para " − #$ = % − #&	 
 
Solução 1: 
' − 2� = � − 2�� ⇨ ' = � − 2�� + 2� 
aproveitando os cálculos dos exemplos 1 e 2, tem-se, 
 
 
NMF105 – Notas de aula 7 
 
 
' = � 2 4 66 4 2
−3 −4 0
� + �−2 +4 +6−4 0 0
−6 −8 −4
� + � −6 0 40 8 −12
−14 2 2
� ⇨ 
' = � 2 − 2 − 6 4 + 4 + 0 6 + 6 + 46 − 4 + 0 4 − 0 + 8 2 − 0 − 12
−3 − 6 − 14 −4 − 8 + 2 0 − 4 + 2
� ⇨ 
' = � −6 8 162 12 −10
−23 −10 −2
� 
 
Solução 2: 
De forma mais direta, tem-se ' − 2� = � − 2�� ⇨ ' = � − 2�� + 2� 
' = � 2 4 66 4 2
−3 −4 0
� − 2. �1 −2 −32 0 0
3 4 2
� + 2. �−3 0 20 4 −6
−7 1 1
� ⇨ 
' = � 2 − 2.1 + 2. −3! 4 − 2. −2! + 2.0 6 − 2. −3! + 2.26 − 2.2 + 2.0 4 − 2.0 + 2.4 2 − 2.0 + 2. −6!
−3 − 2.3 + 2. −7! −4 − 2.4 + 2.1 0 − 2.2 + 2.1 � ⇨ 
' = � −6 8 162 12 −10
−23 −10 −2
� 
 
Conclusão: ' − 2� = � − 2�� ⇨ ' = � −6 8 162 12 −10
−23 −10 −2
� 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 8 
 
11..44 MMUULLTTIIPPLLIICCAAÇÇÃÃOO DDEE MMAATTRRIIZZEESS 
 
 
O produto de duas matrizes A e B, denotado por “AB”, só é possível se o número de colunas de 
A for igual ao número de linhas de B. Cada elemento resultante ij é obtido pelo produto da 
linha i de A pela coluna j de B. Ou seja, se � = ��, 
�
� = �
���� + �
���� + ⋯ + �
���� = (�
�
��
��
 
Assim, por exemplo, ����. ���� = ���� ∴ ����. ���� = ���� ����. ���� = ���� ∴ ����. ���� = ���� 
 
Propriedades: 
i) �
 = 
� = � 
ii) �� ≠ �� (�) ����*) 
iii) � � + �! = �� + �� 
iv) � + �!� = �� + �� 
v) ��!� = �(��) 
vi) (��)� = ���� 
vii) 0. � = 0 � �. 0 = 0 
 
 
Exemplo 1: Resolver ��, onde ���� � ���� 
���� ��� ������ ��� ���	 . ���� ������ ������ ���� = +(������ + ������ + ������) (������ + ������ + ������)(������ + ������ + ������) (������ + ������ + ������), 
 
Exemplo 2: Resolver � = ��, onde � = �1 3
2 −1
	 � � = �2 0 −4
5 −2 6
	 
 � = �1 3
2 −1
	 . �2 0 −4
5 −2 6
	 = 
+ (1.2 + 3.5) (1.0 + 3. (−2)) (1. −4! + 3.6)
(2.2 + −1!. 5) (2.0 + −1!. (−2)) (2. −4! + −1!. 6), = 
� � = �17 −6 14
−1 2 −14
	 
 
NMF105 – Notas de aula 9 
 
Dicas: é comum, enquanto não se pratica bastante o produto entre matrizes, que se faça confusão com a 
posição certa de cada um dos elementos da matriz resultante. Para se minimizar erros por falta 
de atenção, vale a pena realizar um “double check” usando a própria matriz resultante para 
validação do resultado. Em primeiro lugar, deve-se checar se a dimensão da matriz está correta 
(por exemplo, o produto entre matrizes����.���	 deve ter como resultado uma matriz com 
dimensão “���	”). Além disso, observe que, para o caso da matriz C do exemplo 2, os elementos 
resultantes em C são definidos de acordo com a posição da linha da matriz A e a posição da 
coluna da matriz B. Assim, 
 
 
 
 
Exemplo 3: Encontrar x e y sabendo que �� = �. � e � = �
 −4
2 −3
	 
�� = �. � = �
 −4
2 −3
	 . �
 −42 −3
	 = + (
. 
 + (−4).2) 
. −4! + (−4). (−3
)(2. 
 + −3
!. 2) 2. (−4) + −3
!. (−3
), 
� �� = +(
� − 8) (8
)
(−4
) (9
� − 8), 
 
Como �. � = �. �1 0
0 1
	 = +� 0
0 �,, então +(
� − 8) (8
)(−4
) (9
� − 8), = +� 00 �, 
 
Assim, - 
� − 8 = �8
 = 0
−4
 = 0
9
� − 8 = �. 
Resolvendo o sistema, encontra-se 
 = 0 � � = −8. 
 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 10 
Exemplo 4: Encontrar a movimentação financeira mensal (em valor presente) de uma carteira 
de ações a partir do valor atual de cada ação e da tabela que mostra a 
movimentação dessa carteira, em número de ações (exemplo dado no item 1.1). 
Para isso, sabe-se que: 
 
Ação Valor presente 
PETR4 (Petrobras) R$33,80 
VALE5 (Vale) R$42,74 
USIM5 (Usiminas) R$46,15 
GVTT3 (GVT) R$56,45 
 
Ou seja, � = �200 262 180 85 0 1670 0 343 203 150 110
50 0 162 215 400 300
0 160 40 0 420 480
� e � = �33,8042,74
46,15
56,45
� 
 (matriz A extraída do item 1.1) 
 
Como ∄ ����.����, pode-se fazer ����� .����. Logo, ���� = ����� .���� 
 
� = [�33,80.200 + 0 + 46,15.50 + 0
 
�33,80.262 + 0 + 0 + 56,45.160
 
�33,80.180 + 42,74.343 + 46,15.162 + 56,45.40
 
�33,80.85 + 42,74.203 + 46,15.215 + 0
 
�0 + 42,74.150 + 46,15.400 + 56,45.420
 
(33,80.167 + 42,74.110 + 46,15.300 + 56,45.480)] 
 
� = �9067,50 17887,60 30478,12 21471,47 48580 51287� 
 
Ou seja, 
Movimentação (em valor presente) 
Jan Fev Mar Abr Mai Jun 
R$9.067,50 R$17.887,60 R$30.478,12 R$21.471,47 R$48.580,00 R$51.287,00 
 
 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 11 
 
11..55 OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS EELLEEMMEENNTTAARREESS CCOOMM LLIINNHHAASS DDEE MMAATTRRIIZZ 
 
Uma matriz elementar é obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz 
identidade. 
 
i) Troca de ordem de duas linhas da matriz (exemplo 1); 
 
ii) Multiplicação de uma linha da matriz por uma constante diferente de zero (exemplo 2); 
 
iii) Substituição de uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma 
constante diferente de zero (exemplo 3). 
 
 
Exemplo 1: 
�
 →�� →�	 → �
1 0 0
0 1 0
0 0 1
	 ⇨ /1 ↔ /2 ⇨ �0 1 01 0 0
0 0 1
	 
 
Exemplo 2: 
�
 →�� →�	 → �
1 0 0
0 1 0
0 0 1
	 ⇨ /3 = −4/3 ⇨ �1 0 00 1 0
0 0 −4
	 
 
Exemplo 3: 
�
 →�� →�	 → �
1 0 0
0 1 0
0 0 1
	 ⇨ /2 = /2−2/3 ⇨ �1 0 00 1 −2
0 0 1
	 
 
 Exemplo 4: �1 0 00 1 0
0 0 1
� ⇢ /� = 3/�/� ↔ /� ⇢ �3 0 00 0 1
0 1 0
� ⇢ /� = /�−4/�/� = /�+3/� ⇢ � 3 0 09 0 1
−12 1 0
� 
 
Exemplos de operações possíveis: 
 
 
Exemplos de operações que NÃO são possíveis: 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 12 
 
11..66 MMAATTRRIIZZ IINNVVEERRSSAA 
 
 
Uma matriz quadrada (m=n) A é chamada inversível se existe uma matriz B tal que �� = �� = � 
Nesse caso, a matriz inversa de A é indicada por ���. Ou seja, �. ��� = ���. � = �. 
 
Exemplo: encontrar a inversa da matriz � = �2 3
1 4
	 
�2 3
1 4
	 . �� �� �	 = �1 00 1	 � �2� + 3� 2� + 3�� + 4� � + 4� 	 = �1 00 1	 � -
2� + 3� = 1� + 4� = 0
2� + 3� = 0� + 4� = 1 . � 
 � = 4 50 ∴ � = −3 50 ∴ � = −1 50 ∴ � = 2 50 
��� = � 4 50 −3 50
−1
50 2 50 � 
 
1.6.1 Cálculo da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan 
 
Se uma matriz A pode ser reduzida à matriz identidade por uma sequência de operação 
elementares com linhas, então A é inversível e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz 
identidade aplicando-se a mesma sequência de operações com linhas. 
 �� ⋮ 
 → (
 ⋮ ��
) 
 
Exemplo: Achar a inversa da matriz � = �−1 2 11 2 1
−1 2 3
� 
 
 
�� ⋮ 
 = �−1 2 1 ⋮ 1 0 01 2 1 ⋮ 0 1 0
−1 2 3 ⋮ 0 0 1
	 ⇢ /1 ↔ /2 ⇢ � 1 2 1 ⋮ 0 1 0−1 2 1 ⋮ 1 0 0
−1 2 3 ⋮ 0 0 1
	 
 
⇢ /� = /� + /� ⇢
⇢ /� = /� + /� ⇢ �1 2 1 ⋮ 0 1 00 4 2 ⋮ 1 1 0
0 4 4 ⋮ 0 1 1
� 
 
⇢ /� = 1
4
/� ⇢ �1 2 1 ⋮ 0 1 00 1 �� ⋮ �� �� 0
0 4 4 ⋮ 0 1 1
� 
 
 
NMF105 – Notas de aula 13 
⇢ /� = /� − 2/� ⇢
⇢ /� = /� − 4/� ⇢ �
1 0 0 ⋮ �
�
�
�
�
0
0 1
�
�
⋮
�
�
�
�
0
0 0 2 ⋮ −1 0 1
� 
 
⇢ /� = 1
2
/� ⇢ 122
231 0 0 ⋮ ��� �� 00 1 �
�
⋮
�
�
�
�
0
0 0 1 ⋮ �
�
�
0
�
�455
56
 
 
⇢ /� = /� − 1
2
/� ⇢ 122
231 0 0 ⋮ ��� �� 00 1 0 ⋮ �
�
�
�
−
�
�
0 0 1 ⋮ �
�
�
0
�
� 455
56
 
 
� ��� = ���� �� 0�
�
�
�
−�
�
�
�
�
0 �
�
� 
 
 
Observação: Se |�| = 0, então A não é inversível. Além disso, lembre-se que |�| = �
|���|
. Essa 
informação poderá ajudar a validar se o cálculo da matriz inversa foi realizado corretamente. 
 
