TQC-aula1 UERJ

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TEORIA QUÂNTICA DE CAMPOS
Escola de Física da UERJ 2014
Prof. Bruno Mintz
ROTEIRO DAS AULAS
• Prof. Bruno Mintz: 3 aulas
- Campos quânticos: o quê, como, por quê, para quê?
- Espalhamento, simetrias e o Modelo Padrão
- Interações fortes
• Prof. Daniel Barci: 1 aula
- Teoria de Campos aplicada à Física da Matéria Condensada
Obs.: Várias conexões (e possíveis superposições) com os 
cursos de M. Begali e J. Borges. 
AVISO
Este é um curso introdutório e informativo. Muitas conexões importantes 
foram omitidas (voluntariamente ou não). Nosso objetivo é apenas “dar 
um gostinho” dos fundamentos da TQC e de algumas das suas aplicações.
PRIMEIRA AULA
PRIMEIRA AULA
• O que é um campo?
• Como descrever a dinâmica de um campo?
• E os campos quânticos?
• Como representar um campo quântico?
• Por quê campos quânticos?
• Para quê campos quânticos?
O que é um campo?
“Campo é uma função cujo domínio são pontos do 
espaço(-tempo).” 
• Classificação dos campos:
- Escalares: temperatura, pressão, Higgs, mésons, ...
- Vetoriais: velocidade (fluido), campo eletromagnético
- Tensoriais: campo gravitacional (RG), torsão (sólido) 
Campo escalar
Campo de temperatura Campo de Higgs
Campo vetorial
Campo de velocidades 
de um fluido Campo eletromagnético
http://www.cabrillo.edu/~jmccullough/Applets/Flash/Optics/CircPol.swf
Campo tensorial
Campo de torsão (1-d) Campo gravitacional (RG)
Como descrever a dinâmica de um campo?
Como descrever a dinâmica de um campo?
• Escolha típica: mecânica lagrangeana.
• Dinâmica clássica: ação mínima.
• Revisão: mecânica lagrangiana de um sistema de 
partículas.
Digressão: dinâmica de partículas
• Dinâmica clássica: ação mínima.
• Partículas: 𝑆[ 𝑟1, 𝑟2, … ] (funcional das funções 
movimento das partículas)
S[ 𝑟1, 𝑟2, … ] = 𝑑𝑡 𝐿[ 𝑟1 𝑡 ,
 𝑟1 𝑡 ; 𝑟2 𝑡 ,
 𝑟2 𝑡 ;… ]
𝐿 = 𝐾 − 𝑈: função lagrangeana
Digressão: dinâmica de partículas
• A ação é um funcional
S[ 𝑟1, 𝑟2, … ] = 𝑑𝑡 𝐿[ 𝑟1 𝑡 ,
 𝑟1 𝑡 ; 𝑟2 𝑡 ,
 𝑟2 𝑡 ;… ]
• Evolução clássica do sistema: a natureza “escolhe” o 
conjunto de funções que minimiza S.
Digressão: dinâmica de partículas
• Matematicamente, minimizar a ação
𝛿𝑆[ 𝑟1, 𝑟2, … ]
𝛿 𝑟𝑘(𝑡)
= 0
leva às equações de Euler-Lagrange, 
𝜕𝐿
𝜕 𝑟𝑘
−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑟𝑘
= 0
que são equivalentes à 2ª lei de Newton.
Como descrever a dinâmica de um campo?
• Para campos, o método é idêntico!
• “Estados” clássicos:
- Partículas: posições no decorrer do tempo. 𝑟𝑘(𝑡)
- Campos: valor do campo no espaço-tempo. j(𝑥)
Obs.: 𝑥 ≡ 𝑥, t (ponto do espaço-tempo)
Como descrever a dinâmica de um campo?
• Ação do campo j em d dimensões espaciais:
S[j] = 𝑑𝑡 𝑑𝑑𝑥 𝐿[j(𝑥),j′(𝑥), 𝑥)
• 𝐿[j(𝑥),j′(𝑥), 𝑥]: densidade de lagrangeana
Obs1.: j′(𝑥) representa derivadas do campo com relação 
às coordenadas do espaço-tempo
Obs2.: Aqui, j pode ser qualquer tipo de campo.
