LISTA_EDO_PRIMEIRA_ORDEM_C3_2020 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA - UFRB
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - CETEC
Cálculo Diferencial e Integral III - 2020.1
GCET148 - BCET/ESA - T01 / T02 / T03
Lista - Equações Diferenciais de Primeira Ordem 29/03/2021
Aluno(a):
Professores: Alex Santana / Erikson Santos / Gilberto Pina
1. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
(1) Sobre o estudo da classificação de uma equação diferencial, complete a tabela abaixo.
Item Equação Diferencial O ou P L ou NL Ordem Grau* Var. I Var. D
(a) (1− x)y′′ − 4xy′ + 5y = cos x
(b) (y2 − 1)dx + xdy = 0
(c) t5y(4) − t3y′′ + 6y = 0
(d)
d2y
dx2
=
√
1 +
( dy
dx
)2
(e) (senθ)y
′′′ − (cos θ)y′ = 2
(f) y′ = x2 + 5y
(g) y′′ − 4y′ − 5y = e3x
(h)
∂U
∂t
= 4
∂2U
∂x2
+
∂U
∂y
(i)
(
d3s
dt3
)2
+
(
d2s
dt2
)3
= s− 3t
(j)
dr
dφ
=
√
rφ
(k)
d2x
dy2
− 3x = seny
(l)
∂2V
∂x2
= 3
√
∂V
∂y
(m) (2x + y)dx + (x− 3y)dy = 0
(n) y′′ + xy = seny′′
(o)
∂2T
∂x2
+
∂2T
∂y2
+
∂2T
∂z2
= 0
(2) Verifique se a função indicada é uma solução explı́cita da equação diferencial dada. Admita um
intervalo de definição apropriado I.
(a) 2y′ + y = 0; y = e(−
x
2 )
(b) y
′′ − 6y′ + 13y = 0; y = e3x cos 2x
(c) y′ + 4y = 32; y = 8
(d)
dy
dx
− 2y = e3x; y = e3x + 10e2x
1
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
Realce
2
(e)
dy
dt
+ 20y = 24; y =
6
5
− 6
5
e−20t
(f) y′ = 25 + y2; y = 5 tan(5x)
(g)
dy
dx
=
√
y
x
; y = (
√
x + c1)2
(h)
dy
dx
+ y = sin x; y =
1
2
sin x− 1
2
cos x + 10e−x
(i) 2xydx + (x2 + 2y)dy = 0; x2y + y2 = c1
(j) x2dx + 2xydy = 0; y = − 1
x2
(k) y′ = 2
√
|y|; y = x |x|
(l) y′ + 2xy = 1; y = e−x
2
∫ x
0
et
2
dt + c1e−x
2
(m) (x2 + y2)dx + (x2 − xy)dy = 0; c1(x + y)2 = xe
y
x
(n) y′′ = y; y = cosh x + sinh x
(o) y′′ + (y′)2 = 0; y = ln |x + c1|+ c2
(p) y′′ + y = tan x; y = − cos x ln |sec x + tan x|+ c2
(q) x2y′′ − xy′ + 2y = 0; y = x cos ln x, x > 0
(3) Considere a equação diferencial
dX
dt
= (X− 1)(1− 2X).
Verifique que ln
(
2X− 1
X− 1
)
= t é uma solução implı́cita da equação. Encontre pelo menos uma
solução explı́cita e o intervalo de definição I de cada solução φ.
(4) Prove que a relação dada é uma solução implı́cita da equação diferencial fornecida.
(a) x2 + y2 = 6; y′ = − x
y
(b) y− ln y = x2 + 1; y′ = 2xy
y− 1
(c) exy + y = x− 1; y′ = e
−xy − y
e−xy + x
(d) x2 − sen(x + y) = 1 y′ = 2x sec(x + y)− 1
(e) x3 + 3xy2 = 1 2xyy′ + x2 + y2 = 0, I = (0, 1)
(f) 5x2y2 − 2x3y2 = 1 xy′ + y = x3y3 I = (0, 5/2)
(g) sen y + xy− x3 = 2 y′′ = 6xy
′ + (y′)3sen y− 2(y′)2
3x2 − y
(5) Verifique que a famı́lia de funções indicadas é uma solução da equação diferencial dada. Admita
um intervalo de definição I apropriado de cada solução.
