EP08-MB-2014-1 Pg aula 6

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Matemática Básica 2014-1  EP8 
 
Prezado aluno, 
 Esta semana, você deve estudar potências e progressões geométricas. Novamente, 
você tem uma unidade da nossa apostila só sobre este assunto, mas também pode seguir 
pela aula 11 do livro e fazer os exercícios propostos da apostila. Neste EP você encontra 
mais alguns exercícios propostos sobre PG. 
 Bom estudo! 
 
Coordenadores da disciplina 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
Miriam Abdón 
 
 
Exercícios 
 
1) Uma aplicação oferece 1% ao mês de juros. Determine o montante gerado da 
aplicação de R$ 1000,00 por 3 meses. 
 
2) Há bactérias que se reproduzem por bipartição, isto é, cada uma se divide em duas ao 
atingir determinado tamanho. Suponha que em uma cultura haja 3. (27) dessas 
bactérias e cada uma delas se divida dando origem à primeira geração, cada bactéria 
da primeira geração se divida em duas, dando origem a segunda geração, e assim 
sucessivamente. Em que geração o número de indivíduos será 3.(225)? 
 
3) Escreva o número 402010 como a expressão de uma soma de progressão 
geométrica. 
 
4) Um aluno resolveu fazer um teste e divulgar um boato na universidade, ele disse que 
havia ficado milionário ganhando uma herança. Supondo que o aluno começou a 
divulgar a notícia contando para 3 alunos e que cada aluno ao saber da notícia 
contou a três outros alunos, determine: 
a) quantos alunos ficaram sabendo do boato no 5º dia? 
b) Quantos alunos souberam do boato até o 5º dia? 
c) Quantos dias foram necessários para que mais de 5000 pessoas soubessem 
do boato? 
 
5) O 5º termo de uma progressão geométrica é 768 e o 8º termo é 49152. 
Determine o 3º termo da progressão. 
6) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão em progressão 
geométrica, nessa ordem. Determine a área do quadrado. 
 
7) 2 e x são termos consecutivos, nessa ordem, de uma progressão aritmética de 
razão r>0. Também x e 2 são termos consecutivos, nessa ordem, de uma 
progressão geométrica de mesma razão r. Determine r e x. 
 
8) Numa obra de arte moderna foram utilizados palitos de sorvete empilhados da 
seguinte forma : 
1ª pilha 2ª pilha 3ª pilha 4ª pilha 
1 palito 2 palitos 4 palitos 8 palitos 
E assim sucessivamente. Determine a quantidade de palitos empilhados na 60ª 
pilha. 
 
(Este exercício foi tirado da AP2 de 2013-1) 
 
 
 
 Resposta dos exercícios do EP7 
 
1) Resolva e marque o conjunto solução na reta orientada. 
a) |𝑥 + 1| = 2 
b) (|𝑥| − 1)(𝜋𝑥 + 5)|𝑥 + 2| = 0 
c) −|𝑥| − 𝑥 + 1 = 2𝑥 
d) |𝑥|(
 𝑥
4
− 1) = 2𝑥 
Solução: 
a) |𝑥 + 1| = 2 ⟺ 𝑥 + 1 = 2 𝑜𝑢 𝑥 + 1 = −2 ⟺ 𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑥 = −3. 
 
b) (|𝑥| − 1)(𝜋𝑥 + 5)|𝑥 + 2| = 0 ⟺ (|𝑥| − 1) = 0 𝑜𝑢 (𝜋𝑥 + 5) = 0 𝑜𝑢 
|𝑥 + 2| = 0 ⟺ |𝑥| = 1 𝑜𝑢 𝜋𝑥 = −5 𝑜𝑢 𝑥 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 = ±1 𝑜𝑢 
𝑥 = −
5
𝜋
 𝑜𝑢 𝑥 = −2. Logo, 𝑆 = {±1, −
5
𝜋
, −2}. 
 
c) 1º caso: 𝑥 ≥ 0 . 
−|𝑥| − 𝑥 + 1 = 2𝑥 − 𝑥 − 𝑥 + 1 = 2𝑥4𝑥 = 1𝑥 = 1/4. 
2º caso: x<0. 
|𝑥| − 𝑥 + 1 = 2𝑥𝑥 − 𝑥 + 1 = 2𝑥2𝑥 = 1𝑥 = 1/2. Como x<0, não há solução nesse caso. 
Logo, S={1/4}. 
d) 1º caso: 𝑥 ≥ 0 . 
|𝑥| (
 𝑥
4
− 1) = 2𝑥 ⟺ 𝑥 (
 𝑥
4
− 1) = 2𝑥 ⟺ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 (
 𝑥
4
− 1) = 2 ⟺ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 12. 
2º caso: x<0. 
|𝑥| (
 𝑥
4
− 1) = 2𝑥 ⟺ −𝑥 (
 𝑥
4
− 1) = 2𝑥 ⟺ − (
 𝑥
4
− 1) = 2 ⟺ (
 𝑥
4
− 1) = −2 ⟺ 𝑥 = −4. 
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑆 = {−4,0,12} 
 
 
2) Determine os valores reais de x, para os quais a expressão 
𝑥+1
𝑥
|𝑥−1|−2
 está bem definida em ℝ. 
Solução: Devemos ter 𝑥 ≠ 0 , pois temos o x no denominador e também |𝑥 − 1| − 2 ≠ 0. 
Assim, vamos determinar os valores de x, tais que |𝑥 − 1| − 2 = 0. Isso ocorre se e só se 
|𝑥 − 1| = 2 ⟺ 𝑥 − 1 = 2 𝑜𝑢 𝑥 − 1 = −2 ⟺ 𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −1. Logo, a expressão está bem 
definida para todo x pertencente ao conjunto 𝐷 = ℝ\{−1,0,3}. 
 
