Cinemática, dinâmica e equilíbrio de motores

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Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Conteúdo: 
- Cinemática do mecanismo biela manivela. Conceitos fundamentais e designações 
- As relações cinemáticas no mecanismo da biela e manivela central 
- As relações cinemáticas no mecanismo da biela e manivela descentralizado 
- Dinâmica do mecanismo biela manivela 
- Redução de massa 
- Forças que atuam sobre o mecanismo biela manivela 
- Ordem de funcionamento do motor 
- Equilibrado de motor de um cilindro 
- Equilibrado de motores em línea 
- Equilibrado de motores em V 
- Uniformidade de giro do motor 
- Cálculo dinâmico de um motor de combustão 
 
 
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Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
Cinemática do mecanismo biela manivela. Conceitos fundamentais e designações. 
 
Figura 153. Mecanismo biela manivela do motor alternativo 
 
O mecanismo biela manivela do motor alternativo (Fig. 153,a), constituído pela manivela 1, a biela 2 e 
o pistão 3, serve para transformar o movimento alternativo do pistão em movimento de rotação da 
manivela. 
A manivela é um dos cotovelos do virabrequim do motor e está formada pelos mancais de apoio 4, que 
giram nas bronzinas, e pelo mancal de biela 5, unido rigidamente aos mancais de apoios pelos dois 
braços 6 da manivela. 
Existem estruturas de motores nos quais entre dois mancais de apoio se encontram duas manivelas. Na 
prolongação dos braços estão os contrapesos 7. A biela está articulada por sua cabeça com o mancal de 
biela da manivela e por seu pé com o passador do pistão. 
De acordo com os diferentes esquemas estruturais se distinguem os seguintes tipos de mecanismos 
biela manivela: 
1. Central ou axial (Fig. 153,a), no qual o eixo do cilindro corta o eixo do virabrequim. 
2. Descentrado (Fig. 153,b), no qual o eixo do cilindro nao corta o eixo do virabrequim. O eixo do 
cilindro do motor com mecanismo de biela manivela descentrado está deslocados com relação ao 
eixo do virabrequim, na direção da rotação, uma magnitude e (descentrado). O valor de este 
deslocamento não supera o 10% do deslocamento do pistão. 
3. Mecanismos viela manivela em V 
A velocidade angular do virabrequim se define como a primeira derivada do deslocamento angular com 
relação ao tempo. Para velocidades constantes, pode-se expressar em função das rpm (n): 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡≈==
s
radnn
dt
d 1047,0
60
2πϕω 
O deslocamento angular da manivela quando ω = const., se determina por: 
 
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[ ]radtωϕ = 
ou: 
[ ]onttnt 6
30
180180 =⋅== ππωπϕ 
A velocidade circular do eixo do mancal de biela é: 
Rva ω= 
Ao girar a manivela se produz uma aceleração centrípeta, de magnitude constante e em direção ao centro 
seguindo o radio da manivela: 
Ra
2ωϖ = 
 
Cinemáticas no mecanismo da biela e manivela central. 
Deslocamento do pistão de um mbm central 
 
 
Curso SAE Brasil 
 
Quando o virabrequim gira um ângulo α, o pistão se desloca do PMS a magnitude: 
Se = BoB = BoO - (OC + CB), (1) 
 
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onde: 
BoO = L + R, (2) 
OC = OA cosα = R cosα, (3) 
CB = AB cosβ = L cosβ. (4) 
Se tem que: 
Se = L + R – (R cosα + L cosβ). (5) 
Tirando R do parêntesis obteremos que: 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+= βα coscos1
R
L
R
LRSe , (6) 
considerando que 
L
R=λ , (7) 
e substituindo (7) em (6) se tem: 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+= βλαλ cos
1cos11RSe . (8) 
Para simplificar a equação obtida, podemos expressar cosβ em função do ângulo α. Pelos 
triângulos ACB e ACO se tem que: 
CA = R senα = L senβ, (9) 
de onde: 
senβ = λ senα.. (10) 
De trigonometria se sabe que: 
sen2β+ cos2β= 1, (11) 
pelo que: 
ββ 2sen1cos −= . (12) 
Substituindo (10) em (12): 
αλβ 22 sen1cos −= . (13) 
Substituindo (13) em (8): 
 
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⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−+= αλλαλ
22 sen11cos11RSe . (14) 
 A equação (14) é a dependência exata do deslocamento do pistão com o ângulo de giro do 
virabrequim. A dupla derivada desta expressão, necessária para calcular a aceleração do pistão, resulta 
muito grande e incomoda para sua utilização. Por esse motivo se simplifica a equação substituindo-a por 
uma expressão aproximada, porem, o suficientemente exata. Para isso a expressão 
( )212222 sen1sen1 αλαλ −=− , (15) 
que está na equação (14), se desenvolve em serie com o binômio de Newton. 
 Para casos gerais a serie binomial tem a forma: 
( ) ( ) ( )( ) ......
321
21
21
1 33221 +⋅⋅
−−−⋅
−+−=− −−− bannnbannbnaaba nnnnn (14) 
 Neste caso: a =1, b = λ2 sen2α e n = ½, pelo que: 
( ) ( ) αλαλαλ 44222122 sen
21
12
1
2
1
sen
2
11sen1 ⋅
−+−=− (15) 
de onde:
( ) ( )
8
10.125
2
25.0
2
2
1
2
1
21
12
1
2
1
=−=−=−=⋅
−
. 
 Observa-se que nas condições mais desvantajosas, λ = 1/3 e α = 90o, o terceiro termo desta serie 
será: 1/8(1/3)4 = 0,00154 e o segundo 1/2(1/3)2 = 0,055555. Então, o segundo termo representa um 5% do 
primeiro e o terceiro um 0.154 %. 
 Pelo tanto, com suficiente aproximação, se podem tomar os dois primeiros termos só: 
( ) αλαλ 222122 sen
2
11sen1 −=− (16) 
 Substituindo a eq. (16) em (14): 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−+= αλλαλ
22 sen
2
111cos11RSe . (17) 
 É muito útil simplificar ainda mais a expressão de Se. Para isso podemos deixar ela em função só 
de cosα: 
 
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de motores 
Lembrando de trigonometria que o sen quadrado da metade de qualquer ângulo é: 
2
cos1
2
sen 2 αα −= , (18) 
então, para todo o ângulo, o sen quadrado do ângulo completo teria a mesma forma porem o cos seria para 
o dobro de dito ângulo: 
2
2cos1sen 2 αα −= , (19) 
pelo tanto, substituindo (19) em (17): 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−+−+=
2
2cos1
2
111cos11 2 αλλαλRSe (20) 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−+−+=
2
2cos
2
1
2
111cos11 2 αλλαλRSe (21) 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+−+=
4
2cos
4
111cos11 22 αλλλαλRSe (22) 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+−+= αλλλαλ 2cos4
1
4
11cos11RSe (23) 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−−+= αλλλαλ 2cos4
1
4
11cos11RSe (24) 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+= αλαλ 2cos
4
cos
4
1RSe (25) 
Que pode ser representada da forma seguinte: 
αλαλ 2cos
4
cos
4
1 RRRSe −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += . 
A Figura a seguir se dão as curvas de deslocamento do pistão e seus componentes, assim como o 
deslocamento do pistão que corresponde a cada grau de giro do virabrequim para diferentes valores de λ: 
 
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de motoresComprovemos se a equação aproximada (25) é válida: 
Quando α = 0o, cos 0o = 1, pelo tanto 0
4
1
4
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−+= λλRSe . 
Quando α = 90o, cos 90o = 0 e cos 180 = 0, pelo tanto ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
2
1 λRSe . 
Quando α = 180o, cos 180o = -1 e cos 360 = 1, pelo tanto 
RRRSe 21111
4
1
4
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−+= λλ
λλ . 
Por conseguinte, quando girar o virabrequim os primeiros 90o, o deslocamento do pistão desde seu 
PMS é consideravelmente maior que quando gira os seguintes 90o (α = 180o). Isto se explica porque o 
pistão se movimenta influenciado por duas causas: 
• o deslocamento da biela ao largo do eixo do cilindro 
• o desvio do eixo da biela do eixo do cilindro. 
 
Velocidade do pistão 
Com exatidão suficiente para os cálculos, a equação da velocidade do pistão ve , se obtém, 
derivando com relação ao tempo a equação (25): 
αλαλ 2cos
4
cos
4
RRRRSe −−+= 
 
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⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−−−=⋅== α
αλαα
λ
α
αααωα
α
d
dR
d
Rd
d
dR
d
dR
d
dSe
dt
d
dt
dSeve
2cos
4
2cos4coscos 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=⋅== αλαωα
αλ
α
αωα
α 22
4
2cos
4
cos senRRsen
d
dR
d
dR
d
dSe
dt
d
dt
dSeve 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += αλαω 2
2
sensenRve . (26) 
αλωαω 2
2
senRsenRve += 
Na figura a seguir se apresentam as curvas da velocidade do pistão e seus componentes. A 
velocidade do pistão se considera positiva quando o pistão desce. 
 
Da equação (26) se deduz que quando α = 0o (PMS) e α = 180o (PMI) ve = 0. Lógico, estes valores 
de ângulos correspondem aos PMS e PMI respectivamente, onde o pistão se detém. Já para α = 90o, ve = 
ωR. Esta seria a velocidade máxima do pistão?. A resposta é NÃO. Para determina o ângulo 
correspondente à velocidade máxima do pistão, se deriva a equação (26) com relação a α e se iguala a 
zero: 
( ) 02coscos
maxmax
2 =+=
ee vv
e R
d
dv αλαωα (27) 
Dos cálculos se deduze que: 
 
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quando 33,0
3
1 ==λ , ove 5,73max =α e ωRve 05,1max ≈ 
quando 25,0
4
1 ==λ , ove 75max =α e ωRve 03,1max ≈ 
quando 01 =∝=λ , 
o
ve
90
max
=α e ωRve ≈max 
 
A velocidade media do pistão, que é um parâmetro de classificação, é um dos fundamentos da 
teoria da semelhança dos motores. Este parâmetro se utiliza com freqüência para apreciar a qualidade do 
motor. 
Durante 1 minuto o virabrequim do motor da n voltas e o pistão recorre um caminho igual a 2Sn, 
por tanto: 
.2
3060
2 ωπ R
SnSnv
mede
=== 
Para os motores de automóvel [ ]smv
mede
/1610÷= . Nos motores dos automóveis de carreira a velocidade 
media do pistão alcança 22-36 m/s a 6000 - 14000 rpm. 
 