Dinâmica de um campo clássico
S[j] = 𝑑𝑡 𝑑𝑑𝑥 𝐿[j(𝑥),j′(𝑥), 𝑥]
• Minimização da ação  equação de movimento (Euler-
Lagrange)
𝜕𝐿
𝜕j
− 
µ=0
𝑑
𝜕
𝜕𝑥µ
𝜕𝐿
𝜕(𝜕µj)
= 0
Dinâmica de um campo clássico
• Exemplo relevante: campo escalar livre (notação de Einstein, 
unidades naturais)
ℒ[j,𝜕µj]=
1
2
𝜕µj𝜕
µj −
𝑚2
2
j2
• Equação de Euler-Lagrange Eq. de Klein-Gordon
𝜕µ𝜕
µj+𝑚2j2 = 0
𝜕2j
𝜕𝑡2
−
𝜕2j
𝜕𝑥2
−
𝜕2j
𝜕𝑦2
−
𝜕2j
𝜕𝑧2
+𝑚2j2 = 0
E os campos quânticos?
E os campos quânticos?
• Em Física Quântica (partículas, campos, ...)
- Estados físicos: vetores de um espaço de Hilbert
- Observáveis: operadores (hermiteanos) neste espaço
• Uma equação fundamental da Mecânica Quântica
[ 𝑋𝑖, 𝑃𝑗] = 𝑖ℏ𝛿𝑖𝑗 1
Obs.: 𝑃𝑖 é o momento conjugado a 𝑋𝑖 , 𝑖. 𝑒. , 𝑃𝑖 =
𝜕𝐿
𝜕 𝑥𝑖
.
E os campos quânticos?
• Operador momento conjugado ao campo j:
p(𝑥) ≡
d𝐿[j]
d φ(𝑥)
• Quantização Canônica: postula-se que 
 𝜑 𝑥, 𝑡 , 𝜋( 𝑥′, 𝑡) = 𝑖ℏd3 𝑥 − 𝑥′ ,
analogamente a [ 𝑋𝑖 , 𝑃𝑗] = 𝑖ℏ𝛿𝑖𝑗 1, com 𝑃𝑖 =
𝜕𝐿
𝜕 𝑥𝑖
.
Como representar um campo quântico?
Como representar um campo quântico?
• Exemplo: campo escalar (Klein-Gordon)
𝜕2j
𝜕𝑡2
−
𝜕2j
𝜕𝑥2
−
𝜕2j
𝜕𝑦2
−
𝜕2j
𝜕𝑧2
+𝑚2j2 = 0
• Solução (clássica) da equação de campo
𝜑 𝑡, 𝑥 = 
𝑑3𝑘
(2𝜋)3
1
2𝐸𝑘
𝐴𝑘𝑒
𝑖(𝐸
𝑘
𝑡−𝑘∙ 𝑥) + 𝐴
𝑘
∗ 𝑒−𝑖(𝐸𝑘𝑡−𝑘∙ 𝑥)
𝐸𝑘 = 𝑘
2 +𝑚2
Como representar um campo quântico?
• Um campo quântico é um operador.
• Quantização canônica: 
- 𝜑 (número) → 𝜑 (operador)
- 𝐴𝑘 (número) → 𝑎𝑘 (operador)
 𝜑 𝑡, 𝑥 = 
𝑑3𝑘
(2𝜋)3
1
2𝐸𝑘
 𝑎𝑘𝑒
𝑖(𝐸
𝑘
𝑡−𝑘∙ 𝑥) + 𝑎
𝑘
+𝑒−𝑖(𝐸𝑘𝑡−𝑘∙ 𝑥)
Obs.: As várias configurações do campo (estados quânticos) são 
combinações de autovetores do operador campo 𝜑.
Como representar um campo quântico?
