Ferramental Matemático_OTI_Gabarito1

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Marcelo de Sales Pessoa
Otimização
Gabarito
Q1: Temos:
3x21 � x2 � 1 = 0
, x2 = 3x21 � 1
Então,
d~x2
dx1
= 6x1
Q2:
d~x2
dx1
= �
@g(x1;x2)
@x1
@g(x1;x2)
@x2
= � (1=x1 + 6x1x2)
(3x21 + e
x2)
Q3: Temos:
(�f + �g) = 2x21x
3
2 + 7 lnx1 +
7
x2
) D (�f + �g) =
"
@(�f+�g)
@x1
@(�f+�g)
@x2
#
=
"
4x1x
3
2 +
7
x1
6x21x
2
2 � 7x22
#
e
�Df = 2
"
@f
@x1
@f
@x2
#
=
�
4x1x
3
2
6x21x
2
2
�
e
�Dg = 7
"
@g
@x1
@g
@x2
#
=
"
7
x1� 7
x22
#
Então,
�Df + �Dg =
"
4x1x
3
2 +
7
x1
6x21x
2
2 � 7x22
#
= D (�f + �g)
Q4:
a)
1
1)
D~u = 0
Da restrição, temos:
x1 + 0:25x2 = 2
) x1 = 2� 0:25x2
Então,
u (x1; x2) = (x1x2)
1=2
= [(2� 0:25x2)x2]1=2 = ~u (x2)
Assim,
d~u
dx2
=
1
2
(2x2 � 0:25x22)�1=2 (2� 0:5x2) = 0
) 2� 0:5x2
(2x2 � 0:25x22)1=2
= 0
Essa expressão será igual a zero quando:
2� 0:5x2 = 0
) �x2 = 4
então,
�x1 = 2� 0:25�x2 = 1
2)
@u (:)
@x1
@~x1
@xi
+
@u (:)
@xi
= 0
Temos: �
1
2
(x1x2)
�1=2
x2
�
� (�0:25) +
�
1
2
(x1x2)
�1=2
x1
�
= 0
, x1
x2
= 0:25, x1 = 0:25x2
Se substituirmos na restrição, temos:
x1 + 0:25x2 = 2
0:25x2 + 0:25x2 = 2
2
) �x2 = 4 e �x1 = 1
3)
@u(:)
@xi
@u(:)
@x1
=
@g(:)
@xi
@g(:)
@x1
Temos:
1
2 (x1x2)
�1=2
x1
1
2 (x1x2)
�1=2
x2
=
0:25
1
, x1 = 0:25x2
Se substituirmos na restrição, temos:
�x2 = 4 e �x1 = 1
4)
Du = �Dg
Temos: "
1
2 (x1x2)
�1=2
x2
1
2 (x1x2)
�1=2
x1
#
=
�
�
0:25�
�
Então,
1
2
(x1x2)
�1=2
x2 = �
1
2
(x1x2)
�1=2
x1 = 0:25�
) x1 = 0:25x2
Se substituirmos na restrição, temos:
�x2 = 4 e �x1 = 1
b) Temos:
L = (x1x2)
1=2
+ � (2� x1 � 0:25x2)
Então,
DL = 0
3
@L
@x1
= 0, 1
2
(x1x2)
�1=2
x2 � � = 0
@L
@x2
= 0, 1
2
(x1x2)
�1=2
x1 � 0:25� = 0
@L
@�
= 0, 2� x1 � 0:25x2 = 0
Assim,
1
2
(x1x2)
�1=2
x2 = �
1
2
(x1x2)
�1=2
x1 = 0:25�
x1 + 0:25x2 = 2
Então,
1
2 (x1x2)
�1=2
x2
1
2 (x1x2)
�1=2
x1
=
�
0:25�
, �x2
�x1
= 4, �x2 = 4�x1
Substituindo na restrição:
�x1 + 0:25� 4�x1 = 2
, �x1 = 1
e
�x2 = 4�x1 = 4
Q5:
R.:
Temos as seguintes restrições:
2x+ y � 2
�x � 0
�y � 0
Assim,
L (x; y; �) = x2y2 + �1 (2� 2x� y) + �2x+ �3y
4
Então, as condições são:
a) Du (:) =
mX
i=1
�iDgi (:)�
2xy2
2x2y
�
= �1
�
2
1
�
+ �2
� �1
0
�
+ �3
�
0
�1
�
�
2xy2 = 2�1 � �2
2x2y = �1 � �3
b) �i � 0 e g (:) � ai
�1 � 0; �2 � 0; �3 � 0
e 2x+ y � 2; � x � 0; � y � 0
c) �i[ai � gi (:)] = 0
�1[2� 2x� y] = 0; �2x = 0; �3y = 0
Os possíveis casos são:
1) �x = 0 e �y = 0;
2) �x > 0 e �y = 0;
3) �x = 0 e �y > 0;
4) �x > 0 e �y > 0;
Então,
1) �x = 0 e �y = 0: Nesse caso, a restrição 2x + y � 2 não é efetiva, pois
2x+ y = 0 < 2: Então, �1 = 0: Além disso, pelas condições em a);�
2xy2 = 2�1 � �2 = 0, �2 = 0
2x2y = �1 � �3 = 0, �3 = 0
Assim, nesse caso,
L (x; y; �) = x2y2 + �1 (2� 2x� y) + �2(�x) + �3 (�y) = 0:
2) �x > 0 e �y = 0: Nesse caso, como �2x = 0 com x > 0; devemos ter �2 = 0:
Então,
2xy2 = 2�1 � �2 , �1 = 0
Então,
2x2y = �1 � �3 , �3 = 0
Assim,
L (x; y; �) = x2y2 + �1 (2� 2x� y) + �2(�x) + �3 (�y) = 0:
3) �x = 0 e �y > 0; Esse caso é análogo ao caso anterior: como �3y = 0 com
y > 0; devemos ter �3 = 0: Então,
2x2y = �1 � �3 = 0, �1 = 0
5
Então,
2xy2 = 2�1 � �2 = 0, �2 = 0
Assim,
L (x; y; �) = x2y2 + �1 (2� 2x� y) + �2(�x) + �3 (�y) = 0:
4) �x > 0 e �y > 0; Nesse caso, como �2x = 0; �3y = 0; temos: �2 = 0 e
�3 = 0: Então,
2xy2 = 2�1 � �2 , 2xy2 = 2�1 , xy2 = �1
2x2y = �1 � �3 , 2x2y = �1 , x2y =
1
2
�1
Então,
xy2
x2y
=
�1
1
2�1
= 2
, y = 2x
Além disso, como �x > 0; �y > 0 e xy2 = �1; então �1 > 0: Assim, como
�1[2� 2x� y] = 0; devemos ter: 2� 2x� y = 0: Então,
2x+ y = 2
, 2x+ 2x = 2, �x = 1
2
e �y = 2�x = 1:
Então,
L (x; y; �) = x2y2 + �1 (2� 2x� y) + �2(�x) + �3 (�y) =
1
4
Como, para esses valores de x e y; temos o maior valor da função lagrangiana,
esse é o ponto de máximo.
6