 
 
11..77 SSIISSTTEEMMAASS DDEE EEQQUUAAÇÇÕÕEESS LLIINNEEAARREESS 
 
 
1.7.1 Definições básicas 
 
Um sistema de equações lineares com “m” equações e “n” incógnitas é um conjunto de 
equações do tipo: 
 
 
� ����� + ����� + ⋯ + ����� = ������� + ����� + ⋯ + ����� = ��
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮����� + ����� + ⋯ + ����� = ��
�
 
 
 
Pode ser escrita numa forma matricial: 
 
NMF105 – Notas de aula 14 
 
 
 
Sendo definida ���� ��� ⋯ ��� ����� ��� ⋯ ��� ��
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮��� ��� ⋯ ��� ��� como a “matriz ampliada do sistema”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 15 
 
Exemplo: 7 2
� + 
� = 3
� − 4
� = −1 . 
 �2 1
1 −4
	 . �
�
�	 = � 3−1	 � �2 1 31 −4 1	 
 A . X = B matriz ampliada do sistema 
 
 
 
 
1.7.2 Método de Gauss 
 
 
Reduz por linha equivalência a matriz ampliada do sistema a uma matriz triangular. Pode ser 
dividido em duas etapas: 
 
Etapa1: (eliminação direta) redução passo a passo do sistema levando, ou a uma equação 
degenerada sem solução, ou a um sistema mais simples na forma triangular ou 
reduzida; 
 
Etapa2: (eliminação retroativa) substituições retroativas determinam a solução de novo sistema 
mais simples. 
 
 
 
Exemplo 1: Encontrar os valores de x, y e z a partir do sistema 8 
 + 2� − 3
 = 12
 + 5� − 8
 = 4
3
 + 8� − 13
 = 7 . 
 
 
�1 2 −3 12 5 −8 4
3 8 −13 7
� ⇢ 
⇢ 
 
 /� = /� − 2/� ⇢
 /� = /� − 3/� ⇢ �1 2 −3 10 1 −2 2
0 2 −4 4
� ⇢ 
/� = /� − 2/� ⇢ �1 2 −3 10 1 −2 2
0 0 0 0
� ⇢ 
 
 
� 7
 + 2� − 3
 = 1� − 2
 = 2 . 
 
 
Logo, se 9 = :, então x= −; − : e � = # + #: 
 
(o sistema admite infinitas soluções) 
 
NMF105 – Notas de aula 16 
 
Exemplo 2: Encontrar os valores de x, y e z a partir do sistema 8 
 + 2� − 4
 = −42
 + 5� − 9
 = −10
3
 − 2� + 3
 = 11 . 
 
 
 
 
�1 2 −4 −42 5 −9 −10
3 −2 3 11
� ⇢ 
⇢ 
 
 /� = /� − 2/� ⇢
 /� = /� − 3/� ⇢ �1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 −8 15 23
� ⇢ 
/� = /� + 8/� ⇢ �1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 0 7 7
� ⇢ 
 
 
� 8
 + 2� − 4
 = −4� − 
 = −2
7
 = 7 . 
 
 
Logo, se 9 = <, então = = −< e � = # 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.7.3 Usando matriz inversa 
 
 
Se �' = � admitir solução única (Afor inversível), então: 
 ���. �' = ���. � � 
(����). ' = ���. � � �' = ���. � � 
 � = �	
.� 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 17 
LLIISSTTAA DDEE EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS 11 
 
 
Operações básicas com matrizes 
 
 
1. Determine x e y de modo que se tenha 





+
+
=





43
21
43
32
y
yxyx
. 
 
2. Dadas 





=
1193
751
A , 





=
12108
642
B e 




 −−
=
741
510
C , calcule: 
 
a) CBAX ++=1 b) ( )TBAX −=2 c) CBAX 33 +−=
 
3. Dadas as matrizes 





−
−
=





=





=
25
71
 e 
67
50
 ,
32
21
CBA determine a matriz X tal que 
.CBAX −=+ 
 
 
4. As tabelas a seguir mostram as vendas dos carros GOL e PÁLIO, nas cores Azul, Branco e 
Verde, de uma agência automobilística, nos meses de Janeiro e Fevereiro de 2000. 
 
 Vendas do mês de Janeiro Vendas do mês de Fevereiro 
 Modelo 
 
Cor 
 
Gol 
 
Pálio 
Azul 20 45 
Verde 44 23 
Branco 61 36 
 
 Modelo 
 
Cor 
 
Gol 
 
Pálio 
Azul 37 24 
Verde 21 17 
Branco 76 53 
 
 
Qual foi a venda bimestral realizada por esta loja em relação a esses carros? 
 
 
Produto de matriz 
 
 
5. Calcule os seguintes produtos: 
 
 
a) 





⋅





=
32
74
01
10
A 
 
b) 












⋅




 −
=
11
13
12
11
1732
0511
B 
 
 
NMF105 – Notas de aula 18 
c) 





−
⋅









 −
=
154
321
43
22
11
C
 
 
d) 










⋅










=
021
100
741
430
022
110
D
 
 
6. Resolva as seguintes equações: 
 
a) 





−
=





⋅





− 95
75
22
31
dc
ba
 b) 





=





⋅





−
−
3
9
21
12
y
x
 
 
 
 
7. Sendo 
01
12
 e 
210
121





 −
=





−
−
= BA , determine o valor de: 
 
a) BAM T ⋅=1
 
b) BAM ⋅=2
 
c) 23 BM = 
 
8. Uma indústria fabrica três modelos diferentes de televisores. A Tabela I mostra o número de 
teclas e alto-falantes usados em cada aparelho A, B e C, e a Tabela II mostra a produção 
que a fábrica planeja fazer para os meses de Abril e Maio: 
 
Tabela I Tabela II 
Modelo 
 
Componentes 
 
A 
 
B 
 
C 
Teclas 10 12 15 
Alto-Falantes 2 2 4 
 
Mês 
 
Modelo 
 
Abril 
 
Maio 
A 800 200 
B 1000 1500 
C 500 1000 
 
 
Quantas teclas e quantos alto-falantes serão necessários para a produção dos dois meses? 
 
 
 
9. Uma montadora de carretas de São Bernardo precisa de eixos e rodas para os três 
modelos que produz. A Tabela I mostra a relação dos componentes para cada um dos 
modelos: 
 
Modelo 
Componentes 
A B C 
Eixos 3 4 4 
Rodas 4 6 8 
 
A Tabela II mostra uma previsão de quantas carretas a fábrica deverá produzir em Julho e 
Agosto de 2000: 
 
Mês 
Modelo 
Julho Agosto 
A 15 25 
B 30 20 
C 18 15 
 
NMF105 – Notas de aula 19 
Pergunta-se: 
 
a) Quantos eixos e quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a 
montadora atinja produção desejada? 
 
b) Se a produção de Agosto se mantiver até Dezembro, quantas rodas a montadora 
utilizará no segundo semestre? 
 
 
10. Uma rede de de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas. 
Estabeleceu-se, na matriz abaixo, que se: 
• 1=ija significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j; 
• 0=ija significa que a estação i não alcança a estação j. 
Observe que a diagonal principal é nula, significando que uma estação não transmite 
diretamente para si mesma. 
 
















=
01000
10100
01010
01101
11110
A 
Se [ ]ijbA =2 , o elemento ∑
=
=++++==
5
1
2442 100100
k
kk aab . Note que a única parcela 
não nula veio de 1.13243 =aa . Isto significa que a estação 4 transmite para a estação 2 
através de uma retransmissão pela estação 3, embora exista uma transmissão direta de 2 
para 4. Com base nessas informações, responda os itens a seguir: 
 
a) Calcule 2A 
 
b) Qual o siginificado de 213 =b ? 
 
c) Discuta os significados dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a 
justificar a afirmação: “A matriz 2A representa o número de caminhos disponíveis para 
se ir de uma estação a outra com uma única retransmissão”. 
 
d) Qual o significado das matrizes 2AA + , 3A e 32 AAA ++ ? 
 
e) Se A fosse simétrica, o que significaria? 
 
Sistemas de Equações Lineares 
 
11. Uma refinaria de petróleo processa dois tipos de petróleo: com alto teor de enxofre e com 
baixo teor de enxofre. Cada tonelada de petróleo de baixo teor necessita de 5 minutos no 
setor de mistura e 4 minutos no setor de refinaria; já o petróleo com alto teor são 
necessários 4 minutos no setor de mistura e 2 minutos no setor de refinaria. Se o setor de 
mistura está disponível por 3 horas, e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas 
de cada tipo de combustível devem ser processadas de modo que os dois setores não 
fiquem ociosos? 
 
