Aula01 02 e 03 final

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Aula 01 
BC0104 – Interações Atômicas 
 e Moleculares 
Breve Revisão e Introdução 
Estrutura do Nylon Estrutura do Kevlar 
Hueder Paulo M de Oliveira 
Sala 1005 – Bloco B 
Hueder.Paulo@ufabc.edu.br 
Bibliografia básica: 
 
ATKINS, Peter, Físico-Química. 7ª/8ª ed. : LTC vs. 1 e 2. 
 
Peter Atkins and Julio de Paula ,Physical Chemistry. 7ª/8ª ed, Oxford Press. 
 
TIPLER, Paul A.; LLEWELLYN, Ralpph A Física-Moderna. 3 ed. : LTC, 2006. 
 
MCQUARRIE, Donald A; SIMON, John D. Physical Chemistry: a Molecular approach. University 
Science Books, 1997. 
http://www.amazon.com/s/ref=dp_byline_sr_book_2?ie=UTF8&text=Julio+de+Paula&search-alias=books&field-author=Julio+de+Paula&sort=relevancerank
Informações Importantes 
• Moodle curso IAM 2020.1 Hueder 
• CONCEITOS 
A - 100% a 85% 
B - 84% a 70% 
C - 69% a 50% 
D - 49% a 40% 
F - < 40% 
O - Mais de 06 faltas; 
Listas 0 e 1 no site! 
https://sites.google.com/site/ufabciamcoutinho/classroom-news/conceitos
Semanas de Aula 1º Quadrimestre 
4 
• 1ª Prova — 24/03; 
• 2ª Prova — 28/04; 
• Prova Substitutiva — 30/04; 
• Rec — 13/05 
• A P1 e a P2 possuem o mesmo peso; 
• Prova Sub e Rec dentro das novas normativas. 
• Recuperação 13/05 para quem fez as duas provas e ficou com conceito D ou F. Conceito máximo 
para quem ficou na rec é C. MP=(P1+P2)/2 se o aluno tirar D ou F a média final será 
MF=(MP+Rec)/2. 
Avaliações 
Programa 
Atkins capitulo 8: Revisão de conceitos básicos (fora do programa) 
Atkins capítulos 9,10 e 11 (da 8a ed. Inglês) 
Á\TOMOS: Fundamentos mecânico-quânticos: Aplicações simples: particula em uma caixa e oscilador harmonico; 
Equação de Schrödinger do átomo de hidrogênio e hidrogenóides; orbitais atômicos e suas energias; Estrutura 
eletrônica de átomos multieletrônicos; aproximação orbital; princípio da exclusão de pauli; energias orbitais e energias 
de ionização. 
MOLÉCULAS- TEORIA DA LIGAÇÃO DE VALENCIA: Fundamentos mecânico-quânticos da Teoria; Moléculas diatômicas e 
poliatômicas; Hibridização; Ressonância. 
TEORIA DO ORBITAL MOLECULAR: Fundamentos mecânico-quânticos da Teoria; Combinações lineares de orbitais 
atômicos; Tipos de orbitais; Transições eletrônicas; Diagramas envolvendo os subníveis s e p; Moléculas diatômicas 
homonucleares envolvendo o nível 3 ou maior; Moléculas diatômicas heteronucleares. 
Atkins capítulos 18,19 e 20 (da 8a ed. Inglês) 
LÍQUIDOS E SÓLIDOS MOLECULARES: Forças Intermoleculares: Íon-Dipolo, Íon-Dipolo Induzido; Ligações de 
Hidrogênio; Hidrostática e hidrodinâmica; Tensão Superficial; Viscosidade. 
SÓLIDOS: Ligações iônicas; Tipos de Sólidos: metálicos, covalentes, iônicos e moleculares.; Propriedades: elétricas, 
mecânicas, magnéticas e de transporte; Ligação Metálica: Teoria do Elétron Livre; Teoria das Bandas; Diferenças entre 
os Sólidos Metálicos e os Sólidos Covalentes; Isolantes; Semicondutores: junção p-n, leds e transistores. Cor dos 
Sólidos. Modelo Eletrostático para Sólidos Iônicos. Defeitos de Cristais. Vidros. Polímeros Orgânicos. 
Mecânica Quântica (breve revisão): 
 
 
A teoria clássica, desenvolvida antes de 1900, não conseguia explicar uma 
serie de resultados experimentais importantes, por exemplo o espectro de 
emissão do hidrogênio, que apresenta linhas discretas, ao invés do espectro 
contínuo previsto pela teoria clássica. 
 
Balmer, em 1885, foi capaz de ajustar os comprimentos de onda observados 
na região do visível na forma de uma série. 
 
Outro fenômeno que não poderia ser explicado pela teoria clássica foi a 
distribuição de freqüências da radiação de corpo negro. Wien, previu como a 
freqüência de máximo da distribuição variava com a temperatura. 
 
Observou-se na época que elétrons e outras espécies microscópicas 
demonstram comportamento ondulatório e, em particular, que não 
poderiam ser descritos satisfatoriamente pela mecânica clássica. 
 
O efeito fotoelétrico também desafiava as leis clássicas. Tal efeito é 
observado quando radiação de certos comprimentos de onda incidem sob a 
superfície de um material. 
 
Outra dificuldade, inexplicável pelas leis clássicas, foi a dependência da 
capacidade calorífica molar (Cv =3R , proposta por Dulong e Petit) com a 
temperatura, para um sólido a baixas temperaturas (mais tarde explicadas 
mais satisfatoriamente por Einstein e Debye, usando a quantização). 
Em 1900, Max Planck propôs em sua teoria que os osciladores que 
compunham o corpo negro e responsáveis pela emissão de energia (E) 
oscilavam com apenas certos valores quantizados de acordo com E= nhv 
(quantização de energia). 
 
Einstein, em 1905, propôs a teoria para explicar o efeito fotoelétrico, em 
termos da quantização de energia e em seguida aplicou por meio da teoria 
quântica a dependência com a temperatura da capacidade calorífica. 
 
As leis da mecânica quântica foram então agregadas e propostas a partir de 
1925 principalmente por Heisenberg, Dirac e Schrödinger . 
Em 1924, de Broglie, propôs que além da luz a matéria também 
apresentaria dualidade partícula-onda, resultando numa relação entre 
comprimento de onda e momento. 
 
 
 
Esta hipótese foi confirmada pelos experimentos de difração de elétrons em 
1927. Ficou evidente que não apenas a luz apresenta propriedades de 
partícula, mas partículas também devem ter propriedades de onda. 
 
A dualidade partícula-onda é evidente em sistemas microscópicos, mas não 
é observada em objetos macroscópicos devido ao pequeno valor da 
constante de planck (h = 6,63 x 10-34 J.s). 
mv
h
p
h

O princípio da incerteza, formulado em 1927 por W. Heisenberg, tem grande 
importância para a evolução da mecânica quântica. 
 
Este princípio diz que é impossível ter, simultaneamente, uma alta precisão 
ou baixa incerteza, na medida da posição e do momento de uma partícula. 
 
 
 
Um corolário deste princípio é que se pudermos medir posição ou momento 
de uma partícula com grande precisão, a outra medida necessariamente 
seria de muito baixa precisão. 
 
