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Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
Introdução às Séries e Transformadas de Fourier e
Aplicações no Processamento de Sinais e Imagens
Autor: Josiana Rovatti Pupin
Orientador: Waldeck Schutzer
Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso
Curso: Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis: Tomas Edson Barros
Karina Schiabel Silva
Vera Lúcia Carbone
São Carlos, 20 de dezembro de 2011.
Introdução às Séries e Transformadas de Fourier e
Aplicações no Processamento de Sinais e Imagens
Autor: Josiana Rovatti Pupin
Orientador: Waldeck Schutzer
Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso
Curso: Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis: Tomas Edson Barros
Karina Schiabel Silva
Vera Lúcia Carbone
Instituição: Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
São Carlos, 20 de dezembro de 2011.
Nome do Autor (aluno) Nome do Orientador (orientador)
Dedico este trabalho de graduação aos meus pais, irmãos, ao meu noivo e à todos os fami-
liares, que de alguma forma contribuíram para a realização do mesmo, com demonstração
de atenção e carinho para que tudo se realizasse da melhor forma possível.
�O homem erudito é um descobridor de fatos que já existem; mas o homem sábio é um
criador de valores que não existem e que ele faz existir.� - Albert Einstein.
Agradecimentos
Agradeço,
Aos meus pais pelo incentivo em realizar o curso de matemática, por todo apoio
recebido durante os anos de graduação, pelas palavras de conforto nos momentos difíceis
e pela compreensão diária mesmo estando longe de casa.
À meu noivo, que sempre esteve ao meu lado me apoiando em todas as decisões,
presente em todos os momentos, demonstrando atenção e preocupação, por toda paciência
e todo amor dedicado.
Aos meus tios, primos, e avós que sempre participaram do melhores momentos da
minha vida, contribuindo para que os finais de semanas fossem os melhores possíveis,
sempre me desejando nas despedidas boa semana e bons estudos.
Ao meu orientador pela confiança que depositou em mim, por tudo que me ensinou,
pelas horas semanais de estudo, pela sua dedicação e paciência, proporcionando a elabo-
ração e conclusão deste trabalho.
Resumo
Este trabalho apresenta a teoria das Séries de Fourier e das Transformadas de Fourier
que permitem representar e estudar o comportamento de certas funções com respeito a
propriedades de periodicidade. O objetivo principal deste trabalho é o estudo sistemático
introdutório das Séries de Fourier e da Transformada de Fourier, obtendo como resultado
a aquisição de conhecimentos básicos, porém sólidos sobre essa teoria, um capítulo espe-
cial da assim chamada Análise Harmônica. As Séries de Fourier permitem representar
muitas funções periódicas como uma soma infinita de exponenciais complexas. A repre-
sentação por meio de séries é bastante vantajosa quando se deseja aproximar os valores da
função, por exemplo, quando a função possui uma fórmula complicada, difícil de calcular
exatamente, pois a aproximação pode ser feita pelo truncamento da série.
Como veremos uma grande vantagem da representação por Séries de Fourier em relação
às séries de potências é que, em dadas circunstâncias, aquela é uniforme e global, isto é,
sua convergência, uma vez estabelecida, é válida para todo o domínio da função, enquanto
que esta geralmente tem convergência apenas local, isto é, dentro de um intervalo chamado
intervalo de convergência que depende da série mas não da função.
A discretização das funções de interesse é bastante desejável em muitas aplicações,
em especial aquelas que se baseiam em técnicas digitais. Essa discretização dá origem a
Transformada Discreta de Fourier (DFT) que provê uma aproximação muito boa para os
coeficientes da Série de Fourier de funções periódicas e em alguns casos, essa aproximação
é exata. No entanto, o cálculo da DFT costuma ser realizado por um algoritmo pouco
intuitivo, mas muito mais eficiente chamado Transformada Rápida de Fourier (FFT).
Neste trabalho vamos dar uma idéia superficial sobre o funcionamento desse algoritmo,
mas na prática estaremos utilizando implementações feitas por outros autores como fer-
ramenta de trabalho para nossas aplicações. Encerraremos este trabalho discutindo a
aplicação da teoria ao estudo da atividade solar por meio da contabilização do número de
manchas solares.
Contemplará também informações sobre alguns tipos de aplicações que podem ser
realizadas com Séries e Transformadas de Fourier no processamento de sinais e imagens,
dando continuidade natural a esse trabalho expandindo nossa visão para outros campos
de aplicações por meio de uma breve extensão da teoria para o caso de duas variáveis e
executando determinadas aplicações, com objetivo de destacar características relevantes,
corrigir defeitos, atenuar ruídos, obter informações quantitativas e qualitativas de imagens,
incluindo a elaboração de filtros específicos para realização dessas tarefas. Dessa forma,
apresentamos como é possível aplicar a Transformada de Fourier em uma imagem e em
seguida aplicar a inversa e obter, praticamente, a imagem original, como utilizar filtros
para atenuar ou ressaltar ruídos, como detectar bordas, como aplicar o algoritmo de
luminância e, por fim, como realizar a restauração de uma imagem.
xi
Sumário
1 Aspectos Básicos das Séries de Fourier 1
1.1 Introdução às Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Séries de Fourier de Funções Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Séries em Senos e Séries em Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Alguns Aspectos de Convergência das Séries de Fourier . . . . . . . . . . . 10
2 Transformada Contínua de Fourier 15
2.1 Definição de Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Propriedades da Transformada Contínua de Fourier . . . . . . . . . . . . . 15
3 A Transformada Discreta de Fourier 19
3.1 Obtenção da DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Propriedades Básicas da DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Transformada Discreta do Seno e do Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Relação entre DFT e Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 A Transformada Rápida de Fourier 27
4.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Como foram produzidos os gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Séries e Transformadas de Fourier no Processamento de Sinais e Ima-
gens 35
5.1 Transformada de Fourier em duas dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Propriedades da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Teorema da Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5 Função de Transferência Óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.6 Processo de Deconvolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Processamento de Imagem 45
6.1 Digitalização de Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.1.1 Imagem Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.1.2 Representação de uma Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
xii Sumário
6.2 Operações com Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7 Aplicações 53
7.1 Ilustração dos Canais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Transformada e Transformada Inversa de Fourier. . . . . . . . . . . . . . 54
7.3 Fator log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.4 Filtro Butterworth Passa-baixa e Passa-alta e Filtro Gaussiana Passa-Baixa
e Passa-Alta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.5 Detecção de Bordas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.6 Luminância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.7 Borramento de uma Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.8 Correção de Desfocagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
xiii
Lista de Figuras
1.1 A função g(t) = t periodificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Primeira harmônica da função g(t) = t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Soma das duas primeiras harmônicas da função g(t) = t . . . . . . . . . . . 5
1.4 Soma das quatro primeiras harmônicas da função g(t) = t . . . . . . . . . . 6
1.5 Soma das oito primeiras harmônicas da função g(t) = t . . . . . . . . . . . 6
1.6 Soma das 16 primeiras harmônicas da função g(t) = t . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Soma das 32 primeiras harmônicas da função g(t) = t . . . . . . . . . . . . 6
1.8 Soma das 512 primeiras harmônicas da função g(t) = t . . . . . . . . . . . 7
1.9 Função não-diferenciável em parte alguma de Weierstrass . . . . . . . . . . 11
4.1 Ilustração de manchas solares por Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Número de manchas solares, média mensal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Número de manchas solares, média mensal suavizada (50 harmônicos) . . . 29
4.4 Número de manchas solares, média mensal e média mensal suavizada . . . 30
4.5 Valor absoluto da Transformada Discreta de Fourier. O pico em destaque
refere-se a 24a harmônica. Como o período amostrado é T = 262.25 anos,
isso significa que a atividade solar possui uma variação distintiva que ocorre
de T/24 = 10.927 anos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6 Estimativa do número de manchas solares nos próximos anos, com intervalo
de confiança estimado usando o desvio padrão das observações . . . . . . . 30
6.1 Representação da Imagem no Formato Matricial . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.1 Imagem Original Colorida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Representação do Canal R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.3 Representação do Canal G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.4 Representação do Canal B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.5 Representação da Imagem Original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.6 Representação da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.7 Representação da Imagem Original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.8 Representação da Transformada Inversa de Fourier . . . . . . . . . . . . . 55
7.9 Imagem Original / Imagem com redução de contraste . . . . . . . . . . . . 55
xiv Lista de Figuras
7.10 Representação da Imagem Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.11 Filtro Butterworth Passa-Baixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.12 Filtro Butterworth Passa-Alta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.13 Representação da Imagem Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.14 Filtro Gaussiana Passa-Baixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.15 Filtro Gaussiana Passa-Alta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.16 Representação do filtro Butterworth Passa-Baixa . . . . . . . . . . . . . . 56
7.17 Representação do filtro Butterworth Passa-Alta . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.18 Representação da imagem filtrada Butterworth Passa-Baixa . . . . . . . . 57
7.19 Representação da imagem filtrada Butterworth Passa-Alta . . . . . . . . . 57
7.20 Representação da imagem filtrada Gaussiana Passa-Baixa . . . . . . . . . . 57
7.21 Representação da imagem filtrada Gaussiana Passa-Alta . . . . . . . . . . 57
7.22 Imagem Original / Detecção de Bordas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.23 Imagem Original Colorida/Luminância da imagem . . . . . . . . . . . . . . 61
7.24 Imagem Real Colorida / Imagem Borrada por uma gaussiana . . . . . . . . 61
7.25 Imagem Borrada / Imagem Restaurada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1
Capítulo 1
Aspectos Básicos das Séries de Fourier
1.1 Introdução às Séries de Fourier
O conceito de somar uma quantidade infinita de números reais ou complexos remonta às
idéias originais de Arquimedes. Ele provavelmente foi o primeiro a divisar um método
(que chamou de exaustão) segundo o qual é possível atribuir significado numérico (conver-
gência) a essas somas. Por meio desse método ele obteve uma aproximação muito precisa
do número pi, entre outros feitos notáveis.
A idéia de representar funções por meio de séries surgiu na Índia por volta do século
XIV, período no qual foram concebidas as técnicas precursoras para tratar do que hoje
é conhecido como Séries de Potências. Exemplos particulares desse tipo de série são as
Séries de Taylor e de Maclaurin, ensinadas em cursos regulares de Cálculo. Estas surgem
como limite de séries polinomiais, e permitem representar uma coleção razoavelmente
grande de funções definidas em um intervalo (chamado intervalo de convergência).
Outros tipos de séries existem e são mais apropriadas para representar funções perió-
dicas definidas na reta em termos de senos e de cossenos. Em homenagem a Jean-Baptiste
Joseph Fourier (1768-1830), que foi o primeiro a estudar sistematicamente tais séries, pas-
samos a chamá-las Séries de Fourier. Outros pesquisadores, como Euler, D'Alembert e
Bernoulli já haviam se deparado com esse conceito mas não haviam chegado a desenvolvê-
lo no mesmo grau de profundidade e abrangência obtidos por Fourier.
