Circuitos Digitais - Apêndices

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Apêndice A 
 
A. Números Binários 
 
Aritmética 
Computacional ≠ 
Aritmética 
Tradicional 
⇓ 
I Computadores realizam operações com números cuja a precisão é finita e fixa 
II E utilizam o sistema binário ao invés do tradicional 
 
A.1. Números de Precisão Finita (NPF) 
� Quantos dígitos decimais são gastos para representar um número? 
� Fora do ambiente computacional, não há limites para representações numéricas (Ex.: 
Ordem de grandeza dos astros) 
� Nos computadores, a quantidade de memória para armazenamento de dados e 
informações, está acoplado ao projeto físico do equipamento (Hardware) 
� Por exemplo, vamos examinar o conjunto dos números inteiros positivos com 
representação de 03 dígitos decimais, sem ponto decimal e sinal: 
 
1000 ELEMENTOS 
000 
001 
002 
003 
001 
. 
. 
. 
. 
997 
998 
999 
 
� Baseados nas restrições I e II, e impossível expressar: 
(a) >999 
(b) <0 
(c) Frações 
(d) Irracionais 
(e) Complexos 
� A propriedade de “Fechamento”, importante na aritmética de inteiros, em relação as 
operações adição, subtração, e multiplicação, não se aplica em NPF. 
� Por exemplo: 
o 600 + 600 = 1200 (overflow) 
o 003 – 005 = -2 (underflow) 
o 050 X 050 = 2500 (overflow) 
o 007 / 002 – 3,5 (∉∉∉∉) 
� Dividem-se as violações em dois grupos: 
o Resultados maiores (overflow) e menores (underflow) que os limites. 
o Não pertencentes ao conjunto.(∉∉∉∉) 
� “Por realizarem operações com NPF’s, pois possuem memórias limitadas, os resultados de 
certos cálculos estarão errados pelo ponto de vista da matemática clássica. Um 
dispositivo de calculo que fornece respostas “erradas” apesar de estar em bom estado, é 
a conseqüência lógica de sua natureza finita.” 
� A álgebra dos NPF’s também é diferente. Analise os exemplos: 
o Para a = 700, b = 400, c = 300; 
Associativa: a + (b - c) = (a + b) - c 
o Para a = 5, b = 210, c = 135; 
Distributiva: a X (b - c) = a X b – a X c 
� Concluímos que os computadores são dispositivos inadequados? 
� É importante entender como os computadores trabalham e suas limitações. 
 
 
 
 
A.2. Sistemas de Numeração: 
� Numero Decimal: Seqüência de dígitos decimais com ou sem um ponto decimal. 
o Ex.: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 (Base 10) 
� Para os computadores nos interessam as bases 2, 8 e 16, respectivamente sistemas de 
numeração binário, octal e hexadecimal. 
� Um sistema de numeração K qualquer requer K símbolos que representam is dígitos de 0 
a K-1. 
o 0 e 1 (Base 2) 
� Um numero decimal possui a seguinte forma: 
 
 
o dn . . . d2 d1 d0 , d-1 d-2 d-3 . . . d-k 
 
 n 
Numero = ∑ di X 10i 
 i=-k 
 
� Para se evitar ambigüidades, utiliza-se um subscrito com o número da base entre 
parênteses: 
Ex.: 
100(2) ≠ 100(10) ≠ 100(8) ≠ 100(16) 
 
100(2) = 1 X 2
2 + 0 X 21 + 0 X 20 = 4(10) 
100(10) = 1 X 10
2 + 0 X 101 + 0 X 100 = 100(10) 
100(8) = 1 X 8
2 + 0 X 81 + 0 X 80 = 64(10) 
100(16) = 1 X 16
2 + 0 X 161 + 0 X 160 = 256(10) 
 
A.3. Conversão entre Bases: 
� Em geral, se sabemos como converter um número de uma base b qualquer para a base 
10, qualquer base destino pode ser alcançada: 
o Formula Geral: 
Xn . . . X2 X1 X0 , X-1 X-2 X-3 . . . X-k (b)= 
 
Xn * b
m + X1 * b
1 + X0 * b
0 + X-1 * b
-1 + X-2 * b
-2 + X-3 * b
-3 +. . . X-k * b
-k
(10)= 
 
