ListaEqua€ ¢Ã§Ãµes Diferenciais(1).pdf

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Lista - Equac¸o˜es Diferenciais - prof. Alexandre
Turma: 4◦Semestre Engenharia(Civil e Mecaˆnica)
Assunto : Conceitos iniciais, E.D.O. 1a ordem e Varia´veis Separa´veis
1 Verifique que a func¸a˜o y(x) = e
3x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial : y¨ − 5y˙ + 6y = 0.
2 Verifique que a func¸a˜o y(x) = C1e
2x + C2e
3x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial : y¨ − 5y˙ + 6y = 0.
3 Verifique que y(x) = 2e
−x + xe−x e´ soluc¸a˜o de y¨ + 2y˙ + y = 0.
4 Dada a EDO 3y˙ − 2y = 0 . Se y(x) = er·x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o , calcule r.
5 Determine C1 e C2 de modo que y(x) = C1sen(x) + C2cos(x) satisfac¸a y(0) = 1 e y˙(0) = 2.
6 Determine C1 e C2 para o P.V.I. dado:
y(x) = C1sen(x) + C2cos(x)
y(pi
2
) = 1
y˙(pi
2
) = 2
7 Determine C1 e C2 para o P.V.I. dado:
y(x) = C1e
x + C2e
−x + 4sen(x)
y(0) = 1
y˙(0) = −1
8 Vimos que a E.D.O. (Equac¸a˜o Diferencial Linear de 1a Ordem ) do tipo
dy
dt
+ a(t)y = 0 (L.H.) tem soluc¸a˜o
y(t) = C · e−
∫
a(t)dt
. Utilize essa informac¸a˜o para resolver o P.V.I. y˙ − cos(t)y = 0 , y(0) = 1
9 Vimos que a soluc¸a˜o geral da E.D.O. de 1◦ ordem
dy
dt
+ a(t)y = b(t) e´:
y(t) = e
− ∫ a(t)dt ·
∫
e
∫
a(t)dt
b(t)dt+ C · e−
∫
a(t)dt
. Agora , resolva as equac¸o˜es:
(a) y˙ +
2
t
y = t3 , y(1) = 2
(b) ty˙ + y = t , y(10) = 20 (Sugesta˜o: Divida a equac¸a˜o por t)
(c) (1 + t2)y˙ + 4ty = t , y(1) =
1
4
10 Um objeto de massa m e´ solto da posic¸a˜o de repouso em um meio que oferece resisteˆncia propor-
cional a` velocidade do objeto (Fr = k · v) . Determine a velocidade do objeto no instante t. Tal problema
consiste em resolver a E.D.O. :
−→
P −−→Fr = m · ~a , com v(0) = 0 , sendo −→P = m · ~g , −→Fr = k · ~v e v˙ = a.
11 Resolva cada uma das equac¸o˜es abaixo por separac¸a˜o de varia´veis:
(a) y˙ + y2sen(t) = 0 (b) y˙ =
t2
y(1 + t3)
(c) ty˙ = (1− y2) 12 (d) y˙ = t
2
(1 + y2)
(e) y˙ =
t− e−t
y + ey
(f) y˙ = 5y(x)
12 Ache a soluc¸a˜o na forma expl´ıcita do P.V.I. :
y˙ =
2t
(t+ t2)y
; y(0) = −2
13 Ache a soluc¸a˜o na forma expl´ıcita do P.V.I. :
sen(2t)dt+ cos(3y)dy = 0 ; y(
pi
2
) =
pi
3
Gabarito:(LISTA 2)
1 Basta fazer a substituic¸a˜o e verificar.
2 Basta fazer a substituic¸a˜o e verificar. Note que y(x) = e
3x e y(x) = e
2x sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial
dada ; tambe´m a combinac¸a˜o linear y(x) = C1e
2x + C2e
3x e´ soluc¸a˜o.
3 Verifica-se do mesmo modo que os anteriores , com um pouco de calma na hora de realizar as contas.
4 r =
2
3
5 C1 = 2 e C2 = 1 6 C1 = 1 e C2 = −2 7 C1 = −2 e C2 = 3
8 y(t) = e
sen(t)
9 (a) y(t) =
t4
6
+
11
6t2
(b) y(t) =
t
2
+
150
t
(c) y(t) =
1
(1 + t2)2
·
(
t2
2
+
t4
4
+
1
4
)
10 V (t) =
mg
k
·
(
1− e−
k·t
m
)
11 (a) y(t) = −
1
cos(t)
+ C (b) y(t) = ±
√
2
3
· ln|1 + t3|+ C (c) y(t) = sen(ln|t|) + C
(d) y3(t) + y(t) = t
3 + C (e) 2ln(y(t)) + y(t) = 2ln(t)− t (f) y = k · e5x
12 y(t) = ±2
√
ln|t + 1|+ 1 13 y(t) = 13arcsen[32(cos2t + 1)]