Taxas Relacionadas

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1 
Cálculo Aplicado I 
Rascunho da aula do dia 11/06/2020 
 
TAXAS RELACIONADAS 
 
À medida que uma torneira despeja água em um tanque, o nível da água sobe. Para descrever a velocidade 
com que a profundidade h da água aumenta, usamos a taxa de variação dessa profundidade em relação à 
variação do tempo t: 
variação do nível da água
variação do tempo
=
dh
dt
 
 
Além disso, o volume V de água no tanque também está mudando e sua taxa de variação em relação ao tempo 
é indicada por: 
variação do volume da água
variação do tempo
=
dV
dt
 
 
Dizemos que a taxa de variação do volume e a taxa de variação da profundidade são taxas relacionadas porque 
aumento ou redução da profundidade acarreta aumento ou redução no volume e vice-versa. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Uma escada de 13m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. 
Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa constante de 
6m/min, com que velocidade o topo da escada se move para baixo, sempre 
apoiado na parede, quando a base da escada está a 5m da parede? 
 
h2 + x2 = 132 = 169 ; 
dx
dt
= 6 ; 
dh
dt
=? 
d
dt
(h2) +
d
dt
(x2) =
d
dt
(169) ; {
m2 
m = h(t)
 ; {
d2 
d = x(t)
 
2h.
dh
dt
+ 2x.
dx
dt
= 0 (2) 
(12).
dh
dt
+ (5). (6) = 0 >>> 
dh
dt
= −
30
12
= −2,5 
O topo da escada se aproxima do chão a uma velocidade de 2,5 m/min no instante em que a base da escada 
está a 5 metros da parede. 
Para resolver um problema que envolva taxas de variação, comece por fazer um esboço cuidadoso da 
situação considerada. 
Coloque nesse esboço todas as quantidades numéricas que permanecerão fixas; indique com letras as 
quantidades que variam com o tempo. 
A seguir, estabeleça uma relação geométrica ou física entre essas variáveis, por meio de uma equação 
matemática. 
Finalmente, derive os dois membros da equação encontrada, em relação ao tempo t, para obter uma relação 
entre as várias taxas de variação. 
Use essa relação obtida para determinar a taxa de variação desconhecida, pedida no problema. 
2 
2. Um tanque tem a forma de um cone com o vértice para baixo; sua altura é de 12m e o raio da base mede 
6m. Uma torneira despeja água nesse tanque na vazão de 2m3/min. Determinar a rapidez com que o nível 
da água sobe 
a) quando a profundidade for de 3m; 
b) quando a profundidade for de 10m. 
 
V =
1
3
πr2h ; 
dv
dt
= 2 ; 
dh
dt
=? 
Pela figura, tem-se que r =
1
2
h ; V =
1
3
π (
h
2
)
2
. h =
π
12
h3 
dv
dt
=
𝜋
12
.
d
dt
(h3) ; {
m3 
m = h(t)
 
dv
dt
=
π
12
. 3. h2.
dh
dt
=
π
4
. h2.
dh
dt
 ; 
dv
dt
=
π
4
. h2.
dh
dt
 
a) 2 =
π
4
. (3)2.
dh
dt
 >>> 
dh
dt
=
8
9π
= 28,294 cm/min 
b) 2 =
π
4
. (10)2.
dh
dt
 >>> 
dh
dt
=
2
25π
= 2,546 cm/min 
 
Observe que o tanque enche com maior rapidez nos primeiros instantes em que a torneira ficou aberta. 
 
3. Trafegando em ruas próximas ao centro da cidade, o carro A está se movimentando 
para leste a 50km/h e o carro B está se movimentando no sentido sul a 60km/h, como 
indicado na ilustração. Com que taxa a distância entre os carros varia, quando os 
veículos A e B estão a, respectivamente, 15km e 20km do cruzamento dessas ruas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Uma mancha de óleo expande-se em forma de círculo onde a área cresce a uma taxa constante de 26km2/h. 
Com que rapidez estará variando o raio da mancha quando a área for de 9km2? 
 
