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Lista de exercícios 3: Movimento em 2D
Física I - Mecânica Classica
Abril 2015
1. Em um planeta distante, um projétil de massa 2 kg é lançado horizontalmente com velocidade inicial
de 18 m/s a partir de uma certa altura. Pouco antes de ele cair no terreno horizontal, sua velocidade
faz um ângulo de 80 graus com a horizontal. A aceleração da gravidade é de 30 m/s2.
(a) Encontre a velocidade do projétil imediatamente antes da aterragem;
(b) Encontre o tempo (intervalo de tempo) em que o projétil passa no ar;
(c) Encontre a altura h a partir do qual o projétil é lançado;
(d) Encontre o alcançe horizontal ∆x do voo.
2. Em uma galáxia muito, muito distante, um projétil é lançado em um ângulo θ a partir do nível do
solo ao longo de um terreno plano. O alcançe horizontal do projétil é cinco vezes a altura máxima
do voo.
(a) Que afirmação sobre o ângulo θ é o correto?
(a) θ = 45◦
(b) θ > 45◦
(c) θ < 45◦
(d) Qual das seguintes afirmações sobre θ é o correto?
(a) A informação dada no problema é suficiente para calcular θ
(b) A informação dada no problema, não é suficiente para calcular θ; a velocidade inicial é a
única informação extra que será necessário para fazer o cálculo.
(c) A informação dada no problema, não é suficiente para calcular θ; a aceleração da gravidade
é a única informação extra que será necessário para fazer o cálculo.
(d) A informação dada no problema, não é suficiente para calcular θ; nós também precisamos
saber a velocidade inicial e a aceleração da gravidade do planeta.
3. Na superfície do Planeta Misterio Zeta, um projétil é lançado a partir do solo. O alcançe horizontal
do voo é igual a altura máxima. Qual é o ângulo θ de lançamento?
(a) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é apenas a altura máxima.
(b) O problema é impossível de resolver; a informação em falta é o valor de apenas g.
(c) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é apenas a velocidade máxima.
(d) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é a altura máxima e a velocidade
inicial.
(e) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é a altura máxima e o valor de g.
(f) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é a velocidade inicial e o valor de g.
(g) O ângulo de lançamento tem valor θ = .
4. No planeta Misterio Eta, um projétil é lançado horizontalmente a partir de uma certa altura sobre
um terreno plano. O alcance horizontal do projétil é igual à altura da qual o projétil é lançado.
Negligênciar as forças resistivas.
(a) Considere o ângulo θ que o vector de velocidade de aterragem faz com o solo. Que declaração
sobre ângulo θ é o correto?
(a) θ = 45◦
(b) θ > 45◦
(c) θ < 45◦
(d) Qual das seguintes afirmações sobre θ é o correto?
(a) A informação dada no problema é suficiente para calcular θ;
(b) A informação dada no problema, não é suficiente para calcular θ; a altura inicial é a única
informação extra que será necessário para fazer o cálculo.
(c) A informação dada no problema, não é suficiente para calcular θ; a aceleração da gravidade
é a única informação extra que será necessário para fazer o cálculo.
(d) A informação dada no problema, não é suficiente para calcular θ; nós também precisa saber
a altura inicial e a aceleração devida à gravidade do planeta.
5. Um projéctil é lançado horizontalmente a partir de uma certa altura. O alcance horizontal do voo é
igual a altura inicial. O que ângulo θ a velocidade de pouso faz com a horizontal?
(a) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é apenas a altura inicial.
(b) O problema é impossível de resolver; a informação em falta é o valor de apenas g.
(c) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é apenas a velocidade inicial.
(d) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é a altura inicial e a velocidade
inicial.
(e) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é a altura inicial e o valor de g.
(f) O problema é impossível de resolver; a informação que falta é a velocidade inicial e o valor de g.
(g) O ângulo tem valor θ = .
6. Dois projéteis são lançados em diferentes velocidades a partir do mesmo ponto no nível do solo
simultaneamente. As velocidades iniciais e os ângulos de lançamento de ambos os projéteis são
dadas, mas a aceleração da gravidade não é. Negligência forças resistivas.
Para o intervalo de tempo em que ambos os projécteis estão no ar, é possível encontrar: (Responder
com Sim ou Não)
(a) O deslocamento vertical de cada projéctil como uma função de tempo
(b) O deslocamento horizontal de cada projéctil como uma função de tempo
(c) A distância entre os projécteis como uma função de tempo
(d) O componente horizontal de velocidade de cada projéctil como uma função de tempo
(e) A componente vertical da velocidade de cada um projéctil como uma função de tempo
7. Dois projéteis são lançados simultaneamente a partir do mesmo ponto acima de um terreno plano.
As velocidades iniciais dos projécteis são o mesmo. Cada vetor velocidade do projéctil faz o mesmo
ângulo com a horizontal. No entanto, o projéctil A é lançado acima da horizontal e o projéctil B
abaixo da horizontal.
