Aula - Derivadas parciais

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Derivadas Parciais
 
 
Definição: A derivada parcial de 
é a derivada de f(x,y) em que 
uma função apenas de x. Analogamente, 
escrita como ��
��
 ou �� ou 
constante e f(x,y) é considerada como uma função apenas de 
 
Exemplos 
(lousa) 
 
 
 
Interpretação geométrica da derivada parcial
 
Exemplo: Se ���, �	 
 4 �
números como inclinações.
 
Gráfico do parabolóide 
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Derivadas Parciais - Introdução 
A derivada parcial de f(x, y) em relação a x escrita como ��
��
 ou 
em que y é tratado como constante e f(x,y) é considerada como 
. Analogamente, a derivada parcial de f(x, y)
ou ����, �	 é a derivada de f(x,y) em que x 
é considerada como uma função apenas de y. 
geométrica da derivada parcial 
� �� � 2��, encontre ���1,1	 e ���1,1	 e interprete esses 
números como inclinações. 
 � � �� � ��� 
 
ou �� ou ����, �	 
é considerada como 
f(x, y) em relação a y 
 é tratado como 
e interprete esses 
 
 
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Focando mais no primeiro octante temos: 
 
Gráfico da equação da reta tangente à curva do Parabolóide no ponto (1, 1, 1). O plano 
vertical y = 1 intercepta a superfície na parábola � 
 2 � ��. A inclinação da reta 
tangente à curva no ponto (1, 1, 1) é na verdade ���1,1	 
 �2. 
 
Gráfico da equação da reta tangente à curva do Parabolóide no ponto (1, 1, 1). 
O plano vertical x = 1 intercepta a superfície na parábola � 
 3 � 2��. A inclinação da 
reta tangente à curva no ponto (1, 1, 1) é na verdade ���1,1	 
 �4. 
 
 
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Planos Tangentes e aproximações lineares 
 
Planos tangentes 
 
Suponha que a superfície S tenha equação z = f(x,y), onde f tem derivadas 
parciais de primeira ordem contínuas, e seja ���� , ��, ��	 um ponto pertencente a S. 
Sejam �� e �� curvas obtidas pela intersecção de S com os planos verticais � 
 �� e 
� 
 ��. O ponto P pertencente à intersecção de �� com ��. Sejam �� e �� as retas 
tangentes às curvas �� e �� no ponto P. Então, o plano tangente à superfície S no ponto 
P é definido como o plano que contém as duas retas tangentes �� e ��. 
 
 
 
Para encontrar a equação do plano tangente à curva S no ponto P temos a 
fórmula: 
 
 
� � �� 
 �����, ��	�� � ��	 + �����, ��	�� � ��	 
 
 
 
Exemplo 1: Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico � 
 2�� + �� no ponto 
P(1, 1, 3). 
 
(lousa) 
 
 
 
 
 
 
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A figura abaixo mostra o paraboloide do exemplo 1 e o plano tangente. 
 
 
Ampliando a região em torno do ponto (1, 1, 3) através de zoom, temos as 
figuras abaixo. Perceba que quanto mais próximo chegamos do ponto, mais a superfície 
se parece com o plano tangente. 
 
 
 
 
 
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Aproximação linear 
 
A equação do plano tangente à curva S também é chamada de APROXIMAÇÃO 
LINEAR. 
 
Exemplo2: O paraboloide elíptico � 
 2�� + �� tem como aproximação linear no 
ponto (1,1, 3) a função ���, �	 
 4� + 2� � 3. Se quisermos calcular f(1,1; 0,95) basta 
calcular esse valor em L(x,y). Porém, à medida que nos afastamos do ponto (1, 1) a 
função L(x,y) já não oferece uma aproximação tão boa. 
 
Em geral, a Linearização de f(x, y) em (a, b) é dada por: 
 
 
���, �	 
 �� , !	 + ��� , !	�� � 	 + ��� , !	�� � !	 
 
 
Perceba que f(a,b) corresponde a z da fórmula do plano tangente. 
 
 
Exemplo3: Encontre a linearização de f em (0, 0) do paraboloide ���, �	 
 �2�� +
3�� � 6. 
(lousa) 
 
Exemplo4: Encontre a linearização de f em (1, -1) de ���, �	 
 #�$%�$. 
(lousa) 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Encontre a equação do plano tangente às curvas: 
 
(a) � 
 &�� em P(1, 1, 1) 
(b) � 
 �. ln � em P(1, 4, 0) 
 
2) Encontre a linearização de *��, �	 
 +,	�� � .�	 na região do ponto (7, 2) e use-
a para aproximar o valor de f no ponto (6,9 ; 2,06) 
 
 
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Diferenciais (Diferencial Total) 
 
 Para uma função de uma única variável y = f(x), sabemos que a diferencial dx 
pode ser entendida como uma variável independente; ou seja; dx pode valer qualquer 
número real. A diferencial de y é definida como dy = f’(x) dx. Na figura temos que ∆� 
representa a variação de altura da curva y = f(x) e dy representa a variação da altura da 
reta tangente quando x varia da quantidade 0� 
 ∆�. 
 
 
 
 Para uma função de duas variáveis z = f(x,y), definimos as diferenciais dx e dy 
como variáveis independentes; ou seja, podem ter qualquer valor. Então, a diferencial 
dz, também chamada de diferencial total, é definida por 
 
0� 
 ����, �	0� + �_���, �	0� 
ou 
 
0� 
2�
2�
	0� +
2�
2�
	0� 
 
Se tomarmos ∆� 
 � � e ∆� 
 � � ! então a diferencial de z é 
 
0� 
 ��� , !	�� � 	 + ��� , !	�� � !	 
 
E dessa forma a aproximação linear estudada anteriormente pode ser reescrita sendo 
 
���, �	 ≈ �� , !	 + 	0� 
 
 
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Exemplo5; 
(a) Se ���, �	 
 �� + 3�� � ��, determine a diferencial total dz. 
(b) Se x varia de 2 a 2,05 e y varia de 3 a 2,96, compare os valores de ∆� e dz. 
(lousa) 
 
Exemplo6: 
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 
10cm, e 25cm, respectivamente, com possível erro nas medidas de, no máximo, 0,1cm. 
Use a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone e 
determine a porcentagem desse erro. (Dados Volume do cone = 4 
 56$7
8
). 
(lousa) 
 
 
Obs.: Para funções de três variáveis o processo é análogo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
1) Determine a diferencial total das funções abaixo: 
 
(a) ���, �	 
 �8	. ln �� 
 
(b) ���, �	 
 ���#�� 
 
2) As dimensões de uma caixa retangular fechada foram medidas como 80cm, 
60cm e 50cm, com um erro máximo de 0,2cm em cada dimensão. Utilize 
diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo do volume dessa caixa. Qual a 
porcentagem representada por esse erro em relação ao volume total?