(a) P′ = P(1− P); P = c1e
t
1 + c1et
(b)
d2y
dx2
− 4 dy
dx
+ 4y = 0; y = c1e2x + c2xe2x
(6) Decida se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações abaixo, justificando sua resposta.
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
Realce
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1. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 3
(a) ( ) As funções y = φ1(x) = x2 e y = φ2(x) = −x2 são soluções da equação diferencial
xy′ − 2y = 0 no intervalo (−∞, ∞).
(b) ( ) A função definida por partes
y =
{
−x2, se x < 0
x2, se x ≥ 0
não é uma solução de xy′ − 2y = 0 no intervalo (−∞, ∞).
(7) (a) Encontre o domı́nio da função y = x + 2
√
x + 3.
(b) A função dada no item (a) não é uma solução da equação diferencial (y− x)y′ = y− x + 2
em algum intervalo I. Analise se afirmação dada é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa,
encontre o maior intervalo de definição I dessa solução.
(8) Os valores de m para os quais a função y = emx é solução das equações
y′ + 2y = 0 e y′′ − 5y′ + 6y = 0
são, respectivamente:
(a) 2, 2, 3
(b) -2, -2, 3
(c) 2, 2, -3
(d) -2, 2, 3
(e) -2, -2, -3
(9) Considere uma famı́lia a um parâmetro y =
1
1 + c1e−x
de soluções de y′ = y− y2. Encontre uma
solução para o PVI que consiste na equação diferencial e na condição y(0) = −1/3.
(10) Seja x = c1 cos t + c2sent uma famı́lia a dois parâmetros de soluções de x′′ + x = 0. Determine
uma solução para o PVI que consiste na equação diferencial e nas condições:
(a) x(0) = −1, x′(0) = 8 (b) x(π/6) = 1/2, x′(π/6) = 0
(11) Seja y = c1ex + c2e−x uma famı́lia a dois parâmetros de soluções de y′′ − y = 0. Determine uma
solução para o PVI que consiste na equação diferencial e nas condições:
(a) y(0) = 1, y′(0) = 2 (b) y(−1) = 5, y′(−1) = −5
(12) Encontre por inspeção pelo menos duas soluções para o PVI:
y′ = 3y2/3, y(0) = 0.
(13) y = tg(x + c) é uma famı́lia a um parâmetro de soluções da equação diferencial y′ = 1 + y2?
Justifique.
(14) y = sen(ln x) é uma solução particular da equação x2y′′ + xy′ + y = 0? Justifique.
(15) Mostre que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
(a) uxx + uyy = 0; u1(x, y) = cos x cosh y, u2(x, y) = ln(x2 + y2).
(b) α2uxx = ut; u1(x, t) = e−α
2tsenx, u2(x, t) = e−α
2λ2tsenλx, α, λ constantes reais.
(c) a2uxx = utt; u1(x, t) = senλx senλat, u2(x, t) = sen(x− at), a, λ constantes reais.
(d) α2uxx = ut; u = (π/t)1/2e−x
2/4α2t, t > 0 e α uma constante real.
ZEFERINO
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ZEFERINO
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ZEFERINO
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4
(16) Uma certa população é modelada pela equação diferencial
dP
dt
= 1, 2P
(
1− P
4200
)
.
(a) Para quais valores de P a população está aumentando?
(b) Para quais valores de P a população está diminuindo?
(c) Quais são as soluções constantes da equação?
(17) Considere uma população P de ratos do campo que crescem a uma taxa proporcional à população
atual, de modo que
dP
dt
= rP. Encontre a taxa de crescimento r se a população dobra em 30 dias.
(18) Encontre uma equação diferencial que tenha como solução geral y = ce−2x + 3x − 4. Verifique
que sua resposta está correta.
(19) Ache uma equação diferencial cuja solução seja y = c1x + c2x3. Cheque que a famı́lia a dois
parâmetros dada é, de fato, solução da equação diferencial encontrada.
(20) Encontre uma equação diferencial para a famı́lia de cı́rculos com raio 1 e centro em qualquer
ponto do plano cartesiano.
2. EQUAÇÕES SEPARÁVEIS
(21) Resolva as equações diferenciais dadas, usando o método de separação de variáveis.