Esta é uma base importante para a mecânica quântica. 
Jsx
h 3410054,1
2



2
xx p  
12 
Louis V. P. R. de 
Broglie ​ 
(1892-1987)​ 
Nobel (Física): 1929​ 
​ 
Dualidade onda-partícula da Matéria 
Surgimento da Física Quântica 
“O elétron apresenta característica DUAL, ou seja, comporta-se 
como matéria e energia sendo uma partícula-onda.” 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Broglie_Big.jpg
13 
Dualidade onda-partícula da Matéria 
Surgimento da Física Quântica 
A Equação de de Broglie e o Modelo Atômico de Bohr 
Se o elétron se comporta como uma onda, o comprimento de onda deve se 
ajustar exatamente à circunferência da órbita. Caso contrário, a própria onda se 
cancelaria parcialmente em cada órbita sucessiva (no final, a amplitude da onda 
seria reduzida a zero e a onda deixaria de existir). 
 ...2 nr 
n, número inteiro (1,2,3,…) 
14 
Surgimento da Física Quântica 
15 
Qualquer partícula em movimento está associado a um movimento 
ondulatório.​ 
Surgimento da Física Quântica 
16 
 Em 1926, após o conhecimento dos resultados preliminares de Davisson and 
Germer, Walter Elsasser observou que a natureza ondulatória da matéria 
poderia ser investigada por experimentos de espalhamento de elétrons em 
sólidos cristalinos, assim como a natureza ondulatória do raio X foi confirmada 
através dos experimentos de espalhamento de raio X em sólidos cristalinos. 
• Em 1927, no Bell Labs, Clinton Davisson e Lester Germer lançaram elétrons 
lentos em um alvo de níquel cristalino. A dependência angular da intensidade 
dos elétrons refletidos foi medida, e foi verificada que há algum padrão de 
difração semelhante àqueles previstos por Bragg para os raios X. Esse 
experimento foi replicado por George Paget Thomson. 
• O experimento confimou a hipótese de de Broglie, na qual a matéria pode 
apresentar propriedade ondulatória. Isto, em combinação com o experimentode Arthur Compton, estabeleceu a hipótese da dualidade onda-partícula, que é 
um passo fundamental na teoria quântica. 
• Esta demonstração da dualidade onda-partícula foi importante historicamente 
no estabelecimento da mecânica quântica e da equação de Schrödinger. 
Surgimento da Física Quântica 
1
7 
Clinton Joseph 
Davisson 
(1881-1958)​ 
Nobel (Física): 1937 
Lester Halbert 
Germer 
(1896-1971)​ 
Revisão de Ondas 
1927: Experimentos de Davisson e Germer 
Por extrapolação dos resultados 
experimentais, conclui-se que a difração 
poderia ser observada com apenas um 
elétron. 
18 
Clinton Joseph 
Davisson 
(1881-1958)​ 
Nobel (Física): 1937 
Lester Halbert 
Germer 
(1896-1971)​ 
Difração de Elétrons 
1927: Experimentos de Davisson e Germer 
As partículas P1 e P2 mostram interferência: 
Experimento da dupla fenda com projéteis 
Um experimento imaginário… 
Feynman, R. P. The Feynman Lectures on Physics: Quantum Mechanics, cap. 1 
19 
Dualidade Onda-Partícula para a Matéria 
 A radiação eletromagnética consiste de fótons que se comportam como 
partículas. 
 Ex.: efeito fotoelétrico; 
 A radiação eletromeganética é composta de ondas. 
 Ex.: difração da luz. 
20 
Comportamento Ondulatório ou Corpuscular ? 
“Devido ao fato de o comportamento atômico ser tão diferente 
da experiência comum, é muito difícil se acostumar a ele, e ele 
parece peculiar e misterioso para todos - tanto para o novato 
como para o físico experiente.” 
 
“Até mesmo os especialistas não o compreendem da forma 
como gostariam, e é perfeitamente razoável que não devam, 
porque toda a experiência direta e intuição humanas se aplicam 
a objetos grandes.” 
 
“Sabemos como objetos grandes atuarão, mas as coisas em 
pequena escala simplesmente não agem desta forma. Então 
temos que aprender sobre elas de um modo abstrato ou 
imaginativo, e não pela conexão com a nossa experiência direta.” 
 
Richard Feynman 
Richard Philips 
Feynman​ 
(1918-1988)​ 
Nobel (Física): 1965​ 
​ 
Dualidade Onda-Partícula para o Elétron 
Exemplo 
Calcule o comprimento de onda da “partícula” nos seguintes casos: 
 
(a) O serviço mais rápido no jogo de tênis é cerca de 68 m/s. Calcule o 
comprimento de onda associado a uma bola de tênis que pesa 6,0 x 10-2 kg 
movendo-se a essa velocidade. 
(b) Calcule o comprimento de onda de um elétron (9,1094 x 10-31 kg) que se 
move à velocidade de 68 m/s. 
mv
h

h = constante de Planck = 6,626 x 10-34 J.s (=m2 kg/s) 
 
22 
m106,1
ms68)kg100,6(
Js1063,6
34
12
34








x
mv
h

(a) 
Tamanho do átomo 
(1 x 10-10 m) 
23 
Resolução: 
m101,1
ms68)kg101094,9(
Js1063,6
5
131
34








mv
h

(b) 
Infra-vermelho 
(mensurável) 
24 
Resolução: 
Tamanho do átomo 
(1 x 10-10 m) 
Princípio da Incerteza 
​ 
​ 
Werner Karl 
Heisenberg​ 
(1901-1976)​ 
Nobel 
(Física): 1932 
​ 
1927: Não podemos determinar exatamente a posição e a 
quantidade de movimento simultaneamente. Ou seja, se 
quisermos estudar uma partícula desta natureza em movimento, 
teremos sempre uma incerteza associada à medida: ​ 
 
 
2
: incerteza na posição da partícula
: incerteza na quantidade de movimento (velocidade) da partícula
: constante de Planck
x
x
x p
x
p
h
  


Surgimento da Física Quântica 
25 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Bundesarchiv_Bild183-R57262,_Werner_Heisenberg.jpg
Princípio da Incerteza 
​ 
​ 
26 
A multiplicação dos termos de incertezas indica a medida simultânea, ou seja, 
se soubermos exatamente a posição da partícula (Δx = 0) nada sabemos 
sobre o seu momento(Δpx = ∞).​ 
​ 
O princípio vale para qualquer partícula de qualquer massa. Entretanto, se 
m>>>0, a incerteza está incluída na posição. ​ 
​ 
2
xx p  
http://books.scielo.org/id/xwhf5/pdf/freire-9788578791261-15.pdf 
http://books.scielo.org/id/xwhf5/pdf/freire-9788578791261-15.pdf
http://books.scielo.org/id/xwhf5/pdf/freire-9788578791261-15.pdf
http://books.scielo.org/id/xwhf5/pdf/freire-9788578791261-15.pdf
http://books.scielo.org/id/xwhf5/pdf/freire-9788578791261-15.pdf
http://books.scielo.org/id/xwhf5/pdf/freire-9788578791261-15.pdf
1928: Princípio da Complementariedade 
27 
“Se um experimento prova o caráter corpuscular da 
radiação ou matéria, não será possível, com as 
mesmas condições provar o caráter ondulatório da 
mesma.” 
Niels Henrick David 
Bohr ​ 
(1885-1962)​ 
Nobel (Física): 1922 ​ 
​ 
“There is no quantum world. There is 
only an abstract physical description. It is 
wrong to think that the task of physics is 
to find out how nature is. Physics 
concerns what we can say about 
nature...” 
Niels Bohr 
“Everything we call real is made of things 
that cannot be regarded as real. “ 
 