 𝜑 𝑡, 𝑥 = 
𝑑3𝑘
(2𝜋)3
1
2𝐸𝑘
 𝑎𝑘𝑒
−𝑖(𝐸
𝑘
𝑡−𝑘∙ 𝑥) + 𝑎
𝑘
+𝑒𝑖(𝐸𝑘𝑡−𝑘∙ 𝑥)
p(𝑡, 𝑥) =
d𝐿[j]
dj(𝑥)
=
𝜕j(𝑡, 𝑥)
𝜕𝑡
 𝜑 𝑡, 𝑥 , p(𝑡, 𝑥′) = 𝑖d3 𝑥 − 𝑥′
Como representar um campo quântico?
 𝜑 𝑡, 𝑥 , p(𝑡, 𝑥′) = 𝑖d3 𝑥 − 𝑥′
• Como consequência:
 𝑎𝑘 , 𝑎𝑘′
+ = 2𝜋 3d3 𝑘 − 𝑘′
• Análoga aos operadores de abaixamento e 
levantamento do oscilador harmônico quântico!
• Como interpretar os operadores 𝑎𝑘 e 𝑎𝑘′
+ ?
Como representar um campo quântico?
• Exercício 1: a partir da expansão de Fourier do campo, 
mostre que a Hamiltoniana do campo escalar livre é
 𝐻 = 
𝑑3𝑝
2𝜋 3
𝐸 𝑝 𝑎 𝑝
+ 𝑎 𝑝 +
1
2
 𝑎 𝑝, 𝑎 𝑝
+
Interpretação dos operadores 𝑎 𝑝 e 𝑎 𝑝
+
• Operadores de levantamento e abaixamento em MQ:
 𝑎| 𝑛 = 𝑛| 𝑛 − 1 e 𝑎+| 𝑛 = 𝑛 + 1| 𝑛 + 1
 𝑎, 𝑎+ = 1
• Autoestados do oscilador harmônico: autovetores de
 𝑁 = 𝑎+ 𝑎
• Hamiltoniana do oscilador harmônico (freq. 𝜔)
 𝐻𝑂𝑠𝑐. = ℏ𝜔 𝑎
+ 𝑎 +
1
2
 1
• Níveis de energia quantizados (espaçados de ℏ𝜔: “1 quantum”).
Interpretação dos operadores 𝑎 𝑝 e 𝑎 𝑝
+
• Assim como os níveis do oscilador harmônico são 
quantizados, o mesmo acontece para cada modo 𝑝 do 
campo livre!
• Oscilador: aplicação de 𝑎+ → ∆𝐸 = ℏ𝜔
• Campo: aplicação de 𝑎 𝑝
+ → ∆𝐸 = 𝐸 𝑝 = 𝑝
2 +𝑚2.
 𝐻 = 
𝑑3𝑝
2𝜋 3
𝐸 𝑝 𝑎 𝑝
+ 𝑎 𝑝 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝐻𝑂𝑠𝑐. = ℏ𝜔 𝑎
+ 𝑎 +
1
2
 1
Quando 𝑎 𝑝
+
(ou 𝑎 𝑝) atua em um estado do campo, é criada (ou 
destruída) uma partícula de momento 𝑝 e massa 𝑚!!
Interpretação dos operadores 𝑎 𝑝 e 𝑎 𝑝
+
• Como 𝑎 𝑝
+ cria uma partícula de momento 𝑝, definimos
| 𝑝 = 2𝐸 𝑝 𝑎 𝑝
+| 0
Obs.: O fator 2𝐸 𝑝 é introduzido porque a combinação 𝐸 𝑝𝛿
(3) 𝑝 − 𝑞 é 
invariante de Lorentz (mas não volumes). Logo, é invariante de Lorentz
 𝑝 𝑞 = 2𝐸 𝑝 2𝜋
3𝛿(3) 𝑝 − 𝑞
• Estado de vácuo: | 0
 𝑎 𝑝| 0 = 0 (∀ 𝑝)
Interpretação dos operadores 𝑎 𝑝 e 𝑎 𝑝
+
• Quando o operador de campo atua sobre o vácuo,
 𝜑 𝑥 | 0 = 
𝑑3𝑘
(2𝜋)3
1
2𝐸𝑘
 𝑎𝑘𝑒
𝑖𝑘∙ 𝑥 + 𝑎
𝑘
+𝑒−𝑖𝑘∙ 𝑥 | 0
= 
𝑑3𝑘
(2𝜋)3
1
2𝐸𝑘
 𝑎
𝑘
+𝑒−𝑖𝑘∙ 𝑥| 0
• Projetando sobre o autoestado de momento | 𝑝 = 2𝐸 𝑝 𝑎 𝑝
+| 0 ,
 𝑝 𝜑 𝑥 0 = 
𝑑3𝑘
(2𝜋)3
1
2𝐸𝑘
𝑒−𝑖𝑘∙ 𝑥 0 𝑎 𝑝 𝑎𝑘
+ 0 = 𝑒𝑖 𝑝∙ 𝑥
• O operador de campo cria uma partícula livre!