Neste capítulo vamos seguir os passos de Fourier, introduzindo o conceito de Série de
Fourier e estudar algumas de suas propriedades imediatas. Tendo em vista pretendermos
realizar aplicações específicas desse conceito, não vamos abordar completamente todos os
aspectos dessa teoria.
O tratamento moderno das Séries de Fourier expressa essas séries como somas infinitas
de exponenciais complexas, cuja definição é a seguinte:
Definição 1.1. Seja x um número real. Chama-se exponencial complexa de x o número
complexo
eix = cosx+ i senx
2 1. Aspectos Básicos das Séries de Fourier
.
É fácil ver que as exponenciais complexas são funções periódicas de período igual a
2pi. A fim de utilizá-las para modelar funções com outros períodos, por exemplo, igual a
P , basta notar que ei2pint/P são funções periódicas de período P para todo n ∈ Z.
Definição 1.2. Seja f : R −→ C uma função periódica, com período P , P > 0, se
f(t+ P ) = f(t),∀t ∈ R
Dizemos que P é chamado período fundamental, se P for o menor real positivo possível.
Portanto, F =
1
P
é definida como frequência fundamental.
Suponhamos que
f(t) =
+∞∑
n=−∞
cne
i2pint/P .
Então, ei2pint/P possui período fundamental igual a
P
n
e frequência fundamental igual a
nF , ou seja, um múltiplo da frequência fundamental de f . Por essa razão a frequência
nF é chamada harmônica de F .
Teorema 1.3 (Ortogonalidade de Exponenciais Complexas). Para todos os inteiros m e
n, as exponenciais complexas de período P , satisfazem a seguinte relação de ortogonalidade
1
P
∫ t0+P
t0
ei2pimt/P e−i2pint/Pdt =
{
0 para m 6= n
1 para m = n,
para todo t0 ∈ R.
Na linguagem da Álgebra Linear esse Teorema significa que o conjunto das exponen-
ciais complexas de período P forma um conjunto ortonormal.
Demonstração. Por simplicidade o Teorema será provado para o caso t0 =0 e P = 2pi. A
demonstração do caso geral será análoga. Então teremos
1
2pi
∫ 2pi
0
ei2pimt/2pie−i2pint/2pidt =
1
2pi
∫ 2pi
0
eimte−intdt
=
1
2pi
∫ 2pi
0
ei(m−n)tdt
=
1
2pi
∫ 2pi
0
cos((m− n)t)dt+ i
2pi
∫ 2pi
0
sen((m− n)t)dt
Se tivermos m 6= n, então:
1
2pi
∫ 2pi
0
cos((m− n)t)dt = 1
2pi
[
sen((m− n)t)
(m− n)
]2pi
0
= 0
1.1. Introdução às Séries de Fourier 3
e
i
2pi
∫ 2pi
0
sen((m− n)t)dt = i
2pi
[
cos((m− n)t)
(m− n)
]2pi
0
= 0.
Mas, se m = n, temos:
1
2pi
∫ 2pi
0
eimte−intdt =
1
2pi
∫ 2pi
0
ei(m−n)tdt
=
1
2pi
∫ 2pi
0
1dt
=
1
2pi
[t]2pi0
= 1
Definição 1.4. Se uma função f tem período P , então os coeficientes de Fourier {cn} de
f são definidos por
cn =
1
P
∫ P
0
f(t)e−i2pint/Pdt,
para todo n inteiro. Usando os coeficientes {cn}, podemos definir a série
f ∼
+∞∑
n=−∞
cne
i2pint/P
chamada Série de Fourier de f .
Exemplo 1.5. Vamos determinar a Série de Fourier da função f(t) = t periodificada, no
intervalo [−pi, pi] com período 2pi. Solução: (1) Para n = 0, temos:
cn =
1
P
∫ P
0
f(t)e−12pint/Pdt
c0 =
1
2pi
∫ pi
−pi
tdt = 0
(2) Para n 6= 0, temos:
cn =
1
2pi
∫ pi
−pi
te−intdt =
1
2pi
∫ pi
−pi
t cos(nt)dt− i
2pi
∫ pi
−pi
t sen(nt)dt.
Mas, por um lado,
1
2pi
∫ pi
−pi
t cos(nt)dt = 0,
4 1. Aspectos Básicos das Séries de Fourier
e por outro lado, ∫ pi
−pi
t sen(nt)dt =
[
t cos(nt)
n
]pi
−pi
−
∫ pi
−pi
1
cos(nt)
n
dt
=
[
t cos(nt)
n
]pi
−pi
−
[
sen(nt)
n
]pi
−pi
=
2pi cos(npi)
n
logo,
cn = 0 +
i
2pi
· 2pi cos(npi)
n
=
i cos(npi)
n
=
i(−1)n
n
.
Portanto,
f ∼
+∞∑
n=−∞
cne
i2pint/P = i
+∞∑
n=−∞, n 6=0
(−1)n
n
eint
é a Série de Fourier da função f(t) = t periodificada.
Um gráfico da função f(t) = t periodificada está apresentado na Figura (??). As
figuras (??), (??), (??), (1.5) e (??) exibem as somas dos primeiros termos da série para
comparação com a função original. Vemos que parece haver convergência da série, mas é
notável a acumulação dos erros próximo aos pontos de descontinuidade. Isso é conhecido
como fenômeno de Gibb.
Mais adiante mostraremos que essa série converge uniformemente para uma função h(t)
que difere da função f(t) nos pontos t, onde a função é descontínua. Portanto, podemos
somar a série em qualquer ordem que desejarmos. Por exemplo, podemos agrupar os
termos cujos índices são simétricos:
+∞∑
n=−∞
cne
int = c0 +
+∞∑
n=1
(cne
int + c−ne−int)
onde cada termo desta série representa uma harmônica. Com isso, temos:
cne
int =
i(−1)n
n
(cos(nt) + i sen(nt))
=
(−1)n
n
(i cos(nt)− sen(nt))
= −(−1)
n
n
sen(nt) + i
(−1)n
n
cos(nt)
e também,
cne
int + c−ne−int = cneint + cneint
= 2Re(cne
int)
= −2((−1)
n
n
sen(nt)
1.2. Séries de Fourier de Funções Reais 5
Portanto,
f ∼ −
+∞∑
n=1
2(−1)n
n
sen(nt)
Abaixo estão alguns gráficos da função f(t) = t.
x
y
−pi pi
Figura 1.1: A função g(t) = t periodificada
x
y
−pi pi
Figura 1.2: Primeira harmônica da função g(t) = t
x
y
−pi pi
Figura 1.3: Soma das duas primeiras harmônicas da função g(t) = t
1.2 Séries de Fourier de Funções Reais
Seja f seja uma função real, então os coeficientes de Fourier de f no intervalo [0, P ] são
dados por
cn =
1
P
∫ P
0
f(t)e−i2pint/Pdt
6 1. Aspectos Básicos das Séries de Fourier
x
y
−pi pi
Figura 1.4: Soma das quatro primeiras harmônicas da função g(t) = t
x
y
−pi pi
Figura 1.5: Soma das oito primeiras harmônicas da função g(t) = t
x
y
−pi pi
Figura 1.6: Soma das 16 primeiras harmônicas da função g(t) = t
x
y
−pi pi
Figura 1.7: Soma das 32 primeiras harmônicas da função g(t) = t
Podemos também escrever a Série de Fourier de f numa forma real, da seguinte ma-
neira
f ∼ c0 +
∞∑
n=1
2<cnei2pint/P (1.1)
onde Re representa a parte real de um número complexo. Além disso, cn pode ser escrito
1.2. Séries de Fourier de Funções Reais 7
x
y
−pi pi
Figura 1.8: Soma das 512 primeiras harmônicas da função g(t) = t
como um número complexo, de acordo com as igualdades abaixo:
cn =
1
P
∫ P
0
f(t)e−i2pint/Pdt
=
1
P
∫ P
0
f(t) cos
2pint
P
dt− i
P
∫ P
0
f(t) sen
2pint
P
dt
=
1
2
An − i
2
Bn
Onde An e Bn são definidos por:
An =
2
P
∫ P
0
f(t) cos
2pint
P
dt
Bn =
2
P
∫ P
0
f(t) sen
2pint
P
dt
Agora, é possível obter uma aproximação para a função f utilizando o coeficiente cn
e a exponencial ei2pint/P da seguinte forma:
cn =
1
2
An − i
2
Bn
ei2pint/P = cos
2pint
P
+ i sen
2pint
P
Assim, da equação1.1 temos:
f ∼ c0 +
∞∑
n=1
{
An cos
2pint
P
+Bn sen
2pint
P
}
Portanto, supondo que c0 = A0/2, podemos definir a forma real da Série de Fourier
de uma função f , com intervalo [0, P ] de acordo com a seguinte fórmula:
f ∼ 1
2
A0 +
∞∑
n=1
{
An cos
2pint
P
+Bn sen
2pint
P
}
8 1. Aspectos Básicos das Séries de Fourier
Agora, podemos definir a soma parcial SM por:
SM(t) =
M∑
n=−M
cne
i2pint/P
onde M representa o número de harmônicas na soma parcial.
E, apresentando como forma real a seguinte equação:
SM(t) =
1
2
A0 +
M∑
n=1
{
An cos
2pint
P
+Bn sen
2pint
P
}
1.3 Séries em Senos e Séries em Cossenos
Nesta subseção vamos estudar as séries em senos e séries em cossenos como casos especiais
interessantes das Séries de Fourier, tornando evidentes certos aspectos de simetria como
paridade par ou ímpar.
Definição 1.6. Uma função f é chamada ímpar no intervalo [−L,L] se f(−t) = −f(t)
para cada valor de t. Uma função é chamada par no intervalo [−L,L] se f(−t) = f(t)
para cada valor de t.
Sabemos do Cálculo que se uma função f for ímpar no intervalo [−L,L], então∫ L
−L
f(t)dt = 0
e se f é uma função par no intervalo [−L,L], então∫ L
−L
f(t)dt = 2
∫ L
0
f(t)dt
Vamos agora considerar a Série de Fourier de uma função ímpar f no intervalo [−L,L],
sendo 2L o período para todas as exponencias complexas. Nesse caso, teremos
cn =
1
2L
∫ L
−L
f(t)e−i2pint/2Ldt
=
1
2L
∫ L
−L
f(t) cos(npit/L)dt− i
2L
∫ L
−L
f(t) sen(npit/L)dt
= − i
L
∫ L
0
f(t) sen(npit/L)dt,
pois, f(t) cos(npit/L) é ímpar e f(t) sen(npit/L) é par.
