Aula 09 - Resolucao Exercicios de revisao

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Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense 
 
AULA 09 
RESOLUÇÃO EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
 
Olá, companheiros, mais uma vez estou por aqui! Vou resolver as questões da aula 
passada. Não tecerei comentários hoje, serei breve. Enquanto isso, na primeira questão... 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
(AFC/AGU-2003) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então 
Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é 
irmão de Maria. Logo: 
 
a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto. 
b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia. 
c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro. 
d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto. 
e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro. 
 
Resolução 
 
Escrevendo as proposições 
 
p: Ana é prima de Bia 
q: Carlos é filho de Pedro 
r: Jorge é irmão de Maria 
t: Breno é neto de Beto 
 
Representando em linguagem simbólica 
 
p v q 
r → ~t 
q → t 
 
(p v q) ^ (r → ~t) ^ (q → t) 
 
Gente, como o nosso enunciado encerra com “ora, Jorge é irmão de Maria”, então a proposição r é 
será verdadeira. Como r é uma proposição simples, podemos usar o método dedutivo. Umbora 
então... 
 
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(p v q) ^ (V → ~t) ^ (q → t) 
(p v q) ^ (V → ~t) ^ (~t → ~q) 
(p v q) ^ (V → ~q) 
(p v q) ^ (~V v ~q) 
(p v q) ^ (F v ~q) 
(p v q) ^ ~q 
(p ^ ~q) v (q ^ ~q) 
(p ^ ~q) v F 
p ^ ~q 
 
Aqui nossa resposta: Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro. Letra e). 
 
 
(AFC/AGU-2003) Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações: 
 
“X > Q e Z < Y”; 
“X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z”; 
“R . Q, se e somente se Y = X”. 
Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que: 
 
a) X > Y > Q > Z 
b) X > R > Y > Z 
c) Z < Y < X < R 
d) X > Q > Z > R 
e) Q < X < Z < Y 
 
Resolução 
 
Escrevendo as proposições 
 
p: X>Q 
q: Z<Y 
r: X>Y 
t: Q>Y 
w: R ≠ Q 
 
Representando em linguagem simbólica 
 
p ^ q 
(r ^ t) ↔ q 
w ↔ ~r 
 
(p ^ q) ^ ((r ^ t) ↔ q) ^ (w ↔ ~r) 
 
Esta questão nos remete aos conceitos iniciais da lógica matemática. Lembram-se que na Aula 02 
eu disse que uma proposição somente admite a falsidade ou a verdade, ou seja, só se admite dois 
resultados possíveis para o valor de uma proposição? Você deve está me perguntando porque 
estou dizendo isso agora. Ora, veja a proposição X>Y, a qual representamos por r. Sabemos que é 
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perfeitamente correto dizer que X pode ser menor, igual ou maior do que Y, porém, não para o 
nosso problema de lógica, onde admitimos um ou outro resultado. Como a questão menciona X>Y 
e Y=X, estes serão os únicos resultados possíveis para a relação entre essas duas variáveis. Não 
existe, então, para o nosso problema, a proposição X<Y. Sacou a importância do princípio do 
terceiro excluído?! É isso aí! 
 
Aconselho resolver este tipo de questão, onde as opções a marcar a), b), c), d) e e) incluem 
relações de maior ou menor, pelos conceitos, esquecendo o método dedutivo. Não porque este 
não seja de valia, mas porque, na hora da prova, vai dar “um trabalho” para você entender o que é 
menor ou maior dentre as proposições dadas, e essa não é minha intenção. 
 
Bom, para resolver, sempre procure a premissa que tenha uma conjunção ou uma condicional 
como operação. Assim, olhemos para a primeira premissa (p ^ q). Nela, as duas proposições 
simples devem ser verdadeiras para ser verdadeira também a premissa. Resolvendo... 
 
