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Optical Properties of Semiconductors
Je´roˆme Faist
Eidgeno¨ssische Technische Hochshule Zu¨rich
Zu¨rich, May 2008
Contents
List of figures viii
List of tables ix
List of variables and symbols ix
1 Introduction 1
1.1 bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Introductory texts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Advanced treatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Notes and acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Introduction to Semiconductors 3
2.1 Crystalline structure and symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Wigner-Seitz cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Reciprocal lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Wavefunctions of the crystal, Bloch Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Proof of Bloch’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Electronic states: formation of bands and gaps . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Band structure of III-V and group IV semiconductors . . . . . . . . . . . . . 7
2.4.1 Group IV semiconductors (Si,Ge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4.2 III-V Semiconductors (GaAs, InP, ..) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Effective mass approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.1 Band extrema, effective mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.2 Semiclassical electron dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.3 The hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Density of states in 3, 2 and 1 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6.1 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6.2 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6.3 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Phonons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8 Doping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8.1 Hydrogenoid donors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.9 Carrier statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
i
ii CONTENTS
2.9.1 Ferm-Dirac Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.9.2 Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.9.3 Classical limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Light-matter interaction 17
3.1 Oscillator model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Dielectric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Effective medium approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Kramers-Konig relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.1 Sellmeir’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Interaction between light and a quantum system . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5.1 Fermi’s golden rule: a loss term to a propagating wave . . . . . . . . 22
3.5.2 A polarization field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5.3 A current density j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 Momentum p and dipole z matrix elements: sum rule . . . . . . . . . . . . . 24
3.6.1 Relation between p and z matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6.2 Sum rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.7 Dipole or momentum matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Optical properties of semiconductors 27
4.1 Reflectivity measurements, ellipsometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1 Reflectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.2 Ellipsometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Critical points and band structure, Van Hove singularities . . . . . . . . . . 30
4.3 Refractive index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Bulk semiconductors: bandstructure and fundamental gap 37
5.1 k·p approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.1 Basic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.2 Beyond the perturbation expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.3 Example: a two-band Kane model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.4 Realistic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Computation of the absorption edge in bulk materials . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Effect of carriers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.1 Burnstein shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.2 Bandgap shrinkage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.5 Spontaneous emission and luminescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.5.1 Relationship between absorption and luminescence . . . . . . . . . . 52
5.5.2 applications: luminescence lineshape . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5.3 Electronic temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5.4 Gain measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5.5 Bimolecular recombination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
CONTENTS iii
6 Quantum wells and nanostructures 59
6.1 Envelope function approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.1.1 Multiband case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.1.2 One Band model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.3 Two band model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1.4 Full model: the valence band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2 Absorption: interband case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2.1 Interband spectroscopy: notes on the techniques . . . . . . . . . . . . 69
6.2.2 Note on the QW absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2.3 Effect of strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3 Intersubband absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3.1 First approach: dipole in a one-band model . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3.2 Absorption in a quantum well: a two-band model . . . . . . . . . . . 79
6.3.3 Experimental results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3.4 Intersubband absorption: multiband problem . . . . . . . . . . . . . 83
7 Electric and Magnetic Fields 85
7.1 Franz-Keldish effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2 Quantum confined Stark effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.1 Transverse QCSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Interband case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Intersubband case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2.2 Longitudinal QCSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2.3 Quantum Well exciton resonance in an electric field . . . . . . . . . . 88
7.2.4 Piezo-electric fields in Nitride Quantum wells . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.5 Application: EA modulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.6 QCSE in Ge quantum wells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.3 Cyclotron resonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . .