Probabilidade e Estatistica

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
FACULDADE DE MATEMÁTICA 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA (SI) 
 
Prof. Hélio Radke Bittencourt 
 
1. CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 
1.1 Conjuntos de dados. População e Amostra 
1.2 Tipos de variáveis 
1.3 Escalas de mensuração 
1.4 Estatística descritiva e inferencial 
 
2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
2.1 Tabelas de freqüência simples e cruzadas 
2.2 Análise gráfica 
2.3 Medidas de Tendência Central 
2.4 Separatrizes 
2.5 Medidas de Variabilidade 
 
3. PROBABILIDADE 
3.1 Conceitos básicos e a Distribuição Normal 
 
4. AMOSTRAGEM 
4.1 Conceitos básicos 
4.2 Principais técnicas de amostragem probabilística 
 
5. DISTRIBUIÇOES AMOSTRAIS E ESTIMAÇÃO 
5.1 Parâmetros e Estimadores 
5.2 Distribuição amostral da média 
5.3 Estimação por ponto 
5.4 Estimação por intervalos de confiança 
 
6. TESTES DE HIPÓTESES 
6.1 Teste t de Student para uma média 
6.2 Testes t de Student - duas amostras independentes 
6.3 Análise de Variância (ANOVA) 
 
7. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
7.1 Coeficiente de correlação de Pearson 
7.2 Regressão Linear Simples 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 2 
 
Cap. 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 
 
 
1.1 Conjunto de dados. População e amostra 
 
A Estatística pode ser definida como o conjunto de ferramentas para coleta, 
organização, análise e interpretação de dados experimentais. O objeto de estudo em 
Estatística é um conjunto de dados que pode constituir uma população ou uma 
amostra. 
 
População é um conjunto finito ou infinito de elementos. 
 
Amostra é um subconjunto da população. Geralmente buscamos amostras 
representativas. Uma amostra representativa é aquela que mantém as 
características da população. 
 
 
1.2 Tipos de Variáveis 
 
Em estatística não trabalhamos diretamente com os elementos que formam o conjunto 
de dados, mas sim com suas características. Variáveis são características dos 
elementos que formam o conjunto de dados. 
 
As variáveis podem ser classificadas em qualitativas ou quantitativas: as variáveis 
qualitativas expressam uma classificação em categorias e, por isso, também são 
chamadas de categóricas. As variáveis quantitativas expressam quantidades numéricas 
e se dividem em discretas e contínuas. As variáveis discretas assumem apenas 
determinados valores num dado conjunto enumerável, enquanto as variáveis contínuas 
podem assumir, ao menos teoricamente, qualquer valor num dado intervalo numérico. 
 
Exemplo – Listar variáveis qualitativas e quantitativas para um automóvel 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na prática todas as variáveis são discretas, devido à limitação dos instrumentos de 
mensuração. 
 
 
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1.3 Escalas de Mensuração 
 
As variáveis ainda podem ser classificadas de acordo com o nível ou escala de 
mensuração: Nominal, Ordinal ou Intervalar/Razão. 
 
O nível nominal de mensuração é caracterizado por números que apenas 
diferenciam ou rotulam as categorias. 
 
Exemplos: Sexo (1-M, 2-F), Estado Civil, Naturalidade, Curso. 
 
 
 
O nível ordinal de mensuração envolve números que, além de diferenciar, 
hierarquizam as categorias. Também são chamadas de escalas Likert em homenagem 
ao americano Rensis Likert que publicou o artigo "A Technique for the measurement of 
attitudes" em 1932, onde sugeriu escalas de 5 pontos com uma categoria neutra ao 
centro. 
 
Exemplos: Nível de satisfação, Nível de concordância, Escala de Avaliação, Níveis de 
solubilidade. 
 
 
 
O nível intervalar ou de razão apresenta números que expressam diretamente uma 
quantidade seguindo uma métrica. Podemos tranqüilamente realizar operações 
matemáticas com variáveis deste tipo. 
 
Exemplos: Temperatura, tamanho de objetos, pesos, contagens. 
 
 
 
Figura – Resumo dos tipos de variáveis e escalas de mensuração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 4 
1.4 Estatística Descritiva e Inferencial 
 
A estatística é um conjunto de ferramentas utilizadas para a coleta, tabulação, análise e 
interpretação de um conjunto de dados experimentais. A Estatística pode ser dividida 
em duas grandes áreas: Descritiva e Inferencial. 
 
A estatística descritiva é aquela que costumamos encontrar com maior freqüência 
em jornais, revistas, relatórios, etc. Essa parte da estatística utiliza números para 
descrever fatos. Seu foco é a representação gráfica e o resumo e organização de um 
conjunto de dados, com a finalidade de simplificar informações. Nessa categoria se 
enquadram as médias salariais, taxas de inflação, índice de desemprego, etc. 
 
A estatística inferencial consiste na obtenção de resultados que possam ser 
projetados para toda população a partir de uma amostra da mesma. Ela fundamenta-se 
na teoria da amostragem e no cálculo de Probabilidades. Essa é a área mais importante 
da Estatística. 
 
 
Figura - Esquema geral de um curso de Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 Descritiva 
 
Estatística 
 
 
 
 Inferencial 
 
 
 
 Probabilidade Amostragem 
 
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Cap. 2 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
 
2.1 Tabelas de freqüência simples e cruzadas 
 
Vamos introduzir o tema de tabelas de freqüência simples construindo tabelas para o 
banco de dados a seguir: 
 
Exemplo 1 – Banco de dados coletado em sala de aula sobre INTERNET 
Tipo de acesso 
1 – discada 
2 – ADSL, telefone 
3 – ADSL, tv cabo 
4 – Rádio 
5 – Outro 
Número de 
contas de email 
ativas 
Tempo diário Internet 
(frente do computador 
conectado) 
Qualidade acesso 
 
1- Péssimo; 2- Ruim; 3 – Regular; 
4 – Muito Bom; 5 - Ótimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criar uma tabela de freqüências para cada uma das variáveis. 
 
Tabelas de freqüência são encontradas em jornais informativos (Zero Hora, Correio do 
Povo, etc.), relatórios técnicos, monografias, dissertações, teses e revistas científicas. 
As tabelas de freqüência simples apresentam de forma concisa o número de 
ocorrências (absoluta e relativa) dos valores de uma variável. 
 
Uma tabela de freqüência genérica tem a seguinte configuração: 
 
 
Tabela 1 – Tabela de freqüências genérica 
i xi fi fri 
1 x1 f1 fr1 
2 x2 f2 fr2 
M M M M 
k xk fk frk 
 Σ n 100,0% 
 
 
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A notação utilizada é a seguinte: 
 
X é uma variável qualquer 
x é um particular valor da variável X 
i é um índice útil para enunciar as expressões matemáticas 
k é o número de linhas da tabela 
 
 
Os componentes da tabela de freqüências são: 
 
Freqüência absoluta (fi): número de ocorrências do valor xi. 
 
Freqüência relativa (fri): percentual de ocorrências do valor xi 
 
Freqüência absoluta acumulada (Fi): número de ocorrências até o valor xi. 
 
Freqüência relativa acumulada (Fri): percentual de ocorrências até o valor xi 
 
 
As Tabelas cruzadas apresentam a distribuição de freqüências de duas variáveis 
simultaneamente. As tabelas cruzadas são abundantes em jornais e revistas 
especializadas. 
 
Exemplo 2 – Curso Tabela Cruzada 2X2 
 
Preencher a tabela abaixo com os dados da turma. Calcule os percentuais em relação 
aos totais das linhas. 
 
 
Tabela 2 – Distribuição da turma por gênero e 
 
Gênero Totais 
Masculino 
 
 
Feminino 
 
 
Totais 
 
 
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5,7%
1,9%
2,4%
2,8%
3,3%
8,5%
9,4%
28,3%
37,7%
0% 20% 40% 60% 80% 100%
Outras
Drogas
Acidente de carro
Doenças venéreas
Armas de fogo
Doenças infecciosas
Ãlcool
Obesidade
Cigarro
2.2 Análise Gráfica 
 
 
O tipo de gráfico adequado para cada variável depende do tipo de variável. Segue uma 
relação de exemplos de variáveis e tipos de gráficos adequados. 
 
 
Variável Qualitativa Nominal (com poucas categorias) 
 
GRÁFICO DE SETORES (Pizza ou Torta) 
 
Figura – Distribuição da turma por sexo 
Masculino
40%
Feminino
60%
 
Base: 50 alunos de uma turma 
Fonte: dados coletados em aula (numa turma, obviamente, não de SI) 
 
 
 
Variável Qualitativa Nominal (com muitas categorias): 
 
GRÁFICO DE BARRAS 
 
Figura – Principais causas de morte - EUA 
Base: ??? 
Fonte: TE Estatísticas, ano não declarado 
 
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Variável Qualitativa Ordinal: 
 
GRÁFICO DE BARRAS 
 
Figura – Avaliação do atendimento da equipe de um call-center 
2%
5%
8%
20%
35%
25%
0% 10% 20% 30% 40%
Péssimo
Ruim
Regular
Bom
Muito Bom
Ótimo
%
A
v
a
lia
çã
o
 
 
Base: 100 usuários 
Fonte: Dados fictícios. 
 
 
Variável Quantitativa Discreta 
 
GRÁFICO DE COLUNAS 
 
Figura – Número de pessoas por domicílio 
7,5%
20,0%
35,0%
25,0%
12,5%
0,0%
20,0%
40,0%
60,0%
80,0%
100,0%
1 2 3 4 5
Número de pessoas por domicílio
 
 
 
Base: 40 domicílios 
Fonte: Dados coletados numa turma de Estatística 
 
 
 
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Variável Quantitativa Contínua 
 
HISTOGRAMA 
 
Figura – Distribuição de uma turma por altura 
 
Altura (cm)
200,0190,0180,0170,0160,0150,0
Fr
eq
üê
n
ci
a
10
8
6
4
2
0
 
 
Base: 20 observações 
Fonte: Alunos de uma turma de Estatística I. Gráfico construído no software SPSS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3 Medidas de Tendência Central 
 
São valores que trazem informação sobre a região em torno da qual os dados estão 
posicionados. As medidas de tendência central mais utilizadas são: Média, Mediana e 
Moda. 
 