 
NMF105 – Notas de aula 20 
 
12. Um determinado produto é vendido em embalagens de 30g e 50g. Na embalagem de 30g, 
o produto é comercializado a R$ 10,00 e na embalagem de 50g. a R$ 15,00. Gastando R$ 
100,00, qual é a quantidade de cada tipo de embalagem para uma pessoa adquirir 
precisamente 310g desse produto? 
 
 
13. Um vinhateiro deseja produzir 1000 litros de vinho tipo A de 15% de teor alcoólico 
misturando vinho tipo B de 10% de teor alcoólico com vinho C de 35%. Determine as 
quantidades de vinho B e C necessárias para se obter a mistura desejada. 
 
 
14. Necessitando construir casas de madeira, alvenaria e mistas em uma propriedade, quanto 
será gasto de material em cada tipo de construção considerando as seguintes 
especificações: 
 
 tábuas Tijolos (mil) Telhas (mil) Tinta (litro) Mão de obra (dias) 
Madeira 200 1 5 80 12 
Mista 10 10 5,5 60 9 
Alvenaria 80 4 5 70 10 
 
Tendo-se 2030 tábuas, 123 mil tijolos, 123.5 mil telhas, 1660 litros de tinta e 243 dias para 
construir, quantas construções de casa tipo poderão ser feitas? 
 
 
15. Um estádio de futebol tem capacidade para 14.000 espectadores. Em dois jogos 
realizados em dois dias diferentes foram vendidos todos os lugares. No primeiro cobrou-se 
R$ 5,00 dos homens, R$ 3,00 das mulheres e R$ 2,00 das crianças. No segundo cobrou-
se R$ 4,00 dos homens, R$ 2,00 das mulheres e R$ 1,00 das crianças. A renda do 
primeiro jogo foi de R$ 56.000,00 e a do segundo jogo de R$ 42.000,00. Quantos homens, 
mulheres e crianças, em grupos inteiros de mil (milhares), compareceram a cada jogo. 
16. Determine os valores de a, de modo que o sistema 





=++
=++
=−+
23
332
1
zayx
azyx
zyx
 tenha: 
 
a) Nenhuma solução
 
b) Mais de uma solução 
 
c) Uma única solução 
 
17. Resolva os sistemas abaixo e classifique-os quanto ao número de soluções: 
 
a) 





−=+−
=−
=−
642
963
1284
yx
yx
yx
 
b) 







=++
=−−+−
=+−+−
=+−+
0
02
032
022
543
5321
54321
5321
xxx
xxxx
xxxxx
xxxx
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 21
18. Considere a matriz � = � 1 1 −1−1 0 1
0 1 1
� 
 
a)Determine o polinômio ( ) xIAxp −= sendo 3I , a matriz identidade de ordem 3 e ∈x
ℜ 
b) Verifique que ( ) 0=Ap (matriz nula) 
c) Calcular a inversa de A . 
 
 
19. Um litro de creme contém suco de fruta, leite e mel. A quantidade de leite é o dobro da 
quantidade de suco de fruta, e a quantidade de mel é a nona parte da quantidade dos 
outros dois líquidos juntos. Determine a quantidade de suco de fruta que contém esse litro 
de creme. 
 
 
20. Uma indústria produz três produtos, A , B e C, utilizando dois tipos de insumos, X e Y. Para 
a manufatura de cada quilo de A são utilizados 1 grama do insumo X e 2 gramas do 
insumo Y; para cada quilo de B, 1 grama do insumo X e 1 grama do insumo Y e, para cada 
quilo de C, 1 grama do insumo X e 4 gramas do insumo Y. O preço da venda do quilo de 
cada um dos produtos A, B e C é de R$ 2,00, R$ 3,00 e R$5,00, respectivamente. 
Determine quantos quilos de cada um dos produtos A, B e C foram vendidos se: 
 
a) Com a venda de toda a produção de A, B e C, manufaturada com 1 quilo de X e 2 
quilos de Y, essa indústria arrecadou R$ 2.500,00. 
 
b) Em outro período, com a venda de toda a produção de A, B e C, manufaturada com 1 
quilo de X e 2,1 quilos de Y, essa indústria arrecadou R$ 2.900,00. 
 
 
Matriz inversa 
 
 
21. Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem, encontre X em função de A e B a partir 
das seguintes equações matriciais: 
 
a) ( ) BXA T = b) BAXAT = 
 
 
22. Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multilpicação por matrizes. Seja a 
associação das letras do alfabeto com números, segundo a correspondência abaixo: 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 
 
 
NMF105 – Notas de aula 22
Assumindo que a mensagem que queira enviar de forma codificada seja “PUXA VIDA”. 
Pode-se formar uma matriz 3×3 como: 










−
ADI
VA
XUP
, que usando a correspondência 
numérica fica: 










=
149
2201
242116
M . Agora, seja C uma matriz qualquer 3×3 inversível, 
como por exemplo: 










−=
110
131
101
C . Multiplicando a matriz da mensagem M por C, 
obtem-se 









−
=⋅
14135
23221
61875
CM . O que se transmitiria seria esta nova matriz CM ⋅ (na 
prática, envia-se a cadeia de números ). 
 
Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da multiplicação pela inversa de C, isto é, 
fazendo ( ( ) MCCM =⋅⋅ −1 ) e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada 
de matriz chave para o código. 
 
 
a) Foi recebida a mensagem [1 16 12 -6 39 27 8 18 21]. Utilizando a mesma chave, 
traduza a mensagem. 
 
b) Foi recebida a mensagem [15 21 35 -1 11 8 -5 57 33]. Utilizando a mesma chave, 
traduza a mensagem. 
 
 
 
23. Calcule, pelo método de sistema de equações e por Gauss-Jordan, as inversas das 
seguintes matrizes: 
 










=










=





−
−
=





−
−
=
175
013
001
 D
300
020
001
 
93
62
 B
510
27
CA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 23
RESPOSTAS 
 
 
1. 01 == yx 
 
2. 
20112-
14-2-1-
 M
11
11
51
 M
302312
883
321 





=










−
−
−−
=





=M
 
 
3. 




 −
=
50
40
X 
 
4. 
 Vendas do bimestre 
 Modelo 
 
Cor 
 
Gol 
 
Pálio 
Azul 57 69 
Verde 65 40 
Branco 137 89 
 
 
5. a) 





74
32
 b) 





1330
514
 c) 










−
−
−
131419
8610
273
 d) 










384
1682
121
 
 
6. a) 
8
25
=a :: 
8
13−
=b :: 
8
5
=c :: 
8
23
=d b) 57 −=−= yx 
 
7. a) 
10
23
12
M1










−
−
=
 b) Não existe 2M c) 





−
−
=
12
23
3M 
 
8. 
Mes 
 
Componentes 
 
Abril 
 
Maio 
Teclas 27.500 35.000 
Altos-falantes 5.600 7.400 
 
 
9. a) 
Mes 
 
Componentes 
 
Julho 
 
Agosto 
Eixos 237 215 
Rodas 384 340 
 
 
b) 2084 rodas 
 
NMF105 – Notas de aula 24
 
10. a) 
















=
10100
02010
11201
22220
13211
2A 
b) 213 =c indica que existem 2 caminhos disponíveis para se ir da estação 1 a 
estação 3 usando uma única retransmissão. 
c) Para discutir (representa o número de caminhos possíveis para se alcançar o 
destino usando uma retransmissão). 
d) Para discutir (representa o número de caminhos possíveis para se alcançar o 
destino, incluindo uma retransmissão ou incluindo até duas retransmissões). 
e) Se A fosse simétrica, significaria que se a estação i conseguisse transmitir 
diretamente para a estação j, então necessariamente a estação j seria capaz de 
transmitir diretamente para a estação i. 
 
11. 20 toneladas de cada tipo 
 
12. 7 embalagens de 30g e 2 embalagens de 50g 
 
13. 800 l do vinho B e 200 l do vinho C 
 
14. 5 casas de madeira 
7 casas mistas 
12 casas de alvenaria 
 
15. 8000 homens, 4000 mulheres e 2000 crianças ou 
9000 homens, 1000 mulheres e 4000 crianças 
 
16. a) 3−=a b) 2=a c) 2≠a e 3−≠a 
 
17. a) Infinitas soluções: ay = e ax 23 += 
b) Infinitas soluções: 01 =x , ax −=2 , ax −=3 , 04 =x e ax =5 
 
18. a) ���� = −�� + 2�� + 1 
b) 0)( =−=−= AAAIAAp
 
c) ��� = �−1 −2 11 1 0
−1 −1 1
� 
 
19. 300 ml de suco de fruta 
 
20. a) Foram vendidos 700 quilos de A, 200 quilos de B e 100 quilos de C; 
b) Foram vendidos 500 quilos de A, 300 quilos de B e 200 quilos de C. 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 25
*********** 
 
MODELAGENS PARA AS QUESTÕES DE 11 A 20 
(estrutura para se chegar às repostas) 
 
 
11. �5� + 4	 = 180
4� + 2	 = 120
 
 
12. �30� + 50	 = 310
10� + 15	 = 100
 
 
13. �10� + 35	 = 15(� + 	)� + 	 = 1000 
 
 
14. 
��
��200� + 10	 + 80� = 20301� + 10	 + 4� = 123
5� + 5,5	 + 5� = 123,5
80� + 60	 + 70� = 1660
12� + 9	 + 10� = 243
 
 
15. � � + 	 + � = 140005� + 3	 + 2� = 56000
4� + 2	 + � = 42000 
 
 
16. �1 1 −1 12 3 a 3
1 a 3 2
� 
 
17. a) � 4 −8 123 −6 9
−2 4 −6
� 
 
b) � 2 2 −1 0 1 01 −1 2 −3 1 0
−1 1 −2 0 −1 0
0 0 1 1 1 0
� 
 
18. --- 
 
19. � � = 2	� = �
�
(� + 	)� + 	 + � = 1 
 
 
20. a) �� + � + � = 1000 (������ �� � ������)2� + � + 4� = 2000 (������ �� ������)
2� + 3� + 5� = 2500 (��������çã�) 
 ��� = !""
"# 7 5$ 2 5$ −3 5$2
5$ −3 5$ 2 5$
−4
5$ 1 5$ 1 5$ %&&
&'
 
b) � � + � + � = 10002� + � + 4� = 2100
2� + 3� + 5� = 2900
 
 
*********** 
 
NMF105 – Notas de aula 26
21. a) 1−= ABX T 
b) ( ) 11 −−= TABAX 
 
22. ☺ :: 










−−
−
−
=
−
311
211
312
1C
 
 
23. 










