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Introdução à InformáticaIntrodução à Informática Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Representações NuméricasRepresentações Numéricas Ageu Pacheco e Alexandre Ageu Pacheco e Alexandre MeslinMeslin Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Representações NuméricasRepresentações Numéricas zz Objetivo do MóduloObjetivo do Módulo : : Estudo de outros sistemas numéricos além do Estudo de outros sistemas numéricos além do decimal visando entendimento decimal visando entendimento e e domínio domínio de de operações aritméticas operações aritméticas do sistema binário (de basedo sistema binário (de base 2) 2) e do seu relativo; hexadecimal ou de base16.e do seu relativo; hexadecimal ou de base16. Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Representações NuméricasRepresentações Numéricas zz Objetivo daObjetivo da Aula:Aula: zz Conhecer representaçõesConhecer representações dede númerosnúmeros emem outrasoutras basesbases Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Sistema DecimalSistema Decimal zz Concebido pelos hindus cerca de 2000 anos atrás. Concebido pelos hindus cerca de 2000 anos atrás. Posteriormente foi adotado pelos árabes que o Posteriormente foi adotado pelos árabes que o introduziram aos europeus.introduziram aos europeus. zz Também denominado sistema arábico porque utiliza Também denominado sistema arábico porque utiliza símbolos arábicos para representar os dez símbolos arábicos para representar os dez algarismos ou dígitos (dedo em Latim) que a base algarismos ou dígitos (dedo em Latim) que a base suporta: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).suporta: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). zz Base é a quantidade de símbolos disponíveis para Base é a quantidade de símbolos disponíveis para representar os diferentes dígitos do sistemarepresentar os diferentes dígitos do sistema.. Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Sistema DecimalSistema Decimal zz A representação de qualquer número na base A representação de qualquer número na base decimal é posicional; isto é cada dígito assume um decimal é posicional; isto é cada dígito assume um valor ponderado à posição que ocupa.valor ponderado à posição que ocupa. Ex: 638 = 6 x 10Ex: 638 = 6 x 1022 + 3 x 10+ 3 x 1011 + 8 x 10+ 8 x 1000 zz O valor que cada dígito assume na notação O valor que cada dígito assume na notação posicional é igual ao seu valor absoluto multiplicado posicional é igual ao seu valor absoluto multiplicado pela base elevada à posição relativa do dígito pela base elevada à posição relativa do dígito –– 1.1. Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Representações NuméricasRepresentações Numéricas zz ExemploExemplo de de sistema numérico não ponderadosistema numérico não ponderado: : Sistema Sistema Romano Romano Algarismos romanosAlgarismos romanos:: II, V, X, L, C, D, M , V, X, L, C, D, M 1, 5, 10, 50, 100, 500, 10001, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 Exemplos Exemplos de de números romanosnúmeros romanos;; MCMLXXXMCMLXXXIIX, MCMXCX, MCMXCIIX, MM, MMX, MM, MMII Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz OutraOutrass bases ponderadas utilizando os mesmos bases ponderadas utilizando os mesmos símbolos arábicos:símbolos arábicos: Exemplos:Exemplos: zz Base 3: Base 3: 0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,110…0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,110… Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz OutraOutrass bases ponderadas utilizando os mesmos bases ponderadas utilizando os mesmos símbolos arábicos:símbolos arábicos: Exemplos:Exemplos: zz Base 3: Base 3: 0,1,2,10,11,12, 20,21,22,100, 101,102,110…(base 3)0,1,2,10,11,12, 20,21,22,100, 101,102,110…(base 3) 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12….(base10)0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12….(base10) Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont): zz Base 5: Base 5: 0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,...0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,... Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont): zz Base 5: Base 5: 0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30...0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30... ….…. 0,1,2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11,12,13,14,15…0,1,2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11,12,13,14,15… Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont): zz Base 7: Base 7: 0,1,2,3,4,5,6,10,11,12,13,14,15,16,20,21,22,23,24...0,1,2,3,4,5,6,10,11,12,13,14,15,16,20,21,22,23,24... Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont): zz Base 7: Base 7: 0,1,2,3,4,5,6,10,11,12,13,14,15,16,20,21,22,23,24...0,1,2,3,4,5,6,10,11,12,13,14,15,16,20,21,22,23,24... ….…. 0,1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9, 10,11,12,13,14,15,16,17,18...0,1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9, 10,11,12,13,14,15,16,17,18... Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont): zz Base 2: Base 2: 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011...0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011... Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont): zz Base 2: Base 2: 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,...0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,... 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 110,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., ... Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont): zz Base 16: Base 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12,13,…0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12,13,… Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont): zz Base 16: Base 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F, 10,11,12,13,… 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F, 10,11,12,13,… ….…. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,…0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,… Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases ConcluindoConcluindo…… zz Propriedades Propriedades dos dos sistemas numéricos posicionaissistemas numéricos posicionais:: zz O O número número de de dígitos usados dígitos usados emem qualquerqualquer sistema sistema é é sempre igual sempre igual `a base`a base zz O O maior dígito maior dígito é é igual ao igual ao valor valor da da base base menosmenos 11 zz O valor que cada dígito assume na notação posicional O valor que cada dígito assume na notação posicional é igual ao seu valor absoluto multiplicado pela base é igual ao seu valor absoluto multiplicado pela base elevada à posição relativa do dígito elevada à posição relativa do dígito menosmenos 11 zz O O número que corresponde número que corresponde à base é à base é sempre igualsempre igual a a 10 (um10 (um--zero)zero) Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz Assim Assim um um número inteiro qualquer número inteiro qualquer NN de de uma uma dada dada base base bb representado por sua notação posicionalrepresentado por sua notação posicional:: NNbb = (= (AAnnAAnn--11… A… A22AA11AA00) ) bb , pode ser expresso em termos quantitativos por: NNbb = AAnn.bbnn + AAnn--11.bbnn--11 + …… + A+ …… + A22.bb22 ++ AA11.bb11 ++ AA00.bb00 ((expressão da expansão da notação posicionalexpressão da expansão da notação posicional )) Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz ExemplosExemplos:: 1)1) 4264261010 = 4 x 10= 4 x 1022 + 2 x 10+ 2 x 1011 + 6 x 10+ 6 x 1000 = 426= 4261010 Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz ExemplosExemplos:: 1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610 2)2) 42642677 = 4 x 7= 4x 722 + 2 x 7+ 2 x 711 + 6 x 7+ 6 x 700 = 216= 2161010 Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz ExemplosExemplos:: 1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610 2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610 3)3) 7777777788 = 7 x 8= 7 x 833 + 7 x 8+ 7 x 822 + 7 x 8+ 7 x 811 + 7 x 8+ 7 x 800 = 4095= 40951010 Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz ExemplosExemplos:: 1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610 2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610 3) 77778 = 7 x 83 + 7 x 82 + 7 x 81 + 7 x 80 = 409510 4)4) 4303430355 = 4 x 5= 4 x 533 + 3 x 5+ 3 x 522 + 3 =+ 3 = 5785781010 Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz ExemplosExemplos:: 1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610 2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610 3) 77778 = 7 x 83 + 7 x 82 + 7 x 81 + 7 x 80 = 409510 4) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810 5)5) 430343031616 = 4 x 16= 4 x 1633 + 3 x 16+ 3 x 1622 + 3 = 17155+ 3 = 171551010 Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz ExemplosExemplos:: 1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610 2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610 3) 77778 = 7 x 83 + 7 x 82 + 7 x 81 + 7 x 80 = 409510 4) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810 5) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510 6)6) 210222102233 = 2 x 3= 2 x 344 + 1 x 3+ 1 x 333 + 2 x 3 + 2 = 197+ 2 x 3 + 2 = 1971010 Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz ExemplosExemplos:: 1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610 2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610 3) 77778 = 7 x 83 + 7 x 82 + 7 x 81 + 7 x 80 = 409510 4) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810 5) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510 6) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 11610 7)7) 1011010101101022 = 1 x 2= 1 x 266 + 1 x 2+ 1 x 244 + 1 x 2+ 1 x 233 + 1 x 2 = 90+ 1 x 2 = 901010 Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz ExemplosExemplos:: 1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610 2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610 3) 77778 = 7 x 83 + 7 x 82 + 7 x 81 + 7 x 80 = 409510 4) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810 5) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510 6) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 11610 7) 10110102 = 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 2 = 9010 8)8) ABCABC1616 = 10 x 16= 10 x 1622 + 11 x 16 + 12 = 2748+ 11 x 16 + 12 = 27481010 Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz ExemplosExemplos:: 1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610 2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610 3) 77778 = 7 x 83 + 7 x 82 + 7 x 81 + 7 x 80 = 409510 4) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810 5) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510 6) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 11610 7) 10110102 = 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 2 = 9010 8) ABC16 = 10 x 162 + 11 x 16 + 12 = 274810 9)9) 50417650417677 == nãonão éé possívelpossível aa representação narepresentação na base 7base 7 Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz RepresentaçãoRepresentação dede números reaisnúmeros reais:: NúmeroNúmero real emreal em umauma dada base b:dada base b: NNRR = (= (AAnnAAnn--11… A… A22AA11AA00 .. AA--11AA--22AA--33… A… A--mm)) NNR R = N= NII + N+ NF F ,, ondeonde:: NNII = A= Ann.bbnn + AAnn--11.bbnn--11 + …… ++ …… + AA11.bb11 ++ AA00.bb00 NNFF = A= A--11.bb--11 + AA--22.bb--22 + …… ++ …… + AA--m+1m+1.bb--m+1m+1 ++ AA--mm.bb--mm Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz ExemplosExemplos:: 1)1)426.45426.451010 = 426 + 4 x 10= 426 + 4 x 10--11 + 5 x 10+ 5 x 10--22 = 426.45= 426.451010 Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz ExemplosExemplos:: 1)1)426.45426.451010 = 426 + 4 x 10= 426 + 4 x 10--11 + 5 x 10+ 5 x 10--22 = 426.45= 426.451010 2)2)426.45426.4577 = 4 x 7= 4 x 722 + 2 x 7+ 2 x 711 + 6 x 7+ 6 x 700 + 4 x 7+ 4 x 7--11 + 5 x 7+ 5 x 7--22 = 216 + 4 x 1 + 5 x 1= 216 + 4 x 1 + 5 x 1 7 497 49 = 216 + 0.57 + 0.10 = 216.67= 216 + 0.57 + 0.10 = 216.671010 Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz ExemplosExemplos:: 1)1)426.45426.451010 = 426 + 4 x 10= 426 + 4 x 10--11 + 5 x 10+ 5 x 10--22 = 426.45= 426.451010 2)2)426.45426.4577 = 4 x 7= 4 x 722 + 2 x 7+ 2 x 711 + 6 x 7+ 6 x 700 + 4 x 7+ 4 x 7--11 + 5 x 7+ 5 x 7--22 = 216 + 4 x 1 + 5 x 1= 216 + 4 x 1 + 5 x 1 7 497 49 = 216 + 0.57 + 0.10 = 216.67= 216 + 0.57 + 0.10 = 216.671010 3)3)1001.10111001.101122 = 9 + 2= 9 + 2--1 1 + 2+ 2--3 3 + 2+ 2--4 4 = = = 9 + 0.5 + 0.125 + 0.0625 = 9.6875= 9 + 0.5 + 0.125 + 0.0625 = 9.68751010 Sistemas NuméricosSistemas Numéricos Outras BasesOutras Bases zz ExemplosExemplos:: 1)1)426.45426.451010 = 426 + 4 x 10= 426 + 4 x 10--11 + 5 x 10+ 5 x 10--22 = 426.45= 426.451010 2)2)426.45426.4577 = 4 x 7= 4 x 722 + 2 x 7+ 2 x 711 + 6 x 7+ 6 x 700 + 4 x 7+ 4 x 7--11 + 5 x 7+ 5 x 7--22 = 216 + 4 x 1 + 5 x 1= 216 + 4 x 1 + 5 x 1 7 497 49 = 216 + 0.57 + 0.10 = 216.67= 216 + 0.57 + 0.10 = 216.671010 3)3)1001.10111001.101122 = 9 + 2= 9 + 2--1 1 + 2+ 2--3 3 + 2+ 2--4 4 = = = 9 + 0.5 + 0.125 + 0.0625 = 9.6875= 9 + 0.5 + 0.125 + 0.0625 = 9.68751010 4)4)1A.1A1A.1A1616 = 26 + 0.0625 + 10 x 0.0039 = 26.10156= 26 + 0.0625 + 10 x 0.0039 = 26.101561010 Introdução à Informática Sistemas NuméricosRepresentações Numéricas Sistemas NuméricosRepresentações Numéricas Sistemas NuméricosSistema Decimal Sistemas NuméricosSistema Decimal Sistemas NuméricosRepresentações Numéricas Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases Sistemas NuméricosOutras Bases
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