É fácil ver que c−n = −cn, logo, podemos expressar esta série como uma série em
1.3. Séries em Senos e Séries em Cossenos 9
senos, ou seja,
f ∼
+∞∑
n=−∞
cne
i2pint/2L =
−1∑
n=−∞
cne
ipint/L +
+∞∑
n=1
cne
ipint/L
=
+∞∑
n=1
cn
(
eipint/L − e−ipint/L)
=
+∞∑
n=1
(2icn) sen(npit/L)
Por simplicidade, definindo Bn = 2icn, podemos finalmente escrever
f ∼
+∞∑
n=1
Bn sen(npit/L)
onde
Bn =
2
L
∫ L
0
f(t) sen(npit/L)dt.
Nota: Bn é real.
Em seguida faremos o mesmo, porém considerando f uma função par no intervalo
[−L,L]. Nesse caso veremos que a Série de Fourier de f resultará em uma série em
cossenos. Para isso, seja
cn =
1
2L
∫ L
−L
f(t) cos(npit/L)dt− i
2L
∫ L
−L
f(t) sen(npit/L)dt
cn =
1
L
∫ L
0
f(t) cos(npit/L)dt.
Agora é fácil ver que c−n = cn, logo
f ∼
+∞∑
n=−∞
cne
i2pint/2L = c0 +
+∞∑
n=1
cn
(
eipint/L + e−ipint/L
)
= c0 +
+∞∑
n=1
2cn cos(npit/L).
Uma vez mais, definindo An = 2cn, temos então a série em cossenos da função t,
f ∼ 1
2
A0 +
+∞∑
n=1
An cos(npit/L)
onde
An =
2
L
∫ L
0
f(t) cos(npit/L)dt.
Para concluir, vimos que a Série de Fourier de uma função ímpar resulta ser simples-
10 1.Aspectos Básicos das Séries de Fourier
mente uma série em senos e a Série de Fourier de uma função par resulta simplesmente
em uma série em cossenos.
1.4 Alguns Aspectos de Convergência das Séries de
Fourier
Com relação aos aspectos de convergência das Séries de Fourier encontramos o Fenômeno
de Gibb's e a Convergência Uniforme. O Fenômeno de Gibb revela os erros que vão se
acumulando em torno dos pontos de descontinuidade, ou seja, uma das características das
Séries de Fourier é a de que os erros de aproximação tendem a se acumular nos extremos.
A Convergência Uniforme ocorre quando as somas parciais tendem uniformemente sobre
algum intervalo de uma função.
Nas Figuras de 1.1 a 1.6 temos exemplos da ocorrência do Fenômeno de Gibb's.
Teorema 1.7. Seja f uma função contínua com período P, com derivada f ′ contínua por
partes. Então a soma parcial das Séries de Fourier para f converge uniformemente para
f sobre toda reta real. Em particular temos
lim
M→∞
sup
t∈R
|f(t)− SM(t)| = 0
A demonstração deste Teorema se encontra em [14, Capítulo 2.4].
Observação: O que este Teorema revela é que as funções que satisfazem as condições
dadas são iguais as Séries de Fourier.
Podemos nos perguntar o que acontece se uma Série de Fourier for prescrita atribuindo
valores arbitrariamente para seus coeficientes (construir uma série). O próximo resultado
nos da condições suficientes para que essa série seja uniformemente convergente para uma
função contínua e periódica.
Teorema 1.8. Se
∑+∞
n=−∞ |cn| converge, então a Série de Fourier
∑+∞
n=−∞ cne
i2pint/P
con-
verge uniformemente para uma função contínua f , com período P .
A demonstração deste Teorema se encontra em [14, Capítulo 1.5].
A título de exemplo podemos considerar a seguinte Série de Fourier real
1 +
+∞∑
n=1
cos(2nt)
2n
= 1 +
cos(2t)
2
+
cos(4t)
4
+
cos(8t)
8
+ ...
Observando que
| cos 2nt|
2n
≤ 1
2n
,
vemos facilmente que, pelo Teorema 1.8 que a série converge para uma função f(t). De
1.4. Alguns Aspectos de Convergência das Séries de Fourier 11
fato,
|f(t)− S2N(t)| =
∣∣∣∣∣
+∞∑
n>N
cos 2nt
2n
∣∣∣∣∣ ≤
+∞∑
n>N
| cos 2nt|
2n
.
Como | cos 2nt| ≤ 1 e ∑+∞n>N 12n = 12N , temos |f(t)− S2N(t)| ≤ 12N . Portanto, temos que
sup
t∈R
|f(t)− S2N(t)| ≤ 1
2N
Verificando assim que a função é contínua para todos os valores de t. É interessante
observar que a função f(t) imaginava ser exemplo de função contínua que não possui
derivada em parte alguma, chamada Função de Weirstrass, ilustrada na Figura 1.4
t
y
pi pi
−1
2
1
Figura 1.9: Função não-diferenciável em parte alguma de Weierstrass
No entanto, recentemente [2], mostrou-se que tal conjectura é falsa.
Definição 1.9. Uma função f é dita ser Lipschitz à direita de t se tivermos para as
constantes positivas A, α e δ |f(t+ h)− f(t+)| ≤ Ahα, para 0 < h < δ.
Analogamente, a função f é dita ser Lipschitz à esquerda de t se para alguma constante
positiva B, β e ε |f(t− h)− f(t−)| ≤ Bhβ, para 0 < h < ε.
A partir dessa definição podemos verificar o seguinte Teorema.
Teorema 1.10. Seja f uma função contínua por partes com período P . Para cada ponto
t onde f é Lipschitz à esquerda e à direita temos
+∞∑
n=−∞
cne
i2pint/P =
1
2
[f(t+) + f(t−)]
A demonstração deste Teorema encontra-se em [14, Capítulo 2.3].
Observação: Obviamente que nos pontos t onde f é contínua teremos
+∞∑
n=−∞
cne
i2pint/P = f(t).
12 1. Aspectos Básicos das Séries de Fourier
Um outro aspecto de convergência das Séries de Fourier é a Convergência Pontual.
Para analisar a convergência pontual de uma Série de Fourier considera-se um valor pon-
tual de t, (t é constante), verificando o limite das somas parciais de tal série. A con-
vergência pontual ocorre quando as derivadas laterais são iguais e a função é contínua.
Nesta parte do trabalho, analisaremos o limite das somas parciais das Séries de Fourier
em qualquer ponto.
Seja f uma função com período P , desenvolvida em uma série de exponencias com-
plexas dada por:
f(t) =
+∞∑
n=−∞
cne
i2pint/P
Sendo a igualdade acima válida somente se
lim
M→+∞
SM(t) = f(t)
Por exemplo, podemos tomar as funções f(t) =| t− 2 | +1 ou a função h(t) =| t |.
É possível obter a convergência pontual das Séries de Fourier de Senos e de Cossenos
por meio da convergência pontual das Séries de Fourier.
Teorema 1.11 (Convergência Pontual de Séries de Fourier de Seno). Seja f uma função
contínua por partes no intervalo [0,L]. Nos pontos 0 e L a série do seno para a função f
é igual a zero e para 0 < t < L temos
+∞∑
n=1
Bn
sen(npit)
L
=
1
2
[f(t+) + f(t−)]
onde t é um ponto em que f tem derivada à direita e à esquerda.
Podemos também obter
lim
M→+∞
SM(t) =
1
2
[f(t+) + f(t−)]
onde a função SM é a soma parcial contendo M harmônicas, dada por
SM(t) =
M∑
n=1
Bn sen
(npit)
L
De fato,
Teorema 1.12 (Convergência Pontual das Séries de Fourier de Cossenos). Seja f uma
função contínua por partes em [0,L]. No ponto 0 a Série de Fourier do cosseno converge
para f(0+) ou seja, tem derivada a direita em 0. No ponto L a Série de Fourier do
cosseno converge para f(L−) desde que f tenha derivada esquerda de L. Para 0 < t < L
1.4. Alguns Aspectos de Convergência das Séries de Fourier 13
temos, desde que f tenha derivada direita e esquerda de t:
1
2
A0 +
+∞∑
n=1
An cos
npit
L
=
1
2
[f(t+) + f(t−)]
A definição mais precisa de convergência neste Teorema é a de que
lim
M→+∞
SM(t) =
1
2
[f(t+) + f(t−)]
onde
SM(t) =
1
2
A0 +
M∑
n=1
An cos
npit
L
E, a função SM é denominada de soma parcial da Série de Fourier de cosseno contendo
M harmônicas.
14 1. Aspectos Básicos das Séries de Fourier
15
Capítulo 2
Transformada Contínua de Fourier
2.1 Definição de Transformada de Fourier
A Transformada de Fourier refere-se à Transformada de Fourier para funções contínuas, e
esta por sua vez detecta frequências e representa qualquer função integrável f(t) como a
soma de exponenciais complexas com frequência angular ω e amplitude complexa F(f)(ω):
F(f)(ω) =
∫ +∞
−∞
f(t)e−itωdt
f(t) = F−1(F(ω)) = 1
2pi
∫ +∞
−∞
F(ω)eiωtdω
A função f(ω) carrega toda informação da função f , pois F possui inversa, F−1.
A Transformada de Fourier da função f de domínio temporal passa para o domínio de
frequência. A Transformada de Fourier apresenta várias operações geralmente calculadas
em funções, por exemplo: combinações lineares, diferenciação, translação, dilatação, mul-
tiplicação por polinômios e convolução. Pode-se provar que [10], de fato, F(F−1(F )) = F
e F−1(F(f)) = f , ou seja, F e F−1 são inversas uma da outra.
Definição 2.1. Uma função f : R −→ R é absolutamente integrável sobre um intervalo
real [a, b] se ∫ b
a
|f(t)|dt < +∞
Da mesma forma podemos definir uma função f : R −→ R como sendo absolutamente
integrável sobre a reta R se ∫ +∞
−∞
|f(t)|dt < +∞
2.2 Propriedades da Transformada Contínua de Fourier
Propriedade1 (Linearidade) Sejam f, g : R −→ C funções absolutamente integráveis e
16 2. Transformada Contínua de Fourier
a, b ∈ R, então
F(af + bg) = aF(f) + bF(g)
Prova:
F(af + bg)(ω) =
∫ +∞
−∞
(af(t) + bg(t))e−iωtdt
= a
∫ +∞
−∞
f(t)e−iωtdt+ b
∫ +∞
−∞
g(t)e−iωtdt
= aF(f)(ω) + bF(g)(ω).
Propriedade2 (Transformada de Fourier de uma Translação) Seja f : R −→ C uma
função absolutamente integrável, então
F(f(t− a))(ω) = e−iωaF(f(t))(ω)
onde a > 0 e indica o valor da translação, o quanto a função foi transladada.
