cap3aExercicios_sol

Prévia do material em texto

Soluções da lista de exercícios 3A: Movimento em 2D
Física I - Mecânica Classica
Abril 2015
1. Um projéctil é lançado horizontalmente a partir de uma certa altura. O alcance horizontal do voo é
igual a altura inicial. O que ângulo θ a velocidade de pouso faz com a horizontal?
(a) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é apenas a altura inicial.
(b) O problema é impossível de resolver; a informação em falta é o valor de apenas g.
(c) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é apenas a velocidade inicial.
(d) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é a altura inicial e a velocidade
inicial.
(e) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é a altura inicial e o valor de g.
(f) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é a velocidade inicial e o valor de g.
(g) O ângulo tem valor θ = .
Solução (5 pontos): A figura mostra a escolha do sistema de coordenadas e a trajetória da projétil.
Para calcular o ângulo que o vetor velocidade faz com a horizontal, precisamos calcular as compo-
nentes x e y da velocidade final!
Condições iniciais (posição e volocidade no tempo t0 = 0):
x0 = 0 , y0 = h , v0x = v0 , v0y = 0 (1)
Posição e velocidade para qualquer tempo posterior, t > t0 = 0 (equações do movimento):
x = x0 + v0xt , y = y0 + v0yt− 1
2
gt2
vx = v0x , vy = v0y − gt .
Em particular, para o movimento aquí considerado, as equações do movimento serão dadas (inser-
tando as condições iniciais) por:
x = v0t , y = h− 1
2
gt2 (2)
vx = v0 , vy = −gt (3)
O tempo para ir da posição inicial até a final, th, pode ser calculado usando a equação de movimento
na direção horizontal y = h− 12gt2, posto que na posição final y = 0,
0 = h− 1
2
gt2h
th =
√
2h
g
Pela informação do problema, o deslocamento horizontal para tempo t = th, é h, logo
h = v0th
,
v0 =
h
th
,
substitíndo aquí o valor de th,
v0 =
h√
2h
g
=
√
g h
2
Sendo a velocidade na direção horizontal constante, equação (3), seria
v0x = v0 =
√
gh
2
Logo a velocidade vertical (equação (3)) na posição final, no tempo t = th,
vy = −gth = −g
√
2h
g
= −
√
2g h
Finalmente o ângulo
tan θ =
vy
vx
=
−√2g h√
gh
2
= −2
θ = 63, 4◦
2. Um esquiador experiente sabe como ganhar velocidade enquanto esquiava em um pequeno declive
na neve. O truque consiste em saltar no ar e pousar suavemente sobre a inclinação descendente.
Pousar "suavemente"significa que sua velocidade pouco antes de pousar é paralela à inclinação.
O esquiador viajando a velocidade v quer saltar para cima e suavemente pousar em um declive que
faz um ângulo b com a horizontal. Para que distância d desde antes do declive o esquiador deve saltar
para o ar a fim de fazer um pouso suave?
Responder em termos de g, b, e v.
Solução (5 pontos): A figura abaixo mostra o sistema de coordenadas escolhido. A origem de coor-
denadas está localizada no ponto onde o esquiador pousa sobre o declive, que chamamos de posição
final. (Podería ter sido escolhido também como origem o ponto onde o esquiador salta, é uma questão
de escolha. O evento físico não muda, se obteram os mesmos resultados para qualquer sistema de
referencia inercial).
Page 2
Condições iniciais (posição e volocidade no tempo t0 = 0):
x0 = −d , y0 = 0 , v0x = v , (4)
Equações do movimento para t > t0 = 0 (com a informação das condições iniciais):
x = −d+ vt , y = v0yt− 1
2
gt2 (5)
vx = v , vy = v0y − gt . (6)
A velocidade final ~vf tem por componentes (usando a informação do ângulo) nos eixos x e y: vf,x =
vf cos b e vf,y = −vf sin b, onde vf = |~vf |.
Posto que a velocidade horizontal é constante v0x = vf,x ==> v = vf cos b ==> vf =
v
cos b . Por
tanto a velocidade final vf,y, fica como,
vf,y = −vf sin b = − v
cos b
sin b = −v tan b
O tempo para o trajéto completo (o tempo do salto, que vamos chamar de ts) pode calcularse pela
equação (6) para vy, aquí vale dizer que v0y = −vf,y, porque? logo v0y = v tan b,
vy = v0y − gt
−v tan b = v tan b− g ts ==> ts = 2v tan b
g
Finalmente, a posição no instante final é dada por x = 0, logo pela equação (5) para x, temos
0 = −d+ vts
d = vts = v
2v tan b
g
=
2v2 tan b
g
Page 3