 
 
 
 
 
 
3 
5. Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma 
árvore que fica a 12 metros de uma rodovia, que segue em linha 
reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da rodovia mais 
próximo do radar da polícia, está um telefone de emergência. 
O policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. 
Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar 
indica que a distância entre o policial e o carro está aumentando 
a uma taxa de 70 km/h. Sabe-se que o limite de velocidade 
naquele trecho da rodovia é de 80km/h. Nesse caso, o policial 
deve ou não multar o motorista? Desconsidere informações 
adicionais. 
 
z2 = y2 + 122 ; 
dz
dt
= 70 000 ; 
dy
dt
=? 
 
d
dt
(z2) =
d
dt
(y2) +
d
dt
(144) 
 
{
m2 
m = z(t)
 ; {
d2 
d = y(t)
 ; 2z.
dz
dt
= 2y.
dy
dt
+ 0 (2) 
 
20. (70 000) = 16.
dy
dt
 >>> 
dy
dt
= 87,5 km/h 
 
Portanto, o motorista será multado por excesso de velocidade na via. 
 
 
6. O volume de um balão esférico cresce a uma taxa de 100cm3/s. Qual é a taxa de crescimento do raio quando 
esse mede 50cm? 
 
V =
4
3
πr3 
 
 
 
7. Um foguete sobe verticalmente e é acompanhado por uma estação no solo a 5 km da 
base de lançamento. Com que rapidez o foguete estará subindo, quando a sua altura 
for 4 km e a sua distância da estação estiver crescendo a 2000 km/h? 
 
 
z2 = h2 + 52 ; 
dz
dt
= 2 000 ; 
dh
dt
=? 
 
d
dt
(z2) =
d
dt
(h2) +
d
dt
(25) 
 
{
m2 
m = z(t)
 ; {
d2 
d = h(t)
 ; 2z.
dz
dt
= 2h.
dh
dt
+ 0 (2) 
 
 
√41. (2000) = 4.
dh
dt
 >>> 
dh
dt
= 3201,56 km/h 
 
4 
8. A base de uma escada com 10m de comprimento se aproxima de uma parede vertical, à velocidade de 
2m/s. Com que rapidez o topo da escada escorrega para cima, quando a base dessa escada está a 6m da 
parede? 
 
 
9. O raio de uma esfera está variando a 3m/s. Com que taxa estará variando o volume dessa esfera quando o 
raio medir 3m? 
 
V =
4
3
πr3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. O gás de um balão esférico escapa à razão de 2 dm3/min. Com que rapidez varia a medida da superfície 
S do balão, em relação ao tempo, no instante em que o raio desse balão mede 5dm? 
Dados: O volume de uma esfera de raio r é dado por V =
4
3
πr3 e sua superfície tem área S = 4πr2. 
 
V =
4
3
πr3 ; 
dV
dt
= −2 ; r = 5 dm 
dV
dt
=
4𝜋
3
.
d
dt
(r3) >>> 
dV
dt
=
4π
3
. 3r2.
dr
dt
 
−2 = 4π. (5)2.
dr
dt
 >>> 
dr
dt
= −
1
50π
 
 
S = 4πr2 ; 
dS
dt
= ? ; r = 5 dm 
dS
dt
= 4π.
d
dt
(r2) >>> 
dS
dt
= 4π. 2r.
dr
dt
 
dS
dt
= 8π. r.
dr
dt
 >>> 
dS
dt
= 8π. (5). (
−1
50π
) 
dS
dt
= −0,8 dm2/min 
 
A medida da superfície do balão de gás diminui à taxa de 0,8 dm2/min, no instante em que o raio desse balão 
é de 5 dm. 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) –2,5 m/min 2) a) 28,29 cm/min; b) 2,55 cm/min 3) –18 km/h 4) 2,44 km/h 
5) v = 87,5 km/h 6) 
1
100π
 cm/s 7) 3 201,56 km/h 8) 1,5 m/s 9) 108π m3/s 10) –0,8 dm2/min 
 
 
 
 
5 
Cálculo Aplicado I 
Rascunho da aula dos dias 16 e 18/06/2020 
 
OUTRAS APLICAÇÕES DA DERIVADA 
 
Neste estudo, investigaremos como usar a derivada primeira e a derivada segunda para analisar o 
comportamento de uma função. 
 
QUESTÃO 01 
A figura abaixo representa a curva de equação f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 12. 
a) Determinar os pontos críticos de f(x) e investigar em que intervalos essa função é crescente ou decrescente. 
b) Determinar a concavidade e o(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nas figuras abaixo A, B, C e D são pontos críticos da função f. A e D são denominados pontos de mínimo da 
função f, enquanto B e C são os pontos de máximo de f. 
 
 
Nota: O que f’ nos diz a respeito de f ? A derivada f’ nos diz se a função primitiva f está crescendo 
ou decrescendo. Também nos diz em que ponto a função f pára de crescer e começa a decrescer e 
vice-versa (ponto crítico). 
Para qualquer função f, um ponto ( a, f(a) ) é um ponto crítico se f’(a) = 0 ou se o valor f’(a) não 
for definido. 
− − − −     
−
−
−



x
y
− − − −     
−
−
−



x
y
y = 2x^3-3x^2-12x+12
6 
Geometricamente, em um ponto crítico onde f’(a) = 0, a reta tangente ao gráfico de f é horizontal. Em um 
ponto crítico onde f’(a) não é definida, existe uma tangente vertical ou não existe tangente ao gráfico. 
A maioriadas funções com as quais trabalhamos no Cálculo Diferencial é derivável em toda parte; portanto, 
na maioria dos pontos críticos tem-se f’(a) = 0. 
 
Com base no que foi exposto até aqui, é possível resumir o comportamento da função 
f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 12, plotada na Questão 01, na tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 02 
O gráfico da derivada segunda f  de uma função primitiva f está ilustrado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nas informações desse gráfico, determine: 
(a) em que intervalos a função derivada f é crescente; 
{2 < x < 7} e x ≠ 4. Na figura, temos que: f "(x) =
1
2
. (x − 4)2. (x − 2). (7 − x) 
(b) para que valores de x, a função derivada f  tem um extremo local (máximo ou mínimo); 
x = 2 é mínimo local; x = 7 é máximo local; x = 4 é ponto crítico. 
(c) em que intervalos o gráfico da função primitiva f tem concavidade voltada para baixo; 
{x < 2 ou x > 7} 
(d) os valores da abscissa x dos pontos de inflexão do gráfico da função primitiva f. 
x = {2,7}. Em x = 4 não ocorreu mudança de concavidade. 
Nota: O que f’’ nos diz a respeito da derivada f’ e da primitiva f ? 
 
• Se f’’ > 0 em um intervalo, então f’ é crescente nesse intervalo e o gráfico de f é côncavo para 
cima. 
• Se f’’ < 0 em um intervalo, então f’ é decrescente nesse intervalo e o gráfico de f é côncavo 
para baixo. 
 
Um ponto P da curva f é ponto de inflexão se nele, a curva muda de concavidade — 
de côncava para cima para côncava para baixo, ou vice-versa. 
7 
Máximos e Mínimos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PONTOS CRÍTICOS → candidatos a máximos e mínimos locais. 
 
 
f ′(xo) = 0 ∄f
′(xo) 
 
a) Quais dos pontos de abscissa x1, x2, x3 e x4, indicados na figura, representam um máximo local? 
E um mínimo local? 
Pontos de máximo local: x1 e x3 
Pontos de mínimo local: x2 e x4 
 
b) Constata-se que, na figura, os pontos de abscissas x1, x2, x3 e x4 são pontos críticos, pois, representam um 
máximo/mínimo no intervalo analisado. De modo geral, como podemos ter certeza que, efetivamente, um 
ponto crítico será máximo/mínimo local? 
 