Reciprocamente,
F(eiatf(t))(ω) = F(f(t))(ω − a)
Prova:
F(f(t− a))(ω) =
∫ +∞
−∞
f(t− a)e−iωtdt
=
∫ +∞
−∞
f(u)e−iω(u+a)du
= e−iωa
∫ +∞
−∞
f(u)e−iωudu
= e−iωaF(f(t))(ω).E, para a outra fórmula temos:
F(eiatf(t))(ω) =
∫ +∞
−∞
eiatf(t)e−iωtdt
=
∫ +∞
−∞
f(t)e−i(ω−a)tdt
= F(f(t))(ω − a).
Propriedade3 (Transformada de Fourier de uma Dilatação) Seja f : R −→ C uma
função absolutamente integrável, e a 6= 0, então
F(f(at))(ω) = 1|a|F(f)
(ω
a
)
2.2. Propriedades da Transformada Contínua de Fourier 17
Em particular,
F(f(−t))(ω) = F(f)(−ω)
Prova: Para a > 0 temos
F(f(at))(ω) =
∫ +∞
−∞
f(at)e−iωtdt
=
∫ +∞
−∞
f(u)e−iωu/a
du
a
=
1
a
∫ +∞
−∞
f(u)e−i
ω
a
udu
=
1
a
F(f(t))
(ω
a
)
Para a < 0 temos:
F (f(ax))(w) =
∫ +∞
−∞
f(at)e−iωtdt
=
∫ +∞
−∞
f(t)e−i
ω
a
t 1
a
dt
= −1
a
∫ +∞
−∞
f(t)e−i
ω
a
t 1
a
dt
= −1
a
F(f(t))
(ω
a
)
Portanto, F(f(at))(ω) = 1|a|F(f)
(
ω
a
)
.
18 2. Transformada Contínua de Fourier
19
Capítulo 3
A Transformada Discreta de Fourier
Vimos no Capítulo anterior que a Transformada Contínua de Fourier é aplicável a fun-
ções definidas na reta. No entanto, muitas aplicações requerem reduzir o domínio a um
determinado intervalo. Por exemplo, para um engenheiro não importa muito o comporta-
mento de uma função (sinal) em instantes de tempo anteriores à criação do equipamento
e posteriores a sua destruição. Ademais, as tecnologias digitais muito empregadas hoje
em dia requerem a discretização das funções, reduzindo-as a uma lista finita de números
(amostras).
Neste Capítulo vamos obter uma versão discreta da Transformada de Fourier a par-
tir da discretização (amostragem) da Série de Fourier. Veremos que os coeficientes da
Transformada Discreta de Fourier (DFT) nos fornece uma aproximação para os respecti-
vos coeficientes da Série de Fourier. Um resultado importante da Teoria da Informação
chamado Teorema da Amostragem afirma que, sob certas condições, essas aproximações
podem de fato ser exatas se a taxa de amostragem for suficientemente grande. Não vamos
enunciar esse Teorema que realiza a análise de sequências periódicas ou funções, sendo
assim representada a partir da análise de Fourier por meio de uma combinação linear de
exponenciais complexas, ou seja, é realizada uma amostragem da função. A Transformada
Discreta de Fourier(DFT) fornece uma aproximação para os coeficientes de Fourier. As
Séries de Fourier podem ser discretizadas resultando na DFT. Abaixo faremos a derivação
da DFT a partir da discretização das Séries de Fourier.
3.1 Obtenção da DFT
A DFT refere-se à obtenção através da aproximação dos coeficientes de Fourier. Consi-
derando o k-ésimo coeficiente ck da Série de Fourier para uma função f , com período P
de exponenciais complexas,
ck =
1
P
∫ P
0
f(x)e−i2pikx/Pdx
20 3. A Transformada Discreta de Fourier
e aproximando esta integral pela extremidade esquerda da soma uniforme de Riemann
temos:
ck ≈ 1
P
N−1∑
j=0
f(xj)e
−i2pikj/P P
N
em que xj = j
P
N
para j = 0, 1, . . . , N − 1.
Portanto, para esta escolha de pontos xj podemos escrever:
ck ≈ 1
N
N−1∑
j=0
g
(
j
P
N
)
e−i2pikj/N
possibilitando assim fazer a seguinte definição abaixo.
Definição 3.1. Dados N números complexos, {hj}N−1j=0 sua DFT de N pontos é denotada
por Hk onde Hk é definida por
Hk =
N−1∑
j=0
hje
−i2pijk/N
para todos os inteiros k = 0,±1,±2, . . .
Um exemplo para o cálculo da DFT de N pontos seria a demonstração da seguinte
igualdade
Hk =
1− e−cN
1− e−c−i2pik/N (3.1)
considerando hj = e
−jc
para j = 0, 1, . . . , N − 1 e c uma constante.
Solução: Pela definição da DFT de N pontos podemos escrever:
Hk =
N−1∑
j=0
e−jce−i2pijk/N =
N−1∑
j=0
ej(−c−2pik/N)
Substituindo r = e−c−2ipik/N na fórmula para soma de uma série geométrica finita,
1 + r + r2 + . . .+ rN−1 =
1− rN
1− r
obtemos:
1− rN
1− r =
1− (e−c−2ipik/N)N
1− e−c−2ipik/N =
1− eN(−c−2ipik/N)
1− e−c−2ipik/N
Desta forma, Hk é dada por
Hk =
1− eN(−c−2ipik/N)
1− e−c−2ipik/N =
1− (e−cNe−i2pik)
1− e−c−2ipik/N
3.1. Obtenção da DFT 21
Além disso, como e−i2pik = 1 podemos reescrever a igualdade acima obtendo:
Hk =
1− e−cN
1− e−c−i2pik/N
comprovando que 3.1 é verdadeira.
Podemos também observar o exemplo abaixo,
Exemplo 3.2. Seja g(t) = e−t, no intervalo [0, 10]. Compare ambos os lados da seguinte
aproximação ck ≈ 1
N
N−1∑
j=0
g
(
j
P
N
)
e−i2pikj/N .
Solução:
ck =
1
P
∫ P
0
g(x)e−i2pikx/Pdx
=
1
10
∫ 10
0
e−xe−i2pikx/Pdx
=
1
10
∫ 10
0
e(−1−i2pik/10)xdx
=
1
10
1
−1− i2pik
10
[
e(−1−i2pik/10)x
]10
0
=
1− e−10e−12pik
10 + i2pik
=
1− e−10
10 + i2pik
Por outro lado, para Gk/N temos:
1
N
Gk =
1
N
N−1∑
j=0
g(j
P
N
)e−i2pijk/N
1
N
Gk =
1
N
N−1∑
j=0
e−j(10/N)e−i2pijk/N
Sabemos que
Hk =
1− e−cN
1− e−c−i2pik/N
então, para c =
10
N
temos:
1
N
Gk =
1
N
1− e−10
1− e−( 10+i2pikN )
e,
1
N
Gk ≈ 1
N
1− e−10
(10 + i2pik/N)
=
1− e−10
10 + 2ipik
= ck.
22 3. A Transformada Discreta de Fourier
Então,
1
N
Gk ≈ 1
N
1− e−10
(10 + i2pik)/N
=
1− e−10
10 + i2pik
= ck
Esta aproximação será boa se N for suficientemente grande.
3.2 Propriedades Básicas da DFT
Linearidade, periodicidade e inversão são algumas propriedades básicas da DFT. A pro-
priedade de inversão permite definir o inverso da DFT e remover a assimetria entre a
sequência original de comprimento N e a sequência transformada de comprimento infi-
nito. E uma consequência desta propriedade é que não há duas sequências distintas que
podem ter a mesma DFT. Neste contexto, e−i2pi/N ou ei2pi/N serão representados por ω.
E, em cada caso temos ωN = 1.
Teorema 3.3. Suponha que a sequência {hj}N−1j=0 tenha DFT {Hk} de N pontos e a
sequência {gj}N−1j=0 tenha DFT {Gk} de N pontos. Então, tém-se as seguintes proprieda-
des:
a) Linearidade
Para as todas constantes complexas a e b, a sequência {ahj + bgj}N−1j=0 tem DFT {aHk +
bGk} de N pontos.
b) Periodicidade
Para todos os inteiros k temos Hk+N = Hk
c) Inversão
Para j = 0, 1, . . . , N − 1 temos
hj =
1
N
N−1∑
k=0
hje
−i2pijk/N
A demonstração deste Teorema segue imediatamente das propriedades básicas das
Séries de Fourier.
Definição 3.4. Se {Gk}N−1k=0 é uma sequência de N números complexos, então a sua DFT
inversa de N pontos é dada por
gj =
N−1∑
k=0
Gke
i2pijk/N
para todos inteiros j = 0, 1±, 2±, . . .
3.3. Transformada Discreta do Seno e do Cosseno 23
Para ω = ei2pi/N a DFT inversa também tem as propriedades de linearidade, periodi-
cidade e inversão. E para a DFT inversa a fórmula é dada por:
Gk =
1
N
N−1∑
j=0
gje
−i2pijk/N
3.3 Transformada Discreta do Seno e do Cosseno
A transformada discreta do seno e do cosseno de uma função f são as integrais definidas
pela parte imaginária e pela real da transformada de Fourier de f respectivamente. O
k-ésimo coeficiente BK do seno de uma função f de valor real durante o intervalo [0, L] é
definido por:
Bk =
2
L
∫ L
0
f(t) sen
kpit
L
dt (3.2)
Da mesma forma, o k-ésimo coeficiente Ak do cosseno é definido por:
Ak =
2
N
∫ L
0
f(t) cos
kpit
L
dt (3.3)
Definição 3.5. Para uma sequência real {hj}N−1j=1 a Transformada Discreta do Seno
(DST), {H}Sk é definida por
{H}Sk =
N−1∑
j=1
hj sen
pijk
N
Definição 3.6. Para uma sequência real {hj}N−1j=0 a Transformada Discreta do Cosseno
(DCT), {H}Ck é definida por
{H}Ck =
N−1∑
j=0
hj cos
pijk
N
Para derivar a transformada discreta do seno aproximamos a equação (3.2) utilizando
a extremidade esquerda da soma de Riemann uniforme, obtendo:
Bk ≈ 2
N
N−1∑
j=1
g
(
j
L
N
)
sen
pijk
N
Portanto, para derivar a transformada discreta doseno basta aproximar a equação
(3.3) pela extremidade esquerda da soma de Riemann uniforme,
Ak ≈ 2
N
N−1∑
j=0
g
(
j
L
N
)
cos
pikj
N
24 3. A Transformada Discreta de Fourier
3.4 Relação entre DFT e Série de Fourier
Nesta seção estabeleceremos uma outra relação entre as Séries de Fourier e a Transformada
Discreta de Fourier, que é bastante útil em aplicações, por exemplo, em processamento
de sinais.
