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Apostila Calculo II

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que
∫ 3
−2
f(x) dx = 7,∫ 0
−2
f(x) dx = 15 e
∫ 3
0
g(x) dx = 10.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 1. INTEGRAL DEFINIDA 7
5. Verifique as seguintes desigualdades sem calcular as integrais.
(a) 2
√
3 ≤
∫ 1
−1
√
3 + x2 dx ≤ 4 ;
(b)
pi
24
≤
∫ pi
4
pi
6
sen(x) dx ≤
√
2pi
24
.
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
8 3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
Aula 2
O Teorema Fundamental do
Cálculo
1 Introdução
O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) estabelece uma conexão
entre os conceitos de derivada e integral. Essa íntima relação entre o Cálculo
Diferencial e o Cálculo Integral simplifica muito a solução de problemas em
que o conceito de integral definida é usado. Esse teorema é o grande re-
sultado do Cálculo e foi descoberto por Isaac Barrow (1630-1677), que foi o
mentor de Newton, na Universidade de Cambridge. Barrow percebeu que a
derivada e a integral são problemas inversos, porém, foram Newton e Leibniz
que aplicaram as ideias e desenvolveram o Cálculo, utilizando-o na resolução
de diferentes problemas.
Antes de abordarmos o Teorema, precisamos desenvolver algumas ideias
preliminares. Comecemos definindo novas funções a partir de antigas.
Seja f : [a, b]→ R contínua em [a, b], definimos uma nova função g : [a, b]→ R,
como a função que a cada x em [a, b] associa o número real g(x) =
∫ x
a
f(t) dt.
Quando f ≥ 0 interpretamos g(x) como a função àrea, já que, nesse caso,
9
10 1. INTRODUÇÃO
g(x) representa a área da região entre o gráfico da f(t) e o eixo t, para
t ∈ [a, x], conforme a Figura 1 a seguir. Observe que g(a) =
∫ a
a
f(t) dt = 0.
Figura 1: Área da região sob a função f(t), t ∈ [a, x]
Exemplo 1
Calcule g(0), g(1), g(3/2), g(2) e g(3), em que g(x) =
∫ x
0
f(t) dt e
f(t) =

t2, se 0 ≤ t ≤ 1;
1, se 1 < t < 2;
3− t, se 2 ≤ t ≤ 3.
Solução
Temos g(0) =
∫ 0
0
f(t) dt = 0; g(1) =
∫ 1
0
f(t) dt =
∫ 1
0
t2 dt = 1/3, pelo
exemplo 1 visto na Aula 1. Observando o gráfico da Figura 2 a seguir, temos
que
g(3/2) =
∫ 3/2
0
f(t) dt =
∫ 1
0
f(t) dt+
∫ 3/2
1
f(t) dt
=
∫ 1
0
t2 dt+
∫ 3/2
1
1 dt = 1/3 + 1/2 = 5/6 ,
onde a última integral definida representa a área do retângulo de altura 1 e
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández CÁLCULO 2A
AULA 2. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 11
base 1/2;
g(2) =
∫ 2
0
f(t) dt =
∫ 1
0
f(t) dt+
∫ 2
1
f(t) dt =
∫ 1
0
t2 dt+
∫ 2
1
1 dt = 1/3+1 = 4/3 ,
em que a última integral definida representa a área do quadrado de lado 1;
g(3) =
∫ 2
0
f(t) dt+
∫ 3
2
f(t) dt = 4/3 +
∫ 3
2
3− t dt = 4/3 + 1/2 = 11/6 ,
onde a última integral definida representa a área do triângulo retângulo de
altura 1 e base 1. �
Figura 2: Gráfico da função f(t) do exemplo1.
Exemplo 2
Mostre que
d
dx
∫ x
0
t dt = x, ∀x ≥ 0
Solução
Interpretando como a área do triângulo entre o gráfico de y = t e o eixo
t, para t ∈ [0, x], temos que
∫ x
0
t dt =
x.x
2
=
x2
2
, já que a base e a altura são
iguais a x. Logo,
d
dx
∫ x
0
t dt =
d
dx
(
x2
2
)
= x. �
Lembremos que uma primitiva ou antiderivada de uma função f , num
intervalo I, é qualquer função F definida em I, cuja derivada coincide com a
f , isto é, F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I. Além disso, como consequência do Teorema
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
12 1. INTRODUÇÃO
do Valor Médio, segue que duas primitivas quaisquer, digamos F e G de uma
f , num intervalo I, diferem por uma constante, isto é, F (x) = G(x) + C,
∀x ∈ I, onde C é uma constante real. Portanto, o Exemplo 2 revela que
nesse caso
∫ x
0
t dt é uma primitiva para o integrando f(x) = x. O TFC nos
mostrará que esse resultado é geral, ele valerá sempre que o integrando for
uma função contínua. Antes, porém, vejamos um argumento intuitivo que
aponta para a veracidade desse resultado, ao menos para f ≥ 0.