Aceleração do pistão 
Com exatidão suficiente para os cálculos, a equação da aceleração do pistão se pode obter 
derivando a equação (26) com respeito ao tempo t: 
( )αλαωα
αϖ 2coscos2 +=⋅== R
d
dv
dt
d
dt
dv ee
e . (28) 
Na Figura a seguir se representa a curva da aceleração do pistão e seus componentes (primeira e 
segunda harmônica) em função do ângulo de giro do virabrequim. 
 
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de motores 
 
A aceleração do pistão é positiva se seu vetor esta dirigido para o eixo do virabrequim. No PMS a 
aceleração é sempre positiva e no PMS é negativa independentemente da direção em que se mova o 
pistão. No instante em que a biela e a manivela formam um ângulo reto a aceleração do pistão é nula. 
Os valores extremos da aceleração do pistão se podem encontrar pela equação (28), igualando a 
zero a sua derivada: 
( ) ( ) .0cos4122 =+−=+−= αλαωαλαϖ sensensen
dt
d e 
Dos cálculos se deduz que quando: 
ϕ=0o ( )λωϖ += 12max Re ; 
quando ϕ=180o ( )λωϖ −−= 12.min Re ; 
e quando λϕ 4
1cos −= .
8
12 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−= λλωϖ Re 
Nos motores de ciclo Otto de automóvel a aceleração do pistão chega a 22.000 m/s2, e nos motores 
dos automóveis de competição, até 36.000-93.000 m/s2 a 6.000-14.000 rpm. 
Para acelerar os cálculos dos parâmetros cinemáticos do mecanismo de biela e manivela central, os 
valores das magnitudes ( )β
βα
ω
ω
cos
;
2
+sene
RR
S ee , de acordo com o ângulo de giro do virabrequim α para 
diferentes valores de λ, se determinam por umas tabelas especiais. 
 
 
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de motores 
 
Cinemáticas no mecanismo da biela e manivela descentralizado 
 
Introduzindo o descentralizado se consegue: 
1) Diminuir a pressão do pistão sobre a parede do cilindro durante o percurso de trabalho e aumentar a 
dita pressão durante o percurso de compressão, o que contribui para que o desgaste do motor seja mais 
uniforme; 
2) Um pequeno aumento do percurso do pistão, que permite aumentar a cilindrada do motor e por 
conseguinte, sua potencia; 
3) Diminuir a velocidade do pistão nas proximidades do PMS, com o que melhora o processo da 
combustão a volume constante; 
4) Aumenta a distancia entre o virabrequim e o comando de válvula, o que aumenta também o espaço 
necessário para que a cabeça da biela possa girar sem dificuldade; 
5) Melhorar a distribuição dos gases e diminuir as deformações do carter do motor (este ultimo problema 
não esta todavia suficiente estudado). 
A medida que aumenta o número de revoluções do motor perdem importância algumas das 
vantagens indicadas, já que o trabalho de atrito depende consideravelmente do valor das forças de inércia, 
na qual não influencia o descentrado. 
Os motores com mecanismo de biela e manivela na qual o passador do pistão esta deslocado com relação 
ao eixo deste (estando os eixos do cilindro e do virabrequim situados em um mesmo plano) oferecem as 
mesmas vantagens que os motores em que este mecanismo esta descentrado. A descentralização deles é 
da ordem de 0,01 – 0,03 de seu diâmetro. 
Quando o valor desta descentralização é muito pequeno, o cálculo cinemático do mecanismo biela 
manivela descentralizado se pode fazer pelas mesmas formulas que o do mecanismo central. 
Na continuação se utilizará as seguintes designações: ϕ, ângulo de rotação da manivela, a partir da 
direção do eixo do cilindro no sentido horário de rotação do virabrequim; ω, velocidade angular do 
virabrequim, que se adota constante, ω = dϕ/dt; β, ângulo que forma o eixo da biela, no plano de seu 
movimento, com o eixo do cilindro; S, percurso do pistão, S=2R [onde R é o raio da manivela; L, a 
comprimento da biela, L=R/λ (onde λ é um parâmetro adimensional)]; e, deslocamento do plano do 
movimento do eixo do passador com relação ao eixo do virabrequim, e=kR (onde k é o descentralizado 
relativo). 
 
 
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Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Fig. 216. Esquema dos mecanismos biela-manivela: a – central; b – descentralizado. 
 
Os mecanismos biela-manivela se caracterizam por dois parâmetros adimensionais: a relação entre 
o raio da manivela e o comprimento da biela 
30,0...25,0==
L
Rλ 
e o descentralizado relativo 
15,0...0==
R
ek . 
O cálculo cinemático do mecanismo biela-manivela se realiza fundamentalmente para determinar 
o deslocamento, a velocidade e a aceleração do pistão. 
O deslocamento do pistão S, desde seu ponto de partida A’ no PMS para o caso geral de um 
mecanismo descentralizado (Fig. 216, b) é ( ) .coscoscos'' 1 ϕβϕ RLRLDEADEAAAS −−+=−−== (258) 
A obliqüidade β da biela pode encontrar-se na equação 
eLsenRsenCB +== βϕ , 
ou ( ) ( )ksenLesensen −=−= ϕλϕλβ / , (259) 
e 
( ) .1cos 22 ksen −−= ϕλβ 
 
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Cinemática, dinâmicae equilíbrio 
de motores 
Tomando em consideração os pequenos valores dos parâmetros λ e k, a expressão (259) é 
conveniente desenvolver-la em uma série segundo expoentes do pequeno parâmetro λ2 e limitar-se aos 
termos de ordem λ2 e kλ2: 
( ) ( ) ( ) .2cos1
4
1
2
1...
82
1cos 2
2
22
2
4
4
2
2
ϕλϕλϕλϕλϕλϕλβ senksenksenksenksen +−−=+−≈−+−−= .(260) 
Substituindo a equação (258) a expressão aproximada obtida (260) encontramos: 
( ) ( ) .2cos1
4
coscos 1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+−= ϕλϕλϕϕ senkRS (261) 
O ângulo ϕ1 correspondente a posição do pistão no PMS se fará a partir do triangulo A’EO: 
λλ
λϕ kk
RL
esen ≈+=+= 11 . 
 
Analogamente se determina o ângulo ϕ2 para o PMI. no triangulo A’’EO: 
.
12
λλ
λϕ kk
RL
esen −≈−−=−−= 
Com uma precisão salvo as magnitudes de segunda ordem incluídas λ2 e kλ 
,3,571
ok ⋅= λϕ 
oo k 3,571802 ⋅+= λϕ 
e .1coscos 21 == ϕϕ 
A carreira do pistão é 
( ) ( ) .2
2
12coscos
22
21 R
kRRLRLS ≈⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +≈−++= λϕϕ 
O deslocamento do pistão pode representar-se como a soma de dois componentes harmônicos – 
dos deslocamentos de primeira e segunda ordem: S=SI+SII. 
Com a precisão anteriormente desenvolvida, o primeiro harmônico é: ( ) ( )[ ],cos1cos1 ϕϕϕλϕ ∆−−=−−= RsenkRSI 
onde 
ok 3,57⋅=∆ λϕ . 
O segundo harmônico 
( ).2cos
4
ϕλλ −= RSII 
A magnitude do deslocamento do primeiro harmônico ∆ϕ é pequena e praticamente se pode 
depreciar. 
A velocidade do pistão é igual à derivada com relação ao tempo das expressões (258) e (261): ( ) ,cos2
2cos 1 II
ksensenRsenR
dt
d
dt
ds υυϕλϕλϕωβ
βϕωϕυ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+≈+=⋅= (262) 
onde 
 
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de motores 
( ) ( )
.2
2
;cos
ϕλωυ
ϕϕωϕλϕωυ
senR
senRksenR
II
I
=
∆−=−=
 
A velocidade do pistão se faz igual a zero nos pontos mortos, quer dizer, quando ϕ = ϕ1 e ϕ = ϕ2. 
Sendo ϕ igual a 90 e 270o, a biela realiza um movimento de deslocamento e a velocidade do pistão é igual 
a velocidade circular do eixo do mancal de biela do virabrequim (υ = ± u = ±Rω). Esta velocidade seria a 
máxima velocidade do pistão para λ = 0. O segundo harmônico υII que tem em conta a distancia finita da 
biela desloca a máxima velocidade υmax. na direção do PMS. Com a precisão adotada, a velocidade ( )2/1 2max λωυυ +== R para oo 3,5790 ⋅−= λϕ e oo 3,57270 ⋅+= λϕ . 
A velocidade media do pistão durante seu movimento entre os pontos mortos é 
30/. Snpm =υ . 
Derivando com respeito ao tempo a expressão (262) da velocidade do pistão, obteremos a 
aceleração 
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++=== β
ϕλβ
βϕωϕϕ
υυ
2
2
2
cos
cos
cos
cos
`
R
dt
d
d
d
dt
da 
( ) III aasenkR +=++≈ ϕλϕλϕω 2coscos2 
onde ( ) ( )ϕϕωϕλϕω ∆−=+= coscos 22 RsenkRaI ; 
.2cos2 ϕλωRaII = 
A aceleração máxima segundo seu valor absoluto ( ) 2.max 1 ωλ Ra += se alcança quando .λϕ k= A 
aceleração tende a zero naqueles pontos, nos quais a velocidade do pistão tem seu máximo valor. Para λ > 
0,25, perto do PMI quando ( )λϕ 4/1cos180 aro ±= aparecem dois extremos adicionais da aceleração. 
 