Niels Bohr 
http://books.scielo.org/id/xwhf5/pdf/freire-9788578791261-15.pdf 
Caráter Probabilístico da Física Quântica 
http://books.scielo.org/id/xwhf5/pdf/freire-9788578791261-15.pdf
http://books.scielo.org/id/xwhf5/pdf/freire-9788578791261-15.pdf
http://books.scielo.org/id/xwhf5/pdf/freire-9788578791261-15.pdf
http://books.scielo.org/id/xwhf5/pdf/freire-9788578791261-15.pdf
http://books.scielo.org/id/xwhf5/pdf/freire-9788578791261-15.pdf
Conclusão, não é apropriado imaginar o elétron 
movendo-se ao redor do núcleo em órbita bem definida. 
34
9
31 4
.
4
(6,626 10 J s)
1 10 m
4 4 (9,11 10 kg)(5 10 m/s)
h
x mv
h
x
m v

 



  
 
    
  
Diâmetro médio de um átomo de hidrogênio (2 x 10-10 m) 
Cálculo da incerteza na posição de um elétron do átomo de 
hidrogênio (m = 9,11 x 10-31 kg) movendo-se a 5 x 106 m/s 
supondo , incerteza de 1% (Δv = 5 x 104 m/s) 
28 
Exemplo: 
Estudo do comportamento e das leis do movimento para 
partículas microscópicas. 
ANTECEDENTES: 
 
 Teoria da quantização da energia (Max Planck) e efeito 
fotoelétrico (Einstein): E = h 
 Dualidade onda-partícula (L.de Broglie):  = h/p 
 Principio de incerteza (Heisenberg): 
x
h
ΔxΔp
4

Mecânica Quântica 
29 
Conceitos Básicos da Mecânica Quântica 
 
Em 1926, Erwin Schrödinger publicou a equação que trata da propagação das 
ondas da matéria (incluindo elétrons) e que recebeu seu nome. 
 
Na mesma época Werner Heisenberg propôs uma teoria para explicar os 
fenômenos atômicos baseada em grandezas mensuráveis, como energia, 
posição e momento. 
 
Mais tarde provou-se que embora as teorias propostas por Schrödinger e 
Heisenberg tinham aparências diferentes, estas eram equivalentes de modo 
que uma poderia ser demonstrada a partir da outra. 
 
O resultado destas teorias foi chamada de mecânica quântica. 
 
A equação de Schrödinger relaciona as derivadas da função de onda em 
relação ao tempo e coordenadas de espaço. 
Dependendo das condições experimentais, os aspectos de onda ou partícula de um sistema 
quântico são observados. A natureza da matéria e da energia são aspectos duplos (ondulatórios e 
corpusculares) não sendo contraditórios, mas complementares. (Princípio da complementaridade - 
Bohr) 
Partícula ou Onda? 
http://phys.org/news/2015-03-particle.html 
A primeira fotografia da luz como partícula e onda 
Para desenvolver a equação de Schrödinger devemos fazer as derivadas parciais 
(primeira e segunda ordem) da função de onda ψ(x,t). 
 
 
 
 
 
 
 
Usando as relações, onde K é energia cinética 
e V é a energia potencial: 
 
 
Resolvendo as equações diferenciais e fazendo manipulações, resulta na equação de 
Schrödinger unidimensional : 
),(
2),(
),(2
),(
2
2
2
tx
x
tx
txiv
t
tx



















2/
),(
2
/
2
h
txVEK
mKp
ph





t
tx
itxtxV
x
tx
m 





),(
),(),(
),(
2 2
22 




A equação de Schrödinger unidimensional para uma partícula de massa m pode 
ser escrita na sua forma simplificada ou na forma completa: 
H é chamado de operador Hamiltoniano. E é o operador energia: 
Para entendera evolução de um sistema com o tempo (importante em 
espectroscopia, por exemplo), é necessário resolver a equação de Schrödinger 
dependente do tempo: 
Para descrever um estado estacionário, por exemplo, é necessário conhecer sua 
função de onda espacial ψ(x,y,z) e sua energia E. 
 EH ˆˆ 
t
tx
itxtxV
x
tx
m 





),(
),(),(
),(
2 2
22 




),,,(
2
),,,(ˆ 2
2
tzyxV
m
tzyxH 

t
iE


 ˆ
t
iH


 ˆ
Este procedimento resulta na seguinte forma para a equação de Schrödinger: 
 
 
 
Esta é a equação de Schrödinger independente do tempo. 
 
Considerando uma função potencial V(x) de sistema um sistema físico particular, 
podemos , em princípio, resolver para as funções de onda ᴪ(x) as quais 
caracterizam os estados estacionários do sistema. 
 
A condição de normalização da função de onda é: 
)()()(
)(
2 2
22
xExxV
x
x
m







1)()(* 


dxxx 
As soluções da equação diferencial de Schrödinger apresentam importantes 
propriedades: 
 
1- Em geral, existirá um número infinito de funções de onda ᴪi (autofunções), cada 
uma correspondendo a um valor de energia Ei (autovalores), que satisfazem a 
equação de Schrödinger . 
 
2- As vezes 2 ou mais autofunções (ᴪi , ᴪj , ᴪk ...) apresentam o mesmo autovalor (Ei 
, Ej , Ek ...) . Estas são chamadas de funções de onda degeneradas. 
 
3- Se ᴪ é uma solução da equação, qualquer múltiplo cᴪ também será solução. 
 
4- Se ᴪi e ᴪj são soluções degenegadas da equação, tendo o mesmo autovalor, 
então qualquer combinação linear (aᴪi + bᴪj ) também será uma solução. 
5- Qualquer ᴪi e ᴪj não degeneradas serão ortogonais. 
0**  




dxdx ijji 
Max Born, com uma interpretação estatística para a função de onda, introduziu o 
quadrado da função de onda, e denominou de densidade de probabilidade |Ψ|2 = 
ψ*ψ, sendo ψ* o complexo conjugado da função de onda (para levar em conta a 
qualquer parte complexa da função). 
Uma função de onda Ψ pode ser uma grandeza complexa (formada por uma parte 
real e uma parte imaginária ). Mas se a função de onda é puramente real então |Ψ|2 
= ψ2 . 
 
 
 
Se a função de onda de uma partícula é descrita por ψ num certo ponto, então a 
probabilidade (P) de encontrar a partícula num volume infinitesimal 
naquele ponto será proporcional a: 
 
Esta medida de probabilidade é adimensional. Na direção x, temos: 
 
 
dzdydxd ..
 dP
2

1
*


i
igfigf 
2
),(*),( txdxtxP   
dzdydxd
d
..
1*






A interpretação de Born implica restrições na aceitação de funções de onda 
para sistemas quânticos. ψ deve ser uma função finita e bem comportada e 
deve ser função contínua. 
Se a função de onda é normalizada, temos a 
seguinte condição de normalização: 
Para extrair informações da função de onda de um sistema é necessário resolver a 
equação de Schrödinger ( Hψ = Eψ). Isto significa encontrar os autovalores e 
autofunções do operador hamiltoniano do sistema. 
 
Hψ = Eψ (equação de autovalores) 
 
(operador)(função) = (fator constante = autovalor) x (mesma função) 
 
(exemplo: H= T+V = energia cinética + energia potencial). 
 
Operador é uma regra matemática que transforma uma função (lembrar do curso 
de mecânica quântica). 
 