(a)
dy
dx
= sen 5x
(b) dx + e3xdy = 0
(c) x
dy
dx
= 4y
(d)
dy
dx
= e3x+2y
(e) (1 + x2 + y2 + x2y2)dy = y2dx
(f) sec2 x dy + cossec y dx = 0
(g)
dP
dt
= P− P2
(h) ydy = x(1 + x2)−1/2(1 + y2)1/2dx
(i)
dN
dt
+ N = Ntet+2
(j) (x + 1)
dy
dx
= x + 6
(k) (4y + yx2)dy− (2x + xy2)dx = 0
(l) y ln x
dx
dy
=
(
y + 1
x
)2
(m) sec x dy = xcotg y dx
(n) (y− yx2) dy
dx
= (y + 1)2
(22) Resolva os problemas de valor inicial que seguem:
(a)
dx
dt
= 4(x2 + 1); x(π/4) = 1 (b) x2y′ = y− xy; y(−1) = −1.
(23) Encontre uma solução implı́cita e outra explı́cita do problema de valor inicial dado abaixo:
(1 + x4)dy + x(1 + 4y2)dx = 0; y(1) = 0.
(24) Analise a afirmação que segue decidindo sobre a veracidade ou não e justifique sua resposta.
Uma solução implı́cita de
2xsen2y dx− (x2 + 10) cos y dy = 0
é dada por ln(x2 + 10) + cossec y = c.
(25) [Decaimento Exponencial - Radioatividade] Se Q(t) indica a quantidade de uma substância
radioativa em um tempo t, então sua taxa de variação,
dQ
dt
, é proporcional à quantidade de
substância presente, para alguma constante k que depende do material.
(a) Mostre que Q(t) = cekt.
ZEFERINO
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ZEFERINO
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ZEFERINO
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ZEFERINO
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3. EQUAÇÕES QUE SE REDUZEM À EQUAÇÕES SEPARÁVEIS 5
(b) A constante k para o rádio é dada por −1, 4 · 10−11 s−1. Sabendo que em t = 0, há 2 gramas
desta substância em um laboratório, determine quanto restará desta substância 100 anos
depois.
(c) A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo no qual metade da substância dada desaparece.
Calcule, em anos, a meia-vida do rádio.
(26) [Reduzindo a Variáveis Separáveis] Considere uma equação diferencial ordinária da forma
y′ = g(y/x),
onde g é uma função real diferenciável. Ponha u = y/x e transforme-a em u + xu′ = g(u), a
qual, separando as variáveis, fica
du
g(u)− u =
dx
x
.
Usando esta técnica, encontre a solução geral das equações abaixo:
(a) 2xyy′ − y2 + x2 = 0;
(b) xy′ = x + y;
(c) xy′ = (1 + x)y.
(27) [Aplicações Geométricas]
(a) Encontre a curva em R2 que passa por (1, 1) e tem, em cada ponto (x, y), a inclinação −y/x.
(b) Encontre todas as curvas tais que a tangente em cada ponto (x, y) intercepta o eixo-x em
(x− 1, 0).
(c) Ache uma curva que passe pelo ponto (1, 1) de tal maneira que o coeficiente angular da
tangente em cada ponto seja proporcional ao quadrado da ordenada nesse ponto.
3. EQUAÇÕES QUE SE REDUZEM À EQUAÇÕES SEPARÁVEIS
(28) A equação da forma y′ = f (ax + by + c) (1) reduz-se a variáveis separáveis fazendo z = ax +
by + c. Calculando z′ = a + by′ e substituindo y′ em (1). Fazendo esta mudança de variável
resolva as seguintes equações diferenciais.
(a) y′ = 1 + ey−x+5
(b) y′ = (x + y + 1)2
(c) y′ = 2 +
√
y− 2x + 3
(d) y′ = tan2(x + y)
(e) y′ =
1− x− y
x + y
(f) y′ =
x− y
y− x− 1
(29) Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o
caso.
(a) f (x, y) = x3 + 2xy2 − y
4
x
(b) f (x, y) =
√
x + y(4x + 3y)
(c) f (x, y) =
x3y− x2y2
(x + 8y)2
(d) f (x, y) =
x
y2 +
√
x4 + y4
(e) f (x, y) = cos
(
x2
x + y
)
(f) f (x, y) = ln x2 − 2 ln y
(g) f (x, y) =
(
x−1 + y−1
)2
ZEFERINO
Realce
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6
(30) Se a função f na equação
dy
dx
= f (x, y) puder ser expressada como uma função só de v = y/x,
então a equação é dita homogênea( em particular, f (v) = f (1, yx )). Tais equações sempre podem
ser transformadas em equações separáveis por mudança da variável dependente. O problema
abaixo ilustra como resolver equações homogêneas de primeira ordem.
