Teoria das Filas - Parte 2

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Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
Curso: Engenharia de Produção
Vamos admitir que o tempo de 
atendimento (tempo de serviço) de clientes
diferentes são variáveis aleatórias
independentes e que o atendimento de cada
consumidor é dado por uma variável S tendo
função densidade s(t). 
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Vamos denominar 1/µ o tempo médio de 
atendimento de um cliente. Tem-se, então que:
A variável 1/µ será medida em horas por
cliente, de modo que µ será medida em 
clientes por hora.
∫=µ
∞
0 dt)t(ts
1
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Por esse motivo µµµµ será denominada de taxa
de serviço. Por exemplo µµµµ = 5, significa que se 
sempre existirem clientes, o atendente poderá
atender a 5 clientes por hora, em média, e o 
tempo médio de serviço (atendimento) para
cada consumidor será de 1/5 hora. 
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Na notação de Kendall, uma fila é descrita
por:
A/B/C/Z/K/m
Ou mais resumidamente por A/B/C, onde
é assumido que Z = FIFO, K = ∞, m = ∞. 
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David George Kendall 
(1918, 2007) estatístico britânico
professor das universidades de 
Oxford e Cambridge. Foi um dos 
maiores especialistas em 
Probabilidade e Análise de 
Dados. 
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A/B/C/Z/K/m 
M: são iid tendo uma distribuição exponencial;
G: são iid tendo uma distribuição genérica;
D: são iid e determinísticos;
Er,k: são iid com distribuição de Erlang de 
parâmetros: r e k.
Os tempos entre chegadas:
Valores de A mais comuns.
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A/B/C/Z/K/m 
M: são iid tendo uma distribuição exponencial;
G: são iid tendo uma distribuição genérica;
D: são iid e determinísticos;
Er,k: são iid com distribuição de Erlang de 
parâmetros: r e k.
Os tempos de serviço:
Valores de B mais comuns.
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Número de 
servidores
A terceira característica (C) representa o 
número de servidores que atuam em 
paralelo.
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Disciplina 
do serviço.
Z será omitido quando 
a disciplina for FIFO.
FIFO = First In, First Out ou FCFS = First Come, First Served;
LIFO = Last In, First Out ou LCFS = Last Come, First Served;
SIRO = Service In Random Order;
GD = Disciplina Genérica.
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Número máximo de 
clientes no sistema.
K é omitido 
quando for infinito.
O número de clientes incluem os que 
estão na fila e os em atendimento.
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Tamanho da 
população.
m é omitido 
quando for infinito. 
A menos que o número de clientes seja 
o mesmo que o de servidores a população é
considerada infinita. 
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A notação utilizada na teoria das filas é
variada mas, em geral, as seguintes são comuns:
λλλλ = número médio de clientes que entram 
no sistema por unidade de tempo;
µµµµ = número médio de clientes atendidos
(que saem do sistema) por unidade de tempo;
L = número médio de clientes no sistema;
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Lq = número médio de clientes na fila;
Ls = número médio de clientes sendo atendidos;
W = tempo médio que o cliente fica no sistema;
Wq = tempo médio que o cliente fica na fila;
Ws = tempo médio que um cliente leva para ser 
atendido.
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Wq(t) = FDA do tempo de espera na fila;
wq(t) = fdp to tempo de espera na fila;
W(t) = FDA do tempo de permanência no 
sistema;
T = tempo gasto no sistema.
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Um dos objetivos do estudo das filas é
determinar o tempo que um cliente fica no 
sistema. 
Assim se um sistema de filas está em estado 
estacionário, tem-se (Leis de Little): 
L = λλλλW Lq =λλλλWq Ls = λλλλWs
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David John Dutton Conant 
Little (1928 - ) graduado em 
Física pelo MIT, em 1948, Foi o 
primeiro doutor em PO, obtendo
o título em 1955. É professor do 
MIT desde 1962, tendo
trabalhado anteriormente na GE.
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Lembrar que L é espresso em termos de 
número de clientes, λλλλ é expresso em termos de 
clientes por hora e W é expresso em horas. 
Assim λλλλW tem a mesma unidade (clientes) de L. 
As três equações anteriores são válidas para 
qualquer sistema de filas.
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Representando por pk a probabilidade de 
que o sistema contenha k membros (ou esteja 
no estado Ek ) em um momento t futuro, tem-
se: 
Para que o sistema esteja em equilíbrio é
necessário que em algum momento:
1p
0k
k =∑
∞
=
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Fluxo de Entrada:
Ek = λλλλk-1pk-1 + µµµµk+1pk+1 
Fluxo de Saída:
Ek = (λλλλk + µµµµk)pk
Em equilíbrio os dois fluxos devem ser 
iguais e então:
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λλλλk-1pk-1 + µµµµk+1pk+1 = (λλλλk + µµµµk)pk 
A solução dessa equação pode ser obtida 
considerando inicialmente k = 0, que leva a:
Então:
pp 0
0
0
1 µ
λ
=
p
...
...
p 0
k21
1k10
k µµµ
λλλ
=
−
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e 
A relação pk para k = 0, 1, 2, ... é a 
principal equação da teoria das filas.
Para estudar a existência das 
probabilidades de estados estacionários 
(steady-state) pk define-se:
∏
µ
λ
=
−
= +
1k
0i 1i
i
0k pp ∑ ∏ µ
λ+
=
∞
=
−
= +1k
1k
0i 1i
i
0
1
1
p
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e
Diz-se, então, que um processo será:
Ergódico se: S1 < ∞ e S2 → ∞;
Recorrente Nulo se: S1 → ∞ e S2 → ∞;
Transiente se: S1 → ∞ e S2 < ∞;
∑ ∏
µ
λ
=
∞
=
−
= +0k
1k
0i 1i
i
1S ∑