(p ^ q) ^ ((r ^ t) ↔ q) ^ (w ↔ ~r) 
(V ^ V) ^ ((r ^ t) ↔ V) ^ (w ↔ ~r) 
(V ^ V) ^ ((V ^ V) ↔ V) ^ (w ↔ ~r) 
(V ^ V) ^ ((V ^ V) ↔ V) ^ (w ↔ ~V) 
(V ^ V) ^ ((V ^ V) ↔ V) ^ (F ↔ ~V) 
 
Os valoeres lógicos de cada proposição é: 
 
p=verdadeiro; q=verdadeiro; r=verdadeiro; t=verdadeiro; w=falso 
 
Assim, temos que 
 
X>Q 
X>Y 
Q>Y 
Y>Z 
R=Q 
 
Como R=Q, e fazendo o encadeamento para encontrar o item b) como resposta: X>R>Y>Z. 
 
 
(AFC/AGU-2003) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou 
Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. 
Logo, 
 
a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. 
b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. 
c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. 
d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. 
e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. 
 
 
 
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Resolução 
 
Escrevendo as proposições 
 
p: Homero é honesto 
q: Júlio é justo 
r: Beto é bondoso 
 
Representando em linguagem simbólica 
 
~p v q 
p v q v r 
r v ~q 
 
(~p v q) ^ (p v q v r) ^ (r v ~q) 
 
Ora, ora, mais um tipo de questão que já conhecemos. Aquela onde o enunciado encerra com uma 
proposição composta, não é verdade? Vamos pelos conceitos... 
 
Como o enunciado termina dizendo que (~r v p), então admitamos esta premissa verdadeira. Para 
isto, ou ~r ou p deve ser verdadeiro, ou ~r e p simultaneamente. E aí, como fazemos no caso da 
disjunção? Aí amigo, você vai ter que ir pelo método das tentativas. O que é isso? Vamos começar 
admitindo que ~r é é verdadeiro e p falso. Aí podemos resolver... 
 
(~p v q) ^ (p v q v F) ^ (F v ~q) 
(~F v q) ^ (F v q v F) ^ (F v ~q) 
(~F v V) ^ (F v V v F) ^ (F v ~V) Premissa será falsa 
 
Ops!, temos uma premissa falsa quando admitimos ~r: verdadeiro e p: falso. 
 
Vamos admitir agora que as duas proposições simples (~r e p) sejam verdadadeiras: 
 
(~p v q) ^ (p v q v F) ^ (F v ~q) 
(~V v q) ^ (V v q v F) ^ (F v ~q) 
(~V v V) ^ (V v q v F) ^ (F v ~F) contradição (q é verdadeiro e falso simultaneamente) 
 
O problema aqui é que, para duas premissas distintas, hora aparece com valor lógico verdadeiro, 
ora falso. 
 
Vamos para a úlltima possibilidade. Tomando ~r falso e p verdadeiro. 
 
(~p v q) ^ (p v q v V) ^ (V v ~q) 
(~V v q) ^ (V v q v V) ^ (V v ~q) 
(~V v V) ^ (V v V v V) ^ (V v ~V) 
 
 
 
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Pronto, descobrimos que são verdadeiras as proposições p, q e r, podendo ser escrito na liguagem 
corrente: Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. Resposta letra c). 
 
Essa não é uma questão difícil, apenas testei, de propósito, as 3 possibilidades possíveis para 
você observar todo o processo de resolução. Você poderia ter encontrado a resposta logo na 
primeira tentativa caso você tivesse sorte... Vamos para a outra... 
 
 
(AFC-2002) Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é 
difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então: 
 
a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. 
b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. 
c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. 
d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. 
e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. 
 