 
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Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Fig. 217. Construção das curvas com uma precisão salvo as magnitudes de segunda ordem: a- deslocamento do 
pistão; b- velocidade do pistão; c- aceleração do pistão 
 
As funções de deslocamento, velocidade e aceleração do pistão com respeito ao ângulo de giro da 
manivela é mais cômodo construí-las somando os harmônicos respectivos. Esta construção se ilustra na 
Fig. 217 para um mecanismo cujo valor de k=0 e com uma magnitude de λ mais elevada (λ = 0,4) para 
maior claridade. 
A influencia do descentralizado relativo k ≠ 0, com a precisão adotada, se refere somente ao 
deslocamento dos primeiros harmônicos SI, υI e a I em um pequeno ângulo ( )ok 3,57⋅=∆ λϕ . 
A cinemática da biela se determina por seu ângulo de rotação β, que integra a expressão (259). 
Diferenciando esta equação em relação ao tempo, obteremos a relação 
dt
d
dt
d ϕϕλββ coscos = , 
da qual se obtém a velocidade angular da biela 
 
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Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
( )ϕϕωλβ
ϕωλβω ∆−≈== cos
cos
cos
dt
d
b . 
A aceleração angular da biela será 
( ).
cos
cos
cos
2
3
2
2 ϕϕλωβ
βϕλβ
ϕλωωε ∆−−≈⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅−−== sensensen
dt
d b
b 
 
 
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Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Dinâmica do mecanismo biela manivela 
 
FORÇAS QUE ATUAM NO MECANISMO BIELA-MANIVELA CENTRALIZADO E 
DESCENTRALIZADO 
 
A análise das forças que atuam no mecanismo biela-manivela é indispensável para calcular a 
resistência mecânica das peças do motor e para determinar as cargas sobre as bronzinas. Esta análise se 
efetua para um determinado regime de funcionamento do motor. Em concordância com o método 
cinético-estático, ao calcular o mecanismo biela manivela do motor se consideram as cargas provenientes 
das forças de pressão dos gases no cilindro e as forças de inércia das massas em movimento, mesmo que 
as forças de fricção se depreciam. O caráter do motor se considera imóvel e se adota que o virabrequim 
gira com velocidade angular constante. Ademais, as forças de inércia das massas em movimento do 
mecanismo biela manivela se dividem em forças de inércia das massas com movimento alternativo (sub-
índice i) e forças de inércia com movimento giratório (sub-índice R). 
A pressão dos gases sobre o pistão pg=f(S) e, respectivamente, a força de pressão dos gases Pg = 
pgFp (onde Fp é a área do pistão) se determinam do diagrama indicado, a qual se constrói a partir dos 
resultados do cálculo térmico (que geralmente se faz para a potencia nominal e a velocidade de rotação 
respectiva). Para reconstruir graficamente este diagrama, obtendo o desenvolvimento em função do 
ângulo de rotação do virabrequim pg = f(ϕ), aplicando a equação (258) se calcula o deslocamento do 
pistão S e se traçam no diagrama desde o PMS (Fig. 218, a e b) os valores correspondentes a cada ângulo 
determinado (praticamente cada 15 ou 30o) de rotação do virabrequim. 
 
 
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18
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Fig. 218. Construção das curvas das forças que atuam no mecanismo biela manivela em função do giro do 
virabrequim: a- força de pressão dos gases Pg e a soma das forcas Pg + Pi, que atuam sobre o pé da biela; 
b- força de inércia Pi; c- força lateral N; d- força normal Z; e- força tangencial T. 
 
A pressão dos gases no cilindro do motor (Fig. 219) origina a força P’g, aplicada no cabeçote. Esta força 
atua no comprimento do eixo do cilindro, sua magnitude e igual, mas esta em sentido contrario à força Pg 
que atua sobre o pistão. 
 
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19
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Fig. 219. Forças Pg e Pi que atuam no mecanismo biela manivela. 
 
Para determinar as forças de inércia e necessário conhecer as massas das peças do mecanismo 
biela manivela. Com a finalidade de simplificar os cálculos, o mecanismo real biela manivela é 
substituído por um sistema dinâmico equivalente de massas concentradas. Todas as peças moveis se 
subdividem em grupos de acordo com o caráter de seu movimento: 
1. Peças que efetuam um movimento alternativo ao longo do eixo do cilindro (grupo pistão). A 
massa do pistão com os anéis e o passador se considera concentrada no eixo deste último e se 
designa por mp. 
2. Partes giratórias do virabrequim. As massas destas peças se substituem por uma massa que esta 
reduzida ao raio R da manivela e se designa por mR. A redução se efetua mantendo as 
condições de igualdade entre as forças centrifugas de inércia das massas reais e a massa 
reduzida. 
A massa do mancal de biela mm.b com as partes adjacentes dos braços(Fig. 220, a ) se adota 
concentrada no meio do eixo do mancal e visto que seu centro de gravidade está a um distancia 
R do eixo do virabrequim, não se requer a redução desta massa. 
A massa da parte central do braço mbr seguindo o contorno abcd, cujo centro de gravidade se 
encontra a um raio ρ se reduz ao raio R. Da condição de igualdade das forças centrifugas 
mbrρω2 = mbrRRω2 temos 
 
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Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
R
mm brbrR
ρ= . 
A massa reduzida de toda a manivela 
.22 .. R
mmmmm brbmbrRbmM
ρ+=+= 
3. Peças que realizam um movimento complexo plano paralelo (grupo de peças da biela). A biela 
e substituída aproximadamente por um sistema de duas massas estaticamente equivalentes – a 
massa mb.p, concentrada no eixo do passador e a massa mb.r, concentrada no eixo do mancal da 
biela do virabrequim. A massa da biela mb se divide em duas partes (Fig. 220, b): naquela que 
esta referida ao eixo do passador no pistão mb.p =mbLr/L e na massa referida ao eixo do mancal 
da biela mb.r=mbLp/L. 
 
Fig. 220 Redução do mecanismo biela-manivela a um sistema de duas massas. 
 
Para obter um sistema dinâmico equivalente deverão respeitar-se três condições, a saber: 
1) Constância da massa total (mb.p+mb.r=mb); 
2) Posição invariável do centro de gravidade das massas (mb.pLp=mb.rLr); 
3) Momento de inércia constante com respeito ao centro de massas. 
 
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21
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
O momento de inércia do sistema reduzido 
prbr
p
bp
r
brrbppbred LLmLL
L
mL
L
LmLmLmI =+=+= 222.2. 
deve ser igual ao momento de inércia da biela Ib. 
Esta condição não se observa para as bielas reais, e Ired > Ib. 
O valor de 
( ) 22 /03,001,0 λRmIII bbred −=−=∆ . 
Nos cálculos teóricos precisos é necessário aplicar ao sistema equivalente um momento 
corretor das forças de inércia 
IM b∆=∆ ε , 
onde 
.2 ϕλωβε sen
dt
d
b −≈= 
O momento corretor ∆M esta orientado segundo a aceleração angular da biela (no primeiro 
quadrante, seguindo o sentido de rotação da manivela). Tendo em vista que os valores deste 
momento são pequenos, geralmente se depreciam e se comprem somente as duas primeiras 
condições de equivalência. 
Para a maioria das estruturas existentes de motores de automóvel 
( ) bpb mm 3,0...2,0. = e ( ) brb mm 7,0...8,0. = . 
Assim, todo o mecanismo biela-manivela (Fig. 220, c) se substitui aproximadamente por um 
sistema de duas massas concentradas unidas por ligações rígidas imponderáveis: a massa no ponto A, que 
tem movimento alternativo: 
pbpi mmm .+= , 
e a massa no ponto B, com movimento rotativo: 
rbMR mmm .+= . 
Nos motores em V se juntam duas bielas dos cilindros opostos no mancal do virabrequim, por isso 
rbMR mmm .2+= . 
Os valores de mp e mb são eleitos de acordo aos dados das estruturas existentes. 
 
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22
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
As massas construtivas m’p e m’b, referentes à unidade de superfície do pistão Fp, se ilustram na 
Tabela 25. 
25. Massas construtivas das peças do mecanismo biela manivela, em kg/m2 (g/cm2) 
Motores Massa do pistão de legação 
de alumínio m’p 
Massa da biela m’b 
Otto (D=60-100mm) 
Diesel (D=80-120mm) 
100 – 150 (10 – 15) 
200 – 300 (20 – 30) 
120 – 200 (12 – 20) 
250 – 350 (25 – 35) 
 
Em conformidade com o sistema adotado, no qual duas massas dinamicamente substituem o 
mecanismo biela manivela, as duas forças de inércia se reduzem a dois: a força de inércia Pi das massas 
que tem movimento alternativo e a força centrifuga de inércia ZR das massas rotativas. 
A força de inércia das massas com movimento alternativo é 
( ).2coscos2 ϕλϕλϕω senkRmamP iii ++−=−= 
Esta força é mais cômoda representá-la como a soma das forças de inércia de primeira e segunda 
ordem, que variam de acordo com a lei harmônica: 
( )ϕϕ ∆−= cosCPiI ; ϕλ 2cosCPiII = , 
onde 
2ωRmC i−= ; ok 3,57.λϕ =∆ . 
As curvas de aceleração do pistão ( ) III aafa +== ϕ em sua respectiva escala e com signo 
invertido são as curvas das forças de inércia (veja a fig. 218, b). 
A força de inércia das massas com movimento alternativo Pi no sistema de mecanismo biela 
manivela se manifesta na forma de uma força livre de magnitude e signo variáveis que atuam ao longo do 
eixo do cilindro. 
Se o passador do pistão esta descentralizado em uma distancia e respeito ao eixo do cilindro, então 
a força de inércia Pi esta orientada ao longo de uma reta que atravessa até o centro comum das massas mp 
e mb.p entre o eixo do cilindro e o eixo do passador. Esse deslocamento é praticamente muito pequeno e se 
pode desprezar nos cálculos dinâmicos. Ao mesmo tempo, a força de pressão dos gases (que atua sempre 
ao longo do eixo do cilindro) origina um momento ePg respeito ao eixo do passador. Por ação deste 
momento varia favoravelmente a distribuição da carga sobre a parede do pistão e se elimina a folga 
(huelgo) entre o pistão e o cilindro. 
Para maior esclarecimento ao determinar a magnitude e a direção das forças de inércia das massas 
com movimento alternativo é conveniente utilizar o método dos vetores giratórios. 
 