(a) Mostre que a equação
dy
dx
=
y− 4x
x− y (1) pode ser colocada na forma
dy
dx
=
(y/x)− 4
1− (y/x) (2).
(b) Introduza uma nova variável dependente v de modo que v = y/x, ou y = xv(x). Expresse
dy
dx
em função de x, v, e
dv
dx
.
(c) Substitua y e
dy
dx
na equação (2) pelas expressões no item (b) envolvendo v e
dv
dx
. Mostre que
a equação diferencial resultante é
x
dv
dx
=
v2 − 4
1− v (3).
(d) Resolva a equação (3) obtendo v implicitamente como função de x.
(e) Encontre a solução da equação (1) substituindo v por y/x na solução encontrada no item (d).
(31) Resolva as equações homogêneas:
(a) (x− y)dx + xdy = 0
(b) xdx + (y− 2x)dy = 0
(c) ydx = 2(x + y)dy
(d)
[
y + x cot( yx )
]
dx− xdy = 0
(e) (y2 + yx)dx− x2dy = 0
(f)
dy
dx
=
y− x
y + x
(g) (x2 + 3xy + y2)dx− x2dy = 0
(h) x cos( yx )(ydx + xdy) = y sin(
y
x )(xdx− ydy)
4. MÉTODO DOS FATORES INTEGRANTES
(32) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(a) y′ + 2y = te−2t; y(1) = 0
(b) xy′ + 2y = x2 − x + 1; y(1) = 1/2, x > 0
(c) y′ + (2/t)y =
cos t
t2
; y(π) = 0, t > 0
(d) y′cotgh 2x = 2y− 2; y(0) = 0
(e) ty′ + 2y = sen t; y(π/2) = 1, t > 0
(f) cos2 xsen xdy + (y cos3 x− 1)dx;= 0 y(π/4) = 4
(g) (t + 1)
dy
dt
+ y = ln t; y(1) = 10
(h) (ey + x)y′ = 1; y(3) = 0
(33) Ache uma solução contı́nua que satisfaça a equação diferencial e a condição de valor inicial da-
das.
(a)
dy
dx
+ 2y = f (x); y(0) = 0; f (x) =
{
1, se 0 ≤ x ≤ 3
0, se x > 3
(b)
dy
dx
+ 2xy = f (x); y(0) = 2; f (x) =
{
x, se 0 ≤ x < 1
0, se x ≥ 1
ZEFERINO
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ZEFERINO
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4. MÉTODO DOS FATORES INTEGRANTES 7
(34) Considere o problema de valor inicial y′ + exy = f (x), y(0) = 1. Expresse a solução do PVI para
x ≥ 0 como uma integral não elementar quando f (x) = 1. Qual é a solução quando f (x) = 0? E
quando f (x) = ex?
(35) [Equações de Bernoulli] Uma equação diferencial ordinária do tipo
y′ + p(x)y = g(x)ya, a ∈ R
é chamada equação de Bernoulli. Esta equação é linear se a = 0 ou a = 1.
(a) Introduza a variável dependente u por u = y1−a e mostre que a equação acima fica
u′ + (1− a)p(x)u = (1− a)g(x),
que é linear.
(b) Use a técnica acima para resolver a equação de Bernoulli dada por y′ − Ay = −By2, onde A
e B são constantes positivas.
(c) Resolva y′ + y = y2.
(d) Resolva y′ + y =
x
y
(e) Resolva o PVI dado por: y′ + (1/x)y = (cos x)y−2; y(1) = 1
(f) Resolva o PVI dado por: y′ + x2y = (1/x2)y4; y(−1) = −2
(36) Mostre que a equação
(cos y)y′ + 2xsen y = −2x
pode ser transformada em uma equação linear.
(37) [Equações de Ricatti] Uma equação de Ricatti é uma equação diferencial ordinária do tipo
y′ + p(x)y = g(x)y2 + h(x).
Observe que quando h(x) ≡ 0, obtemos a equação de Bernoulli.
(a) Mostre que a equação y′ = x3(y − x)2 + y/x é uma equação de Ricatti que tem solução
y = x.
