Bases Numericas3

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Conversão entre bases
Base binária ↔ Base hexadecimal
1001 010100012
95116
10100001 010000102 (2 Bytes)
A14216
10111111 01111100 10011110 100101012 (4 Bytes)
BF7C9E9516
F5A216
1111 0101 1010 0010 → 11110101101000102
101011116
0001 0000 0001 0000 0001 0001 0001 → 10000000100000001000100012
Qual o número mínimo de bits necessários para representar o valor 3DECADE16?
Qual o maior número hexadecimal que pode ser representado na base binária utilizando 6 bits ?
1
26 bits
3F16
Conversão entre bases
Base binária ↔ Base octal
10111012
1358
1001 010100012
45218
11100001 110000102
1607028
7538
111 101 011 → 1111010112 
52368
101 010 011 110 → 1010100111102 
10101118
001 000 001 000 001 001 001 → 10000010000010010012
2
Conversão entre bases
Base b → Base decimal 
Lei da formação
Base decimal → Base b
Divisões sucessivas para a parte inteira
Multiplicações sucessivas para a parte fracionária
Base binária ↔ Base hexadecimal
Substituição direta
Base binária ↔ Base octal
Substituição direta
3
Aritmética binária
A soma de dois números binários segue as mesmas regras da soma no sistema decimal
Exemplo decimal
	 1 1 1
	 5 7 949
	+ 4 + 3 + 321
	 9 10 1270
	
4
Aritmética binária
Regras básicas para a adição de bits
 1
	 1 12 
	 02 02 12 12 12
	+ 02 + 12 + 02 + 12 + 12
	 02 12 12 102 (2) 112 (3) 
Exemplos
	 
	 102 012 01112 
	+ 012 + 112 + 01012 
	 
	
5
Carry
Aritmética binária
Regras básicas para a adição de bits
 1
	 1 12 
	 02 02 12 12 12
	+ 02 + 12 + 02 + 12 + 12
	 02 12 12 102 (2) 112 (3) 
Exemplos
	 1 1 1 1 1
	 102 012 01112 (7)
	+ 012 + 112 + 01012 (5)
	 112 1002 11002 (12)
	
6
Carry
Aritmética binária
Realizar as seguintes somas binárias
10012 + 10112
101002 (9 + 11 = 20)
111001112 + 110110112
1110000102 (231 + 219 = 450)
111111112 + 112
1000000102 (255 + 3 = 258)
111111112 + 111111112
1111111102 (255 + 255 = 510)
	
7
Aritmética binária
Overflow
O número de bits utilizado para representar números em um circuito digital é limitado
Portanto o intervalo de número representáveis depende do número de bits utilizados
Se o resultado de uma operação aritmética não pode ser representado utilizando o número de bits disponível, ocorre um overflow
Em calculadoras é apresentado como uma mensagem de erro (e.g E ou Error) quando se trabalha com números muito grandes
8
Aritmética binária
Overflow
Ocorre quando a soma dos bits mais significativos de um número gera carry = 1
Exemplo utilizando 4 bits para operandos e resultado
Intevalo de representação: 00002 (0) – 11112 (15)
 		
	 10012 (9) 11112 (15)
	 + 10112 (11) 		+ 10002 (8)
	 