Fazendo a análise de crescimento/decrescimento da função primitiva. 
 
 
A figura a seguir, representa o gráfico da função f(x) =
1
2
x3 − 3x2 + 6x. 
Com base nela, responda: 
 
a) (2,4) é um ponto crítico? Justifique. 
 
f´(x) =
3
2
x2 − 6x + 6 ; f´(2) = 0 
(2,4) é ponto crítico. 
 
b) O ponto (2,4) é um máximo/mínimo local? Justifique. 
 
Esse ponto crítico não é máximo/mínimo local. 
 
 
 
 
 
 
 
8 
c) O que indica o ponto (2,4) na figura? 
 
f´´(x) = 3x − 6 ; f´´(2) = 0 
 
 (2,4) é ponto de inflexão, pois, f ´´(2) = 0 e nesse ponto a primitiva f(x) muda de concavidade. 
 
 
Observe a figura definida no intervalo aberto (a,b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nela, os pontos de abscissa c1, c2, c3 e c4 são pontos de inflexão. Vale observar que c2 e c3 são, também, 
pontos críticos (máximo e mínimo local, respectivamente) da função f(x) e que f(x) não é derivável nesses 
pontos. Nos pontos c1 e c4 existem as derivadas, com f´(c1) < 0 e f´(c4) > 0. 
 
 
 
PROPBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
Em muitos problemas, estamos interessados em encontrar o valor máximo ou mínimo de alguma grandeza. 
Por exemplo, fabricantes querem saber que dimensões de uma lata de refrigerante de 
350 m tornam mínimo o gasto com o material para fazer esse vasilhame; construtores de carros querem 
estabelecer velocidades, ao dirigir, que maximizam a eficiência do combustível; cientistas querem calcular 
que comprimento de onda transporta a radiação máxima em uma dada temperatura e urbanistas querem 
projetar padrões de tráfego para minimizar atrasos. 
 
Otimizar alguma grandeza significa maximizar ou minimizar essa grandeza. Para podermos utilizar a derivada 
em problemas de otimização, a grandeza a ser otimizada precisa ser dada como uma função de grandezas que 
possam variar. Por exemplo, para determinar as dimensões ótimas de modo a minimizar a quantidade de 
material gasto para fazer uma lata de volume dado, precisamos escrever a grandeza quantidade Q de material, 
como função da superfície S da lata, que é uma grandeza variável: Q = f (S). 
 
Para resolvermos problemas de otimização, precisaremos de modo particular das idéias discutidas nos 
capítulos anteriores: intervalos de crescimento, pontos críticos, concavidade, máximos e mínimos locais ou 
globais. A seguir, estudaremos como montar problemas de otimização; as técnicas matemáticas exigidas na 
resolução da maioria desses problemas são relativamente simples. Muitas dessas técnicas consistem na 
aplicação daquilo que nos diz a derivada a respeito da função primitiva. 
 
 
 
9 
EXERCÍCIOS 
 
 
1. Uma laranja é lançada para o alto com uma velocidade inicial de 19,6 m/s. Sua altura no instante t é dada 
por h(t) = –4,9t2 +19,6 t + 3. Qual é a altura máxima que ela atinge? 
 
h´(t) = 0 >>> –9,8t + 19,6 = 0 >>> t = 2 
hmax = h(2) = −4,9(4) + 19,6(2) + 3 = 22,6 m 
 
 
2. Determine o perímetro do retângulo de maior área que pode ser inscrito na parte superior da 
semicircunferência de equação x2 + y2 = 25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Deseja-se cercar um jardim retangular de 72 m2 de área. Se um lado do jardim já está protegido por um 
muro, quais são as dimensões da cerca de menor comprimento? 
 
 
A = x.y = 72 >>> x =
72
y
 ; P = 2x + y >>> P =
144
y
+ y 
 
P(y) = 144. y−1 + y >>> P´(y) = 0 >>> −
144
𝑦2
 + 1 = 0 >>> y = 12m 
 
x =
72
12
= 6m 
 
A menor quantidade de cerca necessária para contornar o jardim 
é 24 metros. 
 