� Entre os números da base 2, 8 e 16 há um procedimento mais fácil: 
o (2) (8): Dividir em grupos de 03 bits 
o (8) (2): Substituir cada digito por um binário de 03 bits 
o (2) (16): Dividir em grupos de 03 bits 
o (16) (2): Substituir cada digito por um binário de 04 bits 
 
 
A.4. Números Binários Negativos: 
� Em geral, utilizam-se 3 sistemas para a representação de números negativos em 
computadores digitais: 
o Sinal de Magnitude (SM): Bit mais a esquerda é o sinal (0 é + | 1 é -). Os bits 
restantes representam a magnitude absoluta do número. 
o Complemento de Um (SC1): Também possuem um bit de sinal (0 é + | 1 é -) 
porém os bits restantes são invertidos um a um. 
o Complemento de Dois (SC2): Também possui um bit de sinal (0 é + | 1 é -) os bits 
restantes são invertidos um a um a seu valor. 
Ex.: 
Convertendo o número 6 para -6(SM), -6(SC1) e -6(SC2) em binário. 
• 6(10) = 00000110(2) 
• 6(SM) = 10000110(2) (SM) 
• 6(SC1) = 11111001(2) (SC1) 
• 6(SC2) = 11111010(2) (SC1) 
 
o Observação: O padrão adotado para expressar o número de 7 bits para a mantissa 
e 1 bit para o sinal. 
� Tanto o sinal de magnitude quanto o complemento de um têm representações falhas para 
o número zero: +0 e -0. 
� No complemento de dois esse problema não ocorre. 
o 00000000(2) = 00000000(2) (SCR2). 
� Nosso objetivo: 
o Uma única representação para o número zero. 
o Expressar a mesma quantidade de números positivos e negativos. 
� Entretanto, qualquer conjunto com a mesma quantidade de números ímpares e pares, 
além do zero, possui um número ímpar de elementos. O que se torna impossível de 
expressar por um número de n bits (2n é sempre par). Gerando portanto um padão 
binário extra. 
 
A.5. Aritmética Binária: 
� A adição de dois bits é expressa pela tabela abaixo onde X e Y são números de 1 bit. 
 
x y s c 
0 0 0 0 
0 1 1 0 
1 0 1 0 
1 1 0 1 
 
� A subtração pode ser feita de duas formas: 
o Baseado no SC1: Expressa-se o valor negativo no padrão SC1, e realiza-se a soma 
como valor positivo. Se houver “estouro” (overflow), o resultado deverá ser 
somado de mais um e será positivo. 
 
Ex.: 
 
 16(10) – 5(10) = 11(10) 
 16(10) ⇒ 
- 5(10) ⇒ 
10000(2) 
+ 00101(2) 
 
 11(10) ⇒ 101010(2) (SC1) 
 
 
10(10) + 1(10) = 11(10) 
 10(10) ⇒ 
+ 1(10) ⇒ 
1010(2) 
+ 1(2) 
 
 11(10) ⇒ 1011(2) (SC1) 
 
 
5(10) – 16(10) = -11(10) 
 5(10) ⇒ 
-16(10) ⇒ 
00101(2) 
+ 01111(2) 
 
-11(10) ⇒ 10100(2) (SC1) 
 
 
16(10) – 5(10) = 11(10) 
 16(10) ⇒ 
- 5(10) ⇒ 
10000(2) 
+ 11011(2) 
 
 11(10) ⇒ 101011(2) (SC2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S = x+y 
C é o vai 1 
Estouro ⇒ Número positivo 
Não houve estouro ⇒ Número Negativo 
Estouro ⇒ Número Positivo (Não precisa 
somar o estouro) 
 
Apêndice B 
 
 
B. Números em Ponto-flutuante 
 
� Metodologia alternativa para representação de intervalos numéricos muito grandes. 
� Necessita-se de um sistema de representação de números em que o intervalo dos 
números exprimíveis seja independente da quantidade de dígitos significativos. 
� Baseia-se na notação científica usada na física, química e engenharia. 
 
B.1. Princípios do ponto-flutuante 
 
� Uma maneira de separar o intervalo da precisão: 
 n = f * 10e 
 Onde: 
 f ⇒ Fração ou mantissa 
 e ⇒ Expoente(e pertence aos inteiros) 
 
� A versão desta notação é chamada de ponto-flutuante. 
 