(b) Seja z uma solução da equação geral de Ricatti, ou seja, z′ + p(x)z = g(x)z2 + h(x). Mostre
que w = y− z transforma a equação geral, dada no enunciado deste exercı́cio, em
w′ + (p− 2gz)w = gw2,
que é uma equação de Bernoulli.
(c) Sabendo que y(x) = x é uma solução da equação de Ricatti y′ + x3y− x2y2 = 1, determine
as demais soluções.
(d) Sabendo que y(x) = x2 é uma solução da equação de Ricatti y′ = y2 + 2x− x4, determine as
demais soluções.
(38) [Equação de d’Alembert-Lagrange] A equação
y = x f (p) + g(p), p = y′ (∗)
é conhecida como a equação de d’Alembert-Lagrange. Suponha que f , g : R→ R são deriváveis.
(a) Se p0 = f (p0) para algum p0 ∈ R, mostre que y = p0x + g(p0) é solução da equação.
ZEFERINO
Realce
ZEFERINO
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ZEFERINO
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ZEFERINO
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(b) Se p 6= f (p), para todo p, derive a equação com relação a x e obtenha a equação linear
dx
dp
− f
′(p)
p− f (p) x =
g′(p)
p− f (p) ; (∗∗)
A solução de (∗) é expressa na forma paramétrica (x(p), y(p)), onde x(p) e a solução de (∗∗)
e y(p) é dado por (∗).
(c) Use esse método para resolver as equações:
y = p2(ep + 1)− 1 y = xp2 + 1.
(d) A equação (∗) com f (p) = p é chamada a equação de Clairaut. Mostre que além das soluções
y = cx + g(c), (∗) tem a solução x(p) = −g′(p), y(p) = g(p)− pg′(p).
5. EQUAÇÕES EXATAS
(39) Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções
gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
(a) ydx + xdy = 0
(b) (2x− 1)dx + (3y + 7)dy = 0
(c) y3 + 3xy2y′ = 0
(d) (5x + 4y)dx + (4x− 8y3)dy = 0
(e) e−θdr− re−θdθ = 0
(f) (x2 − y2)dx + (x2 − 2xy)dy = 0
(g) (2x + ey)dx + xeydy = 0
(h) x
dy
dx
= 2xex − y + 6x2
(i) (x3 + 3xy2)dx + (3x2y + y3)dy = 0
(j) (y ln y− e−xy)dx +
(
1
y
+ x ln y
)
dy = 0
(k) (sen x · cosh y)dx− (cosx · senh y)dy = 0
(l) (tg x− sen x · sen y)dx + cos x · cos ydy = 0
(40) Resolva os problemas de valor inicial dados.
(a) (4y + 2t− 5)dt + (6y + 4t− 1)dy = 0; y(−1) = 2
(b) (y2 cos x− 3x2y− 2x)dx + (2ysen x− x3 + ln y)dy = 0; y(0) = e
(41) Encontre o valor de m de modo que a equação diferencial dada seja exata.
(y3 + mxy4 − 2x)dx + (3xy2 + 20x2y3)dy = 0.
(42) Mostre que as seguintes equações diferenciais ordinárias não são exatas. A seguir determine
fatores integrantes µ(x, y), e resolva-as.
(a) ydx− xdy = 0
(b) 2sen y2 + (xy cos y2)y′ = 0
(c) 2xydx + (4y + 3x2)dy = 0
(d) (1 + 2x2 + 4xy)dx + 2dy = 0
(e) (10− 6y + e−3x)dx− 2dy = 0
(43) (a) Mostre que uma famı́lia de soluções a um parâmetro da equação
(4xy + 3x2)dx + (2y + 2x2)dy = 0
é x3 + 2x2y + y2 = c.
(b) Prove que as condições iniciais y(0) = −2 e y(1) = 1 determinam a mesma solução implı́cita.
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7. APLICAÇÕES DAS EDO’S DE 1A ORDEM 9
(c) Ache as soluções explı́citas y1(x) e y2(x) da equação diferencial do item (a) dadas as condições
y1(0) = −2 e y2(1) = 1.
6. TEOREMA DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE
(44) Determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial
dado certamente existe.