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23
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
A força PiI se determina como a projeção sobre o eixo do cilindro do vetor 2ωRmC i−= , que gira 
com a velocidade angular ω do virabrequim. 
A força PiII se obtém analogamente, como a projeção sobre o eixo do cilindro do vetor 
λωλ 2RmC i−= , que gira com a velocidade angular 2ω. 
A força centrífuga das massas rotativas do mecanismo biela-manivela 
2ωRmZ RR −= 
esta sempre dirigida ao longo do raio da manivela, tem um valor constante e está aplicada no centro B do 
mancal de biela da manivela. A força ZR pode ser deslocada por uma linha de ação ao centro O do 
virabrequim e decomposta em duas forças sobre o eixo de coordenadas: 
ϕω cos2RmZ RRx −= 
e 
ϕω senRmZ RRy 2= . 
Examinando mais detalhadamente a ação das forças de pressão dos gases sobre o pistão e das 
forças de inércia das massas em movimento. A força total P que atua sobre o pistão é a força inicial: 
ig PPP += . 
Ao analisar a curva da força total ( )ϕfP = (veja a Fig. 218, a), se infere que as forças de inércia 
ao final da carreira de compressão e no começo da carreira de trabalho, faz diminuir a força de pressão do 
gás que atua sobre o pistão. 
A força P, que atua ao longo do eixo do cilindro (Fig. 221) pode se decomposta em dois: 
- a força lateral N, perpendicular ao eixo do cilindro ( )ksenPPtgN −≈= ϕλβ , (263) 
- a força K, dirigida ao longo do eixo da biela: 
( ) .2cos1
4
1
cos
1 2 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+≈= ϕλβ PPK 
 
 
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Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Fig. 221. Forças e momentos que atuam no mecanismo biela manivela. 
 
As equações aproximadas, como se mencionou anteriormente, são corretas com uma pressão salvo 
os termos se segunda ordem incluídas as magnitudes λ2 e. kλ. (Os erros relativos a essas expressões 
constituem mais de 2%). A magnitude kλ geralmente é muito pequena e nos cálculos práticos se pode 
menosprezar. 
Da eq. (263) se deduz que o deslocamento do eixo do cilindro sendo ( ) 0/ >= Rek , diminui um pouco a força normal N no percurso de expansão. 
 
A força K pode ser deslocada por sua linha de ação ao centro do mancal da biela na manivela ( )KK =' e decompô-la em duas forças: a força normal Z, cuja direção coincide com o raio da manivela 
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−≈+=+= ϕλϕλϕβ
βϕβϕ senkPPKZ 2cos1
2
cos
cos
coscos , 
e a força T, cuja direção é tangencial à circunferência do raio da manivela 
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+≈+=+= ϕλϕλϕβ
βϕβϕ cos2
2cos
ksensenPsenPKsenT . 
A força normal Z foi transladada pela linha de ação ao centro do virabrequim e a designamos por 
Z’(Z= Z’). A força tangencial T também pode deslocar-se ao centro do virabrequim (T = T’ = T’’), o par 
de forças (T, T’) com o momento Mt denominado par motor ou torque. 
O par motor 
 
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25
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+≈+== ϕλϕλϕβ
βϕ cos2
2cos
ksensenPRsenPRTRMt , 
se transmite ao volante e à transmissão através do virabrequim. 
As forças Z’ e T’’ podem somar-se e sua resultante K’’, igual a força K, atua ao largo da biela 
recarregando os bronzinas de apoio do virabrequim. A força K’’ pode se decompor-se em duas forças: N’, 
perpendicular ao eixo do cilindro e P’’ = P’’g + P’’i, que atua paralelamente ao eixo do cilindro. 
As forças N’ e N, assim como as forças 'gP e 
''
gP (ver a Fig. 219) dão lugar a dois pares de forças, 
cujas soma de momentos se denomina par de reação ou de volco Mv, que atua sobre as partes imóveis do 
mecanismo biela-manivela. O par Mv esta dirigido em sentido contrário ao par motor e em 
correspondência com a condição de equilíbrio das peças moveis do mecanismo em seu conjunto, é igual à 
soma do par motor e do momento do par agregado ao transportar a força de inércia amPP iii −=='' ao 
eixo de rotação da manivela. Realmente, como se observa na Fig. 221: 
( )
( ) ( ) ePMePsenPRePP
RLPtgePNhM
iiii
gv
−=−+=−+
++=+=
β
βϕ
ϕββ
cos
coscos
. 
Além do par de volco, sobre as partes imóveis do mecanismo biela manivela atuam a força de 
gravidade, a força de inércia ii PP ='' cujos signo e magnitude são variáveis e a força centrífuga de inércia 
ZR. Estas forças se equilibram pelas reações dos apoios e parcialmente pelas forças internas entre 
mecanismos e peças individuais do motor. 
As direções de todas as forças e momentos, mostrados na Fig. 221 se adotam como positivos. 
Havendo calculado as forças N, Z, e T para uma série de valores do ângulo ϕ, se constroem as 
curvas (ver a Fig. 218, c – e). A curva das forças tangenciais T (Fig. 218, e), simultaneamente representa a 
curva do par motor Mi de um cilindro em outra escala. 
Na continuação se determinam as forças que atuam sobre as bronzinas de biela e de apoio do 
virabrequim. A força resultante Rm.b, aplicada ao mancal de biela da manivela, se calcula somando a força 
K, que atua ao largo do eixo da biela, com a força centrífuga 2. ωRmZ rbRm −= , que aparece por efeito da 
rotação de uma parte da massa da biela. A construção se realiza em forma de um diagrama polar do vetor 
da força Rm.b, orientado com respeito a manivela do virabrequim, que se assume como imóvel. Primeiro se 
constrói o diagrama polar da força K, traçando seus componentes Z e T, nas coordenadas retangulares com 
o centro O (Fig. 222), para diferentes ângulos ϕ de rotação da manivela e obtendo os respectivos pontos 
do extremo do vetor K. Os pontos obtidos ϕ1, ϕ2, etc. se unem consecutivamente em ordem angular 
formando uma curva continua, a qual representa um diagrama polar da força K com seu centro em um 
ponto 0. 
 
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26
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Fig. 222. Construção do diagrama polar de carga sobre o mancal de biela (dois valores de ângulos de ϕ) 
 
Para obter o diagrama polar da carga sobre o mancal de biela é suficiente deslocar verticalmente o 
centro O, no diagrama polar obtido para a força K, para a magnitude do vetor 2ωRmZ brRm −= passando 
ao ponto Om e unir os pontos ϕ1, ϕ2, etc. Este diagrama, construído por pontos a cada 30o do ângulo de 
rotação do virabrequim para um motor rápido de ciclo Otto de quatro tempos, se representa na Fig. 223, a. 
A projeção de qualquer vetor do diagrama polar sobre a vertical tem como resultado o valor da força 
normal ,. mRbm ZZZ += que atua sobre o mancal de biela e está orientada seguindo o raio da manivela. 
 
 
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27
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Fig. 223. Diagrama polar de carga sobre o mancal de biela e sua reconstrução em coordenadas 
retangulares. 
 
O diagrama polar reconstruído em coordenadas retangulares ϕ e Rm.b (Fig.223, b) permite 
determinar o valor médio ( )bmR . méd, e por conseguinte, também a carga específica media sobre o mancal, 
que se refere a unidade da superfície de sua projeção diametral: ( )
,'
..
.
bmbm
medbm
ld
R
k ⋅= 
onde bmd . é o diâmetro do mancal de biela; 
'
.bml , a largura de trabalho da bronzina. 
Utilizando o diagrama polar se pode construir o denominado diagrama do desgaste presumível do 
mancal (Fig. 224), que proporciona uma idéia convencional sobre o caráter do desgaste, si se supõem que 
este é proporcional as forças que atuam sobre o mancal e tem lugar em um setor de o60± da direção 
instantânea da força K. Para a construção do diagrama sob um ângulo de 60o na direção de cada força 
(Fig. 224, a) em ambos os lados se traça raios anulares, cujas alturas sejam proporcionais a força bmR . 
respectiva. A soma das áreas destes raios representa em resumo o diagrama convencional do desgaste 
(Fig. 224, b). No diagrama do desgaste do mancal se observa uma zona de mínimas pressões sobre ele 
mesmo. Este lugar do mancal deverá encontrar-se o orifício para subministrar o óleo lubrificante à 
bronzina. 
 
 
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28
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Fig. 224. Construção do diagrama de desgaste do mancal de biela. 
 
Utilizando o diagrama de carga polar sobre o mancal da biela, pode encontrar-se a força resultante 
Rc que atua sobre o cotovelo do virabrequim, flexionando o mancal de biela. Para isto, desde o pólo 0m 
(veja a Fig. 223, a) se traça verticalmente para baixo a força centrífuga 2ωRmZ MRC = e se encontra o 
novo pólo 0c. O diagrama se transforma então no diagrama polar da força resultante que atua sobre o 
cotovelo: 
.. cRbmc ZRR
rrr += 
A linha CC ′ passa pelo pólo cO formando um ângulo ϕ0 (paralela ao diâmetro do mancal que 
passa pelo orifício de lubrificação). Duas perpendiculares à linha CC ′ , tangentes aos pontos extremos 1ϕ 
e 2ϕ do diagrama polar a cortam em dois segmentos DOc e EOc .Estes segmentos representam na escala 
de forças, para os ângulos de rotação do virabrequim 1ϕ e 2ϕ respectivamente as proporções máxima e 
mínima ( )
max0ϕcR e ( )min0ϕcR das forças resultantes 1ϕcR e 2ϕcR sobre a linha CC ′ (veja a Fig. 223, c) e são 
iguais a: ( ) 00max 110 cos ϕϕ ϕϕϕ senTZRc += ; ( ) 00min 220 cos ϕϕ ϕϕϕ senTZRc += . 
 