=
−
15
7
3
2
15
2
3
1
1A
 :: 1−B não existe. 0=B . :: 
 
















=
−
3
100
0
2
10
001
1C :: 










−
−=
−
1716
013
001
1DNMF105 – Notas de aula 27
NMF105 – ALGEBRA LINEAR 
 
Autor: Prof. Ronaldo Abrão Pimentel 
 
 
 
 
 
UNIDADE 2 – DETERMINANTES Notas de Aula 
 
 
 
22..11 DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE 
 
O determinante de uma matriz quadrada nA , indicado por nADet ou nA é um número 
associado a esta matriz, obtido mediante operações específicas com seus elementos, a saber: 
1 - Se A é de ordem 1=n , então AADet = é o único elemento de A . Ou seja, se 
[ ] 111111 aaAADetaA ===⇒= 
Exemplo: [ ] 333 =⇒=A 
2 - Se A é de ordem 2=n , então AADet = é a diferença entre o produto dos 
elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Ou seja, se 
21122211
2221
1211
2221
1211
2 .. aaaa
aa
aa
AADet
aa
aa
A −===⇒





=
 
 
Exemplo 1: ( ) 111.34.2
43
12
43
12
−=⇒−−=⇒
−
=⇒





−
= MMMM 
 
Exemplo 2: ( )basenAasenbbsenaA
ba
senbsena
A −=⇒−=⇒





= cos.cos.
coscos
 
 
 
 3 - Se é de ordem n = 3 , ou seja, 
 
⇒=⇒










=
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A 
 
332112322311312213322113312312332211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++= 
 
 
NMF105 – Notas de aula 28
Exemplo: ⇒
−−
−
=
121
112
011
M
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1.2.112.11.1.02.2.01.1.11.1.1 −−−−−−−+−−+=M
 
6−=M
 ou seja, 6−=MDet . 
 
Dispositivo prático de Sarrus: 
 
Podemos obter o 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A =
 usando o dispositivo prático de Sarrus, que consiste no 
seguinte: anotamos a matriz A , repetindo à direita a primeira e a segunda colunas, e somando 
os produtos indicados pelas setas contínuas e subtraindo os produtos indicados pelas retas 
pontilhadas, como no esquema abaixo: 
 
 
A
a a a
a a a
a a a
A
a a a
a a a
a a a
a
a
a
a
a
a
= ⇒ =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11
21
31
12
22
32
 
 
 - - - + + + 
 
OBS: Este dispositivo só se aplica a determinantes de 3a ordem 
 
Observe que o 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A =
 poderia ser calculado também da seguinte forma: 
332112322311312213322113312312332211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++= 
312213322113332112312312322311332211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −+−+−= 
( ) ( ) ( )312232211333213123123223332211 ...... aaaaaaaaaaaaaaaA −+−+−= 
( ) ( ) ( )A a a a a a a a a a a a a a a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
= − − − + −11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31
21 22
31 32
22 23
32 33
21 23
31 33
. . . . . .
1 24444 34444 1 24444 34444 1 2444 3444
 
Então, podemos dizer que: 
434214342143421
13
3231
2221
13
12
3331
2321
12
11
3332
2322
11 ...
M
aa
aa
a
M
aa
aa
a
M
aa
aa
aA +−=
 ou seja, 
 
NMF105 – Notas de aula 29
131312121111 ... MaMaMaA +−= , onde o termo 11M foi conseguido calculando o determinante 
obtido ao se eliminar a linha 1 e a coluna 1 de A , o termo 12M foi conseguido calculando o 
determinante obtido ao se eliminar a linha 1 e a coluna 2 de A , e o termo 13M foi conseguido 
calculando o determinante obtido ao se eliminar a linha 1 e a coluna 3 de A . 
 
Veja que, com este artifício, um determinante que era de 3a ordem foi calculado através de 
operações com determinantes de 2a ordem. A este processo chamaremos por enquanto de 
Rebaixamento de Ordem. 
 
Exemplo: Calcular 
( ) ⇒
−−
−+
−
−
−
=⇒
−−
−
=
21
10
.3
21
20
.2
22
21
.1
221
210
321
AA 
 
11.32.26 −=⇒−−= AA
 
 
Com isto já temos definidos determinantes para matrizes de ordem 3≤n . Para matrizes de 
ordem maior, necessitamos de alguns outros elementos que veremos a seguir: 
 
Veja que no exemplo anterior trabalhamos com os determinantes .e, 131211 MMM A estes 
determinantes daremos o nome de MENOR COMPLEMENTAR. 
 
 
 
22..22 MMEENNOORR CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARR 
 
Seja nA de ordem 2≥n e seja jia um elemento genérico de nA . Definiremos Menor 
Complementar do elemento jia , denotado por jiM , como sendo o determinante da matriz que 
se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de nA . 
Exemplo 1: Dada a matriz 










−−
−
=
221
210
321
3A , calcular 3211 e MM 
11M é o determinante que se obtém suprimindo a linha 1 e a coluna 1 de 3A : 
;4
22
21
1111 =⇒
−
= MM 
32M é o determinante que se obtém suprimindo a linha 3 e a coluna 2 de 3A : 
2
20
31
3232 =⇒
−
= MM 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 30
Exemplo 2: 












−−
−
−
=
1211
0103
1002
0011
Se 4X , calcular 34M . 
34M é o determinante que se obtém suprimindo a linha 3 e a coluna 4 de 4X 
Então 4
211
002
011
3434 −=⇒
−
= MM
 
 
 
 
22..33 CCOOFFAATTOORR oouu CCOOMMPPLLEEMMEENNTTOO AALLGGÉÉBBRRIICCOO 
 
Seja a matriz nA de ordem jian e2≥ ∈ nA . Definimos como COFATOR de jia e indicamos 
por jiC como sendo o número ( ) jijiji MC .1 +−= 
Exemplo: Se 










−−
−
=
221
210
321
3A , calcular 3222 e CC : 
( ) ( ) ( ) 132.1
21
31
.1.1 2222
4
2222
22
22 −=⇒−=⇒
−
−
−=⇒−=
+ CCCMC 
( ) ( ) 22.1
20
31
.1.1 3232
5
3232
23
32 −=⇒−=⇒
−
−=⇒−=
+ CCCMC 
 
Tendo conhecimento destes elementos podemos agora dar uma definição de determinante de 
qualquer ordem: 
 
 
 
22..44 DDEEFFIINNIIÇÇÃÃOO DDEE DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE ((GGEERRAALL)) 
 
Seja nA uma matriz quadrada de ordem n . Definimos o nADet da seguinte forma: 
 i) Se A n é de ordem n = 1, então [ ] 1111 aADetaA nn =⇒= ; 
ii) Se A n é de ordem 2≥n , seu determinante é a soma dos produtos dos elementos 
de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. (Teorema 
fundamental de Laplace). 
Método para se calcular o determinante segundo Laplace: 
 
NMF105 – Notas de aula 31
 Seja 










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
 
1) Escolhemos uma fila qualquer (linha ou coluna); 
2) Calculamos os cofatores de todos os elementos desta fila; 
3) Calculamos a soma dos produtos destes elementos por seus respectivos cofatores. 
 
Vamos escolher, por exemplo, a linha 1 e encontremos os cofatores de seus elementos: 
( ) ( ) ( )
3231
222131
13
3331
232121
12
3322
232211
11 111
aa
aa
C
aa
aa
C
aa
aa
C +++ −=−=−=
 
então 131312121111 ... CaCaCaDetA ++= 
ou seja 
3231
2221
13
3331
2321
12
3322
2322
11 ..
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aADet +−= 
A este método de cálculo de determinante chamamos de Método de Expansão por cofatores 
em termos da linha i (ou coluna j). Veja que este método nos permite calcular um 
determinante de qualquer ordem pois podemos fazer o rebaixamento da ordem dos 
determinantes a serem calculados quantas vezes forem necessárias. 
 
Exemplo: Seja 












−
−−
=
1001
0101
1220
2001
4A . Calcular 4ADet 
Como podemos expandir o ADet em termos de qualquer linha ou coluna, é 
conveniente escolhermos a linha ou coluna que tenha o maior número de zeros, 
para nos facilitar o cálculo. 
 