Ex.: 
 3.14 = 0.314 x 101 
 0.000001 = 0.10 x 10-5 
 1941 = 0.1941 x 104 
 
� Intervalo é em função do número de dígitos do expoente. 
� Precisão é em função do número de dígitos da fração. 
� Em geral: 0.1 ≤ |f| < 1 
� Os números em ponto-flutuante, com precisão e mantissa predefinidos, diferenciam-se 
dos números reais, pois nem todos os números em um intervalo contínuo podem ser 
representados e conseqüentemente não possuem a mesma densidade: 
 
z = (x + y) / 2 
 x, y e z pertencem ao conjunto dos números reais 
 Ex.: 
 Seja: 
o Mantissa de três dígitos, com sinal, e 0.1 ≤ |f| < 1 ou zero. 
o Expoente de dois dígitos com sinal 
 
Obtém-se: 
o Números variando em grandeza de: 
 -0.100 x 10-99 a 0.999 x 1099 
 Overflow Negativo (menor que -10100) 
 Exprimíveis Negativos (Entre -10100 e -10-100) 
 Underflow Negativo (Entre -10-100 e zero) 
 Underflow Positivo (Entre zero e 10-100) 
 Exprimíveis Positivos (Entre 10-100 e 10100) 
 Overflow Positivo (Maior que10100) 
� Quando não podemos expressar um número com exatidão, deve-se utilizar o número 
mais próximo. Este processo é chamado de arredondamento. 
� A modificação do número de dígitos na mantissa ou expoente, apenas desloca os limites 
das regiões dos números exprimíveis. 
� Nos computadores, utiliza-se uma representação semelhante. Por questões de eficiência a 
base de exponenciação é múltiplo de 2 (2, 4, 8 ou 16) em vez de 10, e a mantissa em 
uma cadeia de dígitos binários, 4, 8 ou 16: 
 
Se o dígito mais a esquerda é zero, todos os dígitos podem ser deslocados uma posição para a 
esquerda e o expoente diminuído de 1 
⇓ 
Normalização 
 
 
 
� A escolha por números normalizados facilita na definição de padrões → só exite uma 
forma normalizada. 
 Ex.: 
o Mantissa de 16 bits (com sinal) 
o Expoente de 7 bits (em notação em excesso de 64) 
o O ponto está a esquerda do bit mais à esquerda da mantissa. 
 Base 2: 
 Não normalizado: 
0 1010100. 0000000000011011 
 
+ 84-64=20 2-12 + 2-13 + 2-15 + 2-16 
= 220 * ( 2-12 + 2-13 + 2-15 + 2-16) = 432 
 
 Normalizando: 
o Deslocar a mantissa 11 bits à esquerda e subtrair 11 do expoente. 
 
0 1001001. 1101100000000000 
 
+ 73-64=9 2-1 + 2-2 + 2-4 + 2-5 
= 29 * (2-1 + 2-2 + 2-4 + 2-5) = 432 
 
 
Apêndice C 
 
C. Códigos Numéricos 
 
C.1 Código 9876543210 
 
O código 9876543210 é um código binário que converte cada dígito decimal em um conjunto de 10 
bits, onde o valor 1 assume a posição correspondente ao número decimal, e o restante é 
completado com o valor 0. 
 
Nesse código temos uma decodificação de "uma saída de 10" ou seja, um único bit será 1, enquanto 
os demais serão 0, conforme o dígito a ser representado, conforme a seguinte tabela: 
 
Decimal 9876543210 
0 1 
1 10 
2 100 
3 1000 
4 10000 
5 100000 
6 1000000 
7 10000000 
8 100000000 
9 1000000000 
 
 
C.2 BCD 8421 
 
O código BCD 8421 (de Binary-coded decimal 8421) é um sistema de codificação de números 
decimais em binários de quatro bits. Os valores 8421 são respectivamente os valores de 2 elevado 
ao valor de sua posição (3,2,1,0). Este código assume apenas 10 dígitos, variando de 0 a 9. 
 
Dígito 
decimal 
BCD 
0 0 
1 1 
2 10 
3 11 
4 100 
5 101 
6 110 
7 111 
8 1000 
9 1001 
 
Se quisermos representar em BCD o número 23,25 não o convertemos da forma convencional por 
divisões sucessivas, mas sim, tomamos cada dígito e o convertemos no BCD equivalente, conforme 
segue: 
2 3 2 5 
0010 0011 0010 0101 
 
Veja então que para cada dígito decimal sempre teremos quatro dígitos binários ou bits e que os 
valores 1010, 1011, 1100, 1101 e 1111 não existem neste código. 
 