 
2.3.1 – Média Aritmética (µµµµ , X ) 
 
A média aritmética é definida como a soma de todas observações da variável X, 
dividida pelo número de elementos do conjunto de dados. Freqüentemente a média 
aritmética é o valor que melhor representa um conjunto de dados. 
 
Quando os dados não estão organizados na forma de uma tabela de freqüências e, 
portanto, estão na forma isolada, as expressões genéricas para encontrar a média 
são: 
 
 População Amostra 
 
N
x
N
i
i∑
=
=
1µ 
n
x
X
n
i
i∑
=
=
1 
 
 
Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de freqüências deve-se 
ponderar os diferentes valores xi pelas respectivas freqüências fi. Procedendo desta 
forma o cálculo da média aritmética torna-se mais simples e rápido. 
 
 População Amostra 
 
N
fx
k
i
ii∑
=
×
=
1µ 
n
fx
X
k
i
ii∑
=
×
=
1 
 
 
Exemplo 3 – Número de contas de email ativas 
 
Encontrar a média para o número de contas de email por aluno na turma. 
 
 
 
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2.3.2 – Mediana (Md) 
 
A mediana é o valor que divide o conjunto de dados ordenado em duas partes com 
igual número de observações. Para calcular a mediana iremos utilizar uma nova 
notação. Seja ][]2[]1[ ,,, nxxx K um conjunto de dados ordenado (ordem crescente), 
onde o valor entre colchetes representa a posição no conjunto ordenado. 
 
Deduzindo a posição mediana: 
 
 n ímpar n par 
n Fila Md n Fila Md 
3 
 
 
 4 
5 
 
 
 6 
7 
 
 
 8 
 
 
As expressões genéricas para encontrar a média são: 
 
 
 n ímpar n par 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de freqüências pode-se 
encontrar a posição mediana na coluna acumulada Fi. 
 
 
Exemplo 4 – Número de contas de email ativas 
 
Encontrar a mediana para o número de contas de email por aluno na turma. 
 
 
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2.3.3 – Moda (Mo) 
 
A moda é definida como o valor mais freqüente de um conjunto de dados. É possível 
que o conjunto seja bimodal (duas modas) ou até mesmo multimodal (três os mais 
modas). 
 
 
{ } ii fxMo maior com = 
 
 
 
Exemplo 5 – Número de contas de email ativas 
 
Encontrar a moda para o número de contas de email por aluno na turma. 
 
 
 
Considerações IMPORTANTES sobre as MTC 
 
1. A média é a MTC mais influenciada por valores extremos, entretanto é a medida 
mais “rica”, porque considera todos valores do conjunto de dados. 
 
2. A mediana não é afetada por valores extremos. 
 
3. A moda é a MTC mais “pobre”, porque considera apenas os valores mais freqüentes. 
 
4. Existem outros tipos de média usadas em ocasiões especiais. A média harmônica é 
muito utilizada em concursos públicos e a geométrica pode ser usada em situações de 
alta variabilidade, visto que ela é mais estável. Discutiremos isto em aula. 
 
Média harmônica Média geométrica 
 
∑
=
=
n
i i
h
x
nX
1
1
 n nG xxxX ×××= K21 
 
Pode-se estabelecer a seguinte relação entre as médias: 
 
XXX Gh ≤≤ 
 
 
 
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Exemplo – Desempenho no Vestibular 
 
Veja os quatro candidatos a seguir e seus respectivos desempenhos no vestibular. 
Comente sobre a ação das médias. 
 
Tabela – Desempenho de quatro alunos no vestibular 
 Aluno A Aluno B Aluno C Aluno D 
Química 500 498 410 580 
Física 500 502 405 580 
Matemática 500 500 415 580 
Geografia 500 515 425 580 
História 500 485 445 580 
Português 500 500 900 100 
Média Aritmética 500,0 500,0 500,0 500,0 
Média Harmônica 500,0 499,8 460,5 322,2 
Média Geométrica 500,0 499,9 476,7 432,7 
 
 
a) Calcular as médias Aritmética e Harmônica e conferi-las no quadro acima. 
 
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2.4 Separatrizes 
 
São valores que separam o conjunto de dados ordenado em partes com igual número 
de observações. 
 
A Mediana é, portanto, uma separatriz porque divide o conjunto de dados em duas 
partes iguais. 
 
 
Min |------------------------|------------------------| Máx 
 Md 
 
 
Os Quartis (Qi) dividem o conjunto de dados em 4 partes iguais. 
 
Min |------------------------|------------------------| Máx 
 
 
 
Os Percentis (Pi) dividem o conjunto de dados em 4 partes iguais. 
 
Min |------------------------|------------------------| Máx 
 
 
Exemplo 6 – Boletim de Desempenho do Provão do MEC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7 – Distribuição de Renda no Rio Grande do Sul 
 
A régua de percentis a seguir apresenta a distribuição de salários para a população 
urbana em idade economicamente ativa no ano de 1999. 
 
 R$ 238,00 R$ 400,00 R$800,00 R$ 1500,00 
|-------------|-------------|-------------|---------|---| 
 P25 P50 P75 P90 
 
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2.5 Medidas de Variabilidade 
 
São medidas que complementam as MTC trazendo informação sobre a dispersão 
existente no conjunto de dados. Para introduzi-las vamosrecorrer a um exemplo onde 
temos três diferentes processadores e o tempo necessário por eles para realizar uma 
tarefa. 
 
Exemplo 8 – Entendendo as Medidas de Variabilidade 
 
Tabela – Tempos de processamento (ms) 
 Processador 
Alfa ® 
Processador 
Beta ® 
Processador 
Gama ® 
 120 118 120 
 120 121 100 
 120 124 135 
 120 117 155 
 120 120 120 
 120 120 90 
Média ( X ) 
Moda (Mo) 
Mediana (Md) 
 
 
 
 
 
 
Questões 
 
1 – O que aconteceu com as MTC na tabela acima? 
 
 
2 – Os três processadores são iguais em relação a distribuição das PA Sistólica? 
 
3 – O que diferencia um paciente do outro? 
 
 
A partir de agora aprenderemos a calcular medidas capazes de quantificar a 
variabilidade existente num conjunto de dados 
 
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1.4.1 – Amplitude (R, do termo Range) 
 
É a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados. 
 
{ } { }ii xmínxmáxR −= 
 
Calcular R nos três processadores do Exemplo 8. 
 
 
 
1.4.2 – Variância (σσσσ2 , s 2) 
 
A variância é uma medida da variação em torno da média. Por definição, 
variância é a média dos quadrados dos desvios em torno da média. 
 
População Amostra 
( )
N
x
N
i
i∑
=
−
=
1
2
2
µ
σ 
( )
1
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
Xx
s
n
i
i
 
 
A variância, ao contrário da Amplitude, considera todos elementos do conjunto de 
dados no seu cálculo. Quanto maior for a variação dos valores do conjunto de dados, 
maior será a variância. 
 
Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de freqüências, deve-
se ponderar os quadrados dos desvios pela freqüência. Esse procedimento facilita o 
cálculo. 
 
População Amostra 
( )
N
fx i
k
i
i ×−
=
∑
=1
2
2
µ
σ 
( )
1
1
2
2
−
×−
=
∑
=
n
fXx
s
k
i
ii
 
 
 
Calcular s2 nos três processadores do Exemplo 8. 
 
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1.4.3 – Desvio-padrão (σσσσ, s) 
 
O desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância. Essa medida corrige o 
problema de unidade que surge na variância. O desvio-padrão também é uma 
medida da variação em torno da média. 
 
 
População Amostra 
2σσ = 2ss = 
 
 
 
O desvio-padrão expressa a variação média do conjunto de dados em torno da média, 
para mais ou para menos. 
 
 
 
Calcular s nos três processadores do Exemplo 8. 
 
 
1.4.4 – Coeficiente de Variação (CV) 
 
O CV é a razão entre o desvio-padrão e a média de um conjunto de dados. Ele expressa 
a variação relativa (%) presente no conjunto de dados em relação à média. 
 
 
 População Amostra 
%100×=
µ
σCV %100×=
X
sCV 
 
 
Quanto maior o CV, mais heterogêneos serão os dados. 
 
 
Calcular o CV nos três processadores do Exemplo 8. 
 
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Considerações sobre as Medidas de Variabilidade (MV) 
 
1. A Amplitude á a MV mais “pobre”, porque considera apenas os dois valores 
extremos do conjunto de dados. 
 
2. A Variância não é interpretada na prática devido ao problema da unidade, que está 
ao quadrado. 
 
3. O Desvio-padrão é a MV mais conhecida, sendo amplamente utilizada. 
 
4. Dentre as MV estudadas, sugere-se que o CV seja utilizado para comparação da 
variabilidade entre diferentes conjuntos de dados. Por não ter unidade, o CV pode ser 
utilizado até mesmo para comparar a variabilidade entre variáveis expressas em 
diferentes unidades. 
 
 
 
 
Exemplo 9 – Número de pixels corretamente classificados 
 
Suponha que numa amostra de 30 imagens de satélite de uma mesma região 
submetidas ao mesmo classificador, os números de pixels classificados de forma errada 
foram: 
 
10 5 6 5 6 9 5 7 5 10 
5 10 7 8 8 9 9 6 6 10 
5 6 6 7 6 6 7 6 8 7 
 
a) Construir uma tabela de freqüências para a variável X. 
 
b) Encontrar e interpretar as MTC. 
 
c) Calcular as Medidas de Variabilidade. 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 19 
Cap. 3 – Probabilidade 
 
 
3.1 Principais conceitos 
 
Probabilidade é o ramo da matemática que trata de fenômenos aleatórios. A 
observação de um fenômeno aleatório por parte do homem é chamada de 
experimento aleatório. 
 