A coluna 2 é a mais indicada neste exemplo. Como a coluna 2 é formadapelos 
elementos 42322212 e,, aaaa , então teremos que encontrar os cofatores 
42322212 e,, CCCC : 
( ) ( )
101
011
201
1
101
011
120
1 2222
21
12 −−=−
−
−=
++ CC
 
 
NMF105 – Notas de aula 32
( ) ( )
011
120
201
1
101
120
201
1 2442
23
32
−
−−=−−=
++ CC
 
Então 42423232222212124 .... CaCaCaCaADet +++= 
Mas, no nosso exemplo, 00,2,0 42322212 ==−== aeaaa , logo 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
011
120
201
1.0
101
120
201
1.0
101
011
201
1.2
101
011
120
1.0
2423
2221
4
−
−−+−−+
−−−+−
−
−=
++
++ADet
 
 
101
011
201
200
101
011
201
.20 44 −−=⇒++−−= DetAADet 
Agora, ou calculamos o determinante de terceira ordem usando Sarrus ou então 
poderemos fazer nova expansão e trabalhar com determinante de segunda ordem, 
que é o que faremos: 
 
Tomemos novamente a coluna 2 (que é a que contem mais zeros) 
( ) ( ) ( )








−
−+−+
−
−−=
+++
01
21
.1.0
11
21
.1.1
11
01
.1.02 2322214ADet 
( ) 221.20
11
21
02 444 =⇒−−=⇒






++−= ADetADetADet
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcule 4ADet usando agora a linha 3 e confira que vai dar o mesmo resultado. 
2) Calcule 
1211
0103
1002
0011
−−
−
−
=B Resp. 6−=B 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 33
22..55 PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESS 
 
1) O determinante de uma matriz é igual ao determinante da transposta desta matriz ( )tAA = 
2) Se uma matriz tem uma fila (linha ou coluna) toda nula, seu determinante é zero. 
 
3) Se multiplicarmos toda uma fila de uma matriz por um escalar, o seu determinante fica 
multiplicado por este escalar. 
 
4) Se trocarmos a ordem de duas filas paralelas de uma matriz, o seu determinante muda de 
sinal. 
 
5) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, seu determinante é nulo. 
 
6) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, seu determinante é nulo. 
 
7) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos de sua diagonal 
principal. 
 
8) Teorema de Binet: O determinante de um produto de duas matrizes é igual ao produto de 
seus determinantes. ( )nnnn BABA .. = 
 
9) Teorema de Jacobi: Adicionando-se a uma fila de uma matriz nA uma outra fila paralela, 
previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz nB tal que 
.DetBDetA = 
 
Exemplo: 2
212
624
221
=
−
−
−
 
 
Se substituirmos a linha 2 pela soma dela com a linha 1, prèviamente multiplicada 
por -4, encontraremos uma outra matriz cujo determinante será também igual a 2 . 
Veja: 
 
2
212
260
221
4
212
624
221
122 =
−
−
−
⇒−=⇒
−
−
−
LLL
 e mais: 
 
2
250
260
221
2
212
260
221
133 =
−
−
−
⇒+=⇒
−
−
−
LLL 
 
Obs: Esta propriedade facilita muito o cálculo de determinantes pelo Teorema 
Fundamental de Laplace. 
 
10) Se uma matriz quadrada A tem uma fila que é Combinação Linear de outras filas 
paralelas, então o 0=ADet . 
 
NMF105 – Notas de aula 34
Exemplo: 0
645
914
132
=⇒










−= DetAA
 
pois a coluna 3 é igual à coluna 1 multiplicada por 2 mais a coluna 2 multiplicada 
por -1. Ou seja, 
 
( ) 213 .1.2 CCC −+= 
 
 
 
 
22..66 CCÁÁLLCCUULLOO DDEE DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESS ((RREEGGRRAA DDEE CCHHIIÓÓ)) 
 
 
Utilizando os teoremas de Laplace, Jacobi e outras propriedades. 
 
1o passo: Escolhemos uma coluna qualquer do determinante, preferivelmente uma que tenha 
o maior número de zeros e, se possível, que contenha o número 1. (No ex. abaixo, 
escolhemos a coluna 2). 
 
2o passo: Utilizando a linha que contém este número 1(no ex., a linha 3) e, aplicando o 
teorema de Jacobi, fazemos operações com as outras linhas de modo a zerar todos os 
elementos da coluna escolhida (no ex., a coluna 2), exceto o elemento da linha utilizada (no 
ex., a linha 3). 
 
3o passo: Aplicamos o teorema de Laplace, para rebaixar a ordem do determinante. 
Executamos estes processos até conseguirmos um determinante de 3a ordem e então o 
resolvemos pelo método de Sarrus, ou então fazemos o rebaixamento até conseguirmos um 
determinante de 2a ordem e o calculamos. 
 
 
Exemplo 1: 
 
( ) =−−−=
−
−−
=
+−=
+=
−
−−
+
232
642
141
.1.1
2302
2213
6402
1401
3
2302
2213
0237
3212
23232
131
lLL
LLL
 
 
 
( ) ( ) 40400.1
05
84
.1.1
050
840
141
2
2
232
642
141
11
313
212 −=+−=
−
−−=
−
−=
+−=
+=−−−= +
LLL
LLL
 
 
 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 35
 
Fazer: 
 
4 1 2 0
3 1 0 2
5 3 2 2
1 0 2 1
= Resp. = 30 
 
 
Obs: Se, por acaso, não houver nenhum zero nem o número 1, não tem importância, 
conseguimos este número 1 (neste caso é aconselhável que seja no elemento a11) através de 
Jacobi ou de qualquer outra das propriedades dos determinantes. 
 
 
Exemplo 2: 
 
=
−
=
+=
+=
+=
−−−
−−
−−−
=
+−=
−−
−
−−
1250
9380
25110
3421
2
2
4231
3542
4372
3421
.1
4232
3542
4375
3423
414
313
212
121
LLL
LLL
LLL
CCC
 
 
( ) ( ) =
−−
−
−=
−−
−=
+−=
+−=
−
=
+−=
−
−=
33
57
.1.1
330
570
251
1
2
121
932
2512
125
938
2511
.11 2
313
212
121
2
LLL
LLL
CCC
 
( ) 361521
33
57
=+=
−−
−
= 
 
 
 
REGRA DE CHIÓ SIMPLIFICADA 
 
Usando operações elementares, consiga o número 1 na posição a11 
1 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
21 12 22 21 13 23 21 1 2
31 12 32 31 13 33 31 1 3
1 12 2 1 13 3 1
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
m
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a
m
m
m
m m m mm
m m
m m
m m m m m
....
....
....
....
. . .... .
. . .... .
. . .... .
M M M M M
1 244444 344444
M M M M
matriz de ordem
=
− + − + − +
− + − + − +
− + − + − 1
1
m mma
m
+
−matriz de ordem
1 2444444444444 3444444444444
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 36
 
JUSTIFICATIVA: 
 
1 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
2 21 1 2
3 31 1 3
1 1
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
L a L L
L a L L
L a L L
m
m
m
m
m m m mm m m m
....
....
....
....
.
.
.
M M M M M M
1 244444444444 344444444444
= − +
= − +
= − +
⇒
matriz de ordem
 
 
 
 
⇒
− + − + − +
− + − + − +
− + − + − +
⇒
1
0
0
0
12 13 1
21 12 22 21 13 23 21 1 2
31 12 32 31 13 33 31 1 3
1 12 2 1 13 3 1 1
a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
m
m
m m
m m
m m m m m m mm
... .
. . ... . .
. . ... . .
. . ... . .
.
M M M M M
1 244444444444444 344444444444444
matriz de ordem
 
 
 
 
⇒
− + − + − +
− + − + − +
− + − + − +
−
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
m
m m
m m
m m m m m m mm
21 12 22 21 13 23 21 1 2
31 12 32 31 13 33 31 1 3
1 12 2 1 13 3 1 1
1
. . .... .
. . .... .
. . .... .
M M M M
1 24444444444444 34444444444444
matriz de ordem
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Ex
L L
L L
:
. . . .
. . . .
. . . .
. .
−
−
− −
−
− − −
=
=
= −
−
−
− −
−
− − −
= −
− − − + − − + − − + − − +
− − − + − − + − − + − − + −
− − + − − + − + − +
− − + −− + −
2 1 2 3 1
1 2 0 2 3
1 0 1 2 2
2 2 3 0 0
0 3 2 0 4
1 2 0 2 3
2 1 2 3 1
1 0 1 2 2
2 2 3 0 0
0 3 2 0 4
2 2 1 2 0 2 2 2 3 2 3 1
1 2 0 1 0 1 1 2 2 1 3 2
2 2 2 20 3 22 0 23 0
0 2 3 00
1 2
2 1
( ) ( )2 02 0 03 4− + − + −. .
 
= 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 37
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= −
−
−
− −
− − −
= − +
= −
−
−
− −
− − −
= −
− − + − − − + − − +
− + − − + − − + −
− − + − − − − + − − + −
3 2 7 7
2 1 4 1
2 3 4 6
3 2 0 4
2 1 0 1 5
2 1 4 1
2 3 4 6
3 2 0 4
2 0 1 2 1 4 2 5 1
20 3 2 1 4 25 6
3 0 2 3 1 0 3 5 4
1 2 1L L L
. . .
. . .
. . .
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )= − − −
− −
= −
− + − − + −
− − + − − − +
= −
− −
= − − + =
1 2 11
3 2 16
2 3 11
3 2 2 311 16
2 2 3 2 11 11
8 49
1 33
264 49 215
. .
. .
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 38
LLIISSTTAA DDEE EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS 22 
 
 
Determinantes 
 
1. Calcule os determinantes das matrizes abaixo: 
 










−−=










=





=







 −−
=
152
201
231
 D
110
010
011
 
511
713
 
2
12
23
CBA
 
 
 
2. Calcule os determinantes das matrizes abaixo, utilizando o teorema de Laplace. 
 
















−
=












=
d
c
b
a
A
0000
2000
3200
1310
54321
 B 
3301-
0400
2-1-05
1243
 
 
 
3. Determine x tal que 0
113
122
1
=
+x
x
xx
 
 
 
4. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. 
Sabendo que o traço vale 9 e o determinante 15, calcule os elementos x e y da matriz: 
 










y
zx
00
0
321
 
 
 
5. Sejam A, B e C, matrizes reais de ordem 3, satisfazendo a seguintes relações: AB=C-1, 
B=2A. Se o determinante da matriz C vale 32, qual é o módulo do valor do determinante da 
matriz A? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 39
RESPOSTAS 
 
1. 
2
5
=A :: 12−=B :: 1=C :: 9−=D 
 
2. 208−=A :: abcdB = 
 
3. 
2
1
=x 
 
4. 53 == yx ou vice-versa 
 
5. =Adet 1/16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 40
NMF105 – ALGEBRA LINEAR 
 
Prof. Emerson Costa (responsável pela disciplina) 
Prof. Fabio Lacerda (flacerda@fumec.br) 
 
 
 
UNIDADE 3 – ESPAÇOS VETORIAIS Notas de Aula 
 
 
Trata-se de uma ferramenta poderosa para estender nossa visualização geométrica a uma 
larga classe de importantes problemas matemáticos, nos quais normalmente não poderíamos 
contar com nossa intuição geométrica. Assim, parte-se do princípio que podemos visualizar os 
vetores �� e �� como flechas, o que nos permite desenhar ou formar figuras mentais que nos 
ajudam a resolver problemas. Como os axiomas que definem os nossos novos tipos de 
vetores serão baseados nas propriedades dos vetores de �� e ��, os novos vetores terão 
muitas propriedades familiares. Consequentemente, quando quisermos resolver um problema 
envolvendo nossos novos tipos de vetores, como matrizes ou funções, poderemos utilizar como 
ponto de apoio uma visualização do problema correspondente em �� ou �� (Anton, 2001). 
 