Definição 3.7. A função generalizada Delta de Dirac é definida por
i) δ(x) = 0
ii)
∫ +∞
−∞ δ(x)dx = 1
Pode-se mostrar que o Delta de Dirac possui a seguinte propriedade:
iii)
∫ +∞
−∞ f(x)δ(x)dx = f(0)
Observação: A função δ de Dirac não é rigorosamente uma função, mas pode ser
pensada como uma medida δ tal que δ(A) = 1 e δ(A) = 0, para todo subconjunto A ⊂ R.
Nesse caso, usando a Teoria de Integração de Lebesgue poderíamos expressar (iii) como∫
R
f(t)δ(dt) = f(0)
e (ii) como ∫
R
δ(dt) = 1, pois δ(R) = 1
O uso da Teoria de Integração de Lebesgue é muito poderoso, mas está muito além do
que nos propusemos a fazer, por isso, não vamos usar essa abordagem.
Enquanto a Transformada de Fourier Contínua é aplicável ao estudo das funções secci-
onalmente contínuas em R, nas aplicações é mais conveniente estudar funções periódicas
definidas em um certo intervalo I ⊂ R. Ademais, requer-se muitas vezes que essas funções
sejam representadas por uma quantidade finita de informações ou amostras. Sabe-se pelo
Teorema da Amostragem [4], que isso é possível se a função f possui banda limitada em
I, isto é, seu espectro de frequências é limitado, se a taxa de amostragem for, pelo menos,
duas vezes maior do que a maior harmônica de f .
Sendo assim, suponhamos que P seja o período fundamental de f e que T =
P
N
, N
inteiro e positivo, seja o período da amostragem. Nas condições acima, f : R −→ C
periódica de período P está bem representada pelas amostras f(t0), f(t1), . . . , f(tN −
1) onde ti = iT , no intervalo I = [0, P ] ou mais convenientemente em
[−T
2
, P − T
2
]
.
Consideremos a função "Pente de Dirac"
∆T (t) = T
+∞∑
n=−∞
δ(t− nT )
3.4. Relação entre DFT e Série de Fourier 25
A função amostrada fs é definida por
fs(t) = f(t)∆T (t)
O coeficiente ck da Série de Fourier de fs é
ck =
1
P
∫ P
0
fs(t)e
−i2pikt/Pdt (3.4)
=
1
P
∫ P
0
f(t)T
+∞∑
n=−∞
δ(t− nT )e−i2pikt/Pdt (3.5)
=
T
P
∫ P
0
f(t)
N−1∑
n=0
δ(t− nT )e−i2pikt/Pdt (3.6)
=
T
P
N−1∑
n=0
∫ P
0
f(t)δ(t− nT )e−i2pikt/Pdt (3.7)
=
T
P
N−1∑
n=0
∫ +∞
−∞
f(u+ nT )e−i2pik(u+nT )/P δ(u)du (3.8)
=
T
P
N−1∑
n=0
f(0 + nT )e−i2pik(nT )/P (3.9)
=
1
N
N−1∑
n=0
f(tn)e
−i2pikn/N
(3.10)
Ou seja, os coeficientes de Fourier de fs são determinados pelas amostras {f(bn)}N−1n=0 .
Mas, claramente, ck é múltiplo da DFT de f , a saber ck =
1
N
DFTN(f). Segundo o
Teorema da Amostragem, os coeficientes ck calculados pela fs determinam completamente
f se T for suficientemente pequeno.
Utilizando a aproximação dos coeficientes de Fourier pela DFT dada por
ck ≈ 1
P
N−1∑
j=0
f(j
P
N
)e−i2pijk/N
é possível escrever a soma parcial de M harmônicas SM das Séries de Fourier para uma
função f da seguinte forma:
SM ≈
M∑
k=−M
1
N
Gke
i2pikt/P
(3.11)
onde Gk é a DFT de N pontos da sequência de amostras {f(jP/N)}N−1j=0 de f .
Assumindo que M ≤ N
8
e P é o período de expansão de f para a Série de Fourier, e
substituindo t pelos pontos de amostragem {jP/N}N−1j=0 obtemos a partir da aproximação
26 3. A Transformada Discreta de Fourier
(3.11)
SM(j
P
N
) ≈ 1
N
M∑
k=−M
Gke
i2pijk/N
Assim, é possível obter a DFT inversa de N pontos com peso ω = ei2pi/N da fórmula
acima da seguinte forma: Como ωN = 1, temos que ωN−k = G−k. Além disso, utilizando
Gk no lugar de Hk, por uma propriedade que a DFT satisfaz temos que GN−k = G−k.
Portanto,
SM(j
P
N
) ≈ 1
N
M∑
k=0
Gke
i2pijk/N +
1
N
M∑
k=1
G−ke−i2pijk/N
=
1
N
M∑
k=0
Gke
i2pijk/N +
1
N
M∑
k=1
GN − kei2pij(N−k)/N
=
1
N
M∑
k=0
Gke
i2pijk/N +
1
N
N−1∑
k=N−M
Gke
i2pijk/N
A aproximação abaixo expressa os valores amostrados da soma parcial das Séries de
Fourier {SM(jP/N)}N−1j=0 como a DFT inversa de N pontos, com peso ω = ei2pi/N de Hk,
multiplicada por 1/N .
SM(j
P
N
) ≈ 1
N
N−1∑
k=0
Hke
i2pijk/N .
27
Capítulo 4
A Transformada Rápida de Fourier
A Transformada Rápida de Fourier é um método muito eficiente que reordena os cál-
culos dos coeficientes de uma Transformada Discreta de Fourier (DFT). Trata-se de um
algoritmo, que realiza uma avaliação da DFT com o menor esforço computacional, ao
invés de realizar o cálculo da DFT diretamente pela definição. A FFT é uma técnica
que possibilita avaliar a DFT de forma mais rápida e econômica, sendo uma das maiores
contribuições para a análise numérica já realizada.
Considere a DFT de N pontos
Hk =
N−1∑
j=0
hjω
jk
onde ω é dado por ei2pi/N ou e−i2pi/N . Seja N uma potência de 2, dado por N = 2R, onde
R é um inteiro positivo.
O algoritmo FFT reduz pela metade a DFT de N pontos em duas somas, em termos
pares e em termos ímpares, onde cada uma torna-se uma DFT de N/2 pontos, ou seja,
Hk =
N/2−1∑
j=0
h2j︸︷︷︸
pontos pares
(ω2)jk +
N/2−1∑
j=0
h2j+1︸ ︷︷ ︸
pontos mpares
(ω2)jkωk (4.1)
Assim, de acordo com 4.1 temos:
Hk = H
0
k + ω
kH1k
onde
H0k =
N/2−1∑
j=0
h2j(ω
2)jk
e
H1k =
N/2−1∑
j=0
h2j+1(ω
2)jkωk
28 4. A Transformada Rápida de Fourier
Notando que as DFTs H0k e H
1
k de N/2 pontos tem peso ω
2
e período N/2. Além disso,
H0k define a DFT de N/2 pontos de {h0, h2, . . . , hN−2} e H1k define a DFT de N/2 pontos
de {h1, h3, . . . , hN−1}.
É possível mostrar, mas não faremos isso aqui por limitação de espaço, que esse es-
quema de cálculo permite reduzir a ordem de cálculo da DFT de O(N2) para apenas
O(N log2N).
4.1 Aplicação
Nesta seção aplicaremos a teoria das Séries e Transformadas de Fourier à análise do fenô-
meno da ocorrência das manchas solares e sua relação com os níveis de atividade solar.
Os dados para esse estudo consiste de um registro diário do número de manchas solares
coletados pelo Real Observatório Belga desde 1749 até o presente. Estes dados estão
disponíveis em [7]. Segundo Hathaway [3], Galileu Galilei fez as primeiras observações de
manchas solares em 1610, após ver pela primeira vez o sol com seu telescópio, realizando
assim observações diárias. As manchas solares são regiões em que ocorre redução de tem-
peratura e pressão das massas gasosas no Sol, apresentando coloração avermelhada. O
número de manchas solares é dado pela soma do número de manhas solares individuais
e pela multiplicação do número de grupos de manchas por dez. São realizadas médias
mensais do número de manchas, revelando assim que as estações solares se repetem apro-
ximadamente a cada 11 anos. De acordo com o Mínimo de Maunder, houve um período
em que o sol passou por inatividade e observou-se a ausência de manchas solares neste pe-
ríodo (1645-1715), conhecido como "Pequena Idade do Gelo", sugerindo que o Sol estava
em um período de atividade mais baixa e de que também poderia haver uma relação entre
as manchas solares e o clima da Terra, mas isso ainda está sendo abordado em projetos
de estudo científico. Muitos pesquisadores estão interessados em estudar e entender as
variações que ocorrem na quantidade de radiação emitida pelo Sol. E, devido à muitos
fatos importantes como estes que o trabalho torna-se relevante.
4.2 Como foram produzidos os gráficos
Esta seção apenas explica como os gráficos foram produzidos. O processamento e a geração
dos dados foram feitos usandoo programa Octave, um equivalente de código aberto ao
Matlab, que pode ser obtido gratuitamente [11]. Os gráficos propriamente ditos foram
produzidos em L
A
T
E
X utilizando os dados gerados pelo Octave e usando o pacote TikZ [9].
Primeiro os dados foram gravados em um arquivo spot_num.txt cujas linhas consistem
respectivamente do número do ano, mês, número de manchas e variância da média mensal.
O número total de amostras contidas nesse arquivo é m = 3148, e um excerto do seu
conteúdo segue abaixo (a linha pontilhada indica as linhas omitidas da listagem):
4.2. Como foram produzidos os gráficos 29
Figura 4.1: Ilustração de manchas solares por Galileu
Ano
Número de manchas
1750 1800 1850 1900 1950 2000
0
100
200
300
Figura 4.2: Número de manchas solares, média mensal
Ano
Número de manchas
1750 1800 1850 1900 1950 2000
0
100
200
300
Figura 4.3: Número de manchas solares, média mensal suavizada (50 harmônicos)
# YEAR MON SSN DEV
1749 1 58.0 24.1
1749 2 62.6 25.1
1749 3 70.0 26.6
1749 4 55.7 23.6
1749 5 85.0 29.4
1749 6 83.5 29.2
1749 7 94.8 31.1
30 4. A Transformada Rápida de Fourier
Ano
Número de manchas
1750 1800 1850 1900 1950 2000
0
100
200
300
Figura 4.4: Número de manchas solares, média mensal e média mensal suavizada
Harmônicos
Amplitude
12 24 36 48 60 72 84 96
Figura 4.5: Valor absoluto da Transformada Discreta de Fourier. O pico em destaque
refere-se a 24a harmônica. Como o período amostrado é T = 262.25 anos, isso significa
que a atividade solar possui uma variação distintiva que ocorre de T/24 = 10.927 anos.