Os valores de ( )
max0ϕcR e ( )min0ϕcR se utilizam para o cálculo do mancal de biela a flexão. 
A força resultante amR . , com que atua o mancal de apoio em um virabrequim que tem um apoio 
(bronzina) principal entre cada par de manivelas, se encontra somando vetorialmente as forças que se 
transmitem desde os dois cotovelos vizinhos (Fig. 225). Se considera condicionalmente, que de cada 
cotovelo se transmite a metade da força centrífuga 
cR
Z . Então: 
( ).5,05,05,05,05,0 ... ccRbmRbmam RRZRZRR cc ′′+′=′′+′++′= rrrrrrr 
 
 
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29
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Fig. 225. Construção do diagrama polar da força com que atua o sexto mancal de bancada sobre a 
bronzina em um motor de ciclo Otto de seis cilindros em linha e de quatro tempos cuja ordem de 
funcionamento é 1-5-3-6-2-4: 1-6 – números dos cilindros. 
 
O diagrama polar das forças amR . pode ser construído graficamente, utilizando para estes dois 
diagramas polares de carga sobre o mancal de biela. 
O primeiro diagrama se orienta com respeito a um cotovelo, o segundo se faz com respeito ao 
outro, unindo os pólos de ambos diagramas em um ponto (veja Fig. 225) e se somam por pares os vetores 
de um e outro diagrama que atuam simultaneamente sobre o cotovelo do virabrequim, levando em conta a 
ordem de funcionamento dos cilindros. Cada um dos vetores resultantes obtidos representa uma força 
dupla sobreo mancal de apoio para um ângulo dado de rotação do virabrequim. 
 
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30
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
Unindo os extremos dos vetores ,,, 321 ϕϕϕ ...com uma curva suave, se obtém um diagrama polar de 
forças que se transmitem ao apoio do mancal de apoio. 
O diagrama polar de carga sobre o mancal de apoio, originada pela reação do bronzina, se obtém 
girando o diagrama em 180o (veja a Fig. 225) com respeito ao virabrequim imóvel. Este diagrama se 
utiliza para construir o respectivo diagrama de desgaste. 
Somando graficamente as curvas dos pares motores Mi para os cilindros individuais, se constrói a 
curva do torque total ( )ϕfMi = de um motor multicilíndrico. Neste caso as curvas para os cilindros 
individuais deverão deslocar-se uma com respeito a outra no ângulo θ , correspondente ao intervalo entre 
as seqüências de trabalho dos cilindros citados. Para os motores que quatro tempos com intervalos iguais 
entre as seqüências de trabalho io /720=θ , onde i é o numero de cilindros do motor (para os motores de 
dois tempos io /360=θ ). 
 O par motor total varia com um período igual a θ. A construção de um setor da curva do par motor 
total iMΣ , correspondente ao ângulo θ, para um motor de quatro cilíndricos de quatro tempos se mostra 
na Fig. 226. A curva do par motor para um cilindro se a retirado da fig. 218, e. O valor médio do par 
motor total e: 
( ) θϕθ
ϕ
ϕ
12
2
1
1 FFdMM imedt
−== ∑∫ , 
onde F1 e F2 são as áreas positiva e negativa do diagrama. 
 
 
Fig. 226. Construção da curva do torque total para um motor de 4 cilindro e 4 tempos. 
 
 
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31
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 Em vista de que para construir o diagrama do par motor não se levou em as perdas por fricção e no 
acionamento dos mecanismos auxiliares, o par motor efetivo real eM obtido no eixo e menor que o total 
médio: ( ) mmedie MM η= . 
 O momento ( )mediM é o torque indicado médio do motor e varia proporcionalmente ao trabalho 
dos gases por ciclo, já que o trabalho das forças de inércia em cada revolução do virabrequim do motor e 
igual a zero. 
 
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32
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
EQUILIBRADO (BALANCEAMENTO) E UNIFORMIDADE DA MARCHA DO MOTOR 
 
 Se diz que o motor esta equilibrado se durante um regime estacionário (constante) de 
funcionamento sobre seus suportes se transmitem umas forças cuja magnitude e direção são constantes. 
 Em um motor não equilibrado a pressão sobre os suportes varia continuamente e origina vibrações 
do bastidor e do veiculo em seu conjunto, o que vai acompanhado com o enfraquecimento das uniões, 
com sobrecargas em determinadas pecas, incrementando seu desgaste, e com outros fenômenos 
indesejáveis. 
 A primeira causa do desequilíbrio no motor de pistão consiste na existência das forças de inércia 
das massas com movimento alternativo iP , que variam em magnitude e em signo, assim como das forcas 
centrifugas das massas giratórias RZ que variam permanentemente de direção. No motor multicilíndrico 
as forças iP e RZ de cada um dos cilindros parcialmente se equilibram, mas em seu conjunto podem 
originar a aparição de forças de inércia livres não equilibradas e seus respectivos momentos. 
 A segunda causa do desequilíbrio é a irregularidade (variação) do par motor ou torque total 
iM∑ e do par do volco vM que tem um sentido contrario. Analogamente atua também o momento de 
correção IM ∆=∆ δ . O par motor total é uma função periódica do ângulo de rotação do virabrequim, por 
isso a menor variação possível das reações dos suportes se consegue aumentando o numero de cilindros e 
respeitando a igualdade dos intervalos entre as seqüencias de trabalho, o que assegura uma maior 
uniformidade do par motor total. 
O motor alternativo não pode estar completamente equilibrado, já que é inevitável a irregularidade 
do par motor, o que sempre origina a variação periódica da carga sobre os suportes. Por isso, ao falar 
sobre o equilibrado do motor, com este conceito, pelo comum se sobre entende a existência de um grau de 
tolerância de vibração como resultado das medidas construtivas e de produção adotadas, que permitem 
eliminar em uma ou outra medida as causas que suscitam o desequilíbrio. 
 O equilibrado do motor na pratica se realiza elegendo correspondentemente o numero e a posição 
dos cilindros, a disposição das manivelas do virabrequim, assim como a colocação dos contrapesos. Para 
conhecer o grau de equilibrado geralmente se limitam a análises das forças de inércia e de seus momentos 
de primeira e segunda ordem, ademais sem considerar o possível desconcentrado que possam ter os eixos 
dos cilindros ( )0== kRe . 
 Para obter o equilibrado construtivo previsto se apresenta também uma série de requisitos ante a 
produção das peças individuais do motor enquanto as tolerâncias em suas massas e dimensões. 
 A fixação destas tolerâncias está condicionada pela necessidade de cumprir em maior ou menor 
grau as condições seguintes: 
1) igualdade de massas nos diferentes conjuntos de peças do pistão; 
2) igualdade de massa das bielas e idêntica posição de seus centros de gravidade; 
3) equilibrado dinâmico do virabrequim. 
 O equilibrado das forças de inércia das massas giratórias do mecanismo biela-manivela se 
consegue colocando as massas giratórias nas manivelas ou os contrapesos, de tal maneira que se 
completem as duas condições seguintes: 
 
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33
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
1) o centro de gravidade do sistema reduzido do virabrequim se encontre no eixo de rotação; 
2) a soma dos momentos das forças centrifugas de inércia das massas giratórias com respeito a 
qualquer ponto do eixo do virabrequim seja nula. 
 A realização da primeira condição se obtém aplicando o equilibrado estático e se comprova 
montando o virabrequim sobre prismas. Esta condição de equilibrado se expressa analiticamente pela 
igualdade a zero da resultante de todas as forças centrífugas de inércia. 
 A realização da segunda condição (realizando simultaneamente a primeira), se assegura mediante 
o equilibrado dinâmico, no qual se comprova fazendo girar o virabrequim em máquinas equilibradoras. 
 Ambas as condições de equilibrado correspondem a rotação do virabrequim em torno ao seu eixo 
principal central de inércia. 
 
 
Fig. 227. Equilibrado de virabrequim a – de manivela única; b – de dois cotovelos 
 
 Em um virabrequim de uma só manivela a soma das forças centrífugas desenvolvidas pelos dois 
contrapesos deverão ser iguais e de direção contraria a força centrífuga ZR (Fig. 227,a): 
Rcp ZZ =2 
ou 
222 ωρω Rmm Rcp = 
 Portanto, a massa de cada contrapeso será: 
Rcp m
Rm ρ2
1= . 
 No virabrequim de dois cotovelos, o momento criado pelas forças centrifugas de dois contrapesos 
deve equilibrar o momento criado pelas forças centrifugas que aparecem durante a rotação de duas 
manivelas (Fig. 227, b): 
aZbZ Rcp = ou aRmbm Rcp 22 ωρω = . 
 
Filiada à: 
 
34
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 Desta maneira: 
( ) Rcp mRb
am ρ/= . 
 Os virabrequins simétricos de cotovelos múltiplos dos motores multicilíndricos geralmente se 
equilibram em conjunto sem colocar contrapesos. Sendo assim, freqüentemente se dotam de contrapesos 
com propósito de diminuir os momentos que flexionam o virabrequim, e descarregar as bronzinas 
principais. Os contrapesos asseguram, no mais, uma distribuição mais uniforme da pressão ao redor do 
mancal de bancada (mancal de apoio). 
 No caso que os contrapesos se instalem na prolongação dos braços de cada cotovelo (Fig. 227), no 
diagrama polar de carga convencional, sobre o mancal de bancada será necessário deslocar o pólo cO 
(Fig. 228) ao ponto cpO ao largo da linha bissetriz do anulo entre os cotovelos na direção do diagramapolar a uma magnitude de cpcpcp ZZR
rrr += . Se a construção se efetua na escala dos diagramas polares para 
os mancais de biela, então no lugar de cpR
r
 se traça cpR
r
2 . 
 
