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Lista de exercícios 5b: Dinâmica do movimento circular
Física I - Mecânica Clássica
Abril 2015
1. Um carro de massa m se mover em torno de uma estrada circular de raio R, que se inclina num
ângulo θ com relação ao chão. O coeficiente de atrito estático entre os pneus ea estrada é µ. Seja g
a magnitude da aceleração da gravidade. Você pode considerar despresivel o atrito cinético (ou seja,
os pneus do carro não escorregam).
(a) Em que magnitude da velocidade v0, o veículo deve entrar na estrada circular se a estrada é
muito escorregadiza (ou seja, µ → 0) para não deslizar para cima ou para baixo sobre a curva
inclinada?
(b) Supor que µ tan θ < 1. Qual é a velocidade máxima vmax com que o carro pode entrar na estrada
inclinada para que ele não deslize para cima?
(c) Supor que µ tan θ < 1. Qual é a velocidade mínima vmin com que o carro pode entrar na estrada
inclinada para que ele não deslize para baixo?
(d) Supor que o carro entra na curva com uma velocidade v tal que vmax > v > v0. Encontrar uma
expressão para a magnitude da força de atrito.
2. Sally balança uma bola de massa m ao redor de um círculo de raio R num plano vertical por meio de
uma corda com massa desprezível. O módulo da velocidade da bola é constante e faz uma revolução
a cada t0 segundos.
(a) Encontre uma expressão para a componente radial da tensão na corda T (θ) como função do
ângulo que a bola faz com a vertical. Expresse sua resposta em termos de alguma combinação
dos parâmetros m, R, t0 e a constante gravitacional g.
(b) Existe uma intervalo de valores de t0 para que este tipo de movimento circular não pode ser
mantido? Se assim for, qual é esse intervalo?
3. Uma bolinha de massa m está ligada por uma mola a um eixo que está girando com uma velocidade
angular constante ω. Um estudante que olha para baixo em cima do aparelho vê a bola em movimento
anti-horário em uma trajetória circular de raio r. Quando a mola não está esticada, a distância entre
a massa e o eixo é r0. O plano orbital da bolinha está a uma altura h acima do solo. De repente, a bola
se desprende da mola voando através do ar, e atinge o solo a uma distância horizontal desconhecida
d apartir do ponto onde a bola se liberta da mola. Seja g a magnitude da aceleração da gravidade.
Pode ignorar a resistência do ar e o tamanho da esfera.
(a) Qual é a constante de mola? Mostre todo o seu calculo.
(b) Encontre uma expressão para a distância horizontal d.
4. Um regulador para controlar a velocidade de rotação de um motor a vapor foi inventado por James
Watt. Duas esferas foram ligados a um eixo rotativo por braços rígidos que são livres para girar para
cima e para baixo sobre um pivô onde eles ligados ao eixo, como no esquema abaixo. Como os braços
giram se movem para cima e para baixo accionando um mecanismo para controlar o motor a vapor.
Considerar os braços rígidos de comprimento l e sem massa. Toda a massa é então concentrada nas
duas esferas na extremidade dos braços, tendo cada um massa m.
(a) Descreva a aceleração das esferas.
(b) Mostre que existe uma velocidade angular mínima ωmin abaixo do qual o controlador não vai
funcionar como é pretendido.
(c) Obter uma expressão para o raio r da trajectória circular seguida pelas esferas. Expresse sua
resposta só em termos de algumas das quantidades m, ω, l, e g (aceleração da gravidade). (Não
use o ângulo φ em sua resposta).
5. Duas moedas idênticas, cada uma de massa m são empilhados em cima um do outro exactamente
na borda de uma plataforma giratória, a distância R do centro. A plataforma giratória gira com
velocidade angular constante ω e as moedas seguem o movimento sem escorregar. Suponhamos que o
coeficiente de atrito estático entre a mesa giratória e a moeda é dada por µ1 e o coeficiente de atrito
estático entre as moedas é dada por µ2 com µ2 < µ1. Seja g a constante gravitacional.
(a) Qual é a magnitude da força radial (força de atrito) exercida pela plataforma giratória sobre a
moeda inferior?
(b) Com o aumento da velocidade angular qual moeda desliza primeiro ou eles deslizam no mesmo
instante? Qual é a velocidade angular máxima ωmax para que o escorregamento não aconteça?
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6. Uma pedra (ou uma bola na figura), ligado a uma uma corda, se move em órbita circular de raio R
em um plano vertical. Suponhamos que a corda é cortada quando a pedra está na posição 2 na figura,
e a pedra, em seguida, sobe a uma altura h acima do ponto em posição 2. Qual foi a velocidade
angular da pedra quando a corda foi cortada? Dê a sua resposta em termos de R, h e g.
7. No dispositivo mostrado abaixo, uma haste horizontal gira com uma velocidade angular sobre um
eixo vertical. No diagrama, a corda horizontal que se estende para a direita no meio do aparelho
representa o "força motora"que mantém a velocidade angular constante do dispositivo. Um objeto
com uma massa m1 é restrito a deslizar ao longo da haste horizontal. Uma corda não extensível
sem massa de comprimento s é ligado à extremidade do objeto 1, passa por uma polia sem massa,
e é ligado a um objeto suspenso 2 de massa m2. O objeto 2 fica suspenso ao longo do eixo vertical
central do dispositivo. Assuma que o coeficiente de atrito estático entre o objecto 1 e a haste é µs. g
é a constante gravitacional. O objeto 1 se move em um círculo de raio r.
(a) Qual a velocidade angular de rotação do dispositivo de tal modo que a força de atrito estático
é zero?
(b) Qual é a velocidade angular mínima com que o dispositivo pode girar para que o objeto 1 não
se move radialmente para dentro?
(c) Qual é a velocidade angular máxima com que o dispositivo pode girar de modo que o objeto 1
não se move radialmente para o exterior?
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8. Um objeto com massa m está ligado a um eixo rotativo vertical por duas cordas não extensíveis sem
massa de comprimento l, cada uma fazendo um ângulo de 45◦ com o eixo. Tanto o eixo e a massa
giram com velocidade angular ω. A gravidade é direcionado para baixo.
(a) Desenhe um diagrama claro de forças para o objeto.
(b) Encontre a tensão Tsup na corda superior e Tinf na corda inferior.
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Respostas:
1. (a) v0 =
√
r g tanθ
(b) vmax =
√
r g
(
sin θ+µ cos θ
sin θ−µ cos θ
)
(c) vmin =
√
r g
(
sin θ−µ cos θ
cos θ+µ sin θ
)
(d) fs = m
(
v2
r cos θ − g sin θ
)
2. (a) m
(
4pi2R
t20
− g cos θ
)
(b) t0 < t0,critico = 2pi
√
R
g
3. (a) k = mω
2r
r−r0
(b) d = rω
√
2h/g
4. (a) |ar| = ω2l sinφ
(b) ωmin =
√
g/l
(c) r =
√
l2 − g2/ω4
5. (a) 2mRω2
(b) ωmax,m. sup =
√
µ2g/R , ωmax,m. inf =
√
µ1g/R A moeda superior deslizará primeiro.
6. ω =
√
2gh/R2
7. (a) ω =
√
(m2g)/(m1r)
(b) ωmin =
√(
m2
m1
− µs
)
g
r
(c) ωmin =
√(
m2
m1
+ µs
)
g
r
8. (a)
(b) Tsup = m(lω
2 +
√
2g)/2 , Tinf = m(lω
2 −√2g)/2
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