Ano
Número de manchas
1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020
0
50
100
150
200
Figura 4.6: Estimativa do número de manchas solares nos próximos anos, com intervalo
de confiança estimado usando o desvio padrão das observações
1749 8 66.3 25.9
4.2. Como foram produzidos os gráficos 31
...
2011 1 19.0 8.0
2011 2 29.4 14.3
2011 3 56.2 24.7
2011 4 54.4 13.1
Em seguida os dados foram carregados no Octave por meio da seguinte sequência de
comandos:
> S=load('spot_num.txt');
> t=S(:,1)+(S(:,2)-1)/12;
> x=S(:,3);
Com isso, cada elemento do vetor t representa o ano e mês de ocorrência das manchas
(sua parte inteira é o ano e a fracionária é o mês), e cada elemento do vetor x é igual a
média de manchas no respectivo mês.
Para a plotagem da Figura (4.2), precisamos apenas dos dados do vetor t e do vetor x,
isto é, cada linha desse arquivo deve consistir do ano fracionário e do número de manchas
solares. O arquivo spot_table_data.txt foi criado por meio dos seguintes comandos:
> T=[t; x]';
> save('spot_table_data.txt','T');
As primeiras linhas desse arquivo são:
1749.000 58.0
1749.083 62.6
1749.167 70.0
1749.250 55.7
1749.333 85.0
1749.417 83.5
1749.500 94.8
1749.583 66.3
1749.667 75.9
1749.750 75.5
...
Em seguida, a Transformada Discreta de Fourier das amostras foi calculada utilizando
os seguintes comandos:
> m=length(x); % número de amostras
> N=m/2; % número de harmônicos, pois m é par
> X=fft(x); % calcula a DFT das amostras
32 4. A Transformada Rápida de Fourier
De fato, utilizamos a Transformada Rápida de Fourier (FFT) para calcular os coefici-
entes da DFT. O resultado, contido no vetor X é interpretado do seguinte modo:
X = [mc0,mc1, . . . ,mcN ,mcN+1,mc−N , . . . ,mc−1] (4.2)
onde N = m/2 = 1574 é igual ao número total de harmônicos e
+∞∑
k=−∞
cke
−2pikti/P
é a série de Fourier da função periódica x = x(t) de período P . Sendo assim temos a
correspondência X1 = mc0, X2 = mc1, . . . , Xm = mc−1, já que os índices dos vetores
iniciam em 1 no Octave. Aqui, é importante notar que os dados do vetor t não foram
explicitamente considerados no cálculo da DFT. Isso se deve ao fato do comando fft
assumir que as amostras se referem aos valores da função no intervalo [0, 1]. Isso deve ser
levado em conta quando o resultado for considerado.
Para ilustrar o cálculo realizado por esse comando, sendo m = 3148, vamos calcular
explicitamente o coeficiente c1 usando a fórmula da DFT:
mc1 =
m∑
k=1
x(k)e−2pi(k−1)i/m
= 58.0 e−2pi0i/m + 62.6 e−2pi1i/m + · · ·+ 54.4 e−2pi3147i/m
= 1.4233× 104 + 1.5301× 104i
que é exatamente o valor encontrado em X2 calculado pelo comando fft. Neste cálculo
estamos levando em conta os índices dos vetores x e X iniciarem em 1. Para obter o valor
de c1 devemos dividir o resultado por m, obtendo
c1 = 4.5214 + 4.8604i
.
A intensão do segundo gráfico na Figura 4.3 é apresentar uma imagem suavizada dos
dados a fim de remover parte do ruído aparente nos dados originais. Para isso, decidimos
manter apenas os 50 primeiros harmônicos presentes nos dados originais e calculamos a
DFT inversa do resultado, como segue abaixo:
> W=X; % copia todas as harmônicas para W
> W(51:m-50)=0; % anula todas menos primeiras 50 harmônicas em W
> w=real(ifft(W)); % transformada inversa (parte real)
O resultado foi formatado e salvo no arquivo spot_smooth.txt tal como foi feito para
os dados do primeiro gráfico, a saber
4.2. Como foram produzidos os gráficos 33
> T=[t; w]';
> save('spot_smooth.txt','T');
É importante observar que, de fato, a função suavizada que obtivemos tem a seguinte
representação por Série de Fourier
g(t) = A0 +
50∑
n=1
{An cos(2pin(t− t0)/P ) +Bn sin(2pi(t− t0)/P )} (4.3)
onde A0 = c0, An = 2<(cn) e Bn = −2=(cn) e P = tm − t1 é o período (262.25) das
amostras. Observamos que a expressão (t − t0)/T transporta os dados fornecidos para
o intervalo [0, 1] e, por uma observação anterior, isso é necessário pois é requerido pelo
comando fft. O cálculo utilizando a tranformada inversa calcula, de modo bastante
eficiente, os valores dessa série para os anos indicados no vetor t. Um modo bastante
ilustrativo, porém menos eficiente, de calcular esses valores seria do seguinte modo:
> w=zeros(1,m); % inicia com um vetor de zeros
> A0=real(X(1))/m; % coeficiente do termo constante
> A=2*real(X(2:51))/m; % coeficientes dos cossenos
> B=-2*imag(X(2:51))/m; % coeficientes dos senos
> P=t(m)-t(1); % período das amostras
> for i=1:m
> w(i)=A0;
> for j=1:50
> u=2*pi*(t(i)-t(1))/P;
> w(i)=w(i)+A(j)*cos(u)+B(j)*sin(u);
> end;
> end;
Isto deve produzir exatamente o mesmo resultado do comanod w=real(ifft(W))
usado acima.
O gráfico na Figura 4.5, também chamado de espectrograma dos dados x, é sim-
plesmente um gráfico de barras representando a magnitude dos coeficientes de Fourier
c1, c2, . . . , c100 de x. Para produzir o arquivo spot_table_fft.txt contendo esses dados
podemos fazer como segue:
> Y=abs(X/m); % valor absoluto da magnitude dos coeficientes de fourier
> Y=Y(2:101); % tomamos apenas os 100 primeiros harmônicos
> T=[1:100; Y]';
> save('spot_table_fft.txt','T');
A plotagem revela um pico distintivo quando o índice k é igual a 24. Isso significa
que a atividade solar possui uma variação distintiva que ocorre em períodos de P/24 =
262.25/24 = 10.927 anos.
34 4. A Transformada Rápida de Fourier
O gráfico da Figura 4.6 apresenta uma tentativa de prever o número de manchas
solares nos próximos anos. Isso pode ser feito simplesmente calculando os valores da série
de Fourier (4.3) para t no período futuro (exceto que neste caso usamos os primeiros 85
harmônicos para obter um melhor ajuste aos dados). Os valores dos parâmetros usados
foram t0 = 1749 e P = 262.25, resultando em:
g(t) = A0 +
85∑
n=1
{An cos(2pin(t− 1749)/262.25) +Bn sin(2pi(t− 1749)/262.25)} (4.4)
O gráfico apresenta também os valores do último ciclo para comparação entre os dados
reais e os previstos. As linhas pontilhadas refletem levar em conta os desvios dados
referentes às estatísticas mensais. A linha tracejadainferior reflete subtrair os desvios,
enquanto que a linha tracejada superior reflete somar os desvios aos dados.
35
Capítulo 5
Séries e Transformadas de Fourier no
Processamento de Sinais e Imagens
Após a realização da introdução à teoria das Séries e Transformadas de Fourier, e uma
primeira aplicação dessa teoria ao estudo do fenômeno das manchas solares, faremos a
seguir uma breve extensão da teoria para o caso de duas variáveis e algumas aplicações
das Séries e Transformadas de Fourier no processamento digital de sinais e imagens.
5.1 Transformada de Fourier em duas dimensões
A Transformada de Fourier pode ser estendida para funções de duas variáveis f(x, y)
e pode ser expressa como uma superposição ponderada de uma função harmônica em
duas dimensões, onde a função f tem Transformada de Fourier F (Kx, Ky) em duas
dimensões[8]. A função ponderada F (Kx, Ky) é chamada de Transformada de Fourier
de duas dimensões e dada por:
F (Kx, Ky) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
f(x, y)e−i(Kxx+Kyy)dxdy
Pode-se mostrar que a Transformada de Fourier em duas dimensões é invertível e sua
inversa é dada por:
f(x, y) =
1
4pi2
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
F (Kx, Ky)e
i(Kxx+Kyy)dKxdKy
Como para o caso em uma dimensão, há um número relativamente pequeno de funções
simples de duas dimensões cuja Transformada de Fourier pode ser calculada analitica-
mente e alguns destes casos podem ser separados em um produto de duas funções de uma
dimensão.
Dada uma função a e sua transformada A, a transformada no domínio espacial (válido
também para o contínuo ou discreto) passa para o domínio de frequência, o qual é sempre
365. Séries e Transformadas de Fourier no Processamento de Sinais e Imagens
contínuo. Então,
A = F{a}
Já a transformada inversa, volta do domínio de frequência para o domínio espacial, ou seja,
a = F−1{A}. Além disso, a Transformada de Fourier é uma operação única e invertível,
de modo que:
a = F−1{F{a}} e A = F{F−1{A}}
As fórmulas específicas para transformar a ida e a volta entre o domínio espacial e o
domínio de frequência são dadas abaixo:
• Espaço Contínuo em duas dimensões:
A(u, v) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
a(x, y)e−i(ux+vy)dxdy
a(x, y) =
1
4pi2
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
A(u, v)ei(ux+vy)dudv
onde A(u, v) representa a ida e a(x, y) a volta.
• Espaço Discreto em duas dimensões:
A(u, v) =
+∞∑
m=−∞
+∞∑
n=−∞
a[m,n]e−i(um+vn)
a[m,n] =
1
4pi2
∫ +pi
−pi
∫ +pi
−pi
A(u, v)ei(um+vn)dudv
onde A(u, v) representa a ida e a[m,n] a volta.
Dessa forma, a Transformada de Fourier produz uma nova representação de um sinal,
em outras palavras essa representação é dada pela soma ponderada de exponenciais com-
plexas, devido à fórmula de Euler. Assim, podemos dizer que a Transformada de Fourier
produz uma representação de um sinal em duas dimensões.
5.2 Propriedades da Transformada de Fourier
Abaixo apresentamos algumas propriedades associadas à Transformada de Fourier e sua
inversa com relação ao processamento digital de imagem.
