08 - Movimento em duas dimensões

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
FÍSICA MECÂNICA 
 Prof.: Moacyr Marranghello e Prof. Jorge Tadeu Vargas da Silva 
 
08 EXERCÍCIOS SOBRE MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES 
 
1. A velocidade de uma partícula, no S.I., é dada por: v = 7 t + 5. Achar a função posição S (t) mais geral. 
 
2. Uma partícula é dada em, S.I., por: v = 6 t + 3, determine: 
a) o gráfico de v = f (t); 
b) a função da posição; 
c) use esta função para calcular o deslocamento durante o intervalo de t = 0 s até t = 5 s. 
 
3. A velocidade de uma partícula, no S.I., é dada por: v = 7 – 4 t. 
a) faça o gráfico de v = f(t); 
b) determine a posição S = f (t); 
c) calcule o deslocamento de t = 2 s até t = 6 s, por integração. 
 
4. Determine a velocidade de uma partícula, cuja a posição é dada por: 
a) S = 4 t2 – 2 t3; 
b) S = 6 t4 – 4t2 +t; 
c) S = 40 – 2 t2 + 6 t3; 
d) S = 4 t4. 
 
Para todos os problemas seguintes adote g= 9,8 m/s². 
 
5. A figura ao lado mostra um projétil que é disparado do alto de um 
barranco de 180 m de altura acima de um vale. A velocidade 
inicial da bala é 60 m/s, e a arma faz um ângulo de 60o com a 
horizontal. Sem levar em consideração a resistência do ar, 
determine em que posição o projétil atingirá o solo. 
 
6. Um jogador de futebol americano deseja chutar a bola de modo que o tempo de permanência da bola no 
ar seja de 4,5 s. o chute do jogador deve imprimir à bola uma velocidade inicial de 27 m/s. Determine o 
ângulo de lançamento que dê este tempo de permanência do ar. Despreze a resistência do ar e admita 
que a bola seja apanhada à mesma altura que o ponto de onde foi lançada. 
 
7. Uma grande pedra esta numa ribanceira de 400 m de 
altura, sobranceira a uma cidadezinha. Se a pedra 
rolar barranco abaixo, deixará a ribanceira com uma 
velocidade de 50 m/s. Na base do barranco há um 
lago com 200 m de diâmetro e afastado 100 m do seu 
pé, conforme figura abaixo. As casas da cidade estão 
juntas ao lago. 
a) quanto tempo a pedra ficará no ar; 
b) um estudante de física diz que a pedra cairá no 
lago, está certo? 
c) qual a velocidade da pedra ao atingir o nível do 
chão. 
 
8. Um projétil é lançado com a velocidade inicial de 43 
m/s e um ângulo de lançamento de 41º com a 
horizontal. Qual a altura do projétil em relação ao 
ponto de liberação, após ter percorrido uma distância 
horizontal de 20 m. Despreze a resistência do ar. 
 
9. Uma bola de golfe é jogada com velocidade inicial de 42 m/s e um ângulo de projeção com a horizontal 
de 34º. O campo é plano. 
a) qual o instante em que a bola atinge a altura máxima; 
b) qual é o tempo de percurso; 
c) qual a altura máxima atingida; 
30º 
Vo = 50 m/s 
30º 
400 m 
100 m 200 m 
Vo 
60º
 
180 m
 
∆S 
 
2 
d) qual o alcance horizontal. 
10. Joga-se, para cima, uma bola de uma janela com velocidade inicial de 31 m/s e ângulo de projeção com a 
vertical de 66º. O ponto de lançamento está a 8,2 m a cima do solo plano. 
a) qual a distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto em que a bola atinge o solo; 
b) qual a distância em linha reta entre esses dois pontos. 
 
11. Na subida de um avião após a decolagem, as componentes horizontal e vertical de seu vetor velocidade 
são 97 m/s e 22 m/s, respectivamente. Quais são: 
a) a velocidade do avião e; 
b) o ângulo do vetor velocidade com a horizontal. 
 
12. As coordenadas de um objeto são x = 1,9 t2 e y = 0,47 t3- 5,6 (S.I). Quais são as componentes do vetor 
velocidade e da aceleração do objeto. 
 