Características de um experimento aleatório: 
 
1ª) Não se conhece um particular valor do experimento antes dele ser executado, 
porém podemos descrever todos os possíveis resultados - as possibilidades; 
 
2ª) Quando o experimento é repetido algumas vezes, os resultados ocorrem de uma 
forma aparentemente acidental. Mas quando o número de repetições aumenta, uma 
regularidade aparecerá. E esta regularidade que torna possível construir um modelo 
matemático útil para análise do experimento. 
 
Exemplos de fenômenos aleatórios: 
 
1) Condições meteorológicas 
2) Produção de arroz anual numa cidade 
3) Resultado de uma cirurgia 
4) Lançamento de uma moeda 
5) Resultados de loterias 
 
Exemplos de experimentos aleatórios: 
 
E1: Jogue um dado e observe o n.º na face de cima. 
E2: Jogue uma moeda 3 vezes e observe o número de caras obtido. 
E3: Jogue uma moeda 3 vezes e observe a seqüência de caras e coroas obtida. 
E4: Uma mulher está grávida de gêmeos. O sexo dos bebês será verificado. 
E5: Numa propriedade com 100 árvores da espécie araucária angustifólia o número de 
árvores que apresentam um determinado parasita é verificado. 
E6: A temperatura de um paciente é verificada pela enfermeira. 
 
Nos seis exemplos anteriores não somos capazes de precisar o resultado, entretanto 
conseguimos listar os possíveis resultados. 
 
 
Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados 
possíveis do experimento. É denotado por S ou Ω. 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 20 
Exemplos de espaços amostrais relacionados aos experimentos anteriores. 
 
S1 = 
 
S2 = 
 
S3 = 
 
S4 = 
 
S5 = 
 
S6 = 
 
 
Um evento é um subconjunto de S. Em particular, S e ∅ (conjunto vazio) são eventos; 
S é dito o evento certo e ∅ o evento impossível. 
 
 
Exemplo de eventos no lançamento de um dado 
 
S = {1,2,3,4,5,6} 
 
A: ocorre um n.º par A = {2,4,6} 
B: ocorre a face 6 B = {6} 
C: ocorre um n.º maior que 6 C = ∅ 
D: ocorre nº 6 ou nº par D = {2,4,6} 
E: ocorre nº par ou nº ímpar E = {1,2,3,4,5,6} = S 
 
 
É possível realizar operações com eventos que nada são do que operações com 
conjuntos já estudadas no Ensino Fundamental. 
 
 
Operações com eventos 
 
Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral S. 
 
1) União: A∪B → A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem 
 
2) Interseção: A∩B → A ocorre e B ocorre 
 
3) Complementar: Ac ou A → não ocorre A 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 21 
Duas definições importantes: 
 
1) Dois eventos A e B são excludentes ou mutuamente exclusivos se a ocorrência 
de um impedir a ocorrência de outro. Em outras palavras, não podem ocorrer 
simultaneamente. 
 
2) Eventos ou resultados equiprováveis têm a mesma probabilidade de ocorrência. 
 
 
Exemplo – Lançamento de um dado e uma moeda, ambos honestos 
 
Escreva o espaço amostral. Os resultados são todos equiprováveis? Qual a 
probabilidade de um particular par (x,y) ser selecionado. Assinale os seguintes eventos: 
 
 
 
 
3.1.1 Conceitos de probabilidade 
 
⇒⇒⇒⇒ Conceito Axiomático 
 
Seja A um evento de S. A probabilidade de ocorrênciade A, denotada por P(A), deverá 
satisfazer os seguintes axiomas (propriedades fundamentais): 
 
Axioma 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1 
Axioma 2: P(S) = 1 
 
⇒⇒⇒⇒ Conceito clássico 
 
Esse conceito só é válido se todos resultados de S forem equiprováveis. Para casos 
assim a probabilidade de ocorrência do evento A é obtida por: 
 
 )(
)()(
STotal
AnAP = n(A) é o número de resultados favoráveis ao evento A 
Total (s) é o número total de resultados em S 
 
Exemplos – Conceito clássico 
 
1) Mega-sena, Lançamento de moedas e dados honestos. 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 22 
 
⇒⇒⇒⇒ Conceito freqüentista 
 
Esse conceito só é válido se todos resultados de S forem equiprováveis. Para casos 
assim a probabilidade de ocorrência do evento A é obtida por: 
 
1º) O experimento é repetido n vezes. 
 
2º) Observa-se a freqüência relativa de ocorrência de um certo resultado A: 
 
fr(A) = ,
)(
n
An
 onde n(A) é o nº de vezes em que ocorre o resultado A em n realizações 
do experimento. 
 
3º) Probabilidade como limite. A medida que n aumenta, a fr(A) converge para a real 
probabilidade P(A). 
 
 
Exemplos – Conceito freqüentista 
 
1) Verificando se um dado é honesto. 
 
2) Encontrando a probabilidade de ocorrência de um acidente aéreo. 
 
3) Qual a probabilidade de uma criança nascer com Síndrome de Down ? 
 
 
3.1.2 Probabilidade Condicional 
 
A probabilidade de ocorrência de um evento pode ser influenciada pela ocorrência de 
um evento paralelo. Considere que A e B são eventos de um mesmo espaço amostral S. 
Chamaremos de P(A|B) a probabilidade de ocorrência do evento A dado que o evento 
B já ocorreu. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olhando para o desenho podemos estabelecer as seguintes relações: 
 
 
P(A|B) = P(B|A) = 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 23 
 
Exemplo – Escolhendo alguém na sala de aula 
 
Suponha que um aluno da turma será sorteado. Após saber o resultado o professor faz 
algumas perguntas utilizando probabilidade condicional. 
 
 
Exemplo – Técnica empregada e Resultado 
 
 Resultado 
Técnica Sucesso Fracasso Total 
A 30 50 80 
B 60 40 100 
C 50 50 100 
Total 140 140 280 
 
 
Resolver as seguintes probabilidades: 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.3 Independência 
 
Dois eventos A e B são considerados independentes se a ocorrência de um não 
interfere na probabilidade de ocorrência do outro: 
 
P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B) 
 
Isolando a intersecção na expressão de probabilidade condicional obtemos: 
 
P(A∩B) = P(A) x P(B) 
 
Esse conceito é fundamental para aplicações em Estatística. 
 
 
Exemplo – A probabilidade de perder dados armazenados em um pen-drive é de 5%. 
Se você tem 3 pen-drives…
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 24 
Exemplo – Tendo “certeza” de uma gravidez 
 
Uma jovem suspeita que está grávida e decide comprar três diferentes testes de 
gravidez em farmácias. As marcas escolhidas foram A, B e C. As probabilidades dos 
exames indicarem “falso-positivo” são de 3%, 5% e 6%, respectivamente, enquanto as 
probabilidades de “falso-negativo” são de 1%, 2% e 4%, respectivamente. 
 
a) Se a jovem realmente está grávida, qual a probabilidade dos três exames 
confirmarem a gravidez? 
b) Se a jovem não estiver grávida, qual a probabilidade dela levar um susto com 
pelo menos um dos exame resultando positivo. 
 
 
 
Exemplo – Não perder a hora 
 
O seu despertador do tipo rádio-relógio costuma deixá-lo na mão 10% das vezes por 
diversos motivos, entre eles a falta de luz. Para “garantir”, você também programa o 
telefone celular para despertá-lo. Sabendo que o celular pode não funcionar 
corretamente em 15% das vezes…. 
 
a) Escreva o espaço amostral com todas possibilidades; 
b) Calcule a probabilidade de cada uma delas. 
 
 
 
Variáveis aleatórias discretas – Distribuição Binomial 
 
O exercício acima pode ser resolvido pela Distribuição Binomial. Sempre que um 
experimento que assume apenas dois possíveis resultados em cada repetição for 
repetido n vezes e que a probabilidade de sucesso é constante em cada repetição 
podemos modelar o número de sucessos pela distribuição Binomial. 
 
X = número de sucessos, variando de 1 até n 
p = probabilidade de sucesso em cada repetição 
1-p = probabilidade de fracasso em cada repetição 
n = número de repetições 
 
Expressão genérica da Binomial 
 
( )
xnx pp
xnx
n
xXP −−××
−
== )1(
!!
!)(
 
 
Exemplo - Imagine uma prova de múltipla resposta com 3 questões e 5 
alternativas cada. 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 25 
O número esperado ou esperança de sucessos na distribuição Binomial é facilmente 
encontrado. Intuitivamente, responda as perguntas a seguir: 
 
1) Se lançarmos uma moeda honesta 100 vezes, qual o número esperado de caras? 
 
2) Se lançarmos um dado 600 vezes, qual o número esperado de faces “5”. 
 
3) No exemplo da prole de 6 filhos, qual o número esperado de meninos? 
 
 
pnXE ×=)( 
 
 
 
 
3.3 Variáveis aleatórias contínuas 
 
3.3.1 Conceitos 
 
As variáveis contínuas podem, ao menos teoricamente, assumir qualquer valor num 
intervalo numérico. Sendo assim fica impossível representarmos variáveis contínuas da 
mesma forma que as variáveis discretas. 
 
Importante 
 
As variáveis contínuas são representadas por curvas, chamadas de função 
densidade de probabilidade, e a área sob essa função representa a probabilidade de 
ocorrência. Nas variáveis contínuas não existe a probabilidade de ocorrência de um 
valor exato, mas sim de intervalos. 
 
 
A função densidade de probabilidade, denotada por fx(x), é a função que indica o 
comportamento probabilístico da variável aleatória contínua X. A função densidade de 
probabilidade deverá satisfazer as seguintes condições: 
 
a) f(x) ≥ 0, para todo x ∈ R. 
 
b) Área total sob a curva deve ser igual a 1. 
 
 
A área sob a curva fx(x) nos informa a probabilidade de ocorrência de valores da 
variável X. 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 26 
 
Supondo que o gráfico acima represente a função de probabilidade de uma variável 
aleatória X. Como sabermos a probabilidade de ocorrência de valores entre a e b ? 
 