Os autovalores de um dado operador representam as grandezas físicas observáveis 
permitidas para a auto função. 
* Autofunções correspondentes a diferentes autovalores do mesmo operador são 
ortogonais. 
  0*  dji
A Equação de Schrödinger (1926) 
• m: massa da partícula 
• ℏ constante de Planck dividida por 2π 
• t: tempo 
• x: coordenada espacial 
• V: energia potencial 
Segunda ordem em x 
e primeira ordem 
em t 
A Equação de Cordas Vibrantes 
MCQUARRIE, Donald A; SIMON, John D. Physical Chemistry: a Molecular approach. University Science 
Books, 1997. 
Quais são as variáveis que caracterizam o movimento corda? 
Segunda ordem em x e t 
Sujeito à condição de contorno 
Proposta por Jean-
Baptiste le Rond 
d'Alembert em 1746 
A Equação de Cordas Vibrantes 
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_le_Rond_d'Alembert
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_le_Rond_d'Alembert
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_le_Rond_d'Alembert
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_le_Rond_d'Alembert
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_le_Rond_d'Alembert
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_le_Rond_d'Alembert
Usando nossas condições de contorno: 
Nos leva a: 
k = 2π/λ 
λ=2L/n 
n=1 n=2 n=3 
λ é o comprimento de onda e k é o número de onda. Suas unidades são 
 o metro (ou nm) e metro-1 (ou cm-1). 
Onda parada ou estacionária 
A Equação de Cordas Vibrantes 
A equação de Schrödinger pode ser considerada como um dos postulados da MQ! 
A Equação de Schrödinger (1926) 
I. Os projéteis chegam ao detector em unidades (“pacotes”) iguais; 
 
II. As balas que atravessam as fendas 1 e 2 podem atingir o anteparo em 
diferentes posições x. A probabilidade de que uma bala atravesse as 
fendas 1 ou 2 e se aloje numa posição x do anteparo é dada por P1 ou 
P2, respectivamente; 
 
III. O resultado do experimento feito com ambas as fendas abertas (P12) é 
igual à soma dos resultados experimentais obtidos quando cada uma 
das fendas isoladamente está aberta: 
 
P12 = P1 + P2 
 
NÃO É UM FENÔMENO DE INTERFERÊNCIA 
47 
Experimento da dupla fenda com projéteis 
Experimento da dupla fenda com ondas 
FONTE 
DA ONDA 
DETECTOR 
BARREIRA ANTEPARO 
Feynman, R. P. The Feynman Lectures on Physics: Quantum Mechanics, cap. 1 
Um experimento imaginário… 
48 
I. A intensidade das ondas pode ter qualquer valor, ou seja, elas não chegam 
ao detector como “pacotes”; 
 
II. Ondas sofrem difração nas fendas, produzindo no anteparo um padrão de 
franjas conhecido como padrão de difração; 
 
III. A distribuição de intensidades com ambas as fendas abertas não coincide 
com a soma dos resultados obtidos com apenas uma fenda aberta devido à 
existência de regiões com interferência construtiva e outras com 
interferência destrutiva: 
I12 ≠ I1 + I2 
 
É UM FENÔMENO DE INTERFERÊNCIA 
49 
Experimento da dupla fenda com ondas 
Experimento da dupla fenda com elétrons 
FONTE DE 
ELÉTRONS 
DETECTOR 
BARREIRA ANTEPARO 
Feynman, R. P. The Feynman Lectures on Physics: Quantum Mechanics, cap. 1 
50 
Um experimento imaginário… 
Orbital - zona em torno do 
núcleo onde é elevada a 
probabilidade de se encontrar 
um elétron de uma dada energia. 
Modelo Atômico de Acordo com a Mecânica Quântica 
51 
Erwin Rudolf Josef 
Alexander Schrödinger ​ 
(1887-1961)​ 
Nobel (Física): 1933 ​ 
​ 
A equação de Schrodinger governa o movimento de todos 
os sistemas quânticos (com massa de repouso não nula), 
de certo modo, é analoga à equação da corda vibrante. 
Schrödinger propõe uma equação que incorpora tanto o 
comportamento ondulatório como o corpuscular para o 
elétron. A equação de Schrödinger é a base da Mecânica 
Quântica assim como as equações de Newton são a base da 
Mecânica Clássica. 
 EH ˆ
 ψ(x,y,z): função de onda: representa a onda associada ao 
elétron e descreve o estado do elétron. 
 E: energia total do elétron. 
 Ĥ: operador Hamiltoniano. 
52 
Operador hamiltoniano 
Leva em consideração a energia cinética (T) e a 
energia potencial (V) do elétron: 
53 
µ : massa reduzida; 
e : massa do elétron; 
ε0 : constante dielétrica do meio; 
r : distância entre os elétrons. 
1 2
12
1 2
m m
m m




Operador 
Laplaciano 
Pierre-Simon 
Laplace ​ 
(1749-1827)​​ 
​ 
 
2 2 2
2
2 2 2
u u u
u u u
x y z
  
         
  
2
h


Operador hamiltoniano 
A equação de Schrödinger é uma equação de conservação de energia. 
Ela leva em consideração o comportamento corpuscular, em termos de 
massa (m) e o comportamento ondulatório, em termo da função de 
onda (ψ). 
 EH ˆ
54 
número imaginário 
Variável espacial Variável temporalSignificado físico da função de onda 
ψ não tem significado físico 
 
ψ2 densidade de probabilidade de encontrar um 
elétron em função da posição x 
55 
A Interpretação de Bohr 
Considere a função do estado 
fundamental do átomo de H: 
Para um região muito pequena em que 
Ψ é praticamente constante 
A probabilidade de encontrar o elétron 
em uma região prómima ao núcleo é 
dada por: 
(falta normalização) 
Mudança de sinal 
57 
 Uma onda estacionária é aquela em que a crista, ou a 
posição de maior amplitude não se move. Da mesma 
forma, pontos em que a amplitude é nula, conhecidos 
como nós, não se movem; 
 
 Um exemplo de onde isso ocorre é numa corda de 
violão. A corda está presa nas extremidades e, ao ser 
tocada, vibra de acordo com um modo de vibração. Se 
não houvesse atrito com o ar, ela vibraria 
indefinidamente. Como há esse contato com o ar, 
ouvimos um som de freqüência igual à da vibração. 
 
Ondas Estacionárias 
Modos de Vibração numa Onda 
Unidimensional 
2

nL  para n = 1, 2, 3 …, 
2

L
2
2

L
2
3

L
2
4

L
primeiro harmônico 
segundo harmônico 
terceiro harmônico 
quarto harmônico 
58 
O comprimento de onda de uma onda estacionária numa 
corda depende do comprimento da corda e e do número 
de ventres. A onda estacionária pode ter apenas alguns 
valores específicos de , que são dados por: 
59 
Oscilador Harmônico 
)( 0xxkF 
2
)( 20xxkV


A constante k está associada à força e à rigidez da ligação. 
x0 
x0 
Vibrações Moleculares 
Força restauradora 
Lei de Hook! F = -kx 
Frequência de Vibração 


k
2
1









21
21
mm
mm

A constante k está associada à força e à rigidez da ligação. 
x0 
Potencial de uma Ligação Química 
63 
Potencial 
Harmônico e 
de Morse 
64 
Potencial de Morse 
 20)](exp[1)( xxaDxV e 
Morse 
harmônico 
x0 
De 
66 
67 
68 
69 
Vibrações Moleculares 
kx
x
V
F 


 2
2
1
kxV A. A aproximação harmônica : 
x= R-Re = a deformação da ligação 
k= constant de força da ligação 
...
2
1
)0()( 2
0
2
2
0
















 x
x
V
x
x
V
VxV
2
0
2
2
2
1
)( x
x
V
xV 








0
2
2









x
V
k
Zero de energia: 
V(0)=0 
Mínimo de 
Energia 
2
2
1
kxV 
0
2
2









x
V
k  Quanto mais íngremes são as paredes de potencial 
(mais rígida a ligação), maior a constante de força. 
B. A Equação de Schrödinger 
 Ekx
xmeff