13. Em um determinado ponto do trilho de uma montanha russa, o trilho faz um ângulo de 29º com a 
horizontal. Se o carro da montanha russa passa por esse ponto com uma velocidade de 16 m/s, quais 
são as componentes horizontal e vertical do vetor velocidade do carro. 
 
14. Um projétil tem velocidade inicial de 26 m/s e um ângulo de projeção com a horizontal de 48º no ponto de 
lançamento. No instante t = 2,1 s após o lançamento: 
a) qual a distância horizontal do projétil ao ponto de lançamento; 
b) qual sua velocidade; 
c) qual a direção que ele tem em relação à horizontal. 
 
15. Lança-se uma flecha para o ar com velocidade inicial de 36 m/s a um ângulo de projeção com a vertical 
de 28º. Tomando o ponto de lançamento como origem e fazendo t = 0 corresponder ao instante de 
lançamento, dê expressões de Vx, Vy, x e y como funções de tempo. 
 
16. Suponha que uma atleta, ao dar um salto, tenha uma velocidade de 9,3 m/s no instante em que deixa o 
solo. Se a distância horizontal do seu salto é 4,7 m, qual é: 
a) o seu ângulo de projeção com a horizontal; 
b) o tempo de sua permanência no ar. 
Considere a atleta como uma partícula, despreze a resistência do ar e suponha θ < 45º. 
 
17. Certo avião possui uma velocidade de 290 km/h e está mergulhado com um ângulo de 30o, abaixo da 
horizontal quando o piloto libera uma isca para atrair roedores. A distância horizontal entre o ponto de 
lançamento e o ponto onde a isca bate no chão é de 700 m. 
a) quanto tempo a isca fica no ar? 
b) qual era a altura do ponto de lançamento? 
 
18. A velocidade de lançamento de certo projétil é cinco vezes a velocidade que ele possui na sua altura 
máxima. Calcule o ângulo de elevação θ no instante de lançamento. 
 
19. Você atira uma bola com as mãos de uma altura de 1,20 m, com velocidade escalar de 25,3 m/s num 
ângulo de 42º acima da horizontal e diretamente para um muro. O muro tem 4,00 m de altura e está a 
62,3 m do ponto de onde a bola foi lançada. 
a) quanto tempo a bola fica no ar antes de atingir o muro? 
b) a que altura do chão a bola atinge o muro? 
 
20. Uma bola cai do topo de uma escada com velocidade horizontal de 1,5 m/s. Os degraus têm 20 cm de 
altura e 20 cm de largura. Que degrau a bola atingirá primeiro. 
Gabarito: 
1. Ct
2
7t5S 2 ++= 
2. a) gráfico 
b) S = 3 t2 + 3 t + C 
c) ∆S = 90 m 
3. a) gráfico 
b) S = – 2 t2 + 7 t + C 
c) ∆S = 36 m 
4. a) V = 8 t – 6 t² 
b) V = 24 t³ – 8 t + 1 
c) V = 18 t² – 4 t 
d) V = 16 t³ 
5. ∆S = 400,65 m 6. θ = 54,75º 7. a) t = 6,84 s 
b) ∆S = 296,06 m 
c) V = 101,69 m/s 
8. h = 16,54 m 
9. a) t = 2,4 s 
b) t = 4,8 s 
c) h = 28,1 m 
d) ∆S = 166,9 m 
10. ∆S = 88,12 m 
 l = 88,49 m 
11. a) v = 99,46 m/s 
b) θ = 12,78º 12. a) jt41,1it8,3v
2 rrr += 
b) jt82,2i8,3a
rrr
+= 
13. a) vx = 13,99 m/s 
b) vy = 7,76 m/s 
14. a) ∆S = 36,53 m 
b) v = 17,44 m/s 
c) θ = – 4,14º 
15. vx = 16,9t 
vy = 31,8 – 9,8t 
x = 8,45t2+C 
y = 3,18t – 4,9t2+C 
16. a) θ= 16,09º 
b) t = 1,82 s 
17. a) t = 17,38 s 18. θ = 78,46º 19. a) t = 3,31 s 20. 3º degrau 
 
3 
b) yo = 2 692,43 m b) y = 3,50 m