Prova 2ºEE

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Universidade Federal de Pernambuco
CCEN - Departamento de Matema´tica - A´rea II
Segundo Semestre de 2011
Segunda Prova de Ca´lculo I - 17/10/2011
Nome:
ATENC¸A˜O:
- Leia cada enunciado com atenc¸a˜o antes de iniciar uma resoluc¸a˜o.
- Na˜o esquec¸a de justificar todas as suas respostas.
- Escreva todos os detalhes dos ca´lculos que o levarem a uma soluc¸a˜o.
- Na˜o destaque as folhas do caderno de prova.
1a Questa˜o (1,5 pontos) Determine, com justificativa, os pontos de ma´ximo e de mı´nimo absolutos da
func¸a˜o f (t) = 2sen(t)+cos(2t) no intervalo [0, pi/2], e calcule os valores ma´ximo e mı´nimo
respectivos.
2a Questa˜o Calcule cada um dos seguintes limites usando a forma apropriada da regra de L’Hoˆspital
(Deve exibir as formas indeterminadas):
a) (1,0 pontos) lim
x→∞(e
x + x)1/x
b) (1,0 pontos) lim
x→1+
ln(x) tg(pix/2)
c) (1,0 pontos) lim
θ→(pi/2)−
ln
(
tg(θ)
)
tg(θ)
3a Questa˜o Uma janela normanda tem a forma de um retaˆngulo tendo em cima um semicı´rculo, cujo
diaˆmetro e´ igual a` largura do retaˆngulo. Suponha que o perı´metro da janela normanda e´ de
4m.
a) (0,8 pontos) Escreva a a´rea da janela como func¸a˜o da altura do retaˆngulo correspon-
dente.
b) (1,2 pontos) Aplicando os me´todos do ca´lculo diferencial na func¸a˜o do item a), ache
as dimenso˜es da janela com maior a´rea possı´vel, assim como a a´rea desta janela.
4a Questa˜o Seja f (x) =
x(x − 3)
(x + 3)2
.
a) (1,0 pontos) Encontre as assı´ntotas horizontais e verticais, caso existam, da func¸a˜o f .
b) (1,0 pontos) Determine os intervalos onde a func¸a˜o f e´ crescente ou decrescente.
Encontre tambe´m os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais e absolutos da func¸a˜o, assim
como os respectivos valores da func¸a˜o nesses pontos.
c) (1,0 pontos) Determine os intervalos onde a func¸a˜o f e´ coˆncava para cima ou para
baixo, assim como os seus pontos de inflexa˜o.
d) (0,5 pontos) Use as informac¸o˜es dos itens a) − c) para esboc¸ar o gra´fico de f .