Nesse caso, g(x) é a área pintada da Figura 1 e sabemos que
g′(x) = lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
.
Assim, supondo inicialmente h > 0, temos
g(x+ h)− g(x) =
∫ x+h
a
f(t) dt−
∫ x
a
f(t) dt
=
∫ x
a
f(t) dt+
∫ x+h
x
f(t) dt−
∫ x
a
f(t) dt
=
∫ x+h
x
f(t) dt .
Nesse caso, a última integral representa a área da faixa entre o gráfico da
f e o eixo t, para t ∈ [x, x + h]. Note que, na última igualdade, usamos a
propriedade 4 das integrais definidas, vista na Aula 1.
Como estamos interessados no limite para h→ 0, supomos a faixa bem
fininha, isto é, h ≈ 0, portanto, a área da faixa é aproximadamente a área
do retângulo de base h e altura f(x), conforme a Figura 3. Logo,
g′(x) = lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
≈ lim
h→0
f(x).h
h
= lim
h→0
f(x) = f(x) .
Analogamente temos o mesmo resultado para h < 0.
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CÁLCULO 2A
AULA 2. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 13
Figura 3: A área do retângulo aproxima a área da faixa.
Agora, podemos perceber que o resultado é razoável, o que torna natural
o conteúdo do TFC, que se divide em duas partes, sendo que a segunda é
consequência da primeira.
Teorema Fundamental do Cálculo
Se a função f for contínua em [a,b], então
i) a função g(x) =
∫ x
a
f(t) dt é contínua em [a, b], derivável em (a, b) e
g′(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b).
ii)
∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a), onde F é qualquer primitiva da função f .
Observação 1
• A primeira parte do TFC nos diz que podemos construir primitivas para
uma função contínua usando integração. Além disso, a demonstração feita
vale em a e b como derivadas laterais e podemos escrever g′(x) = f(x),
∀x ∈ [a, b], entendendo que g′(a) é a derivada à direita da g em x = a e g′(b)
é a derivada à esquerda.
• A segunda parte do TFC facilita muito o cálculo de integrais definidas, se
conhecermos uma primitiva F para o integrando. Nesse caso, calculamos a
variação total dessa função, isto é, F (b) − F (a). Essa variação total recebe
uma notação bastante útil, a saber F (b)− F (a) = F (x)
∣∣∣b
a
.
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14 2. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
• A partir da Aula 4 até a Aula 9 vamos desenvolver técnicas que nos
permitem calcular primitivas de algumas funções. Porém, essas técnicas têm
alcance limitado, na verdade, para a maioria das funções integráveis, não
podemos determinar uma primitiva. Nesse caso, o uso das somas de Riemann
é necessário e as mesmas podem ser utilizadas com algum método numérico
para aproximar o valor da integral definida.
• A primeira parte do TFC nos diz que d
dx
∫ x
a
f(t) dt = f(x), ou seja
que a derivada desfaz o que é realizado pela integral e obtemos de volta a
função f original. Aplicando a segunda parte do TFC à derivada de f temos∫ x
a
d
dt
f(t) dt = f(x)− f(a). Assim, a integral desfaz o que é realizado pela
derivada e obtemos de volta a função f , a menos da constante f(a). Neste
sentido, entendemos que a derivação e a integração são processos inversos.
• Nesse ponto, justificamos o uso da nomenclatura integral indefinida para
o conjunto das primitivas de uma função. À primeira vista esse uso parece
inadequado, por se tratar de uma ideia que não envolve o mesmo princípio
da integral definida. A estreita ligação que envolve os dois conceitos só fica
evidente com o TFC.
2 Exercícios de revisão
1. Calcule as integrais indefinidas:
a.
∫ 4
1
1
x
dx; b.
∫ 1
0
1
x2 + 1
dx; c.
∫ 2
−1
3x4 + 1 dx;
d.
∫ pi
0
sen x dx; e.
∫ 4
1
−1√
t
dt; f.
∫ 1
0
es ds.
2. Esboce a região R compreendida entre os gráficos dados e calcule sua
área.
a. y = x4 e o eixo Ox para x ∈ [0, 2];
b. y = cos x e o eixo Ox para x ∈ [0, pi/2];
c. Reta y =