 
Resolução 
 
Escrevendo as proposições 
 
p: Lógica é fácil 
q: Artur gosta de lógica 
r: Geografia é fácil 
 
Representando em linguagem simbólica 
 
p v ~q 
r → ~p 
 
(p v ~q) ^ (r → ~p) 
 
Questão de pura aplicação do método dedutivo. Se o enunciado termina dizendo “Artur gosta de 
Lógica”, temos que r tem valor lógico verdadeiro. Logo: 
 
(p v ~V) ^ (r → ~p) 
(p v F) ^ (r → ~p) 
p ^ (~r v ~p) 
(p ^ ~r) v (p ^ ~p) 
(p ^ ~r) v F 
p ^ ~r 
 
Na linguagem corrente, lemos essa proposição “Lógica é fácil e Geografia não é fácil”, ou, melhor 
dizendo, “Lógica é fácil e Geografia é difícil”. Resposta letra b). 
 
 
Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense 
(AFC-2002) Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é 
cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol.Logo, 
 
a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. 
b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. 
c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol. 
d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. 
e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. 
 
 
Resolução 
 
Escrevendo as proposições 
 
p: Carina é amiga de Carol 
q: Carmem é cunhada de Carol 
r: Carina é cunhada de Carol 
 
Representando em linguagem simbólica 
 
p → q 
~q 
~r → p 
 
(p → q) ^ (~q) ^ (~r → p) 
 
Bem, observem primeiro o enunciado. Ao contrário do que eu disse antes, do mesmo modo como, 
às vezes, facilita, a banca muitas vezes complica. È uma monte de C’s de Carol ,Carmem e Carina 
que, se você já estiver com 4 horas de prova, vai ficar meio confuso! Então tenha sempre cuidado 
quando for representar as proposições em linguagem simbólica, para não se confundir com tantas 
letras iguais... 
 
Outra coisa, demais importante, é que a proposição que encerra o enunciado não vem ao final 
deste, mas sim antes, diferentemente da maioria dos exercícios resolvidos até aqui, e está 
representada pela premissa ~q. Terminando de resolvê-la... 
 
Como Carmem não é cunhada de Carol (~q), então vem: 
 
(p → q) ^ (~r → p) 
(p → F) ^ (~r → p) 
(~p v F) ^ (~r → p) 
~p ^ (r v p) 
 (~p ^ r) v (~p ^ p) 
(~p ^ r) v F 
~p ^ r 
 
 
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Pronto, esta aí a nossa resposta. Agora, para marcar o item correto, depende muito da sua 
atenção na hora da prova. Em linguagem corrente, ~p ^ r quer dizer “Carina não é amiga de Carol 
e é cunhada de Carol”. Ora, ora, você já deve saber que uma proposição simples só admite dois 
resultados possíveis, a verdade ou a falsidade, como já dito. Se se diz que Carina é cunhada de 
Carol, contrariar tal afirmação é o mesmo que dizer que Carina é cunhada de Fernanda, Carla, 
Janaina... enfim, de qualquer pessoa, menos de Carol. 
 
Encontramos como resposta ~p ^ r. Para atrapalhar o candidato, a banca pôs uma pequena casca 
de banana no item b), pegadinha esta para induzir o candidato a marcar qualquer outro item, 
menos o item b), que é, na verdade, o item correto. Então, a Esaf escreveu “Carina não é amiga 
de Carol ou não é cunhada de Carmem”. Olha aí, em negrito, a pegadinha! Quando se diz que 
Carina não é cunhada de Carmem, está a se negar a falsidade de uma proposição (~F), pois 
temos: 
 
não é cunhada de Carmem 
 
 ~ F 
 
Como ~F é a Verdade, então está implícito a proposição “Carina é cunhada de Carol”. Sacou?! 
Conclui-se, assim, que a proposição encontrada ~p ^ r está escrita de forma diferente, e encontra-
se no item b), nossa resposta. Interessantíssima esta questão, não?! 
 