 
Exemplo – Gerador de números pseudo-aleatórios do Excel 
 (Distribuição Uniforme) 
 
Praticamente todas linguagens de programação contam com um gerador de números 
pseudo aleatórios baseados na distribuição Uniforme no Intervalo 0 até 1. 
 
a) Esboce graficamente a função densidade de probabilidade para X = número pseudo-
aleatório. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Calcular a probabilidade de um número aleatório ser superior a 0,6. 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 27 
 
A Distribuição Normal ou Curva de Gauss 
 
A distribuição Normal ou Gaussiana é, sem dúvida, o modelo probabilístico mais 
conhecido. Várias técnicas estatísticas necessitam da suposição de que os dados se 
distribuam normalmente para serem utilizadas. Na natureza uma grande quantidade de 
variáveis apresentam tal distribuição. 
 
Uma v.a.c. X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ se sua função densidade 
de probabilidade é dada por: 
 
 
( )
0 ; +<<-
 ,parâmetros são onde
 , , 
2
1 2
2
2
)(
 
>∞∞
ℜ∈=
−
−
σµ
σµ
piσ
σ
µ
e
xexf
x
 
 
 
 
Notação 
 
X ∼ N(µ,σ) 
 
X tem distribuição Normal com média µ e desvio-padrão σ. 
 
 
Os parâmetros da Normal são a média e o desvio-padrão, que permitem infinitas curvas 
normais com diferentes formatos (mas sempre simétricas). O gráfico da fX é 
apresentado a seguir: 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág.28 
-10 -5 0 5 10
Valores de X
f(x
)
-10 0 10
Valores de X
f(x
)
-10 -5 0 5 10
Valores de X
f(x
)
A distribuição Normal, independentemente dos valores dos parâmetros, apresenta 
sempre a seguinte relação: 
 
 
 
 
Entendendo os parâmetros da Normal: 
 
A média µµµµ informa o centro da distribuição. É um parâmetro de locação. 
 
O desvio-padrão σσσσ informa o formato da curva. 
 
 
Os cálculos integrais envolvendo a distribuição Normal são bastante complicados. 
Felizmente, veremos a seguir uma relação que facilita muito nossa vida. 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 29 
 
Exemplo – Aplicação prática 
 
A altura de mulheres adultas no RS segue uma distribuição Normal com média de 
165cm e desvio-padrão de 6cm. 
 
a) Qual a probabilidade de uma mulher ter entre 159 e 171cm? 
 
 
b) Qual a probabilidade de uma mulher ter entre 153 e 177cm? 
 
 
c) Qual a probabilidade de uma mulher ter mais de 177cm? 
 
 
d) Qual a probabilidade de uma mulher ter menos de 180cm? 
 
 
 
Distribuição Normal-padrão ou Normal reduzida 
 
Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com quaisquer parâmetros média 
µ e desvio-padrão σ. Se realizarmos a seguinte transformação obteremos uma nova 
variável Z com média 0 e desvio-padrão 1: 
 
X ∼ N(µ,σ) → 
σ
µ−
=
XZ → Z (0,1) 
 
Qualquer variável com distribuição Normal pode ser padronizada para a 
Normal. A distribuição Normal padronizada (Z) é tabelada. 
 
 
O valor de Z indica quantos desvios acima ou abaixo nós estamos em relação à média. 
 
 
 
Exemplo – Aprendendo a usar a tabela 
 
1) Calcule: 
 
a) P(Z < 1,24) = 
b) P(Z < 1,67) = 
c) P (Z > 2,12) = 
d) P( -1,96 < Z < 1,96) = 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 30 
 
Cap. 4. - Amostragem 
 
4.1 Conceitos Básicos 
 
Amostragem é o nome dado ao conjunto de procedimentos e técnicas para extração 
de elementos da população para compor a amostra. O objetivo da amostragem é obter 
amostras representativas das populações em estudo. Um Censo seria a investigação da 
população completa. 
 
Por que trabalhar por amostragem? 
 
________________________________________ 
 
________________________________________ 
 
________________________________________ 
 
________________________________________ 
 
A fração de amostragem é a razão entre o tamanho amostral e o tamanho 
populacional. Não existem regras fixas para tamanho de amostra, ou seja cada caso 
merece um cuidado especial. Frases como “20% da população é ideal”, quase sempre 
não são verdadeiras. 
 
As técnicas de amostragem se dividem em: probabilísticas e não-probabilísticas. 
As técnicas probabilísticas são aquelas onde todos elementos da população têm uma 
probabilidade não nula de seleção. Nas técnicas não-probabilísticas não podemos 
garantir que todos elementos têm probabilidade de serem selecionados para a amostra. 
 
 
4.2 Principais técnicas de amostragem probabilística 
 
Geralmente as técnicas probabilísticas produzem melhores resultados do que as não 
probabilísticas. A seleção dos elementos envolve obrigatoriamente a utilização de algum 
dispositivo aleatório para seleção das unidades amostrais. 
 
Exemplo de dispositivos aleatórios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 31 
4.2.1 Amostragem Aleatória Simples (AAS) 
 
Apesar de ser uma forma extremamente simples de seleção de elementos da 
população, é considerada uma das melhores técnicas de amostragem. 
 
Na AAS cada elemento da população tem igual probabilidade de seleção e o 
pesquisador não introduz nenhum vício no processo. 
 
Etapas: 
 
1) Enumerar a população de 1 até N. 
2) Sortear n números no intervalo de 1 até N. Caso haja números repetidos, sortear 
novamente mais alguns valores. 
 
 
Probabilidade de seleção de um elemento na AAS: 
 
 
 
Número de amostras possíveis SEM reposição: 
 
 
 
 
Número de amostras possíveis COM reposição: 
 
 
 
 
Exemplo 23 – Amostra n=2 da população N=5 
 
Verificar quantas amostras são possíveis COM e SEM reposição da população de 
tamanho 5 verificando também as probabilidades de seleção de cada unidade. 
 
A B C D E 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 32 
4.2.2 Amostragem Estratificada 
 
Na Amostragem estratificada a população é dividida em subpopulações ou estratos de 
forma que N1 + N2 + ... + NK = N. 
 
Um tamanho amostral n é repartido proporcionalmente entre os estratos, respeitando 
as frações Ni / N. Depois de estabelecidos o valor de ni, procede-se uma seleção 
aleatória dentro de cada estrato. 
 
 
Exemplo 24 – Amostra estratificada na região sul 
 
Dividir proporcionalmente uma amostra de 1300 pessoas em três estratos, 
correspondentes aos três estados da região sul. 
 
i Estado Pop. % Amostra 
1 Rio Grande do Sul 9.637.682 
2 Santa Catarina 4.875.244 
3 Paraná 9.003.804 
 Total 23.516.730 
 
4.2.3 Amostragem Sistemática 
 
A amostragem sistemática inicia com o cálculo do intervalo de amostragem f=N/n. 
Depois, selecionamos um número entre 1 e f e vamos indo sistematicamente de f em f 
elementos, até o final. 
 
A amostragem sistemática é útil quando temos cadastros impressos que estão 
ordenados segundo algum critério que nada tem a ver com os interesses da pesquisa. 
 
 
Exemplo 25 – Escolhendo 8 alunos de um total de 40 
 
 
Planta da sala de aula 
1 11 21 31 
2 12 22 32 
3 13 23 33 
4 14 24 34 
5 15 25 35 
6 16 26 36 
7 17 27 37 
8 18 28 38 
9 19 29 39 
10 20 30 40 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 33 
Cap. 5. - Distribuições Amostrais e Estimação 
 
 
5.1 – Parâmetros e Estimadores 
 
O que é inferência estatística ? 
 
Inferir consiste na retirada de informações para TODA população baseando-se numa 
amostra da mesma. Chamamos de parâmetros as quantidades populacionais e de 
estimadores as funções de dados amostrais que irão gerar as estimativas para os 
parâmetros populacionais. 
 
Tabela - Exemplos de parâmetros e seus respectivos estimadores 
Parâmetros Estimadores 
Média populacional 
µ 
Média amostral 
X 
Desvio-padrão populacional 
σ 
Desvio-padrão amostral 
s 
Proporção populacional 
p 
Proporção amostral 
pˆ 
 
 
Há dois tipos de estimação de parâmetros: a estimação por ponto e por intervalo. 
Também existe uma outra forma de inferência estatística muito utilizada em situações 
práticas: os testes de hipóteses. 
 
 
5.2 Distribuição Amostral da Média 
 
A base da estatística inferencial é o TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. 
 
O teorema diz que se extrairmos TODAS as possíveis amostras de tamanho n de uma 
população de tamanho N a distribuição das médias amostrais X tende a se distribuir 
como uma curva Normal com média igual ao parâmetro µ e desvio-padrão nσ . 
 
Exemplo – População de tamanho N = 5 
 
Considere a seguinte população de cinco elementos e X = Idade (anos) 
 
20 30 40 50 60 70 
A B C D E F 
 
a) Quais são os parâmetros populacionais? 
b) Quantas amostras diferentes de tamanho n=2 podemos extrair da população? 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 34 
Exemplo – Selecionando uma amostra na sala de aula 
 
Suponha que seja necessário selecionar uma amostra de n=5 alunos da turma para 
representar a nossa turma numa reunião na reitoria. Qual o número de amostras 
possíveis de serem selecionadas? 
 
 
 
 
 
Exemplo – População com média 0,5 
 
Considere uma população infinitamente grande com média 50,=µ . Vamos avaliar as 
distribuições amostrais da média amostral X com n = 30 e 300. 
 
-
0,5
1,0
1,5
2,0
0 0,2 0,4 0,6 0,81
Médias amostrais
 
-
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Médias amostrais
 
 n = 30 n = 300 
 
Percebemos claramente que com o aumento do tamanho amostral a distribuição de X 
fica cada vez mais concentrada em torno do parâmetro µ. Isso quer dizer que, quanto 
maior amostra maior a possibilidade de acerto. 
 
 
RESULTADO 
 
X tem distribuição Normal com Média = µ e Desvio-padrão =
n
σ
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 35 
5.3 – Estimação por ponto 
 
Visa estimar o valor do parâmetro através de estimativas pontuais (únicas). A vantagem 
é ser de fácil interpretação e rápida, mas a probabilidade de acerto “na mosca” é 
praticamente nula, pois os estimadores podem ser encarados como variáveis aleatórias 
contínuas. 
 