 
10 
4. Uma caixa sem tampa pode ser confeccionada recortando-se pequenos quadrados congruentes dos cantos 
de uma folha de estanho medindo 30 x 30 cm e dobrando-se os lados para cima. Que medida deve ter a 
altura dessa caixa para que sua capacidade seja maximizada? 
 
V(x) = Ab . h = x.(30 – 2x)
2 = 4x3 – 120x2 + 900x 
V´(x) = 0 >>> 12x2 – 240x + 900 = 0 (12) 
x2 – 20x + 75 = 0 >>> x1 = 5 ; x2 = 15 
x = 5 cm é ponto de máximo local. 
x = 15 cm é ponto de mínimo local. 
A caixa terá volume máximo de 2000 cm3 = 2 dm3 = 2L >>> 1L = 1dm3 
 
 
5. Escreva as coordenadas (x,y) do ponto sobre a reta de equação 6x + y = 9 que está mais próximo do ponto 
(–3,1). 
 
B(–3,1)  reta ; A(x, 9 – 6x)  reta ; d(A, B) = √(∆x)2 + (∆y)2 
d(A, B) = √(x + 3)2 + (8 − 6x)2 >>> d(A, B) = √37x2 − 90x + 73 = (37x2 − 90x + 73)
1
2 
d´(x) = 0 >>> {m
1
2 
m = 37x2 − 90x + 73
 
1
2
m−
1
2. (74x − 90) =
74x − 90
2m
1
2
=
74x − 90
2√37x2 − 90x + 73
=
37x − 45
√37x2 − 90x + 73
= 0 
37x – 45 = 0 >>> x =
45
37
≅ 1,2162 
 O ponto A (
45
37
 ,
63
37
 ) da reta é o ponto mais próximo de B(–3,1). 
 
6. Achar dois números positivos cuja soma é 16 e o produto é o maior possível. 
 
 
 
7. Qual é a área máxima de um retângulo que tem 24 metros de perímetro? 
 
P = 2(b+h) = 24 >>> b + h = 12 
A = b. h = b. (12 − b) = −b2 + 12b 
A´(b) = 0 >>> –2b + 12 = 0 >>> b = 6 
h = 12 – 6 >>> h = 6 
 O retângulo de área máxima é um quadrado de lado 6m e área 
36 m2. Todo quadrado é um retângulo. 
 
 
11 
8. Um fazendeiro tem 80 metros de tela para construir três lados de um galinheiro retangular; o quarto lado 
é uma parede já existente. Calcule as dimensões do galinheiro para que a área destinada às galinhas seja a 
maior possível. 
 
 
9. Pediram a você para projetar uma lata cilíndrica para acondicionar 1 litro de óleo. Que dimensões (em 
centímetros) exigirão menos material para a produção dessa lata? 
 
 
 
10. Na figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (–4, –24) e (2,0). 
 
a) Escreva a equação da reta r e da parábola ilustradas na figura. 
 
Reta r: y = ax + b >>> a =
∆y
∆x
=
24
6
= 4 >>> y = 4x + b >>> y = 4x – 8 
Parábola: y = ax2 + bx + 0 >>> y = ax2 + bx 
{
2a + b = 0
4a − b = −6>>> 6a = –6 >>> a = –1 ; b = 2 >>> y = –x2 + 2x 
 
b) Seja f(x) a diferença entre as ordenadas de pontos de mesma abscissa x, nesta ordem: um sobre a 
parábola e o outro sobre a reta r. Determine x para que a diferença f(x) seja a maior possível. 
 
f(x) = ordenada da (parábola – reta) >>> f(x) = –x2 + 2x – (4x – 8) >>> f(x) = –x2 – 2x + 8 
f ´(x) = 0 >>> –2x – 2 = 0 >>> x = –1 é ponto de máximo local. 
f(–1) = –x2 – 2x + 8 = –1+2+8 = 9 é a maior distância entre a parábola e a reta. 
 