 
Fig. 228. Redução da carga no mancal de bancada instalando contrapesos. 
 
 
 Nos virabrequins assimétricos de manivelas múltiplas o equilíbrio dinâmico resulta possível 
somente colocando contrapesos. Se esta colocação no prolongamento de cada braço não e conveniente ou 
resulta dificultosa, então o momento longitudinal MR se equilibra combinando a montagem de um menor 
número de contrapesos, mas com a condição de que Rcp MM = e alem disso, se encontre no mesmo plano 
que o momento longitudinal. 
 
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35
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
Na continuação se estudam os procedimentos do equilibrado nos diferentes tipos de motores. 
 
Motor monocilíndrico. 
Neste motor a soma das forças centrifugas se equilibra com contrapesos que se colocam no 
prolongamento dos braços da manivela; enquanto isso, as forcas de inércia de primeira ordem iIP e 
segunda ordem iIIP podem equilibrar-se somente com ajuda de um sistema de contrapesos adicionais (Fig. 
229). 
 
 
Fig. 229. Equilibrado das forcas de inércia em um motor monocilíndrico, aplicando o sistema de 
contrapesos que giram no plano de rotação da manivela. 
 
A força de inércia iIP se equilibra colocando um contrapeso em cada um dos dois eixos A e A’, 
paralelos ao eixo do virabrequim e dispostos simetricamente a ambos os lados do bloco do motor, que 
giram em direções opostas com uma velocidade igual à freqüência de rotação do virabrequim. Os 
contrapesos se montam em um plano que passa pelo eixo do cilindro e é perpendicular ao eixo do 
virabrequim, alem disso, se colocam de tal maneira que durante a rotação sempre conformam com a linha 
vertical um ângulo ϕ igual ao ângulo de rotação do virabrequim. (No motor com mecanismo biela 
manivela descentrado esse ângulo deve ser igual a ok 3,57.λϕϕϕ −=∆− ). As componentes horizontais 
 
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36
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
das forças centrifugas de inércia destes contrapesos são de igual magnitude, mas estão dirigidas em 
sentido contrario e, portanto, se equilibram mutuamente. 
A resultante das componentes verticais das forças centrifugas de inércia dos contrapesos esta 
situada no eixo do cilindro e dirigida em sentido contrario da força de inércia. Esta resultante e ( ) ϕωρϕ cos2cos22 2IcpIcpIxcpI mZR == . 
Se a massa de cada contrapeso se elege cumprindo a condição Rmm iIcp =ρ2 ou seja, ( ) iIcp mRm ρ2/1= , então a resultante das componentes verticais das forças centrifugas de inércia dos 
contrapesos adicionais equilibrara a força de inércia de primeira ordem. 
Para equilibrar a força de inércia de segunda ordem se instala um contrapeso em cada um dos 
outros dois eixos B e B′ situados analogamente aos primeiros, mas que giram com dupla velocidade 
angular do virabrequim. Os contrapesos se colocam de tal maneira que durante a rotação sempre 
conformam com a vertical o angulo 2ϕ, igual ao duplo ângulo de rotação do virabrequim. As 
componentes horizontais das forças centrifugas de inércia dos contrapesos, se equilibram entre si. A 
resultante dos seus componentes verticais iguais a ( ) ( ) ϕωρϕ 2cos222cos22 2IIcpIIcpIIxcpII mZR == 
equilibra a força de inércia de segunda ordem, se a massa de cada contrapeso adicional se elege partindo 
da condição 
( ) 2222 ωλωρ Rmm iIIcpII = , 
Ou seja 
i
II
cpII m
Rm ρλ8
1= . 
 
 Semelhante equilibrado dos motores monocilíndricos se realiza somente em bancos experimentais 
especiais destinados a efetuar trabalhos de investigação. Na maioria dos motores monocilíndricos se 
limitam a colocar na prolongação dos braços do virabrequim contrapesos com uma massa maior ( )cpcp mm ∆+ . Como resultado deste equilibrado denominado excessivo se consegue diminuir a magnitude 
absoluta da componente vertical da forca de inércia não equilibrada de primeira ordem (aparecendo 
simultaneamente a componente horizontal não equilibrada da força centrifuga dos contrapesos). 
 
Motor dos cilindros em linha 
O virabrequim deste motor (Fig. 230, a) tem as manivelas dispostas a 180o, equilibradas por 
contrapesos. 
 
 
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37
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Fig. 230. Esquemas de virabrequins para motores de dois cilindros. a – em linha; b – com cilindros opostos. 
 
As forças de inércia de primeira ordem para o primeiro e segundo cilindros se equilibram: 
ϕcos1 CPiI = , 2ωRmC i−= ( ) ϕϕ cos180cos2 CCP oiI −=+= . 
 Sendo assim, elas dão lugar à força no equilibrado com o momento ϕcosaCMiI = , que atua no 
plano conformado pelos eixos dos cilindros. 
As forças de inércia de segunda ordem para os dois cilindros ϕλ 2cos1 CPiII = ; ( ) ϕλϕλ 2cos1802cos2 CCP oiII =+= são iguais, tem a mesma direção e possuem a resultante: 
ϕλ 2cos2 CPiII =∑ . 
O momento das forças de inércia de segunda ordem .0=iIIM 
 
Motor de dois cilindros opostos de quatro tempos 
 Neste motor se amplia um virabrequim de duas manivelas dispostas a 180o, equilibrado com 
contrapesos (fig. 230, b). 
 As forças de inércia de primeira e segunda ordem para o primeiro cilindro são iguais as respectivas 
forças de inércia do segundo cilindro, mas estão dirigidas sempre em sentido contrario. Portanto, suas 
 
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38
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
forças resultantes são nulas. Posto que os eixos dos cilindros são paralelos, as forças dão lugar a um par 
que atua no plano conformado pelos eixos dos cilindros, o qual não esta equilibrado: ( )ϕλϕ 2coscos +=+= aCMMM iIIiIi . 
 
Motor de quatro tempos com quatro cilindros em linha 
O virabrequim deste motor (Fig. 231) tem manivelas dispostas a 180o. O virabrequim esta 
equilibrado, quer dizer, 0=RZ e 0=RM . 
 
Fig. 231. Esquema de um virabrequim de um motor em linha, de quatro tempos e quatro cilindros. 
 
 As forças de inércia de primeira ordem para o primeiro e quarto cilindros são 
ϕcosCPiI = , 
Enquanto que para o segundo e terceiro cilindros ( ) ϕϕ cos180cos CCP OiI −=+= . 
 Portanto sua resultante 0=∑ iIP . Por efeito da ação simétrica destas forças com respeito ao ponto 
médio do virabrequim, o momento 0=iIM . 
As forças de inércia de segunda ordem para os cilindros primeiro e quarto será: 
ϕλ 2cosCPiII = , 
e para os cilindros segundo e terceiro ( ) ϕλϕλ ooiII CCP cos1802cos =+= . 
 Portanto, todas essas forças são iguais e sempre estão dirigidas em um mesmo sentido. Sua 
resultante é: 
∑ = ϕλ 2cos4 CPiII . 
O momento das forças de inércia de segunda ordem é .0=iIIM 
 
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39
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Motor de quatro tempos de seis cilindros 
 O virabrequim tem as manivelas dispostas a 120o (Fig, 232) e esta equilibrado, ou seja, 0=RZ e 
.0=RM 
 
Fig. 232. Esquema de um motor em linha, de quatro tempos e de seis cilindros. 
 
 As forças de inércia de primeira e segunda ordem para os cilindros primeiro e sexto são 
iIIiI PCP ,cosϕ= , ϕλ cosCPiII = : 
para os cilindros segundo e quinto ( )ϕ+= oiI CP 120cos , ( )ϕλ += oiII CP 2402cos ; 
para os cilindros terceiro e quarto ( )ϕ+= oiII CP 120cos , ( ).1202cos ϕλ += oiII CP 
 A força de inércia resultante de primeira ordem para todos os cilindros ( ) ( )[ ] .0120cos240coscos2 =++++=∑ ϕϕϕ ooiI CP 
 Analogamente, a força de inércia resultante de segunda ordem 
∑ = .0iIIP 
 Por efeito da disposição especular (simetria de espelho) das manivelas do virabrequim, as forças 
de inércia não originarão nenhum momento longitudinal, ou seja, 0=iIM e .0=iIIM 
 
Motor de dois cilindros em V formando um ângulo de 90o 
 O virabrequim deste motor tem um cotovelo na qual se unem as bielas de ambos os cilindros 
situados em um mesmo plano(Fig. 233). 
 
 
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40
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Fig. 233. Esquema de um motor de dois cilindros em V formando um ângulo de 90o: 1-2- números dos 
cilindros 
 
 As massas rotativas originam a força centrifuga 2ωRmZ RR = , a qual se equilibra com dois 
contrapesos instalados nos prolongamentos dos braços da manivela do virabrequim. 
 As forças de inércia de primeira ordem: 
para o primeiro cilindro 
ϕcos1 CPiI = , 
para o segundo cilindro ( ) ϕϕ CsenCP oiI =−= 90cos2 . 
 Estas forças são mutuamente perpendiculares, por isso sua resultante é 
( ) ( ) 22221 ωRmCPPR iiIiIiI =−=+= . 
 