 
Exemplo – World Trade Center 
 
Um mês após o ataque ao WTC de NY perguntamos a 1000 americanos, escolhidos de 
maneira aleatória, se estão com medo de viajar em vôos domésticos em território 
americano. 
 
Se 852 pessoas da amostra afirmam estar com medo, podemos estimar que 85,2% dos 
americanos estão com medo de viajar de avião após os ataques terroristas de 
11/Set/2001. 
 
 
5.4 – Estimação por intervalo de confiança 
 
Consiste em cercar o valor da estimativa pontual por uma região cuja probabilidade de 
conter o verdadeiro parâmetro seja conhecida. 
 
 
NOTAÇÕES que serão utilizadas a partir de agora 
 
α (alfa) = nível de significância 1 - α = nível de confiança 
 
2
1 α− ;n
t = valor da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade e área 
2
α
 à 
direita. 
 
2
αz = valor da distribuição normal padrão com área 2
α
 à direita. 
 
 
1o ) Intervalo de Confiança para µµµµ (teórico) 
 
Conhecendo o teorema do limite central podemos construir intervalos de confiança para 
a média populacional. Para isso basta cercarmos a estimativa pontual X por um 
intervalo cuja probabilidade de conter o parâmetro seja conhecida. 
 
I.C. para µµµµ com 1-αααα de confiança = 








−
−
×
σ
×± α 12 N
nN
n
zX 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 36 
 
Na fórmula de IC acima percebemos a presença de um parâmetro (σ). Se estamos 
procurando um intervalo de confiança para µ é porque NÃO conhecemos µ. É 
praticamente impossível conhecermos σ e não conhecermos µ. Por isso esse resultado 
acaba sendo INÚTIL na prática. 
 
 
2o ) Intervalo de Confiança para µµµµ (prático) 
 
Ao substituirmos o parâmetro σ por seu estimador s , a distribuição amostral de X 
deixa de ter uma distribuição Normal e passa a ter uma distribuição t de Student. Desta 
forma os Intervalos de confiança podem ser utilizados em situações práticas. 
 
I.C. para µµµµ com 1-αααα de confiança = 








−
−
××± α
− 121 N
nN
n
s
tX
n ,
 
 
 
Obs: O fator de correção 
1−
−
N
nN
 é omitido em caso de populações infinitas. O EXCEL 
simplesmente ignora esse fator de correção. 
 
Exemplo: 
 
Numa amostra de 121 ligações, o tempo médio foi de 
 
Construir um IC 95% para o verdadeiro tempo médio de uma ligação. 
 
I.C. 95% para µ = 





×±
− n
s
tX
n
2
,1 α
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 37 
O EXCEL constrói Intervalos de Confiança sem o fator de correção com o comando 
Estatísticas Descritivas que fica dentro da opção “Análise de Dados” no Menu 
“Ferramentas”. Para incluir essa opção deve-se ir até “Ferramentas” → “Suplementos” e 
assinalar a opção “Ferramentas de Análise”. 
 
ATENÇÃO: é necessário ter o banco de dados digitado em EXCEL para fazer 
isso. 
 
Figura – Tela do Excel: Ferramentas > Análise de dados > Estatística Descritiva 
 
 
Tabela - Saída do EXCEL: 
Tempo 
Média 13,041 
Erro padrão 0,264 
Mediana 13 
Modo 13 
Desvio padrão 2,908 
Variância da amostra 8,457 
Curtose -1,209 
Assimetria 0,041 
Intervalo 10 
Mínimo 8 
Máximo 18 
Soma 1578 
Contagem 121 
Nível de confiança(95,0%) 0,523 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 38 
3o) Intervalo de Confiança para uma proporção populacional p 
 
A estimativa pontual para uma proporção é dada diretamente pela proporção amostral. 
É muito útil construirmos um intervalo em torno da estimativa pontual que possua uma 
probabilidade conhecida de conter a verdadeira proporção populacional. 
 
 
I.C. para p com 1-αααα de confiança = 








−
−
×
−×
×± α 1
1
2 N
nN
n
pp
zp
)ˆ(ˆ) 
 
onde 050,z =1,645 (90%) 
 9610250 ,, =z (95%) 
 57620050 ,, =z (99%) 
 
Obs: O fator de correção 
1−
−
N
nN
 é omitido em caso de populações infinitas. 
 
 
O EXCEL NÃO faz intervalos de confiança para proporções. 
 
 
 
 
Exemplo – Proporção de canhotos da PUCRS 
 
Numa amostra de n=_______ alunos de uma população de N=30.000 de toda PUCRS, 
verificamos que _______ são canhotos. 
 
a) Qual a estimativa pontual de canhotos? 
 
 
 
b) Construa intervalos de confiança 95% e 99% para a proporção de canhotos. Agora 
use o fator de correção. 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 39 
Cap. 6 Testes de Hipóteses 
 
Os testes de hipótese constituem outra forma de inferência estatística. Hipóteses são 
afirmações sobre parâmetros populacionais. Agora iremos testar se essas 
hipóteses podem ser consideradas verdadeiras ou não. Os testes de hipótese são 
muito objetivos, pois o resultado final é a ACEITAÇÃO ou REJEIÇÃO da hipótese 
formulada. 
 
Etapas de um teste de hipóteses: 
1.Formular as hipóteses 
2.Definir qual o nível de significância será utilizado (alfa) 
3.Verificar qual o teste adequado e calcular a estatística de teste 
4.Decidir pela aceitação ou rejeição da hipótese de nulidade com base no p-value. 
5.Conclusão experimental 
 
A hipótese nula (Ho) é a hipótese sob a qual a teste é realizado. Essa hipótese será 
ACEITA ou REJEITADA. Se os dados amostrais estiverem de acordo com a hipótese 
nula formulada, a estatística de teste nos levará a uma aceitação. Por outro lado, se os 
dados amostrais não estiverem em sintonia com a hipótese formulada, o teste nos 
levará a uma rejeição da hipótese nula. 
 
A hipótese alternativa (H1 ou Ha) é uma hipótese complementar a Ho. Por isso se 
rejeitamos Ho, conseqüentemente aceitamos H1. 
 
O nível de significância do teste (α) é definido pelo pesquisador. Ele significa a 
probabilidade de cometermos erro tipo I, ou seja, rejeitarmos Ho sendo a mesma 
verdadeira. 
 
A decisão estatística é a REJEIÇÃO ou ACEITAÇÃO de Ho. Essa decisão está sujeita 
aos seguintes erros: 
 
Tabela – Tipos de Erros 
Realidade 
Decisão 
 
Ho Verdadeira 
 
Ho Falsa 
Aceito Ho 
 
OK Erro tipo II 
β 
Rejeito Ho 
 
Erro tipo I 
α 
OK 
 
O erro do tipo I ou nível de significância (α) é controlado pelo pesquisador. O erro do 
tipo II (β) é geralmente esquecido. Por esse motivo vamos sempre preferir uma 
REJEIÇÃO do que uma ACEITAÇÃO. No caso de uma REJEIÇÃO ou tomamos a decisão 
correta ou cometemos o erro com probabilidade α. Os valores de α mais utilizados são 
5%, 1% e eventualmente 10%. 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 40 
A conclusão experimental consiste em explicar com palavras simples o resultado de 
um teste de hipóteses. 
 
Os testes que iremos estudar são os mais famosos e encontrados em praticamente 
todos os livros de Estatística. 
 
• Teste t de Student para uma média 
• Teste t de Student para comparação de duas médias (amostras independentes) 
• Teste t de Student para comparação de duas médias (amostras emparelhadas)• Teste Qui-Quadrado (para variáveis organizadas na forma de uma tabela cruzada) 
 
6.1 - Teste t de Student para uma média 
 
É uma técnica que permite testarmos a hipótese de que a média populacional pode ser 
considerada igual a um valor de referência, digamos µo. 
 
Apresentação das hipóteses: 
 
 ↑↑ 
Iremos estudar apenas os testes bilaterais, ou seja, onde as hipóteses não são 
direcionadas para um único sentido. As regiões de rejeição ficam nos dois lados da 
curva. 
 
A estatística de teste é dada por: 
 
Apesar de ser um procedimento simples, o EXCEL não realiza esse tipo de teste. Já, o 
programa estatístico SPSS, por exemplo, faz. 
 
As regiões de rejeição e aceitação do teste t são estabelecidas pelos valores de t, 
conforme mostra o desenho a seguir de uma curva t com n-1 graus de liberade. 



≠
=
o
o
:Ha
:Ho
µµµµµµµµ
µµµµµµµµ



>
=
o
o
:Ha
:Ho
µµµµµµµµ
µµµµµµµµ



<
=
o
o
:Ha
:Ho
µµµµµµµµ
µµµµµµµµ
ns/
-x
t o
µµµµ
=
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os valores de t são encontrados na tabela t entregue em sala de aula. Comparando o 
valor da estatística de teste t calculado com os valores de t obtidos na tabela chegamos 
a decisão estatística e podemos enunciar a conclusão experimental. 
 
Apesar do EXCEL não fazer isso podemos utiliza-lo para calcular a média amostral e o 
desvio-padrão. 
 
 
Exercício: 
 
O INMETRO está investigando se a quantidade de Paracetamol num dado comprimido 
está de acordo com o valor nominal estampado no rótulo do medicamento (750mg). 
Numa amostra de 20 comprimidos a média encontrada foi de 738mg com um desvio-
padrão de 11,85mg. 
 
Teste a hipótese de que a quantidade média de paracetamol é igual ao valor nominal 
informado pelo fabricante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 42 
Plus! Sobre o p-value 
O p-value, valor de p ou significância da estatística é o valor informado na saída 
dos softwares estatísticos. Esse número é, portanto, uma probabilidade que deve ser 
comparada ao nível de significância adotado. 
 
Se p-value > nível de significância adotado, então ACEITAMOS Ho. 
Se p-value < nível de significância adotado, então REJEITAMOS Ho. 
 
 
Exemplo – Saída do SPSS para o exercício do Paracetamol 
 
 
 
Exemplo – Regulando a máquina e re-inspecionando 
 
Suponha que o fabricante tenha regulado a máquina e que a média agora seja de 
749mg com o mesmo desvio. 
 
 
One-Sample Statistics
20 738,0000 11,8544 2,6507Paracetamol (mg)
N Mean
Std.
Deviation
Std. Error
Mean
One-Sample Test
-4,527 19 ,000 -12,0000 -17,5480 -6,4520Paracetamol (mg)
t df
Sig.
(2-tailed)
Mean
Difference Lower Upper
95% Confidence
Interval of the
Difference
Test Value = 750
One-Sample Statistics
20 749,0000 11,8544 2,6507PARECT
N Mean
Std.
Deviation
Std. Error
Mean
One-Sample Test
-,377 19 ,710 -1,0000 -6,5480 4,5480PARECT
t df
Sig.
(2-tailed)
Mean
Difference Lower Upper
95% Confidence
Interval of the
Difference
Test Value = 750
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 43 
6.2 Teste t de Student - duas amostras independentes 
 
É uma técnica estatística que permite testarmos a hipótese de que duas médias 
populacionais são idênticas. É extremamente utilizada para comparação de dois grupos 
independentes. 
 
Apresentação das hipóteses (caso bilateral): 
 
 
A estatística de teste tem uma forma um tanto “amigável”: 
 
 
 
 
que deve ser comparado com uma distribuição t de Student com (n1+n2-2) graus de 
liberdade 
 
As regiões de rejeição e aceitação seguem a mesma lógica do teste anterior. 
 
 
No EXCEL: Ferramentas → Análise de Dados → Teste t: duas amostras presumindo 
variâncias equivalentes 
 
ATENÇÃO: Esse teste só pode ser utilizado se a variância (ou desvios-padrão) das 
duas populações em questão não forem muito diferentes. 
 
Exercício: 
 
Solos brasileiros são deficientes em fósforo. Numa comparação entre amostras de solo 
da serra gaúcha e do Valle Central do Chile, os resultados encontrados (mg/kg) foram: 
 
 Resultados (xi) Média Desvio 
G1-Serra Gaúcha 0,6 1 0,7 1,2 1,1 1,4 1,1 1 0,9 1,00 0,24 
G2-Valle Central 1,2 1,4 1,5 1,6 1,2 1,7 1,5 1,2 1,3 1,40 0,19 
 
a) Realizar um teste t de Student para comparação entre RS e Chile ao nível de 5%. 
 
 
 



≠
=
21
21
:Ha
:Ho
µµµµµµµµ
µµµµµµµµ
( )
( ) 




+×
−+
−×+×
=
21
11
nn2nn
1)(ns1)-(ns
x-x
t
21
2
2
21
2
1
21
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 44 
Exemplo – Tela e saída do EXCEL para o exemplo da Ansiedade 
 
 
 
 
 
 
Teste-t: duas amostras presumindo variâncias equivalentes 
 Variável 1 Variável 2 
Média 1,00 1,40 
Variância 0,06 0,04 
Observações 9,00 9,00 
Variância agrupada 0,05 
Hipótese da diferença de média - 
gl 16,00 
Stat t -3,89 
P(T<=t) uni-caudal 0,001 
t crítico uni-caudal 1,75 
P(T<=t) bi-caudal 0,001 
t crítico bi-caudal 2,12 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 45 
 
6.3 Análise de Variância (ANOVA) 
 
A Análise de Variância (ANOVA, Analysis of Variance) pode ser encarada como uma 
extensão do teste t de Student para comparação de três ou mais médias a partir de 
amostras independentes. 
 
As hipóteses da ANOVA são: 
 




≠≠
===
jiHa
Ho
ji
p
 algum para µµ
µµµ
:
...: 21
 
 
Exemplo – Eficiência de 3 antivirus 
 
 A B C 
 90 85 89 
 95 82 93 
 86 83 92 
 88 87 90 
 90 89 93 
 91 90 95 
Média 90 86 92 
Desvio 3,03 3,22 2,19 
 
a) Realizando uma Análise de Variância 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 46 
Tela do EXCEL – ANOVA 
 
 
 
 
Resultado da ANOVA no EXCEL 
Anova: fator único 
 
RESUMO 
Grupo Contagem Soma Média Variância 
A 6 540 90 9,2 
B 6 516 86 10,4 
C 6 552 92 4,8 
 
 
ANOVA 
Fonte da variação SQ gl MQ F valor-P F crítico 
Entre grupos 112 2 56 6,885246 0,007561 3,682317 
Dentro dos grupos 122 15 8,133333 
 
Total 234 17 
 
 
Atenção: A ANOVA não pode ser utilizada para comparar médias de 
grupos onde a variância é muito diferente. 
 
Existem testes de complementação para sabermos quais grupos 
diferem entre si. Os mais famosos são Tukey, Duncan e Scheffé. 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 47 
Cap. 7. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
 
 
7.1 O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON 
 
O coeficiente de correlação de Peason ( R ) é uma medida que varia no intervalo de –1 
até +1 que visa quantificar o grau de relacionamento linear entre variáveis 
quantitativas. 
 
Valores próximos de +1 indicam forte correlação direta entre as variáveis enquanto que 
valores próximos de –1 indicam forte correlação inversa. Valores em torno de zero 
indicam ausência de correlação. Não vamos nos deter no cálculo do coeficiente de 
correlação de Pearson, mas sim no seu funcionamento. 
 
Vejamos na forma de gráficos de dispersão os possíveis tipos de correlação entre as 
variáveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos verificar a correlação existente entre as variáveis no arquivo exemplo a seguir: 
 
Indivíduo 
Medida 
padrão-ouro 
(X) 
Medida 
alternativa 
(Y) 
 
1 10 11 
2 20 22 
3 30 26 
4 40 38 
5 50 48 
Média 30 29 
Desvio 15,81 14,35 
 
No EXCEL podemosutilizar o comando CORREL. 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 48 
 
Exemplo – Correlação usando o EXCEL 
 
 
 
 
Exemplo – Outra forma de fazer correlação usando o EXCEL 
Análise de dados > Correlação 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 49 
7.2 – Regressão Linear Simples 
 
A técnica de Regressão Linear Simples estabelece uma relação de dependência entre 
uma variável dependente Y e uma única variável independente X, supondo que o 
relacionamento seja da forma linear: 
 
Y = bo + b1X (clássica equação da reta) 
 
Os termos bo e b1 são os parâmetros do modelo. Eles são estimados de forma a 
maximizar a habilidade preditiva do modelo, conforme será mostrado no exemplo a 
seguir. 
 
 
Exemplo – Peso X Altura de indivíduos adultos 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 50 
TABELA Z 
 
 
Tabela: Probabilidades acumuladas associadas aos valores críticos (z) da distribuição normal 
reduzida 
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 
 
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 
 
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 
 
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 
 
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 
 
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 
 
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 51 
TABELA t 
 
Tabela - Distribuição t de Student com gl graus de liberdade e área à direita p. 
 p 
gl 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 
1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 
2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 
3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 
4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 
5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 
6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 
7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 
8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 
9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 
10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 
11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 
12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 
13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 
14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 
15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 
16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 
17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 
18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 
19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 
20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 
21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 
22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 
23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 
24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 
25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 
26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 
27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 
28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 
29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 
30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 
40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 
50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 
60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 
120 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 
Infinito1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 
 
 
Tabela F 
F(v1,v2;Alpha) Alpha= 0,100 (área à direita) 
 Numerador (v1) 
Den (v2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 50 120 Inf. 
1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,19 60,71 61,22 61,74 62,00 62,26 62,53 62,69 63,06 63,33 
2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,41 9,42 9,44 9,45 9,46 9,47 9,47 9,48 9,49 
3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,20 5,18 5,18 5,17 5,16 5,15 5,14 5,13 
4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,90 3,87 3,84 3,83 3,82 3,80 3,80 3,78 3,76 
5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,27 3,24 3,21 3,19 3,17 3,16 3,15 3,12 3,11 
6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,90 2,87 2,84 2,82 2,80 2,78 2,77 2,74 2,72 
7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,67 2,63 2,59 2,58 2,56 2,54 2,52 2,49 2,47 
8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,50 2,46 2,42 2,40 2,38 2,36 2,35 2,32 2,29 
9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,38 2,34 2,30 2,28 2,25 2,23 2,22 2,18 2,16 
10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,28 2,24 2,20 2,18 2,16 2,13 2,12 2,08 2,06 
11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25 2,21 2,17 2,12 2,10 2,08 2,05 2,04 2,00 1,97 
12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,15 2,10 2,06 2,04 2,01 1,99 1,97 1,93 1,90 
13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 2,10 2,05 2,01 1,98 1,96 1,93 1,92 1,88 1,85 
14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10 2,05 2,01 1,96 1,94 1,91 1,89 1,87 1,83 1,80 
15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,02 1,97 1,92 1,90 1,87 1,85 1,83 1,79 1,76 
16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03 1,99 1,94 1,89 1,87 1,84 1,81 1,79 1,75 1,72 
17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00 1,96 1,91 1,86 1,84 1,81 1,78 1,76 1,72 1,69 
18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98 1,93 1,89 1,84 1,81 1,78 1,75 1,74 1,69 1,66 
19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96 1,91 1,86 1,81 1,79 1,76 1,73 1,71 1,67 1,63 
20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,89 1,84 1,79 1,77 1,74 1,71 1,69 1,64 1,61 
21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 1,92 1,87 1,83 1,78 1,75 1,72 1,69 1,67 1,62 1,59 
22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,86 1,81 1,76 1,73 1,70 1,67 1,65 1,60 1,57 
23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89 1,84 1,80 1,74 1,72 1,69 1,66 1,64 1,59 1,55 
24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88 1,83 1,78 1,73 1,70 1,67 1,64 1,62 1,57 1,53 
25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87 1,82 1,77 1,72 1,69 1,66 1,63 1,61 1,56 1,52 
26 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 1,86 1,81 1,76 1,71 1,68 1,65 1,61 1,59 1,54 1,50 
27 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 1,85 1,80 1,75 1,70 1,67 1,64 1,60 1,58 1,53 1,49 
28 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 1,84 1,79 1,74 1,69 1,66 1,63 1,59 1,57 1,52 1,48 
29 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 1,83 1,78 1,73 1,68 1,65 1,62 1,58 1,56 1,51 1,47 
30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 1,77 1,72 1,67 1,64 1,61 1,57 1,55 1,50 1,46 
40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 1,71 1,66 1,61 1,57 1,54 1,51 1,48 1,42 1,38 
50 2,81 2,41 2,20 2,06 1,97 1,90 1,84 1,80 1,76 1,73 1,68 1,63 1,57 1,54 1,50 1,46 1,44 1,38 1,33 
60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,66 1,60 1,54 1,51 1,48 1,44 1,41 1,35 1,29 
120 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,68 1,65 1,60 1,55 1,48 1,45 1,41 1,37 1,34 1,26 1,19 
Inf. 2,71 2,30 2,08 1,94 1,85 1,77 1,72 1,67 1,63 1,60 1,55 1,49 1,42 1,38 1,34 1,30 1,26 1,17 1,00 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 53 
Tabela F 
F(v1,v2;Alpha) Alpha= 0,05 (área à direita) 
 Numerador (v1) 
Den (v2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 50 120 Inf. 
1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 243,91 245,95 248,01 249,05 250,10 251,14 251,77 253,25 254,31 
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,41 19,43 19,45 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 19,50 
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,74 8,70 8,66 8,64 8,62 8,59 8,58 8,55 8,53 
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,70 5,66 5,63 
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62 4,56 4,53 4,50 4,46 4,44 4,40 4,37 
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,77 3,75 3,70 3,67 
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,57 3,51 3,44 3,41 3,38 3,34 3,32 3,27 3,23 
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 3,22 3,15 3,12 3,08 3,04 3,02 2,97 2,93 
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07 3,01 2,94 2,90 2,86 2,83 2,80 2,75 2,71 
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91 2,85 2,77 2,74 2,70 2,66 2,64 2,58 2,54 
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,79 2,72 2,65 2,61 2,57 2,53 2,51 2,45 2,40 
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,62 2,54 2,51 2,47 2,43 2,40 2,34 2,30 
13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,31 2,25 2,21 
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,24 2,18 2,13 
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,18 2,11 2,07 
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 2,12 2,06 2,01 
17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,38 2,31 2,23 2,19 2,15 2,10 2,08 2,01 1,96 
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,34 2,27 2,19 2,15 2,11 2,06 2,04 1,97 1,92 
19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,31 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 2,00 1,93 1,88 
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,28 2,20 2,12 2,08 2,04 1,99 1,97 1,90 1,84 
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,25 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,94 1,87 1,81 
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,23 2,15 2,07 2,03 1,98 1,94 1,91 1,84 1,78 
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,20 2,13 2,05 2,01 1,96 1,91 1,88 1,81 1,76 
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,18 2,11 2,03 1,98 1,94 1,89 1,86 1,79 1,73 
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,16 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,84 1,77 1,71 
26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,15 2,07 1,99 1,95 1,90 1,85 1,82 1,75 1,69 
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,13 2,06 1,97 1,93 1,88 1,84 1,81 1,73 1,67 
28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,12 2,04 1,96 1,91 1,87 1,82 1,79 1,71 1,65 
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,10 2,03 1,94 1,90 1,85 1,81 1,77 1,70 1,64 
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,09 2,01 1,93 1,89 1,84 1,79 1,76 1,68 1,62 
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,00 1,92 1,84 1,79 1,74 1,69 1,66 1,58 1,51 
50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,95 1,87 1,78 1,74 1,69 1,63 1,60 1,51 1,44 
60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,92 1,84 1,75 1,70 1,65 1,59 1,56 1,47 1,39 
120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,83 1,75 1,66 1,61 1,55 1,50 1,46 1,35 1,25 
Inf. 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 1,75 1,67 1,57 1,52 1,46 1,39 1,35 1,22 1,00 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 54 
Tabela F 
F(v1,v2;Alpha) Alpha= 0,025 (área à direita) 
 Numerador (v1) 
Den (v2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 50 120 Inf. 
1 648 799 864 900 922 937 948 957 963 969 977 985 993 997 1001 1006 1008 1014 1018 
2 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,41 39,43 39,45 39,46 39,46 39,47 39,48 39,49 39,50 
3 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,6214,54 14,47 14,42 14,34 14,25 14,17 14,12 14,08 14,04 14,01 13,95 13,90 
4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 8,75 8,66 8,56 8,51 8,46 8,41 8,38 8,31 8,26 
5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,52 6,43 6,33 6,28 6,23 6,18 6,14 6,07 6,02 
6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,37 5,27 5,17 5,12 5,07 5,01 4,98 4,90 4,85 
7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 4,67 4,57 4,47 4,41 4,36 4,31 4,28 4,20 4,14 
8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,20 4,10 4,00 3,95 3,89 3,84 3,81 3,73 3,67 
9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 3,87 3,77 3,67 3,61 3,56 3,51 3,47 3,39 3,33 
10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 3,62 3,52 3,42 3,37 3,31 3,26 3,22 3,14 3,08 
11 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59 3,53 3,43 3,33 3,23 3,17 3,12 3,06 3,03 2,94 2,88 
12 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 3,37 3,28 3,18 3,07 3,02 2,96 2,91 2,87 2,79 2,73 
13 6,41 4,97 4,35 4,00 3,77 3,60 3,48 3,39 3,31 3,25 3,15 3,05 2,95 2,89 2,84 2,78 2,74 2,66 2,60 
14 6,30 4,86 4,24 3,89 3,66 3,50 3,38 3,29 3,21 3,15 3,05 2,95 2,84 2,79 2,73 2,67 2,64 2,55 2,49 
15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 2,96 2,86 2,76 2,70 2,64 2,59 2,55 2,46 2,40 
16 6,12 4,69 4,08 3,73 3,50 3,34 3,22 3,12 3,05 2,99 2,89 2,79 2,68 2,63 2,57 2,51 2,47 2,38 2,32 
17 6,04 4,62 4,01 3,66 3,44 3,28 3,16 3,06 2,98 2,92 2,82 2,72 2,62 2,56 2,50 2,44 2,41 2,32 2,25 
18 5,98 4,56 3,95 3,61 3,38 3,22 3,10 3,01 2,93 2,87 2,77 2,67 2,56 2,50 2,44 2,38 2,35 2,26 2,19 
19 5,92 4,51 3,90 3,56 3,33 3,17 3,05 2,96 2,88 2,82 2,72 2,62 2,51 2,45 2,39 2,33 2,30 2,20 2,13 
20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 2,68 2,57 2,46 2,41 2,35 2,29 2,25 2,16 2,09 
21 5,83 4,42 3,82 3,48 3,25 3,09 2,97 2,87 2,80 2,73 2,64 2,53 2,42 2,37 2,31 2,25 2,21 2,11 2,04 
22 5,79 4,38 3,78 3,44 3,22 3,05 2,93 2,84 2,76 2,70 2,60 2,50 2,39 2,33 2,27 2,21 2,17 2,08 2,00 
23 5,75 4,35 3,75 3,41 3,18 3,02 2,90 2,81 2,73 2,67 2,57 2,47 2,36 2,30 2,24 2,18 2,14 2,04 1,97 
24 5,72 4,32 3,72 3,38 3,15 2,99 2,87 2,78 2,70 2,64 2,54 2,44 2,33 2,27 2,21 2,15 2,11 2,01 1,94 
25 5,69 4,29 3,69 3,35 3,13 2,97 2,85 2,75 2,68 2,61 2,51 2,41 2,30 2,24 2,18 2,12 2,08 1,98 1,91 
26 5,66 4,27 3,67 3,33 3,10 2,94 2,82 2,73 2,65 2,59 2,49 2,39 2,28 2,22 2,16 2,09 2,05 1,95 1,88 
27 5,63 4,24 3,65 3,31 3,08 2,92 2,80 2,71 2,63 2,57 2,47 2,36 2,25 2,19 2,13 2,07 2,03 1,93 1,85 
28 5,61 4,22 3,63 3,29 3,06 2,90 2,78 2,69 2,61 2,55 2,45 2,34 2,23 2,17 2,11 2,05 2,01 1,91 1,83 
29 5,59 4,20 3,61 3,27 3,04 2,88 2,76 2,67 2,59 2,53 2,43 2,32 2,21 2,15 2,09 2,03 1,99 1,89 1,81 
30 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 2,51 2,41 2,31 2,20 2,14 2,07 2,01 1,97 1,87 1,79 
40 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,62 2,53 2,45 2,39 2,29 2,18 2,07 2,01 1,94 1,88 1,83 1,72 1,64 
50 5,34 3,97 3,39 3,05 2,83 2,67 2,55 2,46 2,38 2,32 2,22 2,11 1,99 1,93 1,87 1,80 1,75 1,64 1,55 
60 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,51 2,41 2,33 2,27 2,17 2,06 1,94 1,88 1,82 1,74 1,70 1,58 1,48 
120 5,15 3,80 3,23 2,89 2,67 2,52 2,39 2,30 2,22 2,16 2,05 1,94 1,82 1,76 1,69 1,61 1,56 1,43 1,31 
Inf. 5,02 3,69 3,12 2,79 2,57 2,41 2,29 2,19 2,11 2,05 1,94 1,83 1,71 1,64 1,57 1,48 1,43 1,27 1,00 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 55 
Tabela F 
F(v1,v2;Alpha) Alpha= 0,01 (área à direita) 
 Numerador (v1) 
Den (v2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 50 120 Inf. 
1 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6106 6157 6209 6235 6261 6287 6303 6339 6366 
2 98,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 99,40 99,42 99,43 99,45 99,46 99,47 99,47 99,48 99,49 99,50 
3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,35 27,23 27,05 26,87 26,69 26,60 26,50 26,41 26,35 26,22 26,13 
4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,37 14,20 14,02 13,93 13,84 13,75 13,69 13,56 13,46 
5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,89 9,72 9,55 9,47 9,38 9,29 9,24 9,11 9,02 
6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,72 7,56 7,40 7,31 7,23 7,14 7,09 6,97 6,88 
7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,47 6,31 6,16 6,07 5,99 5,91 5,86 5,74 5,65 
8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,67 5,52 5,36 5,28 5,20 5,12 5,07 4,95 4,86 
9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,11 4,96 4,81 4,73 4,65 4,57 4,52 4,40 4,31 
10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,71 4,56 4,41 4,33 4,25 4,17 4,12 4,00 3,91 
11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,40 4,25 4,10 4,02 3,94 3,86 3,81 3,69 3,60 
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,16 4,01 3,86 3,78 3,70 3,62 3,57 3,45 3,36 
13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 3,96 3,82 3,66 3,59 3,51 3,43 3,38 3,25 3,17 
14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,80 3,66 3,51 3,43 3,35 3,27 3,22 3,09 3,00 
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,67 3,52 3,37 3,29 3,21 3,13 3,08 2,96 2,87 
16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,55 3,41 3,26 3,18 3,10 3,02 2,97 2,84 2,75 
17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,46 3,31 3,16 3,08 3,00 2,92 2,87 2,75 2,65 
18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,37 3,23 3,08 3,00 2,92 2,84 2,78 2,66 2,57 
19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,30 3,15 3,00 2,92 2,84 2,76 2,71 2,58 2,49 
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,23 3,09 2,94 2,86 2,78 2,69 2,64 2,52 2,42 
21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,17 3,03 2,88 2,80 2,72 2,64 2,58 2,46 2,36 
22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,12 2,98 2,83 2,75 2,67 2,58 2,53 2,40 2,31 
23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,07 2,93 2,78 2,70 2,62 2,54 2,48 2,35 2,26 
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,03 2,89 2,74 2,66 2,58 2,49 2,44 2,31 2,21 
25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 2,99 2,85 2,70 2,62 2,54 2,45 2,40 2,27 2,17 
26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 2,96 2,81 2,66 2,58 2,50 2,42 2,36 2,23 2,13 
27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,93 2,78 2,63 2,55 2,47 2,38 2,33 2,20 2,10 
28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,90 2,75 2,60 2,52 2,44 2,35 2,30 2,17 2,06 
29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,87 2,73 2,57 2,49 2,41 2,33 2,27 2,14 2,03 
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,84 2,70 2,55 2,47 2,39 2,30 2,25 2,11 2,01 
40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,66 2,52 2,37 2,29 2,20 2,11 2,06 1,92 1,80 
50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,56 2,42 2,27 2,18 2,10 2,01 1,95 1,80 1,68 
60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,50 2,35 2,20 2,12 2,03 1,94 1,88 1,73 1,60 
120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 2,34 2,19 2,03 1,95 1,86 1,76 1,70 1,53 1,38 
Inf. 6,64 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 2,18 2,04 1,88 1,79 1,70 1,59 1,52 1,32 1,00 
 
Probabilidade e Estatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 56 
Tabela F 
F(v1,v2;Alpha) Alpha= 0,005 (área à direita) 
 Numerador (v1) 
Den (v2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 50 120 Inf. 
1 16211 19999 21615 22500 23056 23437 23715 23925 24091 24224 24426 24630 24836 24940 25044 25148 25211 25359 25464 
2 198,50 199,00 199,17 199,25 199,30 199,33 199,36 199,37 199,39 199,40 199,42 199,43 199,45 199,46 199,47 199,47 199,48 199,49 199,50 
3 55,55 49,80 47,47 46,19 45,39 44,84 44,43 44,13 43,88 43,69 43,39 43,08 42,78 42,62 42,47 42,31 42,21 41,99 41,83 
4 31,33 26,28 24,26 23,15 22,46 21,97 21,62 21,35 21,14 20,97 20,70 20,44 20,17 20,03 19,89 19,75 19,67 19,47 19,32 
5 22,78 18,31 16,53 15,56 14,94 14,51 14,20 13,96 13,77 13,62 13,38 13,15 12,90 12,78 12,66 12,53 12,45 12,27 12,14 
6 18,63 14,54 12,92 12,03 11,46 11,07 10,79 10,57 10,39 10,25 10,03 9,81 9,59 9,47 9,36 9,24 9,17 9,00 8,88 
7 16,2412,40 10,88 10,05 9,52 9,16 8,89 8,68 8,51 8,38 8,18 7,97 7,75 7,64 7,53 7,42 7,35 7,19 7,08 
8 14,69 11,04 9,60 8,81 8,30 7,95 7,69 7,50 7,34 7,21 7,01 6,81 6,61 6,50 6,40 6,29 6,22 6,06 5,95 
9 13,61 10,11 8,72 7,96 7,47 7,13 6,88 6,69 6,54 6,42 6,23 6,03 5,83 5,73 5,62 5,52 5,45 5,30 5,19 
10 12,83 9,43 8,08 7,34 6,87 6,54 6,30 6,12 5,97 5,85 5,66 5,47 5,27 5,17 5,07 4,97 4,90 4,75 4,64 
11 12,23 8,91 7,60 6,88 6,42 6,10 5,86 5,68 5,54 5,42 5,24 5,05 4,86 4,76 4,65 4,55 4,49 4,34 4,23 
12 11,75 8,51 7,23 6,52 6,07 5,76 5,52 5,35 5,20 5,09 4,91 4,72 4,53 4,43 4,33 4,23 4,17 4,01 3,90 
13 11,37 8,19 6,93 6,23 5,79 5,48 5,25 5,08 4,94 4,82 4,64 4,46 4,27 4,17 4,07 3,97 3,91 3,76 3,65 
14 11,06 7,92 6,68 6,00 5,56 5,26 5,03 4,86 4,72 4,60 4,43 4,25 4,06 3,96 3,86 3,76 3,70 3,55 3,44 
15 10,80 7,70 6,48 5,80 5,37 5,07 4,85 4,67 4,54 4,42 4,25 4,07 3,88 3,79 3,69 3,58 3,52 3,37 3,26 
16 10,58 7,51 6,30 5,64 5,21 4,91 4,69 4,52 4,38 4,27 4,10 3,92 3,73 3,64 3,54 3,44 3,37 3,22 3,11 
17 10,38 7,35 6,16 5,50 5,07 4,78 4,56 4,39 4,25 4,14 3,97 3,79 3,61 3,51 3,41 3,31 3,25 3,10 2,98 
18 10,22 7,21 6,03 5,37 4,96 4,66 4,44 4,28 4,14 4,03 3,86 3,68 3,50 3,40 3,30 3,20 3,14 2,99 2,87 
19 10,07 7,09 5,92 5,27 4,85 4,56 4,34 4,18 4,04 3,93 3,76 3,59 3,40 3,31 3,21 3,11 3,04 2,89 2,78 
20 9,94 6,99 5,82 5,17 4,76 4,47 4,26 4,09 3,96 3,85 3,68 3,50 3,32 3,22 3,12 3,02 2,96 2,81 2,69 
21 9,83 6,89 5,73 5,09 4,68 4,39 4,18 4,01 3,88 3,77 3,60 3,43 3,24 3,15 3,05 2,95 2,88 2,73 2,61 
22 9,73 6,81 5,65 5,02 4,61 4,32 4,11 3,94 3,81 3,70 3,54 3,36 3,18 3,08 2,98 2,88 2,82 2,66 2,55 
23 9,63 6,73 5,58 4,95 4,54 4,26 4,05 3,88 3,75 3,64 3,47 3,30 3,12 3,02 2,92 2,82 2,76 2,60 2,48 
24 9,55 6,66 5,52 4,89 4,49 4,20 3,99 3,83 3,69 3,59 3,42 3,25 3,06 2,97 2,87 2,77 2,70 2,55 2,43 
25 9,48 6,60 5,46 4,84 4,43 4,15 3,94 3,78 3,64 3,54 3,37 3,20 3,01 2,92 2,82 2,72 2,65 2,50 2,38 
26 9,41 6,54 5,41 4,79 4,38 4,10 3,89 3,73 3,60 3,49 3,33 3,15 2,97 2,87 2,77 2,67 2,61 2,45 2,33 
27 9,34 6,49 5,36 4,74 4,34 4,06 3,85 3,69 3,56 3,45 3,28 3,11 2,93 2,83 2,73 2,63 2,57 2,41 2,29 
28 9,28 6,44 5,32 4,70 4,30 4,02 3,81 3,65 3,52 3,41 3,25 3,07 2,89 2,79 2,69 2,59 2,53 2,37 2,25 
29 9,23 6,40 5,28 4,66 4,26 3,98 3,77 3,61 3,48 3,38 3,21 3,04 2,86 2,76 2,66 2,56 2,49 2,33 2,21 
30 9,18 6,35 5,24 4,62 4,23 3,95 3,74 3,58 3,45 3,34 3,18 3,01 2,82 2,73 2,63 2,52 2,46 2,30 2,18 
40 8,83 6,07 4,98 4,37 3,99 3,71 3,51 3,35 3,22 3,12 2,95 2,78 2,60 2,50 2,40 2,30 2,23 2,06 1,93 
50 8,63 5,90 4,83 4,23 3,85 3,58 3,38 3,22 3,09 2,99 2,82 2,65 2,47 2,37 2,27 2,16 2,10 1,93 1,79 
60 8,49 5,79 4,73 4,14 3,76 3,49 3,29 3,13 3,01 2,90 2,74 2,57 2,39 2,29 2,19 2,08 2,01 1,83 1,69 
120 8,18 5,54 4,50 3,92 3,55 3,28 3,09 2,93 2,81 2,71 2,54 2,37 2,19 2,09 1,98 1,87 1,80 1,61 1,43 
Inf. 7,88 5,30 4,28 3,72 3,35 3,09 2,90 2,74 2,62 2,52 2,36 2,19 2,00 1,90 1,79 1,67 1,59 1,36 1,00