11. A produção, em toneladas, de grãos de milho em certa fazenda é dada por P(t) = 3 + 2 
3
cos
t
, onde t 
representa os meses do ano: (1) janeiro, (2) fevereiro, (3) março, ... , (12) dezembro. Em que meses do ano 
a produção será máxima? E mínima? Explicitar, nesses casos, as quantidades produzidas. 
 
 
 
 
12. Para uma determinada maré, a altura A (medida em metros) acima do nível médio, é dada 
aproximadamente pela fórmula A(t) = 4 sen (30t + 30)º, em que t é o tempo medido em horas. No intervalo 
de 8h às 16h, em que momento a maré atingirá sua altura máxima? Explicite essa altura. 
 
13. Suponha que a receita de uma fábrica seja dada por r(x) = 9x e o custo por x15x6x)x(c 23 +−= onde x 
é medido em milhares de unidades. Qual é o nível de produção que maximiza o lucro? 
 
14. Suponha que x000.20x20x)x(c 23 +−= seja o custo para manufaturar x milhares de itens. Determine 
o nível de produção que minimizará o custo médio para produzir x milhares desses itens. 
 
12 
15. Uma livraria pode receber da editora o livreto Rituais de Paquera do Universitário a um custo de $40,00 
o exemplar. A gerente da livraria estima que pode vender 180 exemplares a um preço de $100,00 a unidade 
e, que a cada redução de $5,00 no preço do exemplar pode acarretar aumento de 30 cópias nas vendas. 
Qual deverá ser o preço unitário de venda desse livreto para que, nesta transação comercial, o lucro total 
da livraria seja maximizado? 
 
 
16. Você opera uma agência de turismo que pratica os seguintes preços: $200 por pessoa, se 50 pessoas 
(o número mínimo necessário para fechar um grupo) participarem da excursão. Para cada pessoa a mais, 
até um máximo de 80 pessoas, o preço é reduzido de $2. Sabe-se que para realizar essa excursão a agência 
de turismo tem um custo fixo de $6.000, além de $32 cobrados de cada turista. Quantas pessoas são 
necessárias para a composição desse grupo de turistas para que, nessa excursão, a agência maximize seu 
lucro? 
 
V = (200 – 2p).(50 + p) = –2p2 + 100p + 10 000 ; 0  p  30 
D = 6000 + 32(50 + p) = 32p + 7600 
L = V – D = –2p2 + 100p + 10 000 – (32p + 7600) = –2p2 + 68p + 2 400 
L´(p) = 0 >>> –4p + 68 = 0 >>> p = 17 é máximo local. 
(50 + p) pessoas formam o grupo com 67 turistas. Com isso, o lucro da agência de turismo, nessa excursão, 
será máximo e igual a R$2.978,00. 
 
 
 
Explicitando a fórmula do vértice de uma parábola: 
f(x) = ax2 + bx + c ; a  0 
f ´(x) = 2ax + b = 0 >>> xv = −
b
2a
 
f(x) = yv = a (−
b
2a
)
2
+ b (−
b
2a
) + c 
yv = a. (
b2
4a2
) + b (−
b
2a
) + c = (
b2
4a
) −
b2
2a
+ c 
yv =
b2 − 2b2 + 4ac
4a
=
−b2 + 4ac
4a
= −
∆
4𝑎
 
 
 
 
GABARITO 
1) 22,6 metros 2) 15 2 u.m 3) x = 6 m e y = 12 m 4) 5 cm 5) 





37
63
,
37
45
 6) 8 e 8 
7) 36 m2 8) 40 x 20 m 9) h = 2r 10) a) y = 4x – 8 e y = –x2 + 2x; b) –1 
11) Máximo: jun/dez = 5 ton ; Mínimo: mar/set = 1 ton 12) 14h ; 4m 13) 3,414 milhares de unidades 
14) 10.000 itens 15) $85 16) 67 pessoas