 
3) Um adolescente, querendo comprar um iPod de R$ 987,00, começou a guardar parte de 
sua mesada, sempre R$ 9,00 a mais do que no mês anterior. O projeto de 14 meses de 
duração teve início com o adolescente guardando: 
Solução: No 1º mês ele guardou uma quantia 𝑎1 e a cada mês foi acrescentando 9 reais 
na quantia a ser economizada. Assim, formou uma PA com 1º termo 𝑎1 , razão r= 9, 
número de termos 14, cuja soma é 987 = 𝑆14 = (𝑎1 + 𝑎14).
14
2
= (𝑎1 + 𝑎1 + 13 ×
9). 7 , logo 2𝑎1 + 117 =
987
7
= 141, donde 𝑎1 =
141−117
2
= 12. Assim, no início ele 
guardou 12 reais. [item c)]. 
 
4) A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é dada por Sn = 2n² + 3n. Determine o quinto 
termo da progressão. 
Solução: Sabemos que 𝑆4 = 2 × 4
2 + 12 = 44 𝑒 𝑆5 = 2 × 5
2 + 15 = 65 . Logo, o 
quinto termo da progressão é dado por 𝑎5 = 𝑆5 − 𝑆4 = 65 − 44 = 21. 
 
 
Resposta dos exercícios complementares: 
 
1. Analisando a raiz quadrada: 
Lembremos que : 
Dado um número real 𝑎 ≥ 0, a raiz quadrada de a é o número real 𝑏 ≥ 0, tal que 𝑏2 = 𝑎. 
 Usamos a notação √𝑎 para denotar b. Portanto, (√𝑎)
2
= 𝑎, onde √𝑎 ≥ 0. 
a) Calcule √9. 
b) Determine todas as soluções da equação 𝑥2 = 9. 
c) Analisando a definição de √𝑎, é correto escrever √9 = ±3 ou √16 = ±4 ? 
Justifique. 
d) Calcule √𝑥2, para 𝑥 = 2, 𝑥 = −2 𝑒 𝑥 = −3. Pensando nesses exemplos, podemos 
escrever que √𝑥2 = 𝑥, ∀𝑥𝜖ℝ ? 
e) Complete a lacuna √𝑥2 = _____, ∀𝑥𝜖ℝ 
Solução: 
a) √9 = 3. 
b) As soluções são 𝑥 = √9 = 3 e 𝑥 = − √9 = −3 
c) NÃO! A raiz quadrada de um número real positivo é um outro número real positivo, 
por definição. Então, o correto é √9 = 3 e √16 = 4. 
d) Por definição da raiz quadrada, √22 = 2 e √(−2)2 = 2 ( pois 2>0 e 22 =
(−2)2 = 4) . Analogamente, √(−3)2 = 3 . Portanto, NÃO podemos escrever que 
√𝑥2 = 𝑥, ∀𝑥𝜖ℝ , isso é falso! 
e) Observe que √𝑥2 = |𝑥|, ∀𝑥𝜖ℝ , pois |𝑥| = {
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
. 
 
OBS: Agora, não escreva mais como no item c), você já aprendeu a escrever 
corretamente: √4=2, √9 = 3,√16 = 4 ... 
 
2. Dê um contraexemplo para mostrar que a igualdade √𝑥 + 𝑦 = √𝑥 + √𝑦, 𝑥, 𝑦 >
0 é FALSA! 
Solução: Tome 𝑥 = 𝑦 = 1, então √2 = √1 + 1 ≠ √1 + √1 = 2. 
 
3. Determine o conjunto solução: 
a) (5𝑥 − 2)(𝑥 + 4) = (𝑥 + 4)(𝑥) 
b) √𝑥 + 2 = √2𝑥 + 12 
c) 𝑥(𝑥 + 1) = 𝑥2(𝑥 + 1) 
Solução: 
a) (5𝑥 − 2)(𝑥 + 4) = (𝑥 + 4)(𝑥) ⟺ 𝑥 + 4 = 0 𝑜𝑢 5𝑥 − 2 = 𝑥 [se 𝑥 + 4 ≠ 0, 
podemos dividir por (𝑥 + 4)] ⟺ 𝑥 = −4 𝑜𝑢 𝑥 = 1/2. 
S={-4,1/2}. 
b) √𝑥 + 2 = √2𝑥 + 12 ⇒⏟
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑜 
𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑥 + 2 = 2𝑥 + 12 ⇔ 𝑥 = −10. Observe que -10 
não está no domínio da equação inicial, logo 𝑆 = ∅. 
c) 𝑥(𝑥 + 1) = 𝑥2(𝑥 + 1) ⟺ 𝑥(𝑥 + 1) = 𝑥. 𝑥(𝑥 + 1) ⟺ 𝑥(𝑥 + 1) = 0 𝑜𝑢 1 = 𝑥 ⟺
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 1. S={-1,0,1}.