 ∏
µ
λλ=
∞
=
−
= +0k
1k
0i 1i
i
k2 /1S
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É o caso Ergódico (S1 < ∞ e S2 → ∞) que 
fornece probabilidades de equilíbrio pk e esse é
o que interessa estudar. Pode-se notar que a 
condição de Ergodicidade é satisfeita sempre 
que a seqüência λλλλk/µµµµk é menor do que a unidade 
para algum k em diante, isto é, se existe algum 
k0 tal que para k ≥ k0 tem-se: λλλλk/µµµµk < 1.
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Lembrar que um sistema M/M/1/GD/∞/∞
tem um tempo de inter chegadas exponencial (a 
taxa de chegadas por unidade de tempo é λλλλκκκκ = λλλλ
para k = 0, 1, 2 …) e um único servidor com 
tempo de atendimento também exponencial (a 
taxa de atendimento será assumida como sendo 
µµµµκκκκ = µµµµ para k = 0, 1, 2, …).
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Assim: 
A condição para que o sistema seja 
ergódico (e assim tenha uma solução de 
equilíbrio pk > 0) é que S1 < ∞ e S2 → ∞. Nesse 
caso a primeira condição, torna-se:
0k para pppp
k
0
1k
0i
0
1k
0i 1i
i
0k ≥





µ
λ
=∏
µ
λ
=∏
µ
λ
=
−
=
−
= +
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Essa série irá convergir se e somente se 
(λλλλ/µµµµ) < 1 ou λλλλ < µµµµ. 
A segunda condição de Ergodicidade 
torna-se:
∞<∑ 





µ
λ
=∑=
∞
=
∞
= 0k
k
0k 0
k
1 p
p
S
∞=





λ
µ
∑ λ
=∑ λ
=
∞
=
∞
=
k
0k0k 0k
2
1
)pp(
1
S
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Esta condição será satisfeita se (λλλλ/µµµµ) < 1, 
assim a condição necessária e suficiente de 
ergodicidade do sistema M/M/1 é que λ < µλ < µλ < µλ < µ.
Para resolver as equações em relação a p0
partimos de:
∑ 