33..11 EESSPPAAÇÇOOSS VVEETTOORRIIAAIISS RREEAAIISS 
 
“Visa estender o conceito de vetor extraindo as propriedades mais importantes dos vetores 
usuais e transformando-as em axiomas. Assim, quando um conjunto de objetos satisfizer estes 
axiomas, estes objetos automaticamente têm as mais importantes propriedades dos vetores 
usuais, o que torna razoável considerar estes novos objetos como novos tipos de vetores.” 
(Anton, 2001). 
 
Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e 
multiplicação por escalar, isto é: 
 
∀ �, � ∈ �, � + � ∈ � 
∀ � ∈ � e ∀ � ∈ �, 	� ∈ � 
 
Onde � e � são elementos do conjunto V e podem ser do tipo: 
 
• Vetores do �� 
• Matrizes 
� � � 
• Polinômios �� (polinômios de graus ≤ n) 
• Números complexos (espaço vetorial complexo) 
 
O conjunto V é chamado espaço vetorial se forem verificados os seguintes axiomas: 
 
A) Em relação à adição 
 
∀ �, �,� ∈ �, tem-se 
 
�) �� + �� + � = � + (� + �) associativa da adição 
�) � + � = � + � cumulativa 
�) ∃0 ∈ �, ∀ � ∈ �, � + � = � + � = � elemento neutro 
�) ∀ � ∈ �, ∃�−�� ∈ �, � + �−�� = � elemento simétrico 
 
NMF105 – Notas de aula 41
 
M) Em relação à multiplicação por escalar 
 
∀ �, �,� ∈ � e ∀ �,� ∈ �, tem-se 
 
��) (	�)� = 	(��) 
��) �	 + ��� = 	� + �� 
��) 	(� + �) = 	� + 	� 
��) �� = � 
 
Propriedades dos Espaços Vetoriais 
 
a) Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição); 
b) Cada vetor � ∈ � admite apenas um simétrico �−�� ∈ �; 
c) Para quaisquer �, �,� ∈ �, se � + � = � + �, então � = �; 
d) Qualquer que seja � ∈ �, tem-se: −�−�� = �, isto é, o oposto de −� é �; 
e) Quaisquer que sejam �, � ∈ �, existe um e somente um x, tal que � + � = �; 
f) Qualquer que seja � ∈ �, 0� = 0; 
g) Qualquer que seja � ∈ �, �0 = 0; 
h) �� = 0, implica � = 0 ou � = 0; 
i) Qualquer que seja � ∈ �, �−1�� = −�; 
j) Quaisquer que sejam � ∈ �, � ∈ �, �−��� = ��−�� = −����; 
 
 
Exemplo 1: O conjunto � = �� = ���,�� / �,� ∈ �	 é um espaço vetorial com as operações de 
adição e multiplicação por escalar assim definidas: 
 
���,��� + ���,��� = (�� + ��,�� + ��)����,��� = ����,���� � 
 
Essas operações são denominadas operações usuais. Para verificar os oito 
axiomas de espaço vetorial (condição necessária), tomemos os vetores genéricos 
(sempre) � = ���,���, 
 = ���,��� � � = ���,��� 
 ��) �� + 
� + � = ����,��� + ���,���� + ���,��� 
= ��� + ��,�� + ��� + ���,��� 
 = ���� + ��) + ��, (�� + ��� + ��� 
 = ��� + ��� + ��),�� + (�� + ���� 
 = (��,��) + ��� + ��,�� + ��� 
 = (��,��) + ���� + ���, ��� + ���� 
 = � + �
 + �� 
 ��) � + 
 = ���,��� + ���,��� 
 = ��� + ��,�� + ��� 
 = ��� + ��,�� + ��� 
 = ���,��� + ���,��� 
 = 
 + � 
 
 
NMF105 – Notas de aula 42
��) ∃0 = �0,0� ∈ ��, ∀ � ∈ ��,� + 0 = ���,��� + �0,0� 
= ��� + 0,�� + 0� 
= ���,��� 
= � 
 ��) ∀ � = ���,��� ∈ ��, ∃�−�� = �−��, −��� ∈ ��,� + �−�� = ���,��� + �−��, −��� 
 = ��� − ��,�� − ��� 
 = �0,0� 
 = 0 
 
Em relação à multiplicação, ∀ �,� ∈ �, tem-se: 
 ��) ����� = �������,��� 
 = �������, ������� 
 = �������,������� 
 = �����,���� 
 = ������,���� 
 = ����� 
 ��) �� + ��� = �� + �����,��� 
 = ��� + ����, �� + ����� 
 = ���� + ���,��� + ���� 
 = ����,���� + ����,���� 
 = ����,��� + ����,��� 
 = �� + �� ��) ��� + 
� = �����,��� + ���,���� 
 = ���� + ��,�� + ��� 
 = ����� + ���,���� + ���� 
 = ���� + ���,��� + ���� 
 = ����,���� + ����,���� 
 = ����,��� + ����,��� 
 = �� + �
 
 ��) 1� = 1���,��� 
 = �1��, 1��� 
 = ���,��� 
 = � 
 
 
 
 
Exemplo 2: O conjunto � = �� = ���,�� / �,� ∈ �	 é um espaço vetorial com as operações de 
adição e multiplicação por escalar assim definidas: 
 
���,��� + ���,��� = (�� + ��,�� + ��)����,��� = ����,��� ���� ∈ � � 
 
Como a adição aqui definida é uma operação usual, todos os axiomas (como visto) 
serão verificados (verdadeiros). Logo, não devem se verificar alguns (ou algum) dos 
axiomas da multiplicação. 
 
Sejam � = ���,���, 
 = ���,��� vetores de V e �,� ∈ � 
 
 
NMF105 – Notas de aula 43
��) ����� = �������,��� 
 = �������,��� 
 = �������,��� 
 = �����,��� 
 = ������,���� 
 = ����� 
 ��) �� + ��� = �� + �� 
 = ����,��� + ����,��� 
 = ����,��� + ����,��� 
 = ���� + ���,�� + ��� 
 = ��� + ����, 2��� 
 ≠ �� + �� 
 
Logo, não é espaço vetorial. 
 
 
 
 
 
 
33..22 SSUUBBEESSPPAAÇÇOOSS VVEETTOORRIIAAIISS RREEAAIISS 
 
“É possível para um espaço vetorial estar contido em outro espaço vetorial.” (Anton, 2001). 
 
Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O subconjunto S é um 
subespaço vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condições: 
 
I. ∀ �, � ∈ � � � + � ∈ � (adição) 
II. ∀ � ∈ �, ∀� ∈ � � �� ∈ � (multiplicação por escalar) 
 
Todo espaço � ≠ �0	 admite, pelo menos, dois subespaços: 
 
- o conjunto {0}, chamado subespaço zero ou subespaço nulo; 
- e o próprio espaço vetorial V. 
 
Esses dois são os subespaços triviais de V. Os demais são denominados subespaços próprios 
de V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 44
Exemplo 1: Identificar quais são os subespaços triviais e próprios de ��. 
 
Solução: 
 
Subespaços triviais do ��: ��0,0�� e ��; 
Subespaços próprios do ��: retas que passam pela origem do sistema de 
referência. 
 
 
W é um subespaço vetorial (subespaço próprio) do �� 
Note que � � 
 ∈ � e: � + 
 ∈ � �� ∈ � 
 
 
 
Exemplo 2: Identificar quais são os subespaços triviais e próprios de ��. 
 
Solução: 
 
Subespaços triviais do ��: ��0,0,0�� e ��; 
Subespaços próprios do ��: retas e planos que passam pela origem do sistema 
de referência. 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 45
 
Exemplo 3: Verificar se W é subespaço vetorial de �	 sabendo que 
 � = ��0, ��, ��, �
, �	�; �� ∈ ��. Ou seja, W é o conjunto dos vetores de �	, 
cuja primeira coordenada é nula. 
 
Solução: 
 
Verificação das condições (i) e (ii) 
 
i) � = �0, ��, ��, �
, �	� e v= �0, ��, ��, �
, �	� ∈ � 
Então � + � = �0, �� + ��, �� + ��, �
 + �
, �	 + �	�, que ainda pertence a 
W, pois tem a primeira coordenada nula. 
 
ii) �� = �0, ���, ���, ��
, ��	� ∈ �, pois a primeira coordenada é nula para 
todo � ∈ �. 
 
Conclusão: W é um subespaço vetorial de �	. 
 
 
 
Exemplo 4: Se � = ��, verificar se W é um subespaço vetorial de �, onde 
 � = ���, �� ∈ �� / � = 4 − 2��. 
 