• A Transformada de Fourier é uma função complexa com variáveis de frequências
reais, podendo ser escrita em termos de magnitude e fase, ou seja,
A(u, v) = |A(u, v)|eiϕ(u,v)
• Um sinal em duas dimensões pode ser complexo e escrito da seguinte forma:
5.2. Propriedades da Transformada de Fourier 37
a(x, y) = |a(x, y)|eiϑ(x,y)
• Se um sinal em duas dimensões é real, então a Transformada de Fourier apresenta
algumas simetrias:
A(u, v) = A∗(−u,−v)
onde o símbolo (∗) indica uma conjugação complexa. Para sinais reais a equação acima é
dada por:
|A(u, v)| = |A(−u,−v)| ϕ(u, v) = −ϕ(−u,−v)
• Se um sinal em duas dimensões é real e par, então sua transformada também é real
e par.
A(u, v) = A(−u,−v)
• A Transformada de Fourier e sua inversa são operações lineares.
F{w1a+ w2b} = F{w1a}+ F{w2b} = w1A+ w2B
F−1{w1A+ w2B} = F−1{w1A}+ F−1{w2B} = w1a+ w2b
onde a e b são sinais (imagens) em duas dimensões e w1 e w2 são constantes complexas
arbitrárias.
• A Transformada de Fourier no espaço discreto, A(u, v), é periódica em u e em v.
Ambos com período 2pi.
A(u+ 2pij, v + 2pik) = A(u, v) j, k inteiros
• A energia E em um sinal pode ser medida tanto no domínio espacial como no
domínio de frequência. Para um sinal com energia finita temos:
Teorema de Parseval no espaço contínuo em duas dimensões:
E =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
|a(x, y)|2dxdy = 1
4pi2
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
|A(u, v)|2dudv
E, o Teorema de Parseval no espaço discreto em duas dimensões:
E =
+∞∑
−∞
+∞∑
−∞
|a[m,n]|2 = 1
4pi2
∫ +pi
−pi
∫ +pi
−pi
|A(u, v)|2dudv
• Se ampliamos ou reduzimos um sinal bidimensional a(x, y) em suas coordenadas
espaciais, podemos escrever:
385. Séries e Transformadas de Fourier no Processamento de Sinais e Imagens
Se a(x, y)→ a(Mx ∗ x,My ∗ y), então
A(u, v)→ A(u/Mx, v/My)|Mx ∗My|
• Se um sinal bidimensional a(x, y) tem espectro de Fourier A(u, v), então:
A(0, 0) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
a(x, y)dxdy
a(0, 0) =
1
4pi2
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
A(u, v)dxdy
onde u e v são iguais a zero.
• Se um sinal bidimensional a(x, y) tem espectro de Fourier A(u, v), então:
∂a(x,y)
∂x
↔ juA(u, v) ∂a(x,y)
∂y
↔ jvA(u, v)
∂2a(x,y)
∂x2
↔ −u2A(u, v) ∂2a(x,y)
∂y2
↔ −v2A(u, v)
Portanto, estas são algumas propriedades da Transformada de Fourier que podem ser
utilizadas para o processamento de sinais e imagens.
5.3 Teorema da Convolução
Nesta seção veremos o Teorema da Convolução em uma e em duas dimensões, ressal-
tando sua importância e seu significado. Veremos também que o processo de convolução
no domínio espacial é equivalente à multiplicação no domínio de frequência, resultado
este que estabelece não apenas uma metodologia para a implementação da convolução
como também uma compreensão sobre como dois sinais interagem uns com os outros, sob
convolução, como produzir um terceiro sinal.
Teorema da Convolução em uma dimensão
Considere duas funções f e g. Sejam f ∗ g a convolução dada pelas duas funções e F a
Transformada de Fourier. Sejam F(f) e F(g) as Transformadas de Fourier das funções f
e g respectivamente. Então
F(f ∗ g) = F(f) · F(g)
A recíproca também é verdadeira, ou seja,
F(f · g) = F(f) ∗ F(g)
O Teorema da Convolução estabelece que a Transformada de Fourier de uma convolução
de duas funções absolutamente integráveis é igual ao produto ponto a ponto das Trans-
5.3. Teorema da Convolução 39
formadas de Fourier de cada função no domínio temporal. Resultado também equivalente
à multiplicação ponto a ponto no domínio de frequência.
Teorema da Convolução em duas dimensões
Considere duas funções f(x, y) e h(x, y) em duas dimensões com Transformada de Fourier
denotadas respectivamente por F (kx, ky) e H(kx, ky). Pode-se mostrar, podemos dizer
que a Transformada de Fourier da convolução de duas funções é igual ao produto das
transformadas individuais, ou seja,
F{f(x, y) ∗ h(x, y)} = F (kx, ky)H(kx, ky)
Assim, o processo de convolução de duas funções no domínio espacial é equivalentemente
realizado pela simples multiplicação de suas transformadas no domínio de frequência.
O Teorema da Convolução também pode ser descrito por meio de uma segunda forma,
onde a Transformada de Fourier do produto de duas funções é igual a convolução de suas
transformadas individuais, dada por:
F{f(x, y)h(x, y)} = F (kx, ky) ∗H(kx, ky)
Esta forma não se encontra em grande parte na utilização de processamento de imagens,
pois não descreve o processo básico de formação da imagem. No entanto, seu uso é
considerável em áreas de óptica.
Existem várias notações possíveis para indicar a convolução de dois sinais multidimen-
sionais. A mais comum é dada por:
c = a ∗ b
No espaço contínuo em duas dimensões temos:
c(x, y) = a(x, y) ∗ b(x,y) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
a(χ, ζ)b(x− χ, y − ζ)dχdζ
E, em duas dimensões, no espaço discreto temos:
c[m,n] = a[m,n] ∗ b[m,n] =
+∞∑
j=−∞
+∞∑
k=−∞
a[j, k]b[m− j, n− k]
Dessa forma, podemos verificar que o processo de convolução possui importantes
propriedades, isto é, a convolução é:
• Comutativa
c = a ∗ b = b ∗ a
405. Séries e Transformadas de Fourier no Processamento de Sinais e Imagens
• Associativa
c = a ∗ (b ∗ d) = (a ∗ b) ∗ d = a ∗ b ∗ d
• Distributiva
c = a∗(b+d) = (a∗b)+(a∗d) onde a, b, c e d são todas as imagens, contínuas ou discretas.
Assim, vimos que o processo de convolução tem uma forma particularmente simples
e conveniente no domínio de frequência, que é fornecido pelo Teorema da Convolução,
provavelmente o mais importante da área de processamento de imagem. Muitos fenômenos
físicos são representados por uma convolução.
5.4 Filtros
Os filtros são processos que tem por finalidade salientar determinados aspectos em ima-
gens digitais ou reduzir ruídos. Esses ruídos podem ter sido introduzidos na imagem
durante o processo de aquisição da imagem ou durante o processo de quantização e digi-
talização, ou então pelo excesso de compressão da imagem, ou mesmo por problemas na
transmissão. Os conceitos matemáticos a respeito desses processos serão melhor definidos
mais adiante. Os filtros são classificados como passa-baixa, passa-banda ou passa-alta,
dependendo da frequência dos detalhes eliminados ou mantidos na imagem.
• Um filtro do tipo passa-baixa permite que as baixas frequências passem, porém
elimina os valores relacionados às altas frequências. Assim, o efeito deste filtro é o
de suavização da imagem, uma vez que as altas frequências que correspondem às
transições abruptas são atenuadas. A suavização tende pelo mesmo motivo, diminuir
o ruído em imagens.
• Já um filtro passa-banda deixará presente nas imagens apenas os valores dos si-
nais correspondentes à determinada frequência eliminando os demais valores. Seu
efeito visual depende da faixa predefinida e geralmente é projetado para salientar
aspectos determinados, eliminar ruídos ou imperfeições presentes em uma frequência
conhecida.
• Por sua vez, um filtro passa-alta deixa passar as altas frequências, no entanto,
elimina os valores relacionados às baixas frequências. O efeito visual deste tipo de
filtro é de tornar as transações entre diferentes regiões da imagem mais nítidas. O
efeito desejado é o de enfatizar o ruído que possa existir na imagem.
Existem vários tipos de filtros que podem ser aplicados em imagens e sinais, por exemplo, o
Filtro Gaussiano e o Filtro Butterworth. Um filtro Gaussiano é composto por um conjunto
5.5. Função de Transferência Óptica 41
de coeficientes cujos valores se aproximam à forma de uma Gaussiana nas horizontais,
verticais e diagonais. Em uma dimensão esse tipo de filtro apresenta a seguinte forma:
G(x) =
1√
2piσ
e−
x2
aσ2
onde σ é o desvio padrão. Em duas dimensões é dado por :
G(x, y) =
1
2piσ2
e−
x2+y2
aσ2
Já o filtro Butterworth possue uma função de transferência com o mínimo de oscilações
tanto na banda passante como na banda de corte. A função de transferência de um filtro
Butterworth de ordem N com limite de banda-passante ωp é dada por
|T (jω)| = 1√
1 + �2
(
ω
ωp
)2N
De maneira geral, filtros são utilizados para otimizar a visualização de imagens, destacar
bordas, diminuir ruídos etc.
5.5 Função de Transferência Óptica
A Função de Transferência Óptica (OTF) é a medida quantitativa da qualidade da
imagem. Esta função descreve a estrutura de uma imagem em termos do contraste
e da fase espacial num intervalo de frequência. Assim, com a análise de Fourier, que
permite descrever qualquer objeto como a soma de componentes senoidais, utiliza-se a
OTF para representar uma imagem de forma detalhada, relacionando-a com o objeto e
com defeitos introduzidos no sistema óptico. Este sistema é responsável pela formação
da imagem óptica no plano focal. Sua contribuição na degradação ocorre devido
aos movimentos da câmera causados por distúrbios externos, por exemplo, vibrações
e imperfeições. Esta degradação provoca um efeito de filtro passa-baixa nas duas direções.
Seja f(x, y) um cenário de imagem específico, no qual corresponde a distribuição de
entrada e h(x, y) ao sistema PSF, o qual representa a distribuição da intensidade de luz
de um ponto do objeto. Assim, a imagem dada por sua convolução g(x, y) é representada
por:
g(x, y) = f(x, y) ∗ h(x, y)
Aplicando a Transformada de Fourier em ambos os lados, podemos usar a primeira forma
do Teorema da Convolução para escrever o lado direito da fórmula acima, isto é:
F{g(x, y)} = F{f(x, y) ∗ h(x, y)}
425. Séries e Transformadas de Fourier no Processamento de Sinais e Imagens
Logo, o espectro da imagem de saída G(Kx, Ky) de Fourier é dado pelo produto do
espectro de entrada F (Kx, Ky) de Fourier com a função multiplicativa filtro H(Kx, Ky),
representado da seguinte forma:
G(Kx, Ky) = F (Kx, Ky)H(Kx, Ky)
onde H(Kx, Ky) é chamado de OTF, que é equivalente no domínio de frequência do PSF.