 
C.3 Códigos BCD de 4 Bits 
 
Existem diversos códigos BCDs que assumem valores diferentes de acordo com alguma variação em 
seu cálculo. Entre eles podemos destacar o BCD 7421, BCD 2421 e o BCD 5211. 
 
Decimal 
BCD 
8 4 2 1 
Excesso-3 
ou Código de Stibitz 
BCD 2 4 2 1 
Código Aiken 
BCD 
8 4 −2 −1 
IBM 702 IBM 705 
IBM 7080 IBM 1401 
8 4 2 1 
0 0000 0011 0000 0000 1010 
1 0001 0100 0001 0111 0001 
2 0010 0101 0010 0110 0010 
3 0011 0110 0011 0101 0011 
4 0100 0111 0100 0100 0100 
5 0101 1000 1011 1011 0101 
6 0110 1001 1100 1010 0110 
7 0111 1010 1101 1001 0111 
8 1000 1011 1110 1000 1000 
9 1001 1100 1111 1111 1001 
 
C.4 Código ASCII 
 
ASCII (acrônimo para American Standard Code for Information Interchange, que em português 
significa "Código Padrão Americano para o Intercâmbio de Informação") é uma codificação de 
caracteres de sete e oito bits (versão estendida) baseada no alfabeto inglês. Os códigos ASCII 
representam texto em computadores, equipamentos de comunicação, entre outros dispositivos que 
trabalham com texto. 
 
A codificação define 128 ou 256 caracteres, preenchendo completamente os oito bits disponíveis. 
Desses, 33 não são imprimíveis, como caracteres de controle atualmente não utilizáveis para edição 
de texto, porém amplamente utilizados em dispositivos de comunicação, que afetam o 
processamento do texto. Exceto pelo caractere de espaço, o restante é composto por caracteres 
imprimíveis. 
 
 
ASCII (7Bits) 
 
 
 
 
ASCII (8 bits – estendida) 
 
 
Apêndice D 
 
D. Mapa de Karnaugh 
 
D.1. Introdução 
 
� Forma tabular de representar funções lógicas 
� Aplicação direta nas simplificações e minimizações 
� Resume-se em uma figura geométrica (quadriculo) para cada linha da tabela verdade. 
 
 
 
 
 
 
 
D.2. Construção do Mapa K até 04 variáveis 
 
D.2.1. Mapa K de 01 variável 
 
 A 0 1 A 
0 1 
 
 
� A forma do Mapa K, depende somente do número de variáveis do problema, e não da 
expressão lógica que será transcrita para ele. 
 
D.2.2. Mapa K de 02 variáveis 
 
 
B 
A 0 1 
 0 2 
 1 3 
 
Linha A B ƒƒƒƒ (A,B) 
0 0 0 
1 0 1 
2 1 0 
3 1 1 
 
 
TABELA 
VERDADE 
MAXTERMOS 
 OU 
MINITERMOS 
QUADRICULOS 
DO MAPA K 
 
 
 
Ex.: 
o Representar no Mapa K a função determinada pela Tabela Verdade abaixo: 
 
 
 
 
Linha A B ƒƒƒƒ (A,B) 
0 0 0 1 
1 0 1 0 
2 1 0 0 
3 1 1 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Em geral registra-se em uma Tabela Verdade os 1’s e 0’s, e em uma Mapa K registra-se 
os 1’s ou 0’s. 
� Podemos verificar que: 
o ƒ (A,B) = A . B + A . B = mo + m3 (MINTERMOS) 
o ƒ (A,B) = (A + B) . (A + B) = mo + m3 (MINTERMOS) 
 
� Um Mapa K alternativo para 02 variáveis (será usado para acima de 02 variáveis 
também!): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.: 
o Seja a Tabela Verdade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
A 0 1 
0 
0 
1 
2 
0 
1 
1 
0 
3 
1 
 