 2
2
22
2
1
2

 O movimento de um sistema composto por 2 corpos pode ser dissociado no 
movimento para o centro de massa e o movimento relativo de um corpo em 
relação ao outro. 
 O movimento relativo de 2 átomos de massas m1 e m2 com uma 
energia potencial parabólica é descrito com a Eq Schrödinger : 
21
12
mm
mm
meff


meff é a massa efetiva (ou 
massa reduzida para uma 
molécula diatômica) 
 Estudamos o movimento de uma partícula em um potencial harmônico. Podemos aplicar a mesma 
solução para a vibração de dois corpos, considerando que é uma partícula de massa meff que possui um 
potencial harmônico. Os autovalores ou níveis de energia vibracional permitidos são : 
2/1
,...2,1,0;
2
1













effm
k
E  
Força de Ligação 
Rigidez de Ligação 
Frequências de vibração em ésteres: 
 
 C=O 5.2 x 1012 Hz 
 
 C-O 3.5 x 1012 Hz 
)()()(
2
2
2
rrr  EV
m








Equação de Schrödinger para o Oscilador 
Harmônico 
75 
76 
(slide anteriomente falado) 
77 
78 
79 
Equação de Schrödinger - Resultados 
hnEn )( 2
1
h 
h 
h 
h 
h 
h 
h 
n = 
n = 
n = 
n = 
n = 
n = 
n = 
 Nem todas as amplitudes de 
vibração são permitidas. 
 
 Energia do ponto zero. 
 
 Espectroscopia no infra-vermelho. 
Equação de Schrödinger - Conseqûencias 
Desvantagem do Modelo do Oscilador 
Harmônico 
 
 O oscilador harmônico não é bom para representar estados 
vibracionais excitados, pois a ligação não pode ser rompida. 
 
 Na realidade, quando uma ligação absorve energia, a amplitude 
de vibração aumenta até que a ligação se rompe (a clivagem de 
uma ligação está associada a um modo normal vibracional). 
 
 Uma ligação química real é um oscilador anarmônico. 
Espectroscopia no Infra-Vermelho 
Estados ligados 
Alguns Postulados da Mecânica Quântica: 
 
a) Toda partícula possui uma função de onda  associada a ela. 
 
b) A forma e a evolução temporal desta  é determinada pela equação de 
Schrödinger. 
 
c) Dada a função  (x,t), a densidade de probabilidade da partícula ser 
encontrada em um ponto x, num dado instante t, é dada por: 
    2t,xt,xP 
Postulados 
• A função de onda contém toda a informação sobre o sistema, que 
pode ser obtida resolvendo a equação de Schrödinger; 
• Ψ2dσ é a probabilidade de encontrar o sistema em um volume dσ; 
• A função de onda deve ser contínua, ter derivadas contínuas e ser 
integrável; 
• Operadores aplicados a função de onda produzem os observáveis. 
Os operadores são construídos a partir dos operadores x e p; 
• Segundo o princípio da incerteza de Heisemberg, não podemos 
determinar a posição e o momento da partícula simultaneamente 
em um experimento. 
A Equação de Schrödinger e a 
Quantização de Energia 
Quando a relação entre a energia total de uma partícula e sua 
energia potencial é tal que classicamente a partícula estaria 
confinada a uma região limitada do espaço, pois senão a 
energia cinética excederia a energia total fora da região, a 
teoria de Schrödinger prevê que a energia total da partícula é 
quantizada. 
 
 Quando a partícula não estiver confinada em uma região 
limitada, então a teoria prevê que a sua energia total pode 
apresentar qualquer valor. 
Elétron Confinado 
O confinamento de uma onda leva à quantização, ou seja, à existência de 
estados discretos, com energias discretas. 
Analogia: 
Ondas estacionárias em uma corda estados estacionários 
Exemplos: Armadilhas em 1, 2 e 3 dimensões; Átomos 
 Exemplos de potenciais diversos: 
Átomo de 
hidrogênio 
0 L 
U(x) 
x 
U0 
Poço 
quadrado 
• Vamos supor que um elétron esteja confinado em uma caixa; 
 
• De acordo com a mecânica clássica, o elétron poderia ter qualquer 
valor de energia (no caso, energia cinética); 
 
• Tratando o elétron como uma partícula-onda, veremos que surge um 
resultado bem diferente... 
Problema da Partícula na Caixa 
89 
A caixa significa que o movimento do elétron está restrito a uma porção do 
espaço que chamamos de poço de potencial. No átomo de hidrogênio, o 
potencial que “restringe” o movimento do elétron e impede-o de escapar é o 
potencial coulombico. O problema do hidrogênio é bem mais complexo que o 
do elétron na caixa, mas os dois problemas têm algumas similaridades. 
0 
-∞ 
EPOT 
poço de potencial potencial de Coulomb 
90 
Por que Estudar o Problema do 
“Elétron numa Caixa”? 
 Na região em que E - U(x) < 0 a função de onda (x) deve tender a zero, pois a 
probabilidade de encontrar a partícula nesta região é muito pequena. Esta 
imposição faz com que tenhamos um conjunto discreto n(x), de soluções para a 
equação de Schrödinger, cada uma delas associadas a uma energia En (similar aos 
modos normais em uma corda clássica): 
 
     0
2 2
22
 xxUE
dx
xd
m


Partícula confinada em um Poço 
Quadrado 
0 L 
U(x) 
x 
U0 
Poço 
quadrado 
E 
Partícula em uma Caixa 
 Vamos resolver a eq. de Schrödinger para uma partícula confinada a uma caixa 
de paredes “impenetráveis”. Isto é, partícula sujeita a um potencial de forma: 
 U(x) = 0, para 0 < x < L 
 U(x) = ∞, para x < 0 ou x > L 
• Como o potencial é infinito, a partícula deve encontrar-serigorosamente no 
interior da caixa, portanto a devemos ter (x) = 0 , para x = 0 e x = L (condição de 
contorno). 
0 L 
U(x) 
x 
No interior da caixa, temos: 
 ou 
A solução geral desta eq. pode ser escrita como: 
 A condição de contorno (0) = 0 leva à: 
 A condição de contorno (L) = 0 leva à: 
 
 xE
dx
xd
m



2
22
2

 
   xkx
mE
dx
xd

 2
22
2 2

 2
2

mE
k 
  kxcosBAsenkxx 
  Asenkxx 
  0 AsenkLL nkL L
n
kn


 Escrita em termos dos comprimentos de onda: 
que corresponde justamente à condição de formação de ondas estacionárias. 
As funções de onda serão então dadas por: 
 Para cada n temos uma ψn(x); onde n é um número quântico. 
 Como temos um sistema unidimensional, ψ(x) é completamente determinada 
por apenas um número quântico. 
    