Por que campos quânticos?
Por que campos quânticos?
• Algumas observações fundamentais (nível microscópico)
- Quantização da energia: níveisdiscretos, separados.
- “Quantização da matéria”: partículas elementares.
- A radiação (campos?) é constituída por partículas.
- A matéria (partículas?) possui comportamento ondulatório.
- Matéria e antimatéria aniquilam-se, tornando-se radiação.
Por que campos quânticos?
• Limitação da Mecânica Quântica à la Schrödinger: 
número de partículas fixo (espaço de Hilbert).
• 𝜓( 𝑟1, 𝑟2,..., 𝑟𝑁 , 𝑡): função de onda de N partículas.
• Algebricamente: ℋ = ℋ1⨁⋯⨁ℋ𝑁
• Em MQ relativística, isto se torna um problema...
Por que campos quânticos?
𝐸 = 𝑚𝑐2
Por que campos quânticos?
• Processos de criação e aniquilação de partículas: 
número de partículas é variável.
• Dois grandes problemas em MQ relativística: 
- Probabilidades negativas
- Energias negativas (ilimitadas inferiormente)
Por que campos quânticos?
“(...) quantum field theory is the way it is because (...) it is
the only way to reconcile the principles of quantum 
mechanics (...) with those of special relativity.”
[S. Weinberg, “The Quantum Theory of Fields”]
Para que campos quânticos?
Para que campos quânticos?
• Campos quânticos são necessários (ou ao menos convenientes) para se 
estudar
- Física das Partículas Elementares
- Física da Matéria Condensada 
- Física nuclear e astrofísica nuclear
- Ótica quântica
- Gravitação quântica (?)
- Teoria de cordas 
- ...
- ...
- ...
Para que campos quânticos?
• O Modelo Padrão das 
Partículas Fundamentais 
(SM) é uma Teoria Quântica 
de Campos
• A consistência teórica do 
SM levou à previsão de 
muitas de suas partículas!
[ver aula M. Begali e aula 2 de TQC]
Para que campos quânticos?
• Quarks e glúons nunca são 
encontrados isolados. Diz-se 
que eles estão confinados.
• O problema do 
confinamento (interação 
forte) é um dos mais difíceis 
e importantes da Física 
Teórica.
[ver aula 3]
Para que campos quânticos?
• Sistemas quânticos 
contínuos (relativísticos 
ou não) são naturalmente 
descritos por TQC’s.
• Este é o caso de muitos 
sistemas de Física da 
Matéria Condensada.
[ver aula D. Barci]
Para que campos quânticos?
• Matéria em condições 
extremas de temperatura e 
densidade torna-se 
praticamente contínua.
• Isto acontece em estrelas 
ultra densas, como pulsares 
(estrelas de nêutrons).
[ver aula M. Chiapparini]
Para que campos quânticos?
• Segundo o Modelo 
Cosmológico Padrão, o 
Universo primordial era 
denso e quente.
• Também aqui, as 4 
interações fundamentais 
são todas relevantes.
[ver aula R. Ramos]
Na próxima aula...
• Processos de espalhamento (“colisão”)
• Matriz S e expansão perturbativa
• Funções de correlação
• Formulação de Feynman da TQC: integrais funcionais
• Simetrias e leis de conservação
• O Modelo Padrão das Partículas Elementares