AULA - METODO DE CROSS - Exercício

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UNICID - UNIVERSIDADE CIDADE DE SÃO PAULO
AULA – 7d
MÉTODO DE CROSS - Exercício
Prof. José Félix Drigo
Dado: IE = 1
EXERCÍCIO:
1) COEFICIENTE DE RIGIDEZ (K)
��� =	
��
�
	= 	
	
��� =	
��
�
	= 	
	
�
��
 =
�
.
��
�
	=
�
.
	
	=
	
�
2) COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO (D)
DBA =
���
��� +	���
 
DBC = 	 − 	DBA 
=
�, 
�
�, 
�	 + �, ��
	 = �, ��
= �, �
DCB =
���
��� +	���
 
DCD = 	 − 	DCB 
=
�, ��
�, ��	 + �, ��
	 = �, ��
= �, ��
3) COEFICIENTE DE TRANSMISSÃO (β)
β =
	
�
4) MOMENTOS DE ENGASTAMENTOS PERFEITO (MEP)
�� = �� = −
���
	�
= −
��	. 	
�
	�
�� = �� = −
���
	�
= −
��	. ��
	�
= −��� !
= −"�� !
�� = −
���
�
= −
	�	. 	��
�
�� = �
�� = −��� !
A B C D
0,57 0,43 0,50 0,50
MEP 45 -45 80 -80 20 .---
-20
-20 20−20/2 = −10
�
5) INTERAÇÃO DE CROSS
5) INTERAÇÃO DE CROSS
A B C D
0,57 0,43 0,50 0,50
MEP 45 -45 80 -80 -20 20
22,50 -10
-16,38 57,50 -90 -20 20
-32,77 -24,73 45 45
-0,88 -12,36
3,09 6,18 6,18
-1,76 -1,33 -0,66
27,74 -79,53 79,53 0,33 0,33
−45 + 80 + 22,50 = 57,50
45/2 = 22,50
−24,73	/2 = −12,36
−20/2 = −10
−32,77	/2 = −16,38
6,18/2 = 3,09−1,76	/2 = −0,88
45 − 16,38 − 0,88 = 27,74
−45 − 32,77 − 1,76 = −79,53
−1,33	/2 = −0,66
-41,51 41,5180 + 22,5 − 24,73 + 3,09	 − 1,33 = 79,53
−80 + 45 − 12,36 + 6,18	 − 0,66	 − 0,33 = −41,51
−10 + 45 + 6,18 + 0,33 = 41,51
�� = −��, �� �� = −�., �
 �� = −�	, �	 �� = −��, ��
�
−80 − 10 = −90
V 72,74 107,26 129,50 110,50 7,17 7,17 20
6) REAÇÕES DE APOIO:
V0 90 120 --- ---
��	 ∗ 
�
��	 ∗ �
�
10 * 2 = 20
ΔM / L 17,26 9,50 7,17 ---�.,�
	 − ��,��
�., �
 − �	, �	
�
�	, �	 − ��
90−17,26 = 72,74
90+17,26 = 107,26
120+9,50 = 129,50
120−9,50 = 110,50
�� = −��, �� �� = −�., �
 �� = −�	, �	 �� = −��, ��
107,26+129,50=236,76 110,50+7,17=117,67 20− 7,17=12,83
0� = 		�, ��	� 0� = ��, ��	� 0� = �
�, ��	� 
0� = 	�, "
	� 
7) FORÇA CORTANTE:
V = 72,74 – 60X1
X1 = 0 => V = 72,74 kN
X1 = 3m => V = -107,26 kN
Vão AB: 0 < X1 < 3m
q= 60kN/m
V = 129,50 – 60X2
X2 = 0 => V = 129,50 kN
X2 = 4m => V = -110,50 kN
Vão BC: 0 < X2 < 4m
q= 60kN/m
7) FORÇA CORTANTE:
V = 7,17 � 
Vão CD: 0 < X3 < 3m
Vão em balanço D: 0 < X4 < 2m
q = 10kN/m
V = 20 – 10x4
X2 = 0 => V = 20 kN
X2 = 2m => V = 0
8) MOMENTO FLETOR:
Vão AB: 0 < X1 < 3m
X1 = 0 => Mf = -27,74 kNm
X1 = 3m => Mf = -79,52 kNm
Mfmáx: V = 0 = 72,74 – 60 x1 => X1 = 1,21m
Mfmáx = 72,74(1,21) – 30(1,21)2 – 27,74 => Mfmáx = 16,35kNm
Mf = 72,74 x1 –
60 x12
�
– 27,74
Mf = 129,50 x2 –
60 x22
�
– 79,53
Vão BC: 0 < X2 < 4m
X2 = 0 => Mf = -79,53 kNm
X2 = 4m => Mf = -41,53 kNm
Mfmáx => V = 0 = 129,50 – 60x2 => X2 = 2,16m
Mfmáx = 129,50(2,16) – 30(2,16)2 – 79,53 => Mfmáx = 60,22 kNm
Mf = 7,17 x3 – 41,51
Vão CD: 0 < X3 < 3m
X3 = 0 => Mf = -41,51 kNm
X3 = 3m => Mf = -20 kNm
X4 = 0 => Mf = -20 kNm
X4 = 2,0m => Mf = 0
Vão em balanço D: 0 < X4 < 2m
Mf = 20 x4 –
10 x42
�
– 20
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E DE MOMENTO FLETOR
V(kN)
M(kNm)
72,74
−107,26
1,21m
129,50
−110,50
7,17
20
−27,74
16,35
−79,53
2,16m
60,22
−41,51
−20
0
0