 
(AFTN-1998) Considere as afirmações: A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B) se 
Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é 
uma boa amiga. A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que 
elas: 
 
a) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga 
b) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa 
amiga 
c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga 
d) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga 
e) são inconsistentes entre si 
 
 
Resolução 
 
 
Escrevendo as proposições 
 
p: Patrícia é uma boa amiga 
q: Vítor diz a verdade 
r: Helena é uma boa amiga 
 
 
 
 
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Representando em linguagem simbólica 
 
p → q 
q → ~r 
~r → p 
 
(p → q) ^ (q → ~r) ^ (~r → p) 
 
Nesta questão está explícito o conceito de argumento. Temos uma série de premissas, e a questão 
pede a conclusão. Perceba o encadeamento lógico das premissas: 
 
(p → q) ^ (q → ~r) ^ (~r → p) 
(p → ~r) ^ (~r → p) 
p → p 
p 
 
Vamos ver item por item: 
 
a) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga 
 
Errado. Uma das conclusões (implicações) possíveis é p (Patrícia é uma boa amiga), e não a 
única, pois poderíamos ter (p v r) como uma conclusão válida. 
 
b) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa 
amiga 
 
Certo. Foi o que acabamos de descobrir, pois o encadeamento lógico implica em p, ou ~p, 
dependendo da condição inicial dada a proposição p. 
 
c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga 
 
Errado. Já dissemos que podemos ter mais de uma conclusão possível 
 
d) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga 
 
Errado. Estaria certo se tivesse dito que implica dizer que Patrícia é uma boa amiga, pois, pelo 
próprio conceito de argumento, as premissas implicam uma conclusão. 
 
e) são inconsistentes entre si 
 
Errado. Contradiz a própria questão, porque no enunciado, além de haver um encademento lógico, 
todas as premissas relacionam-se, de maneira direta ou indireta. 
 
 
 
 
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(Engenheiro do Trabalho-1998) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a 
ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência 
de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre, 
 
a) D ocorre e B não ocorre 
b) D não ocorre ou A não ocorre 
c) B e A ocorrem 
d) nem B nem D ocorrem 
e) B não ocorre ou A não ocorre 
 
 
Resolução 
 
Escrevendo as proposições 
 
p: Ocorrência de B 
q: Ocorrência de C 
r: Ocorrência de D 
t: Ocorrência de A 
 
Representando em linguagem simbólica 
 
q → p 
p → r 
r ↔ t 
 
(q → p) ^ (p → r) ^ (r ↔ t) 
 
Sabemos que, se C ocorre, a proposição q é verdadeira. Resolvendo pelo método dedutivo: 
 
(V → p) ^ (p → r) ^ (r ↔ t) 
(V → p) ^ (p → r) ^ (r → t) ^ (t → r) 
V → r 
~V v r 
F v r 
r 
 
Ora, e agora, companheiro?! Como nossa conclusão terminou com a proposição r, então sabemos 
que r é verdadeira. Se r é verdadeira, a premissa r ↔ t nos diz que t é verdadeira. Ainda, se q é 
verdadeira, então p é verdadeira. E se p é verdadeira, então r é verdadeira. 
 
Êta, que engodo danado! Vejam que, quando montamos a questão em linguagem simbólica, ficou 
estruturado um encadeamento lógico, não é verdade? Para questões deste tipo, o mais racional é 
ir logo resolvendo pelos conceitos,e depois testar item-por-item e verificar qual a resposta certa, 
pois o método dedutivo, além de tomar o nosso preciso tempo, não nos dirá muita coisa não, como 
se pôde observar. Ok?! 
 
Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense 
Como já sabemos que p, q, r e t são proposições verdadeiras, aí fica fácil ver que o item c) é o 
correto. 
 
a) D ocorre e B não ocorre 
r ^ ~p = V ^ ~V = V ^ F = Falso 
 
b) D não ocorre ou A não ocorre 
~r v ~t = ~V v ~V = F v F = Falso 
 
c) B e A ocorrem 
p ^ t = V ^ V = Verdadeiro 
 
d) nem B nem D ocorrem 
~p ^ ~r = ~V ^ ~V = F ^ F = Falso 
 
e) B não ocorre ou A não ocorre 
~p v ~t = ~V v ~V = F v F = Falso 
 
 
É isso. No próximo encontro, trarei a resolução das questões de lógica matemática da prova do 
MPU, realizada em 04/07/2004. 
 
Abraços a todos!