Solução: 
 
Verificação das condições (i) e (ii) 
 
i) Se � = �1,2� e v= �3, −2�, então � + � = �4,0� � 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: W não é um subespaço vetorial de �. 
 
 
NMF105 – Notas de aula 46
 
Exemplo 5: Se � = 
� � �, verificar se W é um subespaço vetorial de V, sendo W o 
subconjunto das matrizes triangulares superiores. 
 
Solução: 
 
Conclusão: W é um subespaço vetorial de �, pois a soma de matrizes triangulares 
superiores ainda é uma matriz triangular superior, assim como o 
produto de uma matriz triangular superior por um escalar. 
 
 
 
 
 
33..33 CCOOMMBBIINNAAÇÇÃÃOO LLIINNEEAARR 
 
Definição: Um vetor � é uma Combinação Linear dos vetores ��,��, ⋯ ,�
 se � pode ser 
escrito na forma 
� = ���� + ���� +⋯+ ���� , 
onde ��, ��, ⋯ , �
 são escalares. 
 
 
Exemplo 1: Sendo o espaço vetorial � dos polinômios de grau ≤ 2, expressar o polinômio 
 = 7�� + 11� − 26 como Combinação Linear dos polinômios: 
� = 5�� − 3� + 2 e 
� = −2�� + 5� − 8 
 
Solução: 
 
 = �
� + �
� 
7�� + 11� − 26 = ��5�� − 3� + 2� + ��−2�� + 5� − 8� 
= �5��� − 3�� + 2�� + �−2��� + 5�� − 8�� 
= 5��� − 3�� + 2� − 2��� + 5�� − 8� 
= �5� − 2���� + �−3� + 5��� + �2� − 8�� 
 
comparando os polinômios termo a termo, tem-se: 
 
 5� − 2� = 7−3� + 5� = 11
2� − 8� = −26 � � � = 3� = 4 
 
Conclusão: ! = "!� + #!� 
 
 
Observação: 
Para se encontrar os valores dos escalares a e b, também pode-se resolver as 
equações usando o método de Gauss (ver 1.7.2), ou escalonamento, através da 
matriz ampliada do sistema. Esta alternativa mostra-se mais indicada para 
sistemas mais complexos. Assim: 
 
 5� − 2� = 7−3� + 5� = 11
2� − 8� = −26 � � $
5 −2 7
−3 5 11
2 −8 −26
% 
 
NMF105 – Notas de aula 47
$ 5 −2 7−3 5 11
2 −8 −26
% ⇢ &� = �
�
&� ⇢ $ 5 −2 7−3 5 11
1 −4 −13
% ⇢ &� ↔ &� ⇢ 
 
$ 1 −4 −13−3 5 11
5 −2 7
% ⇢ &� = &� + 3&� ⇢
 ⇢ &� = &� − 5&� ⇢ $1 −4 −130 −7 −280 18 72 % 
 ⇢ &� = − 1
7
&� ⇢
 ⇢ &� = 1
18
&� ⇢ 
 
$1 −4 −130 1 4
0 1 4
% ⇢ &� = &� + 4&� ⇢ $1 0 30 1 4
0 1 4
% = � = 3� = 4� = 4 � � � = 3� = 4 
 
� ! = "!� + #!� 
 
 
 
Exemplo 2: Considere os vetores � = �1,2, −1� e 
 = �6,4,2� em ��. Verifique se '� = �9,2,7� e '� = �4, −1,8� são Combinações Lineares de � e 
. 
 
Solução: 
 '� = �� + �
 �9,2,7� = ��1,2, −1� + ��6,4,2� 
= ��, 2�, −�� + �6�, 4�, 2�� 
= �� + 6�, 2� + 4�, −� + 2�� 
 
comparando os vetores termo a termo, tem-se: 
 
 � + 6� = 92� + 4� = 2
−� + 2� = 7 � � $
1 6 9
2 4 2
−1 2 7
% 
 
$ 1 6 92 4 2
−1 2 7
% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢
 ⇢ &� = &� + &� ⇢ $1 6 90 −8 −16
0 8 16
% ⇢ &� = − ��&� ⇢
 ⇢ &� = �
�
&� ⇢ 
 
$1 6 90 1 2
0 1 2
% ⇢ &� = &� − 6&� ⇢ $1 0 −30 1 2
0 1 2
% = � = −3� = 2� = 2 � � � = −3� = 2 
 
Conclusão 1: '� = −"� + (
 ('� é uma Combinação Linear de � e 
) 
 
 
 '� = �� + �
 �4, −1,8� = ��1,2, −1� + ��6,4,2� 
 = ��, 2�, −�� + �6�, 4�, 2�� 
 = �� + 6�, 2� + 4�, −� + 2�� 
 
comparando os vetores termo a termo, tem-se: 
 
 � + 6� = 42� + 4� = −1
−� + 2� = 8 � � $
1 6 4
2 4 −1
−1 2 8
% 
 
NMF105 – Notas de aula 48
 
$ 1 6 42 4 −1
−1 2 8
% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢
 ⇢ &� = &� + &� ⇢ $1 6 90 −8 −9
0 8 12
% ⇢ &� = − �� &� ⇢
 ⇢ &� = �
�
&� ⇢ 
 
)1 6 90 1 9 8*
0 1 12 8* + ⇢ &� = &� − &� ⇢ )
1 6 9
0 1 9 8*
0 0 3 8* + � 0 = 3 8* ‼! � Inconsistente 
 
Conclusão2: Como não existe solução, '� não é uma Combinação Linear de � e 
. 
 
 
 
Exemplo 3: Considere os vetores �� = �1,2,1�, �� = �1,0,2� e �� = �1,1,0� em ��. Encontre a 
Combinação Linear de ��, �� e �� que resulte no vetor ' = �2,1,5�. 
 
Solução: 
 ' = ��� + ��� + ,�� �2,1,5� = ��1,2,1� + ��1,0,2� + ��1,1,0� �2,1,5� = ��, 2�,�� + ��, 0,2�� + ��, �, 0� �2,1,5� = �� + � + �, 2� + �,� + 2�� 
 
comparando os vetores termo a termo, tem-se: 
 
 � + � + � = 22� + � = 1� + 2� = 5 � � $
1 1 1 2
2 0 1 1
1 2 0 5
% 
 
$1 1 1 22 0 1 1
1 2 0 5
% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢
 ⇢ &� = &� − &� ⇢ $1 1 1 20 −2 −1 −3
0 1 −1 3
% ⇢ &� ↔ &� ⇢ 
 
$1 1 1 20 1 −1 3
0 −2 −1 −3
% ⇢ &� = &� − &� ⇢
 ⇢ &� = &� + 2&� ⇢ $1 0 2 −10 1 −1 3
0 0 −3 3
% ⇢ &� = − �
�
&� ⇢ 
 
$1 0 2 −10 1 −1 3
0 0 1 −1
% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢
 ⇢ &� = &� + &� ⇢ $1 0 0 10 1 0 2
0 0 1 −1
% = � = 1� = 2
 � = −1 � 
 
Conclusão: ' = �� + (�� − ��. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 49
Exemplo 4: Escreva a matriz - = .3 1
1 −1
/ como Combinação Linear das matrizes 
� = .1 1
1 0
/ :: 0 = .0 0
1 1
/ :: 1 = .0 2
0 −1
/ 
 
Solução: 
 - = 2� + 30 + 41 .3 1
1 −1
/ = � .1 1
1 0/ + � .0 0
1 1
/ + 5 .0 2
0 −1
/ 
.3 1
1 −1
/ = .� �� 0/ + 60 0� �7 + .0 250 −5/ .3 1
1 −1
/ = 6 � � + 25� + � � − 5 7 
 
comparando os vetores termo a termo, tem-se: 
 
8 � = 3� + 25 = 1� + � = 1� − 5 = −1 � � )
1 0 0 3
1 0 2 1
1 1 0 1
0 1 −1 −1
+ 
 
)1 0 0 31 0 2 1
1 1 0 1
0 1 −1 −1
+ ⇢ &� = &� − &� ⇢
 ⇢ &� = &� − &� ⇢ )
1 0 0 3
0 0 2 −2
0 1 0 −2
0 1 −1 −1
+ ⇢ &� = �� &� ⇢
 ⇢ &� = −&� + &� ⇢ 
 
)1 0 0 30 0 1 −1
0 1 0 −2
0 0 1 −1
+ ⇢ &� ↔ &� ⇢ )1 0 0 30 1 0 −20 0 1 −1
0 0 1 −1
+ = � = 3� = −2
 5 = −1 � 
 
Conclusão: - = 3� − 20 − 1 
 
 
Exemplo 5: Escrever o vetor 0 ∈ �� como Combinação Linear dos vetores: 
a) 
� = �1,3� e 
� = �2,6� 
b) 
� = �1,3� e 
� = �2,5� 
 
Solução: 
 
a) �0,0� = ��1,3� + ��2,6� 
= �1�, 3�� + �2�, 6�� 
= �1� + 2�, 3� + 6�� 
 
comparando os vetores termo a termo, tem-se: 
 9 � + 2� = 0
3� + 6� = 0 � � .1 2 03 6 0/ 
 .1 2 0
3 6 0
/ ⇢ &� = &� − 3&� ⇢ .1 2 00 0 0/ = �� + 2� = 0 � 
 
Conclusão: �
� + �
� = 0 ∀� = 2� 
 
NMF105 – Notas de aula 50
 
b) �0,0� = ��1,3� + ��2,5� 
= �1�, 3�� + �2�, 5�� 
= �1� + 2�, 3� + 5�� 
 
comparando os vetores termo a termo, tem-se: 
 9 � + 2� = 0
3� + 5� = 0 � � .1 2 03 5 0/ 
 .1 2 0
3 5 0
/ ⇢ &� = &� − 3&� ⇢ .1 2 00 −1 0/ ⇢ &� = &� + 2&� ⇢ ⇢ &� = −&� ⇢ 
 .1 0 0
0 1 0
/ = 9� = 0� = 0 � 
 
Conclusão: 0
� + 0
� = 0 
 
 
 
Exemplo 6: Expressar o vetor � = �−1,4, −4,6� ∈ �� como Combinação Linear dos vetores 
� = �3, −3,1,0�, 
� = �0,1, −1,2� e 
� = �1, −1,0,0�. 
 