MINTERMOS 
B 
A 0 1 
0 
0 
1 
2 
- 
1 
1 
- 
3 
1 
 
MAXTERMOS 
B 
A 0 1 
0 
0 
- 
2 
0 
1 
1 
0 
3 
- 
B 
A 00 01 11 10 
 
0 
1 
1 
0 
3 
1 
2 
0 
 
 
A 
 
A 
 
 
A 
 
B 
 
A 
 AB 00 01 11 10 
A.B 
0 
- 
1 
- 
3 
1 
2 
- 
 
 AB 00 01 11 10 
A+B 
0 
- 
1 
1 
3 
1 
2 
1 
 
AB A . B A + B A ⊕⊕⊕⊕ B 
0 0 0 0 0 
0 1 0 1 1 
1 0 0 1 1 
1 1 1 1 0 
 
 AB 00 01 11 10 
A⊕⊕⊕⊕B 
0 
- 
1 
1 
3 
- 
2 
1 
 
D.2.3. Mapa K de 03 variáveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o X = (A.B.C)+(A.B.C)+ +(A.B.C) +(A.B.C) 
 
o m2 = A.B.C 
o m4 = A.B.C 
o m1 = A.B.C 
o m7 = A.B.C 
 
 
 
D.2.4. Mapa K de 04 variáveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o X = (A.B.C.D)+(A.B.C.D)+ +(A.B.C.D) +(A.B.C.D) 
 
o m8 = A.B.C.D (8 = 1000) 
o m12 = A.B.C.D (12 = 1100) 
 
o m1 = A.B.C.D (1 = 0001) 
o M3 = A.B.C.D (3 = 0011) 
C
AB 00 01 11 10 
0 
0 
- 
2 
1 
6 
- 
4 
1 
1 
1 
- 
3 
- 
7 
1 
5 
- 
A B C A . B 
0 0 0 0 
0 0 1 1 
0 1 0 1 
0 1 1 0 
1 0 0 1 
1 0 1 0 
1 1 0 0 
1 1 1 1 
CD
AB 00 01 11 10 
00 
0 
- 
4 
- 
12 
1 
8 
1 
01 
1 
1 
5 
- 
13 
- 
9 
- 
11 
3 
1 
7 
- 
15 
- 
11 
- 
10 
2 
- 
6 
- 
14 
- 
10 
- 
 
 
 
D.3. Simplificação de funções lógicas por Mapa K 
 
D.3.1. Introdução: 
 
� Quadrículos adjacentes horizontalmente e verticalmente (mas não diagonalmente) 
correspondem a mintermos ou a maxtermos que diferem em apenas uma variável, que 
aparece complementada em um termo e não complementada em outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o m8 = A.B.C.D (8 = 1000) 
o m12 = A.B.C.D (12 = 1100) 
 
o m1 = A.B.C.D (1 = 0001) 
o M3 = A.B.C.D (3 = 0011) 
 
� Dois termos com quatro variáveis foram substituídos por um termo de três variáveis 
� Mérito doMapa K: Possibilitar a determinação da combinação de mintermos através da 
visualização geométrica. 
 
D.3.2. O principio geral: 
 
� Qualquer par de mintermos adjacentes pode ser combinado em um único termo que 
resulta em uma variável a menos. 
� Se englobamos 2M termos, irão desaparecer M variáveis. 
� O termo combinado é determinando através da eliminação da variável que aparece 
completando em um mintermo e não aparece complementa em outro. 
 
D.3.3. Adjacências lógicas adicionais: 
 
� Mintermos geometricamente adjacentes são também logicamente adjacentes 
� Há casos em que os quadrículos na coluna mais a esquerda, são logicamente adjacentes 
aos quadrículos situados na mesma linha e na coluna mãos a direita. 
o M8 ADJ m0; m1 ADJ m9 
 
� Os quadrículos na linha superior adjacentes aos situados na linha inferior e na mesma 
coluna. 
 
 
 
 
CD
AB 00 01 11 10 
00 
0 
- 
4 
- 
12 
1 
8 
1 
01 
1 
1 
5 
- 
13 
- 
9 
- 
11 
3 
1 
7 
- 
15 
- 
11 
- 
10 
2 
- 
6 
- 
14 
- 
10 
- 
CD
AB 00 01 11 10 
00 
0 
- 
4 
- 
12 
1 
8 
1 
01 
1 
1 
5 
- 
13 
- 
9 
- 
11 
3 
1 
7 
- 
15 
- 
11 
1 
10 
2 
- 
6 
- 
14 
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10 
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A.C.D 
A.B.D