9
Aritmética binária
Overflow
Ocorre quando a soma dos bits mais significativos de um número gera carry = 1
Exemplo utilizando 4 bits para operandos e resultado
Intevalo de representação: 00002 (0) – 11112 (15)
 1 1 1 		1 
	 10012 (9) 11112 (15)
	 + 10112 (11) 		+ 10002 (8)
	 01002 (4) 01112 (7)
10
Não é “colocado” no resultado porque ele deve conter apenas 4 bits
Aritmética binária
Overflow
Verificar a ocorrência de overflow
4 bits
11112 + 11112
11102 (14) - overflow
01012 + 01112
11002 (12) - ok
11102 + 10002
01102 (6) – overflow
8 bits
101010002 + 101111012
011001012 - overflow
011010002 + 011011012
110101012 - ok
11
Aritmética binária
Números binários negativos
Até agora os números eram representados sem sinal (unsigned)
Representação binária direta. Para obter o valor decimal basta aplicar a lei de formação : 10002 → 8
Essa representação deve ser expandida para codificar os números negativos
Existem várias maneiras de representar números negativos
A representação utilizada em computação para representar números binários negativos é chamada complemento de 2
12
Aritmética binária
Representação em complemento de 2
Nessa representação, o bit mais à esquerda (mais significativo) é utilizado para indicar o sinal do número (signed)
0: número positivo
1: número negativo
Exemplo
Números signed de 4 bits 
Positivos: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111
Negativos: 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111
Observação importante
00012 = 1
10012 NÃO é -1! 
10012 = -7 em complemento de 2
13
Aritmética binária
Representação em complemento de 2
O intervalo de números representáveis utilizando n bits em complemento de 2 é dado por
-(2n-1) a (2n-1-1)
Exemplos
4 bits
-(24-1) a (24-1-1) = -(23) a (23-1) = -8 a 7
8 bits (tipo char em C)
-(28-1) a (28-1-1) = -(27) a (27-1) = -128 a 127
16 bits
-(216-1) a (216-1-1) = -(215) a (215-1) = -32768 a 32767
32 bits (tipo int em C)
-(232-1) a (232-1-1) = -(231) a (231-1) = -2.147.483.648 a 2.147.483.647
14
Aritmética binária
Representação em complemento de 2
Números representáveis utilizando 3 bits
23 = 8
15
Código
Direta
(unsigned)
Complementode 2
(signed)
0002
0
0
0012
1
1
0102
2
2
0112
3
3
1002
4
-4
1012
5
-3
1102
6
-2
1112
7
-1
Aritmética binária
Representação em complemento de 2
Números representáveis utilizando 4 bits
24 = 16
16
Código
Direta
(unsigned)
Complementode 2
(signed)
00002
0
0
00012
1
1
00102
2
2
00112
3
3
01002
4
4
01012
5
5
01102
6
6
01112
7
7
10002
8
-8
10012
9
-7
10102
10
-6
10112
11
-5
11002
12
-4
11012
13
-3
11102
14
-2
11112
15
-1
Aritmética binária
Representação em complemento de 2
Para obter o valor decimal de um número binário em complemento de 2, utiliza-se a lei da formação com o peso negativo do bit mais significativo (bit de sinal)
Número10 = -(an.bn) + … + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0
Exemplo 
10012
-(1.23) + 0.22 + 0.21 + 1.20 = -8 + 0 + 0 + 1 = -7
100000012
-(1.27) + 1.20 = -128 + 1 = -127
Observação
Somente olhando para o número binário, não tem como saber se a representação é direta ou em complemento de 2. Essa informação deve estar explícita em algum lugar.
17
Aritmética binária
Representação em complemento de 2
Números em complemento de 2 (signed)
Número10 = -(an.bn) + … + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0
11112
-(1.23) + 1.22 + 1.21 + 1.20 = -8 + 4 + 2 + 1 = -1
100001112
-(1.27) + 1.22 + 1.21 + 1.20 = -128 + 4 + 2 + 1 = -121
110010102
-(1.27) + 1.26 + 1.23 + 1.21 = -128 + 64 + 8 + 2 = -54
111111112
-1
18
Aritmética binária
Representação em complemento de 2
Binário positivo ↔ binário
negativo
Inverter todos bits (complemento) e somar 1
Exemplo
01002 (4)
10112 + 12 = 11002 (-4)
11002 (-4)
00112 + 12 = 01002 (4)
19
Aritmética binária
Representação em complemento de 2
Decimal negativo → binário em complemento de 2
Ignorar o sinal do número decimal e converter para binário utilizando o número de bits especificado
Inverter todos bits (complemento) e somar 1
Exemplo
Obter a representação em complemento de 2 de -39 utilizando 8 bits
001001112 (39)
110110002 + 12 = 110110012 (-39)
20
Aritmética binária
Representação em complemento de 2
Representar usando 8 bits e em hexadecimal
-30
 
-64
-100
-150
21