µ
λ
+
=
∑ ∏ µ
λ+
=
∞
=
∞
=
−
= + 1k
k
1k
1k
0i 1i
i
0
1
1
1
1
p
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Essa soma converge se λ < µλ < µλ < µλ < µ e então:
Fazendo λ/µ = ρλ/µ = ρλ/µ = ρλ/µ = ρ segue que:
pk = (1 – ρρρρ) ρρρρk para k = 0, 1, 2, .... Assim o 
número de usuários no sistema segue uma 
distribuição geométrica de parâmetro 1 – ρρρρ.
µ
λ
−=
µλ−
µλ
+
= 1
1
1
1
p0
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Uma medida básica de um sistema de filas 
é o número esperado de clientes no sistema 
que é dado por:
ρ−
ρ
=∑ ρρ−=∑==
∞
=
∞
= 1
k)1(pkNL
0k
k
0k
k
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De forma similar pode-se determinar a 
variância e o desvio padrão do número 
de clientes no sistema que é dado por:
Assim o desvio padrão é dado por:
)1(
)Nk(p 2
0k
2
k
2
N ρ−
ρ
=∑ −=σ
∞
=
σ2N σN
ρ−
ρ
=σ
1N
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Define-se ρρρρ = λ/µλ/µλ/µλ/µ como a intensidade de 
trânsito de um sistema de filas ou fator de 
utilização ou ainda taxa de utilização do 
sistema.
Para o sistema atingir um estado estacionário 
é necessário que 0 ≤ ρ ρ ρ ρ < 1. Se ρ ρ ρ ρ ≥ 1 é fácil de ver 
que o estado estacionário não será alcançado.
Quando ρρρρ = 1, o sistema torna-se instável.
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Assim, por exemplo, se λ = λ = λ = λ = 6 clientes por 
hora e µ = 4µ = 4µ = 4µ = 4 clientes por hora. Se o servidor 
trabalhar todo o tempo ele só poderá atender 
em média a 4 pessoas por hora. Assim o 
número médio de clientes por hora irá
aumentar de 6 – 4 = 2 clientes por hora. 
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Dessa forma a fila aumentaria sem limites 
e não existe uma distribuição do estado 
estacionário. Se ρ = 1, então a não existência 
de um estado estacionário não é óbvia, mas a 
uma análise mais aprofundada indica que ele 
não existe.
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Derivação de L
De agora em diante será assumido que 
ρρρρ < 1, assegurando que a distribuição de 
probabilidade do estado estacionário 
pk = ρρρρk(1 - ρρρρ) existe. Assumindo que o estado 
estacionário tenha sido alcançado, o número 
médio de consumidores no sistema é dado por:
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Definindo:
Tem-se: ρρρρS = ρρρρ2222 + 2ρρρρ3333 + 3ρρρρ4444 + ...
Subtraindo ρρρρS de S vem:
∑ ρ∑ ρ−=ρ−ρ=∑=
∞
=
∞
=
∞
= 0j
k
0k
k
0k
k k)1()1(kpkL
...32kS 32
0k
k +ρ+ρ+ρ=∑ ρ=
∞
=
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S - ρρρρS = ρρρρ + ρρρρ2222 + ρρρρ3333 + ... = ρρρρ/(1 – ρρρρ)
Assim: S = ρρρρ/(1 – ρρρρ)2 = V(N)
Então L = (1 – ρρρρ)S = (1 – ρρρρ)[ρρρρ/(1 – ρρρρ)2]
L = ρρρρ/(1 – ρρρρ) = (λλλλ/µµµµ)/[1 – (λλλλ/µµµµ)] = λλλλ/(µµµµ – λλλλ)
Portanto: L = λλλλ/(µµµµ – λλλλ) = número médio de 
clientes no sistema.
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Derivação de Lq
Em algumas situações existe interesse em 
saber o número médio de pessoas esperando 
na fila. Esse valor será representado por Lq. 
Note que nenhum ou apenas um cliente estiver 
no sistema então ninguém estará esperando na 
fila. 
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Se k pessoas estiverem no sistema (k ≥ 1), 
então k – 1 estarão esperando na fila. Assim se 
o sistema estiver em estado estacionário: 
Assim Lq = L – (1 – p0) = L – ρρρρ
Lq = ρρρρ2/(1 – ρρρρ) = λλλλ2/µµµµ(µµµµ – λλλλ)
∑−∑=∑ −=
∞
=
∞
=
∞
= 1k
k
1k
k
1k
kq ppkp)1k(L
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Então: Lq = λλλλ2/µµµµ(µµµµ – λλλλ)
Utilizando esses resultados mais o 
Teorema um podemos determinar outras 
relações: 
Tem-se: L = ρ/(1 ρ/(1 ρ/(1 ρ/(1 – ρ)ρ)ρ)ρ) e L = λλλλW. Assim 
W = L/λλλλ, então W = 1/(µµµµ – λλλλ)
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O valor de Ls é também de interesse, isto
é, o número médio de clientes sendo
atendidos:
Ls = 1 – p0 = 1 – ( 1- ρρρρ) = ρρρρ
Assim Lq = L – Ls = ρ/(ρ/(ρ/(ρ/(1- ρ)ρ)ρ)ρ) – ρρρρ = 
= ρρρρ2/(1 – ρρρρ)
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Também Lq = λλλλ2/[µµµµ(µµµµ – λλλλ)] e Wq = Lq /λ,λ,λ,λ,
então: Wq = λλλλ/[µµµµ(µµµµ – λλλλ)] = ρρρρ/(µµµµ −−−− λλλλ)
Observe que a medida que ρ se aproxima 
de 1, tanto W quanto Wq tornam-se muito 
grandes. Se ρρρρ se aproxima de zero, W se 
aproxima de zero e Wq se aproxima de 1/µµµµ
que é a taxa média de serviço.
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Outro resultado de interesse é a 
probabilidade de que exista pelo menos k 
clientes no sistema:
ρ=∑ ρρ−=∑=≥
∞
=
∞
=
k
ki
i
ki
i )1(p)kN(P
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Pode-se ver assim que a probabilidade 
de existirem mais do que k clientes no 
sistema é uma função geometricamente 
decrescente do número k que decresce 
rapidamente.
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Aplicando a lei de Little podemos obter 
outra expressão para o tempo médio gasto no 
sistema, isto é:
ρ−
µ
=