(a) (t− 3)y′ + (ln t)y = 2t; y(1) = 2
(b) t(t− 4)y′ + y = 0; y(2) = 1
(c) y′ + (tgt)y = sen t; y(π) = 0
(d) (ln t)y′ + y = cotg t; y(2) = 3
(45) (a) Verifique que ambas as funções y1(t) = 1− t e y2(t) =
−t2
4
são soluções do problema de
valor inicial
y′ =
−t + (t2 + 4y)1/2
2
, y(2) = −1.
Onde essas soluções são válidas?
(b) Explique por que a existência de duas soluções do problema dado não contradiz a parte da
unicidade do teorema 2.
(c) Mostre que y = ct + c2, onde c é uma constante arbitrária, satisfaz a equação diferencial no
item (a) para t ≥ −2c. Se c = −1, a condição inicial também é satisfeita e obtém-se a solução
y = y1(t). Mostre que não existe escolha de c que forneça a segunda solução, y = y2(t).
(46) Usando o teorema de existência e unicidade, determine se existe uma solução para os problemas
de valor inicial dados abaixo, resolvendo-os, quando possı́vel.
(a)
dy
dx
=
√
9− (x2 + y2); y(1) = 2
(b)
dy
dx
= 3y2/3; y(2) = 0
(c)
dy
dx
= y2; y(0) = 1
7. APLICAÇÕES DAS EDO’s DE 1a ORDEM
(47) Coloca-se um corpo à temperatura de 0F em um quarto mantido à temperatura constante de
100F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é 25F, determine:
(a) o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 50F.
(b) a temperatura do corpo após 20 minutos.
(48) Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura
constante de 0F. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40F e após 40 minutos é 20F,
determine a temperatura inicial do corpo.
(49) Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância pre-
sente. Se, para uma quantidade inicial de substância de 100 miligramas, se observa um decréscimo
de 5% após dois anos, determine:
10
(a) uma expressão para a quantidade restante no tempo t.
(b) o tempo necessário para uma redução de 10% da quantidade inicial.
(50) Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de
habitantes existentes. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de 150.000 habitan-
tes, determine a população inicial.
(51) Determine as trajetórias ortogonais da famı́lia de curvas x2 − y2 = c2.
(52) Determine as trajetórias ortogonais da famı́lia de curvas y = cex.
(53) Determine as trajetórias ortogonais da famı́lia de curvas x2 − y2 = cx.
8. SUGESTÕES E SOLUÇÕES 11
8. Sugestões e Soluções
(1)
Item O ou P L ou NL Ordem Grau Var. Indep. Var. Dep.
(a) O L 2 x y
(b) O L(x),NL(y) 1 x ou y y ou x
(c) O L 4 t y
(d) O NL 2 x y
(e) O L 3 θ y
(f) O L 1 x y
(g) O L 2 x y
(h) P – 2 x, y, t U
(i) O NL 3 t s
(j) O NL 1 φ r
(k) O L 2 y x
(l) P – 2 x, y V
(m) O NL 1 x ou y y ou x
(n) O NL 2 x y
(o) P – 2 x, y, z T
(2) —
(3) X =
et − 1
et − 2 definida em (−∞, ln 2) ou em (ln 2, ∞).
(4) —
(5) —
(6) (a) V (b) F
(7) (a) −3 ≤ x < ∞ (b) F, −3 < x < ∞
(8) (d)
(9) y =
1
1− 4e−x
(10) (a) x = − cos t + 8sent (b) x =
√
3
4 cos t +
1
4 sent
(11) (a) y = (3/2)ex − (1/2)e−x (b) y = 5e−x−1
(12) —
(13) Sim.
(14) Sim.
(15) —
(16) (a) 0 < P < 4200 (b) P > 4200 (c) P = 4200 ou P = 0
(17) r =
ln 2
30
dias
(18) y′ + 2y = 6x− 5. Como temos apenas uma constante, diferencie uma vez a solução geral dada, e
encontre a constante c comparando a expressão obtida com a expressão que foi dada para y.
(19) x2y′′ − 3xy′ + 3y = 0.
12
(20)
y′′[
1 + (y′)2
] 3
2
= ±1.
A equação de um cı́rculo com centro (A, B) e raio 1 é dada por (x− A)2 + (y− B)2 = 1.