L
xn
senAxksenAx nnnn


2
nnL


L
nk
n
n




2
Tratando o elétron como onda, temos o 
mesmo problema da corda de violão. 
Devido à impossibilidade da partícula 
estar fora do poço, afirmamos que a 
função de onda é nula no exterior. No 
interior do poço, formam-se ondas 
estacionárias. 
Elétron Confinado numa Caixa 
(Poço de Potencial) 
95 
Funções de onda 
    






L
xn
senAxksenAx nnnn

 ,....,,n 321
1n 2n 3n 4n
5n 6n 7n
97 
2 2 2 2 2
2 2 2
2
Como 
2
Como 
2 8 8
h h
v
mv m
L hn
v
n m L
mv mh n h n
E E
m L mL



  
  
   
No confinamento unidimensional (onda numa corda), a energia possível 
do estado estacionário depende do número quântico n! 
http://quells.github.io/QuantumWells/infinite_well.html 
E = Enf -Eni = h 
Energia do fóton emitido por uma 
transição eletrônica: 
98 
Densidade de Probabilidade para o Potencial Infinito 
Poço quadrado 
  






L
xn
sen
L
xn


2
http://www.falstad.com/qm1d/
Princípio da Correspondência de Bohr: 
 
 No limite dos números quânticos muito elevados, os resultados da física 
quântica tendem para os resultados da física clássica. 
 As energias associadas a estas funções são dadas por: 
 O sistema pode passar de um estado n para um n’, 
de energia menor, emitindo um fóton de freqüência: 
m
k
E
2
)( 2

2
2
222
82
n
mL
h
m
k
E nn 









'nn EEEh  
E1 1 
4E1 2 
9E1 3 
16E1 4 
25E1 5 
L
n
kn


102 
103 
10
4 
10
5 
A Partícula em uma Caixa 
Algumas propriedades das soluções: 
• Com o aumento de n aumenta também o número de nós da função de 
onda, a sua curvatura e portanto sua energia cinética. 
• O valor esperado do momento linear é zero para as soluções (estado 
estacionário). 
• Como n não pode ser zero, a energia mínima do sistema é maior que 
zero (energia do ponto zero). 
• A separação de níveis de energia adjacentes é dada por 
 O sistema pode passar de um estado n para um n’, de energia menor, emitindo 
um fóton de frequência: 
 O estado de energia mais baixa é chamado de estado 
fundamental. 
'nn EEEh  
Pode também 
transicionar para 
um estado de 
energia maior 
absorvendo um 
fóton. 
E1 1 
 E2 2 
 E3 3 
 E4 4 
E 
E1 1 
 E2 2 
 E3 3 
 E4 4 
E 
Normalização da Função de Onda 
 A probabilidade de encontrarmos uma partícula, descrita por (x), em um ponto 
qualquer do espaço (com x entre - e + ) deve ser igual a um. Portanto, devemos 
ter: 
Esta é a condição de normalização da função de onda. 
No caso de uma partícula no interior de uma caixa, por exemplo, obtemos: 
 A condição de normalização é o que nos permite determinar An. 
    






L
xn
senAxksenAx nnnn


  1
2



xdx
10
9 
11
0 
11
1 
Dos slides anteriores temos: 
Que integrando fornece: 
11
2 
11
3 
Devemos ter: 
Portanto, temos: 
  1
2
0
2
2






 


dx
L
xn
senAxdx
L
n


  






L
xn
sen
L
xn


2
L
An
2

  






L
xn
sen
L
xn


22
2
222
82
n
mL
h
m
k
E nn 









50
67
21031
234
1
1029,7
1039,4
]10[]1011,9[8
]1063,6[


















mkg
Js
E
eVJE 63,371002,6 181 

h
EE
EEh nnnnnnnn
'
''' )(

  
)(
1
'
'
'
' nn
nn
nn
nn EE
hc
ch
EE



 



2
2
222
82
n
mL
h
m
k
E nn 









n 
n' 
Como: μmeV24,1mJ102 25  hc
13 1,24/(300,8) µm  4,12 nm 
23 1,24/(188,0) µm  6,60 nm 
12 1,24/(112,8) µm  11,0 nm 
Energia de Ponto Zero 







2
2
1
8mL
h
E
A energia do estado fundamental acontece para n =1 
Estados confinados não podem ter n = 0 pois isto daria n(x) = 0 , 
ausência de elétrons no poço todo. 
Sistemas confinados não podem ter energia zero, existe sempre uma 
energia mínima, chamada energia de ponto zero 
118 
MC vs. MQ 
• F=ma; 
• H = T + V; 
• Posição e momentum são conhecidos 
o tempo todo; 
• Energia é uma finção contínua de x e 
p; 
• Ondas e pertículas tem tratamento 
distinto; 
• Deterministica; 
• Comportamento predomina no 
mundo macroscopico; 
 
 H = T +V; 
 Princípio da incerteza ∆x∆p≧h/4π; 
 Energia é uma função quantizada de x e 
p; 
 Ondas e partículas tem tratamento 
unificado; 
 Ψ(x)2 é a densidade de probabilidade de 
encontrar a partícula; 
 Comportamento predomina no mundo 
microscópico; 
Diferenças entre o OH Quântico e 
Clássico 
• Energia do ponto zero igual a 1/2 ℏω; 
• Para n=1 a densidade de probabilidade é máxima em x=0; 
• Energia é quantizada em níveis igualmente espaçados; 
• Valor da densidade diferente de zero na região classicamente proibida. 
119 
O Espectro Eletromagnético 
Lei de Wien 
Frequências Fundamentais 
Lei de Wien 
Modelo Mecânico-Quântico do Átomo 
 Bohr contribuiu significativamente para nossa compreensão dos átomos, e 
sua proposta de que energia de um elétron em um átomo é quantizada 
permanece válida. Entretanto, não fornece uma descrição completa do 
comportamento eletrônico nos átomos; 
 
 Devido ao Princípio da Incerteza, não é apropriado imaginar o elétron 
movendo-se ao redor do núcleo numa órbita bem definida, do modo como 
propunha o modelo de Bohr; 
 
 O trabalho de Schrödinger forneceu uma descrição mais apropriada do 
átomo em termos da mecânica quântica. É o modelo atômico atualmente 
aceito e que veremos a seguir! 
122 
 Por se tratar de um problema em 3 dimensões, 
teremos 3 números quânticos associados aos 
estados estacionários; 
 
 Os números quânticos do problema da partícula 
na caixa estavam associados às 3 direções 
cartesianas. O problema do hidrogênio possui 
uma simetria diferente (simetria esférica), e o 
tratamento matemático requer uma 
transformação de coordenadas cartesianas para 
coordenadas esféricas. Isso faz com que cada 
número quântico tenha um significado especial, 
como veremos a seguir. 
Coordenadas 
Esféricas Polares 
Átomo de Hidrogênio 
123 
124 
125 
A equação de onda Schrödinger em três dimensões introduz três números que 
quantizam a energia: 
 
 
 
 
A mesma energia pode ser obtida para diferentes conjuntos de números 
quânticos. 
Um estado quântico é dito degenerado quando existe mais de uma função de 
onda para uma dada energia. 
Degenerescência resulta de propriedades particulares da função de energia 
potencial que descreve o sistema. Uma perturbação na energia potencial 
pode remover esta degenerescência. 
Estados degenerados 
)(
8
22
2
2
, yxnn nn
mL
h
E
yx

E1,2 = E2,1 
126 
Estados degenerados 
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Particle2D.svg
Elétron numa caixa bidimensional 
No confinamento 2D, os estados estacionários dependem de 2 números 
quânticos (n , l) em função de três coordenadas espaciais (px , py , pz). 
Exemplo: onda numa membrana (p. ex. na superfície de um tambor) 
127 
No confinamento 3D, os estados estacionários dependem de 3 números 
quânticos (n , l , ml) em função de três coordenadasespaciais (px , py , pz). 
Elétron numa caixa tridimensional 
128 
p : operador do momento. 
Assim, a equação de onda de Schrödinger tridimensional fica: 
Elétron numa caixa tridimensional 
129 
Se a caixa é um cubo: 
Mais de uma função de onda podem ter a mesma energia (estados 
degenerados). 
 
Exemplo: Tente (10, 4, 3) e (8, 6, 5). 
 