Solução: 
 � = �
� + �
� + ,
� �−1,4, −4,6� = ��3, −3,1,0� + ��0,1, −1,2� + ��1, −1,0,0� 
 = ��3, −3,1,0� + ��0,1, −1,2� + ��1, −1,0,0� 
= �3�, −3�,�, 0� + �0,�, −�, 2�� + ��, −�, 0,0� 
= �3� + �, −3� + � − �,� − �, 2�� 
 
comparando os vetores termo a termo, tem-se: 
 
8 3� + � = −1−3� + � − � = 4� − � = −4
2� = 6 � � )
3 0 1 −1
−3 1 −1 4
1 −1 0 −4
0 2 0 6
+ 
 
) 3 0 1 −1−3 1 −1 4
1 −1 0 −4
0 2 0 6
+ ⇢ &� ↔ &� ⇢ ) 1 −1 0 −4−3 1 −1 43 0 1 −1
0 2 0 6
+ ⇢ &� = &� + 3&� ⇢ ⇢ &� = &� − 3&� ⇢
⇢ &� = �
�
&� ⇢ 
 
)1 −1 0 −40 −2 −1 −8
0 3 1 11
0 1 0 3
+ ⇢ &� = &� + &� ⇢ ⇢ &� = &� + 2&� ⇢
⇢ &� = &� − 3&� ⇢ )
1 0 0 −1
0 0 −1 −2
0 0 1 2
0 1 0 3
+ ⇢ &� = −&� ⇢
 ⇢ &� ↔ &� ⇢ 
 
)1 0 0 −10 1 0 3
0 0 1 2
0 0 1 2
+ = � = −1� = 3� = 2 � 
 
Conclusão: -1� = −
� + 3
� + 2
� 
 
 
NMF105 – Notas de aula 51
 
33..44 EESSPPAAÇÇOOSS GGEERRAADDOOSS 
 
Se 
�,
�, ⋯ ,
� são vetores em um espaço vetorial �, então: 
(a) O conjunto � de todas as combinações lineares de 
�,
�, ⋯ ,
� é um subespaço de �. 
(b) � é o menor subespaço de � que contém 
�,
�, ⋯ ,
�, no seguinte sentido: qualquer 
subespaço de � que contém 
�,
�, ⋯ ,
� também contém �. 
 
Definição: Se � = ���, ��, ⋯ , �
� é um conjunto de vetores de um espaço vetorial �, então o 
subespaço � de � que consiste de todas as combinações lineares dos vetores em : é chamado de espaço gerado por ��, ��, ⋯ , �
 e nós dizemos que os vetores 
��, ��, ⋯ , �
 geram �. Para indicar que � é o espaço gerado pelos vetores do 
conjunto � = ���, ��, ⋯ , �
�, nós escrevemos 
� = � !��� ou � = � !���, ��, ⋯ , �
� 
 
 
 
Exemplo 1: Verificar se o conjunto ��2,1,1�, �−1,0,2�, �1,2,1�	 gera o espaço ��. 
 
Solução: 
 
Para isso deve-se provar que todo vetor ��,�, 5� de �� pode ser escrito na forma ��2,1,1� + ��−1,0,2� + ��1,2,1�. Assim, 
 ��,�, 5� = ��2,1,1� + ��−1,0,2� + ��1,2,1� 
 = �2�, 1�, 1�� + �−1�, 0�, 2�� + �1�, 2�, 1�� 
 = �2� − 1� + 1�, 1� + 0� + 2�, 1� + 2� + 1�� 
 
Comparando os vetores termo a termo, tem-se, 
 
 2� − 1� + 1� = � 1� + 0� + 2� = �
1� + 2� + 1� = 5 � �� $
2 −1 1
1 0 2
1 2 1
% . ;���< = ;
��5< 
 
Para que o sistema tenha solução única a primeira matriz (dos coeficientes) deve 
ser inversível, isto é, seu determinante deve ser diferente de zero. Calculando, 
=2 −1 11 0 2
1 2 1
= = −7 
Como esse determinante é diferente de zero, o sistema possui solução única. Ou 
seja, existem valores de �,� e � que satisfazem a igualdade ��,�, 5� = ��2,1,1� +��−1,0,2� + ��1,2,1�. 
 
Conclusão: O sistema possui solução única porque o determinante da matriz dos 
coeficientes é diferente de zero. Logo, todos os vetores de �� 
podem ser escritos como combinação linear dos vetores dados. 
 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 52
 
Exemplo 2: Verificar se o conjunto ��2,1,3�, �3,1,2�, �5,2,5�	 gera o espaço ��. 
 
Solução: 
 
Para isso deve-se provar que todo vetor ��,�, 5� de �� pode ser escrito na forma ��2,1,3� + ��3,1,2� + ��5,2,5�. Assim, 
 ��,�, 5� = ��2,1,3� + ��3,1,2� + ��5,2,5� 
 = �2�, 1�, 3�� + �3�, 1�, 2�� + �5�, 2�, 5�� 
 = �2� + 3� + 5�, 1� + 1� + 2�, 3� + 2� + 5�� 
 
Comparando os vetores termo a termo, tem-se, 
 
 2� + 3� + 5� = � 1� + 1� + 2� = �
3� + 2� + 5� = 5 � �� $
2 3 5
1 1 2
3 2 5
% . ;���< = ;
��5< 
 
Calculando o determinante da matriz de coeficientes, tem-se 
=2 3 51 1 2
3 2 5
= = 0 
Como este determinante é zero, o conjunto não gera ��. Neste caso, o conjunto 
irá gerar um subconjunto de ��. Para determinar tal subconjunto, pode-se utilizar 
escalonamento da matriz ampliada do sistema. Assim, 
 
$2 3 5 �1 1 2 �
3 2 5 5% ⇢ &� ↔ &� ⇢ $
1 1 2 �
2 3 5 �
3 2 5 5% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢ ⇢ &� = &� − 3&� ⇢ 
 
$1 1 2 �0 1 1 � − 2�
0 −1 −1 5 − 3�% ⇢ &� = &� + &� ⇢ $
1 1 2 �
0 1 1 � − 2�
0 0 0 � − 5� + 5% 
 
Para que o sistema não seja inconsistente, é necessário que � − 5� + 5 = 0. 
 
Conclusão: O sistema só terá validade para vetores ��,�, 5� que satisfaçam a 
relação � − 5� + 5 = 0. Ou seja, ���, �, 5� ∈ �� / � − 5� + 5 = 0	. 
 
 
 
Exemplo 3: Mostrar que 
� = �1,1,1�, 
� = �0,1,1� e 
� = �0,0,1� geram o ��. 
 
Solução: 
 ��,�, 5� = �
� + �
� + ,
� ��,�, 5� = ��1,1,1� + ��0,1,1� + ��0,0,1� 
= ��,�,�� + �0,�,�� + �0,0, �� 
= ��,� + �,� + � + �� 
 
Comparando os vetores termo a termo, tem-se, 
 
 
NMF105 – Notas de aula 53
> � = �� + � = �� + � + � = 5� � $
1 0 0 �
1 1 0 �
1 1 1 "
% 
 
$1 0 0 �1 1 0 �
1 1 1 "
% ⇢ &� = &� − &� ⇢
 ⇢ &� = &� − &� ⇢ $1 0 0 �0 1 0 � − �0 0 1 " − �% = 
� = �� = � − �� = 5 − � � 
 
Conclusão: ��,�, 5� = 2
� + �3 − 2�
� + �4 − 3�
� 
 
 
 
Exemplo 4: Seja o Espaço Vetorial ��	�. Determine os subespaços gerados por: 
� = .−1 00 1/, 
� = .1 −10 0 / e 
� = .0 11 0/ 
 
Solução: 
 ��	� = .� �5 ?/ = �
� + �
� + ,
� 
.� �5 ?/ = � .−1 00 1/ + � .1 −10 0 / + � .0 11 0/ 
= .−� 0
0 �/ + .� −�0 0 / + .0 �� 0/ 
= .−� + � −� + �� � / 
 
Comparando os vetores termo a termo, tem-se, 
 
8−� + � = �−� + � = �� = 5
# = $
�
 � )−1 1 0 �0 −1 1 �
0 0 1 "
1 0 0 $
+ 
 
)−1 1 0 �0 −1 1 �
0 0 1 "
1 0 0 $
+ ⇢ &� ↔ &� ⇢ ) 1 0 0 ?0 −1 1 �0 0 1 "
−1 1 0 �
+ ⇢ &� = −&� + &� ⇢
 ⇢ &� = &� + &� ⇢ 
 
)1 0 0 ?0 1 0 5 − �
0 0 1 "
0 1 0 � + $
+ ⇢ &� = &� − &� ⇢ )1 0 0 ?0 1 0 5 − �0 0 1 "
0 0 0 � + � − " + $
+ 
 
Conclusão: : = 9.� �5 ?/ / � + � − " + $ = 0@ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NMF105 – Notas de aula 54
 
Exemplo 5: Determinar o subespaço de � gerado pelos vetores A� = �� + 2�� − � + 3 e A� = −2�� − �� + 3� + 2 
 
Solução: 
 A = ��� + ��� + �� + B = CA� + DA� ��� + ��� + �� + B = ���� + 2�� − � + 3� + ��−2�� − �� + 3� + 2� 
 = ��� + 2��� − �� + 3� − 2��� − ��� + 3�� + 2� 
 = ��� − 2��� + 2��� − ��� − �� + 3�� + 3� + 2� 
 = �� − 2���� + �2� − ���� + �−� + 3��� + �3� +