Ferramental Matemático_OTI_Notas1I

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Marcelo de Sales Pessoa
Otimização
Otimização Estática
Máximo Irrestrito
Def.: Máximo local : �x é o máximo local de uma função u (x) se, 8 x 2
[�x� �; �x+ �] ; com � > 0; u (�x) � u (x).
Def.: Máximo absoluto: �x é o máximo absoluto de uma função u (x) se, 8
x 2 domínio de u (:) ; u (�x) � u (x).
Resultados:
Seja u (:) função duas vezes continuamente diferenciável em [a; b]: Seja �x 2
[a; b]:
1. �x é um máximo local ) u0 (�x) = 0 e u00 (�x) � 0:
2. Para u (x) estritamente côncava, u0 (�x) = 0, �x é um máximo local.
Caso multidimensional
Seja u (x) = u(x1; x2; :::; xn) duas vezes continuamente diferenciável.
Resultados
1. �x = (�x1; �x2; :::; �xn) é máximo ) @u(�x)@xi = 0 8i:
Def.: Gradiente: Vetor de derivadas parciais de uma função:
Du =
2664
@u(�x)
@x1
...
@u(�x)
@xn
3775
Então, a condição 1 é:
Du = 0
2. Para u (x) estritamente côncava, �x é máximo, Du = 0:
3. Se a matriz hessiana de u (:) for negativa de…nida, u (x) é estritamente
côncava.
Def.: Matriz Hessiana: é a matriz de derivadas parciais de segunda ordem
de uma função.
Seja f (x1; :::; xn) : Então,
H (f) =
26666664
@2f
@x21
@2f
@x1@x2
::: @
2f
@x1@xn
@2f
@x2@x1
@2f
@x22
:::
...
... :::
. . .
...
@2f
@x1@xn
::: ::: @
2f
@x2n
37777775
1
Def.: Matriz Negativa-De…nida: uma matriz é negativa-de…nida se e somente
se todos os seus autovalores forem negativos.
Máximo Restrito com Igualdade
Suponha u (:) : Rn ! R e g (:) : Rn ! R duas vezes continuamente diferen-
ciáveis. Problema:
max
x1;:::;xn
u(x1; x2; :::; xn)
s:a g(x1; x2; :::; xn) = a
Primeira Solução: Usando a Função Implícita: 4 formas:
Def.: Função Implícita: é uma função de…nida implicitamente por uma
equação tal como:
R (x1; :::; xn) = 0
Faça:
u(x1; x2; :::; xn) = u(~x1 (x2; :::; xn) ; x2; :::; xn)
= ~u (x2; :::; xn)
Agora, para ~u (:) estritamente côncava, se @~u(:)@xi = 0 8i = 2; :::; n; estaremos
no máximo local.
Temos:
Def. Derivada Total: para u (x1; :::; xn) ;
du
dxi
=
@u (:)
@x1
@x1
@xi
+
@u (:)
@x2
@x2
@xi
+ :::+
@u (:)
@xi
@xi
@xi
+ :::+
@u (:)
@xn
@xn
@xi
=
@u (:)
@x1
@x1
@xi
+
@u (:)
@xi
pois apenas x1 é função de xi.
2) Usando a derivada total, a condição 1) será:
@~u (:)
@xi
=
du
dxi
=
@u (:)
@x1
@~x1
@xi
+
@u (:)
@xi
= 0 (1)
8i = 2; :::; n:
Temos:
Def.: Teorema da função implícita: para
g(x1; x2; :::; xn)� a = 0
2
Se
@g (:)
@x1
6= 0
Então, podemos fazer:
x1 = ~x1 (x2; :::; xn)
g(~x1 (x2; :::; xn) ; x2; :::; xn)� a = 0
e
@~x1
@xi
= �
@g(:)
@xi
@g(:)
@x1
8i = 2; :::; n:
3) Então, se aplicarmos o teorema da função implícita à condição 2), teremos:
@u(:)
@xi
@u(:)
@x1
=
@g(:)
@xi
@g(:)
@x1
(2)
8i = 2; :::; n:
4) Podemos observar a condição 3) da seguinte forma:
@u (:)
@xi
= �
@g (:)
@xi
(3)
Então,
Du (�x) = �Dg (�x)
onde:
�x = [�x1:::�xn]
Du =
2664
@u(:)
@x1
...
@u(:)
@xn
3775
Dg =
2664
@g(:)
@x1
...
@g(:)
@xn
3775
Segunda Solução: Função Lagrangiana
3
Adicionar o fator de proporcionalidade vezes a restrição à função a ser max-
imizada:
L = u (x1; :::; xn) + � (a� g (x1; :::; xn))
Encontrar o vetor com o máximo usando as restrições:
@L
@xi
= 0 8i = 1; :::n
@L
@�
= 0
ou seja,
DL = 0
Então,
D (u (�x) + � (a� g (�x))) = 0
Resultado
O gradiente é um operador linear.
Def.: D é um operador linear se, 8 �i constante e 8 fi (:) função,
D
 X
i
�ifi (:)
!
= �iDfi (:)
Então, temos:
DL = D (u (�x) + � (a� g (�x))) = 0
, Du (�x) = �Dg (�x)
Possíveis formas de solucionar o problema com restrição com igualdade:
1) D~u = 0
2)
@u (:)
@x1
@~x1
@xi
+
@u (:)
@xi
= 0 8i
3)
@u(:)
@xi
@u(:)
@x1
=
@g(:)
@xi
@g(:)
@x1
8i
4) Du (�x) = �Dg (�x)
4
5) DL = 0
Máximo Restrito com Desigualdade
Condições de Karush-Kuhn-Tucker
Suponha u (:) : Rn ! R e gi (:) : Rn ! R 8i = 1; :::;m duas vezes continua-
mente diferenciáveis.
Problema:
max
x1;:::;xn
u(x1; x2; :::; xn) (4)
s:a gi(x1; x2; :::; xn) � ai8i = 1; :::;m
Teorema de Karush-Kuhn-Tucker:
Condições necessárias
Se �x = (�x1; :::; �xn) for solução do problema (4) ; então, existe um conjunto
de m multiplicadores de Lagrange �i tais que:
a) Du (:) =
mX
i=1
�iDgi (:) ; 8i = 1; :::;m com
b) �i � 0; gi (:) � ai 8i = 1; :::;m
c) �i[ai � gi (:)] = 08i = 1; :::;m
Condições su…cientes
1) Função de utilidade côncava;
2) Restrições formando um conjunto convexo: fgi (:) � aigmi=1:
Def.: Conjunto Convexo: C é um conjunto convexo se 8 fxigni=1 2 C e 8
f�igmi=1 tal que
Pm
i=1 �i = 1; então
Pm
i=1 �ixi 2 C:
5