Elétron numa caixa tridimensional 
130 
A verificação experimental sobre a existência de estados estacionários no átomo 
de hidrogênio é através de experimentos de espectroscopia. Neles, átomos de 
hidrogênio absorvem ou emitem fótons cuja energia é igual a diferença entre os 
níveis. 
Espectroscopia 
131 
Espectroscopia 
132 
Estrutura do Átomo de Hidrogênio 
 Estado fundamental: n = 1 l = 0 ml = 0 
 Primeiro estado excitado: n = 2 l = 0 ml = 0 
 ou 
 n = 2 l = 1 ml = 0, ±1 
 (todos com a mesma energia) 
 Ionização: H → H+ + e- 
+ energia 
+ energia 
+ energia 
+ energia 
133 
Orbital: densidade de probabilidade de se encontrar o elétron 
 
O modelo da mecânica quântica não se 
refere a órbitas porque o movimento do 
elétron em um átomo não pode ser 
medido ou localizado com precisão 
(princípio da incerteza de Heisenberg). 
Órbita ou camada 
(modelo de Bohr) 
Orbital (modelo da mecânica 
quântica) = 
134 
Orbitais Atômicos 
a. Vamos supor um sistema com 
um próton e um elétron; 
 
b. O próton cria uma armadilha 
para o elétron, mantendo-o 
confinado; 
 
c. Qualquer tipo de 
confinamento faz surgir 
estados estacionários. 
135 
O poço potencial tridimensional do átomo de hidrogênio é mais complexo do 
que os tratados anteriormente (por exemplo, caixa retangular). A energia 
potencial U(r) resulta da interação de Coulomb entre um único elétron e 
próton no núcleo. 
 
 
 
 
Esse poço em potencial não possui paredes bem definidas. O potencial é 
somente função da distância radial r. Significa que esse é o potencial central 
U(r) Surpreendentemente, resolvendo a equação de Schrödinger para átomo 
de hidrogênio, descobriremos que os valores de energia são dados pela 
mesma fórmula que a resultante do modelo de Bohr. 
136 
• As funções de onda (funções próprias) do átomo de hidrogênio 
representam as soluções da equação de onda de Schrodinger para um 
potencial Coulomb (eletrostático) ou campo de força. Prevemos o elétron 
carregado negativamente como preso dentro do campo de força da 
atração eletrostática com o núcleo carregado positivamente. 
• Essas funções de onda são os níveis de energia ou orbitais do elétron no 
átomo, ou seja, eles descrevem os possíveis estados do elétron. A energia 
do elétron depende principalmente de quão perto do núcleo é e, é dado 
pelo número quântico principal, n = 1, 2, 3, ... (um elétron de energia mais 
alta sobe no poço e fica mais distante do núcleo). 
• Os autovalores correspondentes a essas soluções representam a energia 
de um elétron no estado correspondente descrito pelo função de onda e 
depende principalmente de n. 
137 
Em geral, as funções de densidade de probabilidade e consequentemente as 
propriedades do sistema dependem do tempo. 
 
Transições espectroscópicas são processos onde as propriedades internas do sistema 
sofrem mudança com o tempo (normalmente muito curto) durante cada processo. 
 
Nestes casos, para entender a dinâmica dos processos, devemos resolver a equação 
de Schrödinger dependente do tempo. 
 
Entretanto, para certos estados nos quais as propriedades do sistema dadas pela 
densidade de probabilidade ψ*ψ forem independentes do tempo, então tais estados 
são chamados de estados estacionários. 
 
Um sistema físico em seu estado de mínima energia (ex. estado fundamental de 
uma molécula) está em um estado estacionário. 
Os estados estacionários são extremamente importantes na descrição quântica da 
natureza, não só por representarem os estados que têm energia definida, mas 
também porque o conjunto dos autoestados do hamiltoniano, que são os estados 
estacionários, é completo. 
 
 
 Isto significa que qualquer estado pode ser representado como uma combinação 
linear de estados estacionários. 
 
 
A determinação dos estados estacionários de um determinado hamiltoniano é 
feita normalmente resolvendo-se a equação de Schrödinger independente do 
tempo. 
140 
Representam os estados estacionários dos elétrons ligados ao 
átomo e definem a região no espaço (3D), na qual é distribuida 
a probabilidade de se encontrar estes elétrons após ser 
realizada uma medida. 
Jalaladim Maomé 
Rumi ​ 
(1207-1273)​​​ 
Look at me as many times as you 
wish, but you won’t get to know me! 
Since you have last seen me, 
I’ve changed a hundred times! 
Rumi 
 n está associado a energia do elétron e define a sua 
“proximidade” do núcleo 
l está associado ao momento angular do elétron e 
define o “tipo” de forma do orbital 
ml está associado à projeção do momento angular 
(número quântico magnético) do elétron e define a 
“orientação” do orbital no espaço. 
141 
Números quânticos 
 Está relacionado à distância média 
entre o elétron e o núcleo, ou seja, 
ao “tamanho” do orbital; 
 
 Quanto maior for n, maior a distância 
média entre o elétron e o núcleo, 
portanto menor será a força que 
“prende” o elétron ao átomo; 
 
 Portanto, n indica o NÍVEL 
ELETRÔNICO. 
,...3,2,1n
142 
Número quântico principal (n) 
No caso do átomo de hidrogênio, n está diretamente relacionado aos níveis 
de energia do elétron: 
,...3,2,1
2
H  n
n
hcR
En
estados 
excitados 
estado 
fundamental 
ionização 
143 
 Está relacionado ao formato do orbital; 
 
 l indica o SUBNÍVEL ELETRÔNICO; 
 
 O número de subníveis em cada nível é dado por: 
1,...,2,1,0  nl
0 
1 
2 
3 
s 
p 
d 
f 
l 
nome do 
subnível 
144 
Número quântico angular (l) 
Orbitais s 
145 
Orbitais Atômicos 
Orbitais p 
146 
Orbitais d 
147 
Orbitais f 
148 
http://falstad.com/qmatom/ 
 Está relacionado à orientação espacial do orbital dentro de um determinado 
subnível; 
 
 Os orbitais individuais que compõe um determinado subnível são dados por: 
llllml  ,...,2,1,
Exemplo: 
se l = 1 (subnível p), 
há 3 valores de m (+1,-1,0) e portanto 3 
orbitais (px, py, pz). 
149 
Número quântico magnético (ml) 
níveis subníveis orbitais 
150 
151 
 De acordo com a Mecânica Quântica, o 
elétron possui dois estados de spin 
diferentes; 
 
 O spin do elétron está relacionado ao 
seu momento angular (rotação em 
torno do próprio eixo); 
 
 Cargas em rotação geram campo 
magnético, portanto os elétrons 
responderão de forma diferente à 
aplicação de um campo magnético, 
dependendo de seu valor de spin. 
152 
Número quântico do spin do elétron (ms) 
153 
Número quântico do spin do elétron (ms) 
154 
O conjunto de número quânticos associados a um elétron pode ser 
entedido como um “endereço”. Devido a característica dos elétrons, que 
são férmions, não existem dois eletrons no Universo que ocupem 
exatamente os mesmos números quânticos. 
155 
 Elétrons em átomos multieletrônicos ocupam orbitais semelhantes aos 
do hidrogênio, porém suas energias são diferentes; 
 
 O núcleo de um átomo multieletrônico possui carga mais alta que a de 
um núcleo de hidrogênio, portanto atrai os elétrons mais fortemente, 
diminuindo sua energia; 
 
 Num átomo multieletrônico, os elétrons se repelem, o que aumenta sua 
energia. 
Estrutura de Átomos Multieletrônicos 
Energia 
cinetica dos 
elétrons 
Interações de 
Coulomb 
Interação 
e– – e– 
Interação 
e– – núcleo 
Interação 
núcleo – núcleo 
Energia 
cinética do 
núcleo 
Interações de 
Coulomb 
Princípio da Construção 
No estado fundamental de um átomo 
multieletrônico, os elétrons tendem a ocupar 
preferencialmenteos orbitais de menor energia. O 
número máximo de elétrons que pode ocupar um 
orbital é limitado de acordo com o Princípio da 
Exclusão de Pauli: 
Energias relativas dos orbitais atômicos 
156 
Wolfgang Ernst Pauli ​ 
(1900-1958) 
Nobel (Física): 1945 
Estrutura de Átomos Multieletrônicos 
“Dois elétrons de um mesmo átomo não 
podem ter os quatros números quânticos 
iguais.” 
Princípio da exclusão de Pauli 
i. Cada orbital pode ser 
ocupado por no máximo dois 
elétrons; 
 
ii. Quando dois elétrons ocupam 
o mesmo orbital, seus spins 
devem estar emparelhados. 
 