λ






ρ−
ρ
=
λ
==
1
/11
1
NTW
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Função de distribuição acumulada do 
tempo de espera na fila
Seja Wq(t) a função de distribuição 
acumulada de Tq = tempo que um usuário espera 
na fila. Então:
Wq(t) = P(Tq ≤ t).
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Tem-se Wq(0) = P(Tq ≤ 0) = P(N = 0) = 1 – ρρρρ
e para t > 0, tem-se: 
Daí segue que:
Wq(t) = 1 – ρe-(µ – λ)t
t) tempo o até atendidos sistema no usuários k(P)t(W
k
q ∑=
∞
=0
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Função densidade do tempo de espera na fila
Assim wq(t) = ρ(µ – λ)e-(µ – λ)t
e)(
dt
e(d
dt
)t(Wd
)t(w t)(
t)(q
q
λ−µ−
λ−µ−
λ−µρ=ρ−== 1
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Função de distribuição acumulada do 
tempo de permanência no sistema
De forma análoga ao caso anterior a função 
acumulada do tempo T de permanência no 
sistema W(t) é dada por:
W(t) = P(T ≤ t) = 1 – e-µ(1µ(1µ(1µ(1−−−−ρρρρ)t
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Assim, pode-se perceber que a VAC 
T = tempo gasto no sistema, segue uma 
distribuição exponencial de parâmetro µ(1−ρ).
O valor esperado dessa variável é :
E(T) = λ−µ
=
ρ−µ
1
1
1
)(
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O valor esperado (média) dessa variável é :
λ−µ
ρ
=
λ−µµ
λ
=
)(
=∫ λ−µρ=∫== λ−µ−∞∞ dte)(tdt)t(wt)T(EW t)(qqq 00
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Probabilidade do tempo de espera na fila ser 
maior do que t > 0
P(Tq > t) = 1 – Wq(t) = ρe-(µ−λ)t
Probabilidade de que o tempo no sistema seja 
maior do que t > 0
P(T> t) = 1 – W(t) = e-µ(1µ(1µ(1µ(1−−−−ρρρρ)t
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Um média de 10 carros por hora 
chegam a a um drive-thru de um único 
funcionário. O atendente leva em média 4 
minutos para atender cada cliente. Tanto as 
chegadas quanto o atendimento seguem 
uma distribuição exponencial.
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1. Qual é a probabilidade de que o atendente 
esteja livre?
2. Qual é o número médio de carros esperando 
para ser atendidos (um carro que está sendo 
atendido não é contado na fila?
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3. Qual o tempo médio total que um cliente 
gasta para ser servido?
4. Na média, quantos consumidores serão 
servidos no período de uma hora?
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Por hipótese estamos lidando com um 
sistema M/M/1 para o qual λλλλ = 10 carros 
por hora e µµµµ = 15 carros por hora. Assim
ρρρρ = 10/15 = 2/3.
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1. Tem-se p0 = 1 – ρ = 1 – 2/3 = 1/3. Assim o 
atendente estará livre 1/3 do tempo.
2. Lq = ρ2/(1 – ρ) = (2/3)2/[1 – (2/3)] = 4/3 = 
1,33 carros. 
3. W = L/λ. Tem-se L = ρ/(1 – ρ) = 
= (2/3)/[1 – (2/3)] = 2 consumidores. Assim 
W = 2/10 = 0,2 horas = 12 minutos. 
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4. Se o atendente estivesse sempre ocupado 
ele atenderia uma média de µ = 15 
consumidores por hora. Como ele está
ocupado apenas 2/3 do tempo então ele 
atenderá (2/3)15 = 10 consumidores.
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GRIMMETT, G. R., SITRZAKER, D. R. 
Probability and Random Processes. Oxford 
(London): Oxford University Press, 1991.
KLEINROCK, Leonard. Queueing Systems: v. 1: 
Theory. New York: John Wiley, 1975.
WISTON, Wayne L. Operations Research: 
Applications and Algorithms. 3 ed. Belmont
(CA): Duxbury Press, 1994.