(a) Em um determinado momento, enquanto ambos os projéteis ainda estão no ar, qual dos dois
projéteis tem maior:
1. Componente horizontal da velocidade
2. Magnitude da componente vertical da velocidade
3. Rapidez
4. Altura acima do solo
5. O deslocamento horizontal
6. Taxa de mudança da velocidade
(b) Considere o voo completo dos projéteis. Qual dos dois projéteis tem maior:
1. Tempo total no ar
2. Alcance horizontal
3. Módulo da velocidade de pouso
4. Ângulo entre o vetor velocidade de aterragem e a horizontal
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8. Partindo do repouso, uma criança joga uma bola de massa m com velocidade inicial v, ângulo α com
a direcção horizontal. A criança, então, corre atrás da bola, acelerando a uma aceleração constante
a. Se a criança quer pegar a bola na mesma altura que foi lançado, qual deve ser a aceleração da
criança? Expresse sua resposta em termos de algumas das variáveis v, m, α e g para a constante
gravitacional.
9. Um esquiador experiente sabe como ganhar velocidade enquanto esquiava em um pequeno declive
na neve. O truque consiste em saltar no ar e pousar suavemente sobre a inclinação descendente.
Pousar "suavemente"significa que sua velocidade pouco antes de pousar é paralela à inclinação.
O esquiador viajando a velocidade v quer saltar para cima e suavemente pousar em um declive que
faz um ângulo b com a horizontal. Para que distância d desde antes do declive o esquiador deve saltar
para o ar a fim de fazer um pouso suave?
Responder em termos de g, b, e v.
10. Uma bola é expulso com velocidade v1 horizontalmente a partir do topo de um edifício de altura h.
Um pequeno carrinho está se movendo em direção ao prédio com uma velocidade v2 constante. Logo
no instante em que a bola é chutada, o carro está a uma distância d do prédio. Qual é a distância d
de modo que a bola cair bem em cima do carrinho? É possível negligenciar as dimensões do carrinho
em relação à altura do edifício h. Expresse sua resposta em termos de algumas ou todas as variáveis
h, v1, v2 e g.
11. Um canhão ao nível do solo está atirando pacotes de emergência para pessoas presas no telhado de
um prédio inundado de altura H = 120 metros. O canto do edifício está localizado a uma distância
D = 40 metros do canhão. É desejável que os pacotes alcancem o topo tangente ao telhado, como
mostrado, de modo que eles pousar suavemente com tão pouco quanto possível impacto e deslizam
ao longo até parar.
Encontre a velocidade inicial v0 e o ângulo θ (em graus) que o canhão deve ter para alcançar o cenário
acima.
12. Demostre que, para uma dada velocidade inicial v0, um projétil pode atingir o mesmoalcance A para
dois ângulos de elevação diferentes, θ1 e θ2, sendo que θ1 + θ2 =
pi
2 .
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13. Generalize o resultado do problema anterior, mostrando que um projétil lançado do chão com velo-
cidade inicial ~v0 pode atingir um ponto (alvo) situado à posição (x,y)=(d,h) para dois ângulos de
elevação diferentes.
14. Uma bola perfeitamente elástica é lançada contra uma parede, depois de colidir retorna e passa por
acima do atirador, como mostrado na figura. Quando saiu das maos do atirador, a bola se encontrava
2m acima do solo e 4m afastado da parede e v0x = v0y = 10m/s. Que distancia afastado da parede
(atrás do atirador) a bola cai no chão? (pode supor g = 10m/s2)
15. Um homem está em uma colina suave que faz um ângulo constante α com a horizontal. Ele joga uma
pedrinha com uma velocidade inicial v0 em um ângulo θ acima da horizontal (Olhar a figura)
a) Mostrar que, se a resistência do ar pode ser ignorada, a pedrinha percorre uma distância s para
baixo da encosta, de tal forma que
s =
2v20 sin(θ + α) cos θ
g cos2 α
;
b) Mostrar que, para um dado valor de v0 e α, o maior valor de s é obtido com θ = 45
◦−α/2 é dada
por
smax =
2v20 (1 + sinα)
g cos2 α
.
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Respostas:
1. (a) 103, 66m/s
(b) 3, 4 s
(c) 173, 68m
(d) 61, 25m
2. (a) c)
(b) a)
3. g) θ = 75, 96◦
4. (a) b)
(b) a)
5. g) θ = 63◦
6. (a) Não
(b) Sim
(c) Sim
(d) Sim
(e) Não
7. (a) 1. Igual
2. B
3. B
4. A
5. Igual
6. Igual
(b) 1. A
2. A
3. Igual
4. Igual
8. g/tan(α)
9. 2v2 tan(b)/g
10. (v1 + v2)
√
2h/g
11. v0 = 49, 19m/s, θ = 80, 54 graus
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