emparelhados () 
desemparelhados ( ou ) 
mS = + ½ mS = - ½ 
mS = + ½ mS = + ½ 157 
Estrutura de Átomos Multieletrônicos 
Energias relativas dos orbitais atômicos 
Princípio da Construção 
Se diversos orbitais com a mesma energia estão disponíveis, 
a configuração eletrônica segue a Regra de Hund: “Se um 
subnível contém mais de um orbital, os elétrons ocuparão 
orbitais vazios antes de se emparelharem em um deles. 
Na ausência de campo magnético, as energias de orbitais 
pertencentes ao mesmo subnível são iguais.” 
158 
Friedrich Hermann 
Hund​ 
(1896-1997) 
Estrutura de Átomos Multieletrônicos 
Distribuição eletrônica 
Postulados de Bohr 
• 1º - O elétron rotaciona em torno do 
núcleo obedecendo à mecânica clássica, 
executando um MCU 
 
e 
Fe 
• Sabemos dos postulados de Bohr que a 
interação eletrostática núcleo/elétron atua 
como força centrípeta no movimento circular. 
Sendo e a carga do elétron, a carga do núcleo 
será (Z.e) onde Z é o numero atômico do 
átomo: 
1
6
0 
• Esse resultado é muito importante, e nele 
concluímos que a energia da órbita é uma 
função do seu Raio de órbita. 
1
6
1 
• 2º - Aos elétrons, só são permitidas as 
órbitas com momento angular múltiplo de 
r = 5,2917 . 10 -11 m 
Postulados de Bohr 
ℎ
2𝜋
= ℏ 
Postulados de Bohr 
• 3º - Nessas órbitas, o elétron não emite radiação 
eletromagnética 
4º - Um elétron, ao passar de um nível 1 para o 
nível 2, emite um fóton de energia igual a E = 
E2 - E1 
Energia do elétron 
no nível n para o átomo de H 
 
En = - 13,6 eV 
 n2 
Níveis de Energia 
-0,85 
-1,51 
 
 
-3,40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-13,6 
E
n
er
g
ia
 (
eV
) 
n4 
n3 
 
 
n2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n1 
0 n 
 Calcule o comprimento de onda da radiação emitida quando o elétron do átomo de 
hidrogênio efetua uma transição de ni=2 para nf=1. 
nmA
m
eVeV
hc
EE
hc
EE
hc
hfE
o
1221220
10.22,1
6,134,3
)10.3)(10.14,4(
1
6,13
4
6,13
7
815
12
12













Níveis de Energia (Exemplo) 
ASPECTOS HISTÓRICOS 
CORES 
CIÊNCIAS / NATUREZA 
ARTES / CULTURA 
TECNOLOGIA 
Experimento de Newton (1665) 
1704 publica Opticks (teoria corpuscular da luz) 
Estudos dos Raios de Luz 
TEORIA ONDULATÓRIA 
1690: Christian Huygens / Frentes de Onda 
1802: Thomas Young / Interferência 
1850: Foucault / velocidade da luz e polarização (meio:eter) 
1860: Maxwell / Teoria eletromagnética da luz (vácuo) 
1887: Michelson-Morley (inexistência do eter) 
1905: Einstein / c=constante (independente do referencial) 
TEORIA QUANTICA 
1901: Planck / Radiação de corpo negro (E = nh) 
1905: Einstein / Efeito fotoelétrico ( = h) 
Bioquímica do 
ciclo do Retinal 
Fotoisomerização 
SISTEMAS GERANDO CORES 
PURAMENTE 
FÍSICO 
Dispersão 
Espalhamento 
Interferência 
Difração 
Birrefringência de cristal líquido de DNA 
Arco íris 
CORES ENVOLVENDO PROCESSOS 
FOTOFÍSICOS E FOTOQUÍMICOS 
1) Incandescência 
2) Excitação de gases e vapores 
3) Cores em metais e ligas 
4) Cores em semicondutores 
5) Centros de cor 
6) Cores em complexos inorgânicos 
7) Cores em compostos orgânicos 
 
Teoria de bandas 
Teoria de orbital 
molecular 
2 – 7 : ENVOLVEM TRANSIÇÕES ELETRÔNICAS 
Cores em metais, semicondutores e centros de cor 
Teoria de bandas 
1) eficiência de absorção e re-emissão independente 
de  (formam espelhos): Prata, Cromo, e Aluminio 
2) Reflectividade depende de  (metais com cor): 
Ouro, Cobre ... 
 
Diamante: puro incolor (gap 5.4 eV) 
Dopado/impuro 
- Nitrogênio / doador (gap 2.2 eV) / Amarelo 
- Boro / Receptor (gap 0.5 eV) / Azul 
Diamantes irradiados 
Topázio: Natural /  irradiado / tratamento térmico 
Centros de Cor 
Cores em Compostos e Complexos Inorgânicos 
a) Efeito de Campo Ligante (LF , dd) 
b) Transferência de Carga (CT) 
c) Centrada no Ligante (LC) 
Al2O3 / Cr
3+ (Rubi) 
Transferência de Carga (IT e MLCT) 
Al2O3 / Fe
2+: Ti4+ 
(Safira) 
2+
N
N
N
N
N
N
Ru
200 300 400 500 600
0
1
2
A
b
so
rb
ân
ci
a
 / nm
N N(NH3)5Ru(II) Ru(III)(NH3)5 IT = INTERVALÊNCIA 
LC (*) 
MCLT 
Corantes Orgânicos 
N
O NH2
+
(H5C2)2N
N
+
C2H5
C2H5
C OH
O
NH5C2
C2H5
O
N
+
H2O
N
H2N
N
+
CH3
NH2
H3C
H2N
Safranina Rodamina B 
Azul do Nilo Violeta de cresila 
N
N
HH
9-amino acridina 
Transições * c/ alta absortividade molar 
VARIAÇÃO ESPECTRAL EM 
SISTEMAS MOLECULARES 
1) Efeito de substituintes no cromóforo 
2) Efeito de solvente / equilíbrio ácido-base 
3) Processos de associação (autoagregação / 
complexos CT bimoleculares) 
Metais e semicondutores: Podemos variar a cor ??? 
N
CH CH2
O
2
N NO
2
O
Efeito Quântico 
de tamanho 
Distância internuclear 
Fundamental 
S1 
v 0 
v 1 
v 2 
v 3 
v1 0 
v 11 
v 12 
v1 3 
Transições Eletrônicas do estado fundamental para o excitado 
Área sombreadas mostram 
a probabilidade de onde o 
elétron estaria se estiver 
na mesma faixa vibracional 
Transições mais favorecidas 
ocorrem da áreas mais 
sombreadas do estado 
fundamental para áreas 
mais sombreadas do 
estado excitado. 
Probabilidade 
 Alta 
 
 Alta 
 
 Media 
 
 Baixa 
E 
Distância internuclear 
Fundamental 
S1 
v 0 
v 1 
v 2 
v 3 
v1 0 
v 11 
v 12 
v1 3 
Probabilidade 
Comprimento de onda, nm