 O ângulo que forma a resultante com o eixo do primeiro cilindro é: 
ϕψ ==
1
2
iI
iI
P
Parctg . 
 A resultante das forças de inércia de primeira ordem RiI tem magnitude constante e sempre esta 
orientada seguindo o raio da manivela. Por tanto pode ser equilibrada simplesmente aumentando a massa 
dos contrapesos, colocados na prolongação dos braços da manivela do virabrequim para equilibrar as 
forças centrífugas das massas rotativas. A massa adicional para cada contrapeso se determina pela 
equação 
222 ωρω Rmm icp =∆ , 
da qual 
icp m
Rm ρ2
1=∆ . 
 As forças de inércia de segunda ordem: 
 
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41
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
para o primeiro cilindro 
ϕλ 2cos1 CPiII = 
para o segundo cilindro ( ) ϕλϕλ 2cos902cos2 CCP oiII −=−= . 
 A resultante das forças 
( ) ( ) ϕλ 2cos22221 CPPR iIIiIIiII =−+= . 
O ângulo que forma a resultante das forças de inércia de segundo ordem com o eixo do primeiro 
cilindro, se encontra da expressão 
1
2
1
iII
iII
P
Ptg =ψ 
Ψ1 = 45o ou o135 . 
 Por conseguinte, a resultante das forças de inércia de segunda ordem ϕλ 2cos2 CRiII −= não esta 
equilibrada, varia seguindo uma lei harmônica e atua ao largo do eixo 0v, ou seja, em direção horizontal. 
 Para outros ângulos entre os eixos dos cilindros que não sejam iguais a 90o, as equações para as 
forças de inércia se complicam. 
 
Motor de oito cilindros em V formando um ângulo de 90o 
 
Neste motor (Fig. 234,a e b) o virabrequim é assimétrico e tem as manivelas dispostas em dois 
planos perpendiculares. O motor pode ser considerado como a união de 4 motores de dois cilindros em V. 
A resultante das forças ZR e C é nula, mas tendo em vista que, o virabrequim não é simétrico atuam os 
momentos longitudinais MR e MiI. A magnitude destes momentos pode encontrar-se tomando os 
momentos das forças com respeito ao centro do virabrequim O. O momento total que origina as forças das 
manivelas primeira e quarta, atuam no plano destas ultimas e é igual a 3aZR e 3aC. O momento total das 
forças nas manivelas segunda e terceira atua no plano perpendicular a primeira e é igual a aZR e aC. 
 
 
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42
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
Fig. 234. Esquema de um mtor de Oto cilindros, de quatro tempos em V formando um ângulo de 90o. 
 
 O momento resultante (Fig. 234, c) se obtém somando geometricamente estes momentos: 
( ) ( ) RRRR aZaZaZM 103 22 =+= 
e respectivamente 
( ) ( ) aCaCaCMiI 103 22 −=+= . 
 O plano em que atua o momento resultante se determina pelo ângulo ϕ entre aquele e o plano da 
primeira manivela: ( )
( ) 62180,3
1
3
′==+
+= o
R
R
CZa
CZatg ϕϕ . 
 
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43
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 O momento resultante pode ser equilibrado tanto por contrapesos que se instalam em cada 
manivela, como por dois contrapesos colocados nos extremos do virabrequim no plano onde atua o 
momento. 
 Este ultimo caso a massa de cada contrapeso se determina da condição de igualdade dos 
momentos: 
( )CZabm Rcp −= 102ρω , 
de onde 
( ) ( ).10/10 2 iRRcp mmRb
aCZ
b
am +=−= ρρω 
 As resultantes das forças de inércia de segundo ordem para cada par de cilindros em 
correspondência com a situação das manivelas são iguais a: 
ϕλ 2cos2 C , para a primeira manivela; ( ) ϕλϕλ 2cos2902cos2 CC o −=+ , para a segunda manivela; ( ) ϕλϕλ 2cos22702cos2 CC o −=+ , para a terceira manivela; ( ) ϕλϕλ 2cos21802cos2 CC o =+ , para a quarta manivela. 
 Estas resultantes se encontram no plano horizontal, são iguais em sua magnitude, mas de signos 
opostos em pares. Por conseguinte, sua resultante será nula ( )0=iIIR . O momento MiII também resulta 
nulo. 
 
Motor de quatro tempos, de doze cilindros em duas fileiras 
 
O motor de doze cilindros em duas fileiras pode considerar-se como o conjunto de dois motores de 
seis cilindros em linha com um virabrequim comum de seis manivelas. Em cada motor de seis cilindros, 
as forças de inércia de primeira e segundo ordem, assim como seus momentos, estão equilibrados; 
portanto, isto também se cumpre para o motor de doze cilindros em duas fileiras, independentemente da 
magnitude do ângulo entre as linhas de cilindros. 
 Para cumprir a igualdade dos intervalos entre as carreiras de trabalho de cada um dos cilindros, o 
ângulo entre as linhas de cilindros deve ser múltiplo de 60o. Sendo assim, em alguns casos, com a 
finalidade de reduzir as dimensões do motor e atentando um pouco contra a uniformidade do torque se 
adota um ângulo entre os cilindros que se desvia da condição anteriormente assinalada. Então os 
percursos de trabalhos nos diferentes cilindros se realizam a intervalos desiguais de tempo. 
 
Uniformidade da marcha do motor 
 
 A dinâmica e o equilibrado do motor se investigou aplicando o método cinético-estático, alem 
disso, se supõem que o virabrequim e absolutamente rígido e gira a velocidade angular constante ω = 
const, à qual correspondem determinadas forças de inércia e forças no sistema biela-manivela. 
 Em realidade, inclusive durante o regime de funcionamento estacionário do motor a velocidade 
angular do virabrequim não permanece constante, se não, varia periodicamente: ( ).tf=ω A causa 
 
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44
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
principal da variação periódica da velocidade angular consiste na mencionada irregularidade do par motor 
ou torque, condicionada pela periodicidade do processo de trabalho e pelas propriedades cinemáticas do 
mecanismo biela manivela. Sendo constante o monumento médio de resistência (carga útil constante), o 
par motor irregular origina a correspondente inuni-formidade da marcha (rotação do virabrequim) do 
motor. Por efeito da irregularidade do torque, em um virabrequim flexível se engendram oscilações 
torsionais que incrementam a irregularidade de rotação do virabrequim e podem dar lugar a sua 
destruição. 
 
 
Fig. 235. Momentos torçores totais para motores com diferentes números de cilindro. 
 
 O grau de uniformidade na variação do torque total do motor geralmente é apreciado pelo 
coeficiente de irregularidade do torque 
( )medi
ii
M
MM minmax −=µ . 
 
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45
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 O coeficiente µ varia para um mesmo motor ao variar seu regime de funcionamento. A 
irregularidade do torque diminui quando aumenta o número de cilindros do motor (Fig. 235). Como se 
desprende de tal figura o coeficiente µ diminui rapidamente a medida que cresce o número de cilindros. 
 Em cada instante o torque do motor se equilibra com o momento de resistência que se aplica ao 
virabrequim, e o momento das forças de inércia de todas as massas rotativas, reduzidas as massas 
rotativas equivalentes: 
,00 =+−− ir MMdt
dI ω (264) 
onde Mr é o momento de resistência que considera também, o momento das forças de fricção no próprio 
motor e o momento consumido em acionar os mecanismos auxiliares; 0I , o momento de inércia de todas 
as massas reduzidas ao eixo do virabrequim; εω =dtd , a aceleração angular do virabrequim. 
 A continuação, ao momento de resistência (incluídas as perdas internas)se consideram constante e 
igual ao valor médio do torque indicado do motor, enquanto que se depreciará a variação do momento de 
inércia reduzido 0I . Então, as oscilações da velocidade do virabrequim estarão condicionadas somente 
pela variação do valor instantâneo ∑ iM com respeito ao valor médio ( ) .medMi Na Fig. 236 se 
representa a curva do torque do motor e se mostra seu valor médio rmed MM = . 
 
 
Fig. 236 Variação do torque e da velocidade angular do virabrequim para um regime estacionário de funcionamento 
do motor. 
 
 Segundo a equação (264) 
 
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46
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
∑ =− .0 dtdIMM ri ω 
 
 No ponto a, correspondente a rotação do virabrequim em um ângulo 1ϕ , a diferença ∑ =− 0ri MM e a aceleração angular resulta nula, havendo sido até então negativa; portanto, neste 
ponto, a velocidade angular é mínima. 
 A aceleração angular depois passa a ser positiva, até que no ponto b correspondente a rotação do 
virabrequim em um ângulo 2ϕ , de novo resulta nula, enquanto que a velocidade angular alcançará seu 
máximo valor. 
 Tendo em conta que 
ϕ
ω
ϕ
ωωϕϕ
ωω
d
d
d
d
dt
d
d
d
dt
d 2
2
1=== 
a equação (264) se pode escrever em forma de teorema sobre a energia cinética 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=−∑ 2
2
0ωϕ IddMM ri (265) 
que expressa neste caso a igualdade do trabalho elementar do par motor e do momento de resistência com 
a diferencial da energia cinética de todas as massas em movimento do motor. 
 Integrando a equação (265) entre os limites 1ϕ e 2ϕ (correspondentes aos limites maxω e minω ), 
obteremos 
( )∫ ∫∑ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=−
2
1
max
min
2
02
1ϕ
ϕ
ω
ω
ωϕ IddMM ri 
( )=−= 2min2max02 ωωI 
 
( ).
2 minmax
minmax
0 ωωωω −+= I (266) 
 
 A oscilação da velocidade angular ( )ϕω f= para o regime estacionário, ou seja, a uniformidade 
de rotação do virabrequim esta caracterizada pelo grau de irregularidade de rotação 
medω
ωωδ minmax −= . 
 Se adotamos aproximadamente que a velocidade angular media é 
2
minmax ωωωω +== med 
então a equação (266) pode escrever-se da seguinte maneira 
2
0δωILex = , 
 