(21) -
(a) y = −(1/5) cos 5x + c
(b) y = (1/3)e−3x + c
(c) y = cx4
(d) −3e−2y = 2e3x + c
(e) y− y−1 = arctg x + c
(f) 4 cos y = 2x + sen 2x + c
(g) P =
cet
1 + cet
(h) (1 + y2)1/2 − (1 + x2)1/2 = c
(i) ln N = tet+2 − et+2 − t + c
(j) y = x + 5 ln |x + 1|+ c
(k) y2 = c(4 + x2)− 2
(l) (1/3)x3 ln x− (1/9)x3 = (1/2)y2 + 2y + ln |y|+ c
(m) y = sec−1(cecos x+xsenx)
(n) ln |y + 1|+ (y + 1)−1 = (1/2) ln
∣∣∣∣1 + x1− x
∣∣∣∣+ c
(22) (a) x = tg
(
4t− 3π
4
)
(b) xy = e−
(
1+(1/x)
)
(23) y(x) =
1− x2
2(x2 + 1)
(24) V
(25) (a) —
(b) Aproximadamente 1, 9 gramas;
(c) Aproximadamente 1570 anos.
(26) (a) (x− c/2)2 + y2 = c2/4;
(b) y = x(ln |x|+ c);
(c) y = cxex.
(27) (a) A hipérbole de equação y = 1/x.
(b) Lembre que se (X, Y) são os pontos da tangente à curva em (x, y), então Y− y = y′ · (X− x)
é a equação desta reta tangente. O que fazer com o ponto dado?
(c) y(x) = − 1
x
(28) —–
(29) —–
(30) —–
(31) —–
(32) (a) y =
(
(t2 − 1)e−2t
)
/2
(b) y = (3x4 − 4x3 + 6x2 + 1)/12x2
(c) y = (sen t)/t2
(d) y = 1− cosh 2x
(e) y = t−2
[
(π2/4)− 1− t cos t + sen t
]
(f) y = sec x · cossec x +
√
2 · cossec x
(g) y =
t ln t− t + 21
t + 1
(h) x = (3 + y)ey. Olhe y como a variável independente.
8. SUGESTÕES E SOLUÇÕES 13
(33) (a) y =
{
1/2(1− e−2x), se 0 ≤ x ≤ 3
1/2(e6 − 1)e−2x, se x > 3
(b) y =
{
1/2 + 3/2e−x
2
, se 0 ≤ x < 1(
(1/2)e + 3/2
)
e−x
2
, se x ≥ 1
(34) y = e−e
x
∫ x
0
ee
t
dt + e1−e
x
; y = e1−e
x
; y = 1.
(35) (a) —
(b) y = (u)−1 = (ce−Ax+B/A)−1
(c) y = (1 + cex)−1
(d) —
(e) Quero a solução!
(f) Quero a solução!
(36) Será que fazer z = sen y pode ajudar?
(37) (a) —
(b) —
(c) Quero a solução!
(d) Quero a solução!
(38) —
(39)
(a) xy = c
(b) x2 − x + (3/2)y2 + 7y = c
(c) xy3 = c
(d) (5/2)x2 + 4xy− 2y4 = c
(e) re−θ = c
(f) Não exata
(g) x(x + ey) = c
(h) xy− 2xex + 2ex − 2x3 = c
(i) x4 + 6x2y2 + y4 = c
(j) Não exata
(k) cos x · cosh y = c
(l) − ln | cos x|+ cos x · sen y = c
(40) (a) 4ty + t2 − 5t + 3y2 − y = 8
(b) y2sen x− x3y− x2 + y ln y− y = 0
(41) m = 10
(42) (a) y = cx
(b) x4sen y2 = c
(c) y4 + x2y3 = c
(d) (x + 2y)ex
2
= c
(e) −2ye3x + (10/3)e3x + x = c
(43) (c) y1(x) = −x2 −
√
x4 − x3 + 4 e y2(x) = −x2 +
√
x4 − x3 + 4
(44) (a) 0 < t < 3
(b) 0 < t < 4
(c) (π/2) < t < (3π/2)
(d) 1 < t < π
14
(45) (a) y1(t) é uma solução para t ≥ 2 e y2(t) é uma solução ∀t.
(b) —
(c) —
(46) —
(47) T(t) = −100e−0,029t + 100
(a) 23, 9 min (b) 44F
(48) T(t) = 80e−0,035t; T0 = 80F
(49) (a) N(t) = 100e−0,026t (b) 4, 05 anos
(50) N(t) = 16, 620e0,11t; N0 = 16, 620
(51) xy = k
(52) y2 = −2x + k
(53) x2y +
y3
3
= k
Bom Estudo!