Seu nome deriva do fato de que ele determina como o par de frequência espacial individual
(Kx, Ky) é transferido da entrada para a saída. Portanto,
F{f(x, y) ∗ h(x, y)} = G(Kx, Ky)︸ ︷︷ ︸
espectro de Fourier de saída
= F (Kx, Ky)︸ ︷︷ ︸
espectro de Fourier de entrada
H(Kx, Ky)︸ ︷︷ ︸
OTF
Esta propriedade multiplicativa da OTF no espectro de entrada é particularmente conve-
niente se considerarmos sistemas de imagens complexas que incluem elementos de imagens
múltiplas. Podemos encontrar a utilização desta propriedade em combinações de lentes e
aberturas em câmeras ou telescópios.
Assim, se o K-ésimo elemento é caracterizado pela PSF hk(x, y), então a imagem gerada
é dada por uma sequência de convoluções de entrada com PSFs. Portanto, usando o
Teorema da Convolução e tomando a Transformada de Fourier, podemos expressar o fato
acima por uma multiplicação sequencial de OTFs no domínio de frequência por meio de
um simples cálculo:
F{h1(x, y) ∗ h2(x, y) ∗ · · · ∗ hn(x, y)} = H1(kx, ky)H2(kx, ky) · · ·Hn(kx, ky)
A OTF é normalizada para obter uma transmissão máxima de unidade. Isto significa que
um sistema de imagem ideal pode ser caracterizado pela OTF dada por H(kx, ky) = 1
para todas as frequências espaciais. Além disso, assim como a Transformada de Fourier
da PSF, a OTF é, em geral, uma função complexa, dada por:
H(kx, ky) = |H(kx, ky)|eiϕ(kx,ky)
Portanto, vimos que a Função de Transferência Óptica (OTF), responsável pela medida
da qualidade da imagem e a Função Propagação do Ponto (PSF), responsável pelo borra-
mento de uma imagem, ou seja, pelo efeito na imagem gravada de uma fonte pontual de
luz no objeto de interesse, apresentam grande importância para o processamento digital
de imagens.
5.6. Processo de Deconvolução 43
5.6 Processo de Deconvolução
O processo de deconvolução consiste basicamente em tentar desfazer o que o processo de
convolução realizou. Por exemplo, o borramento que se observa em uma fotografia fora de
foco pode ser descrito por meio da convolução, logo, é possível obter uma imagem nítida
a partir de imagem borrada por meio da deconvolução, desde que o PSF seja conhecido a
priori ou possa ser estimado a partir da própria imagem borrada.
Uma maneira de realizar deconvolução é a utilização do filtro de Wiener em processa-
mento de sinais e imagens, que têm como objetivo restaurar a imagem que foi distorcida
por meio de alguma correlação.
Seja F = F (f) uma imagem e G = F (g) o PSF (Função Propagação do Ponto).
Temos que |G|2 = GG. Assim, podemos definir:
FG
GG+ λ
= Deconvolução de Wiener
obtida da seguinte forma:
F · 1
G
· |G|
2
|G|2 + λ = F ·
1
G
· GG
GG+ λ
=
FG
GG+ λ
Umexemplo desse processo é quando há borramento em uma imagem, isto é, ocorre
mudança de pixel a pixel e este processo é dado por uma divisão (operação contrária à
convolução). Dessa forma, o valor obtido é arredondado havendo perda de informação. E
uma solução para este fato é o aumento da resolução da imagem.
No capítulo seguinte veremos como esse processamento é utilizado e quais suas con-
tribuições, como o processo de convolução e de deconvolução podem ser utilizados em
aplicações da área digital, o significado da implementação de filtros e a relação entre a
Transformada de Fourier e o Processamento de Sinais e Imagens.
445. Séries e Transformadas de Fourier no Processamento de Sinais e Imagens
45
Capítulo 6
Processamento de Imagem
O interesse em métodos de processamento digital de imagens surgiu da necessidade de
melhorar a qualidade da informação de uma imagem para a interpretação humana. As
técnicas para este melhoramento evoluíram em meados dos anos 60 com o advento de
computadores digitais. Exemplo disso, são as imagens transmitidas da Lua pela sonda
Ranger 7, em 1964, que foram processadas por um computador com a finalidade de corrigir
os vários tipos de distorções apresentadas.
Assim, as técnicas de processamento utilizadas nesse período serviram de base para a
restauração de imagens de outros programas. Essas técnicas permitem a análise de uma
cena em várias regiões do espectro eletromagnético, além da integração de vários tipos de
dados, tornando possível a manipulação de sinais multidimensionais.
Além disso, a maioria das técnicas do processamento de imagem envolve o tratamento
da imagem como um sinal bidimensional, no qual aplica-se padrões de processamento de
sinais. Os sinais, assim como as imagens, carregam em seu interior uma determinada
informação, e esta informação pode estar associada a uma medida. Portanto, processar
uma imagem significa transformá-la sucessivamente com a finalidade de extrair de forma
simples a informação que ela fornece.
Definição 6.1. Uma imagem e um sinal são representados por uma função de duas
variáveis reais, por exemplo, a(x, y), onde a representa a amplitude da imagem na posição
de coordenadas reais (x, y), sendo considerada como sub-imagens ou simplesmente regiões.
Assim, uma parte de uma imagem (região) pode ser processada para suprimir o desfoque
do movimento, enquanto a outra parte pode ser processada para melhorar as cores.
Com relação a uma imagem digital a[m,n] descrita em um espaço discreto bidimensi-
onal, esta é derivada de uma imagem analógica a(x, y) em um espaço contínuo bidimen-
sional por meio de um processo de amostragem, que frequentemente é conhecido como
digitalização.
Assim, a imagem contínua a(x, y) é dividida em N linhas e M colunas e a interse-
ção de uma linha e uma coluna é chamada de pixel. O valor atribuído às coordenadas
inteiras [m,n] com {m = 0, 1, 2, · · · ,M − 1} e {n = 0, 1, 2, · · · , N − 1} é a[m,n]. Na
46 6. Processamento de Imagem
verdade, a maioria dos casos a(x, y) é realmente uma função de várias variáveis, incluindo
a profundidade z, a cor λ e o tempo t.
Já o processo de representar a amplitude do sinal bidimensional de uma dada coor-
denada, como um valor inteiro, com L níveis diferentes de cinza é normalmente referido
como quantização. O efeito de quantização é dado pela impossibilidade de se medir um
intervalo infinito de valores de intensidade dos pixels. Portanto, o processo de quanti-
zação, é a codificação dos valores contínuos de um sinal em intervalos discretos, o que
equivale a um efeito de arredondamento.
Como exemplo, vemos que o número de bits por pixel corresponde ao número de tons
de cinza que podem ser representados na imagem digital. O número de níveis de cinza
distintos é geralmente uma potência de 2, ou seja, L = 2B, onde B é o número de bits na
representação binária dos níveis de brilho. Quando B > 1 a imagem apresenta nível cinza
e quando B = 1 falamos de uma imagem binária. Os valores são medidos numa escala
onde 0 representa ausência de cor primária e 255 representa a máxima intensidade da cor
primária.
Os tipos de operações que podem ser aplicadas a imagens digitais para transformar
uma imagem de entrada I em uma imagem de saída Ir podem ser classificados de três
maneiras: pontual, local e global.
• A operação pontual é caracterizada pelo valor de saída em uma coordenada especí-
fica, que depende apenas do valor de entrada na mesma coordenada. Além disso, o
pixel resultante depende apenas do pixel da imagem original com as mesmas coor-
denadas.
Ir[n,m] = f(I[n,m])
• A operação local representa o valor de saída em uma coordenada específica, que
depende do valor de entrada na mesma vizinhança.
Ir[n,m] = f(I[j, i]) ∈ vizinhança de [n,m].
• A operação global caracteriza o valor de saída em uma coordenada específica, depen-
dendo de todos os valores da imagem de entrada, em que o pixel resultante depende
globalmente de todos os pixels da imagem original.
Ir[n,m] = f(I[j, i]), ∀[j, i]
6.1. Digitalização de Imagens 47
6.1 Digitalização de Imagens
Para compreender o processo de digitalização de uma imagem é necessário uma formu-
lação de diversas noções associadas à imagem digital para operacionalizar a análise das
estruturas de dados utilizados para a representação da mesma, além do estudo de algorit-
mos introduzidos na sua criação e manipulação. Para representar e manipular imagens no
computador é preciso definir modelos matemáticos adequados para se obter os objetivos
desejados.
Como a percepção de uma imagem é dada pelo resultado de estímulos luminosos pro-
duzidos por um suporte bidimensional, é necessário estabelecer um universo matemático
no qual seja possível definir diversos modelos abstratos de uma imagem. Em seguida, cria-
se um universo de representação no qual haja uma representação discreta desses modelos,
com o objetivo de obter uma codificação da imagem no computador.
6.1.1 Imagem Contínua
Como uma imagem é um sinal bidimensional, podemos caracterizá-la da seguinte forma:
Seja i a função imagem, U uma superfície e C um espaço vetorial. Uma imagem contínua
é uma aplicação i : U −→ C. Em grande parte das aplicações, U é um subconjunto plano
e C é um espaço de cor. E o conjunto dos valores de i, que é um subconjunto de C, é
chamado de conjunto dos valores da imagem. Quando C é um espaço de cor de dimensão
1, a imagem é dita monocromática. Nesse caso, a imagem pode ser vista geometricamente
como o gráfico G(i) da função imagem i, ou seja,
G(i) = {(x, y, z); (x, y) ∈ U e z = i(x, y)},
considerando os valores de intensidade como a altura z = i(x, y) em cada ponto (x, y) do
domínio.
O conceito de imagem contínua e discreta refere-se à discretização do domínio da
função imagem. Assim, para codificar uma imagem no computador é necessário trabalhar
com modelos de imagem onde a função imagem i assume valores em um subconjunto
discreto do espaço de cor C.
Portanto, quando observamos uma fotografia ou uma cena real, recebemos de cada
ponto do espaço um impulso luminoso que associa uma informação de cor a esse ponto.
Assim, um modelo matemático natural para descrever uma imagem é o de uma função
definida em uma superfície bidimensional, tomando valores em um espaço de cor.
6.1.2 Representação de uma Imagem
A representação mais comum de uma imagem espacial nas aplicações da computação
gráfica consiste em tomar um subconjunto discreto U ′ ⊂ U do domínio da imagem, um
48 6. Processamento de Imagem
espaço de cor C associado a um dispositivo gráfico, e a imagem é representada pela
amostragem da função imagem i no conjunto U ′.
Nesse caso, a imagem i(x, y) será espacialmente contínua ou discreta se as coordenadas
(x, y) de cada ponto variam no conjunto U ou U ′ respectivamente. Cada