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47
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
onde exL é o trabalho excedente do torque, proporcional a superfície 1F . 
 Fixando o coeficiente de irregularidade δ (a partir da equação para exL ), pode encontrar-se o 
momento de inércia do volante ( ) 09,08,0 IIv −= . 
 Se o volante está feito em forma de disco com coroa robusta, seu momento de inércia se determina 
fundamentalmente pelo momento de inércia da coroa cuja massa é vm . 
,
4
1 22
mvmvv DmrmI =≈ 
onde mm rD 2= é o diâmetro médio da coroa. 
 O momento de inércia do volante deve ser tal que assegura o funcionamento do motor à mínima 
velocidade estável de rotação em marcha lenta o que predetermina o máximo valor tolerável do grau de 
irregularidade de rotação. Nos motores para veículos δ é aproximadamente igual a 0,02 – 0,03. Para 
valores admissíveis muito pequenos de δ o momento de inércia do volante vI será excessivamente 
grande, o que piora a capacidade de aceleração do motor e do veículo. Ao mesmo tempo, sendo 
demasiado pequena a magnitude de vI , se dificulta a partida do motor. 
 Para a maioria dos motores veiculares, o momento de inércia adimensional do volante é 
,
.
2
const
M
I
nome
nomv ≈= ωψ 
onde nomeM . é o torque efetivo do motor no regime nominal de potencia a velocidade de rotação nomn , 
correspondente a velocidade angular do virabrequim .nomω 
 Sobre esta base pode determinar-se aproximadamente o momento de inércia do volante pela 
formula 
2
.
nom
nome
v
MI ωψ= , 
onde .350...200=ψ 
 
 
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48
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
4. CÁLCULO DINÂMICO DO MOTOR 
 
4.1. Desenvolvimento do diagrama indicado em função dos graus de giro do virabrequim (manivela) 
O ponto de partida para determinar as forças oriundas da pressão dos gases em função do ângulo de giro 
do virabrequim, é o diagrama indicado em coordenadas P-s obtido como resultado do calculo térmico. 
Para a transformação do diagrama se procede a desenhá-lo com a mesma escala com que foi construído a 
partir do calculo térmico. 
Na direita do diagrama indicado (Fig. 4-1) se traça o novo sistema de coordenadas Pg – α de forma tal que 
o eixo das abscissas (α, ângulo de giro do virabrequim) resulte da prolongação da linha de pressão 
atmosférica Po do diagrama P – S. Assim, no eixo das ordenadas se terá em escala mp ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅mmm
MN
2 a pressão 
neta exercida sobre o pistão: ∆ ogg PPP −= . 
 
 
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49
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
No eixo das abscissas se colocam os valores dos ângulos de giro do virabrequim α até 720o para motores 
de 4 tempo e 360o para motores de 2 tempo. Para a escala dos ângulos de giro do virabrequim α se 
recomenda: 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
mm
m
o
2α . 
A identificação dos ângulos de giro do virabrequim com os correspondentes valores do deslocamento do 
pistão é feito pelo método de Bricks: 
Se traça, em baixo do diagrama P&S, sobre o segmento AB = S um semicírculo com cento no 
pondo médio de dito segmento. Quando gira a manivela um ângulo α o deslocamento 
correspondente ao pistão será igual ao segmento AC’. O centro de rotação está deslocado em 
relação ao ponto O em direção ao PMI na magnitude: 
sm
S
4
λρ = , 'OO=ρ 
Para os motores de 4 tempos (duas voltas completas do virabrequim), o mesmo valor de 
deslocamento terá lugar 4 vezes, na admissão, compressão, expansão e escapamento (Fig. 4-1). 
Para um motor de dois tempos, duas vezes, na compressão e expansão. 
Se traça uma reta paralela ao eixo das ordenadas para obter 4 pontos de intercepção com as 
curvas correspondentes aos processos individuais do diagrama indicado (pontos 1,2,3 e 4). A 
seqüência dos passos para o desenvolvimento do diagrama indicado nas novas coordenadas, se 
apresenta na Fig. 4-1 mediante flechas. 
Pode-se apreciar que para cada de xα correspondem 4 pontos no diagrama desenvolvido. Este 
processo é necessário executá-lo para: 
0o, 20o, 40o, 60o, 80o, 100o, 120o, 140o, 160o e 180o. 
Na zona de combustão visível (próximo ao PMS, ao final do processo de compressão e inicio do 
processo de expansão), o desenvolvimento do diagrama deve executa-se em menores intervalos 
de pressão, cada 5o. 
 
4.2. Determinação das forças de inércia das massas em movimento retilíneo alternativo Pj. 
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−= − 262 102coscos m
MNrmP jj αλαω , onde: 
Pj é a forças de inércia das massas em movimento retilíneo alternativo, correspondente à unidade de 
superfície do pistão ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2m
MN . 
 
Filiada à: 
 
50
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
m’j é a massa construtiva (correspondente à unidade de superfície do pistão) dos elementos em movimento 
retilíneo alternativo ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2m
kg : 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+= 2''' m
kgAmmm bpj , onde: 
m’p é a massa construtiva do grupo pistão ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2m
kg 
m’b é a massa construtiva da biela ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2m
kg 
A = 0,25 ÷ 0,30 
 
m’p e m’b se selecionam a partir de dados estatísticos para motores similares: 
Massa construtiva m’[kg/m2] Elementos do mecanismo 
biela manivela D = 60 ÷100 mm 
Ciclo Otto 
D = 80 ÷ 130 mm 
Ciclo diesel 
Grupo pistão 80 ÷ 150 150 ÷ 300 
Biela 100 ÷ 200 250 ÷ 400 
Parte desbalanceada da 
manivela 
100 ÷ 200 150 ÷ 400 
 
Para selecionar m’p e m’b se deve ter em conta que seus valores devem ser menores para os valores 
maiores de S/D (S/D = 07 ÷ 1,0), assim como para os motores rápidos. 
 
[ ]mSr
2
= , radio da manivela. 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
s
n 1
30
πω , velocidade angular do virabrequim. n em rpm (para Potência Nominal) 
As magnitudesda função ( )αλα 2coscos + para diferentes valores de λ e α, podem ser verificadas na 
tabela 4-2: 
 
Filiada à: 
 
51
Cinemática, dinâmica e equilíbrio 
de motores 
 
 
O cálculo da magnitude da força Pj é feita para os mesmos valores de α do diagrama desenvolvido da 
força de pressão dos gases Pg. 
 
4.3. Determinação da força PΣ 
 
Para determinar PΣ é necessário: 
1. Construir uma Tabela 4-3 resumo. 
2. Na coluna 3 da tabela se colocam todos os valores de cálculo do ângulo de giro do virabrequim α 
para um ciclo completo de trabalho (4 tempos de 0o até 720o, para 2 tempos 0o até 360o) 
3. Colocar na coluna 4 os resultados ∆Pg Obtidos no diagrama desenvolvido da forças dos gases da 
combustão para os diferentes valores de α: 
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅=∆ 2m
MNmhP pg α 
onde ( )αh é a ordenada da força dos gases [mm] em função de α. 
4. Escrever na coluna os valores da função ( )αλα 2coscos + para todos os valores de cálculo de α. 
5. Calcular a magnitude: 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= − 262' 10 m
MNrmC j ω 
 
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de motores 
6. Determinar a magnitude da Força de Inércia Pj(α) para todos os valores de cálculo de α, 
multiplicando cada valor da coluna 5 pelo valor correspondente de C. 
7. Calcular e colocar na coluna 7 os valores de PΣ (α) para todos os valores de cálculo de α: ( ) ( )αα jg PPP +∆=Σ 
8. Com os dados das colunas 6 e 7 construir os gráficos Pj e PΣ na mesma escala ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
mmm
MNmp 2 que a 
força ∆Pg, Obtida no diagrama desenvolvido. Ver Fig. 4-2. 
 
 
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de motores 
 
 
 
 
4.4. Cálculo das forças que atuam sobre os elementos do mecanismo biela manivela. (forças NΣ, TΣ e KΣ: 
 
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de motores 
1. Nas colunas 8, 10 e 12 da Tabela 4-3 se colocam os valores das funções trigonométricas 
correspondentes, as quais se determinam pelas Tabelas 4-4, 4-5 e 4-6 para todos os valores de 
cálculo de α em função de λ (o ângulo β define a inclinação da manivela). 
2. Calculam-se os valores de NΣ, TΣ e KΣ: ( ) ( ) βαα tgPN ΣΣ = , 
( ) ( ) ( )β
βααα
cos
cos += ΣΣ PK e 
( ) ( ) ( )β
βααα
cos
+= ΣΣ senPT . 
3. Em baixo dos gráficos das forças ∆Pg, Pj e PΣ e na mesma escala mp se constrói as curvas das forças 
NΣ, TΣ e KΣ. Unicamente com a força NΣ pode fazer-se uma exceção e variar a escala. 
 
 
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de motores 
 
 
 
 
4.5. Construção da curva do momento torçor (torque) 
 
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de motores 
 
Em motores alternativos policilíndricos, o torque dos diferentes cilindros, se sumam no virabrequim, de 
onde se obtém o torque resultante MΣ aplicado aos elementos de tração: 
∑ ∑
= =
Σ ==
i
k
i
k
kk TrMM
1 1
, onde : 
i - número de cilindros 
r - radio da manivela 
Tk - força tangencial T que atua na manivela de cada cilindro 
Mk - torque de cada manivela. 
 
As forças Tk que atuam sobre cada manivela, se diferenciam entre elas porque as curvas que as 
representam estão deslocadas com relação a T1 do primeiro cilindro um ângulo θ1-k em dependência da 
ordem de ignição e dos ângulos de alternação da combustão de seus diferentes cilindros (ângulo entre 
manivelas). 
Desta forma para obter MΣ é imprescindível somar as forças Tk que atuam sobre todas as manivelas para 
cada valor de cálculo de grau de giro do virabrequim α. 
A seqüência para construir a curva ∑
=
i
k
kT
1
 se amostra na Fig. 4-3 para caso de um motor de 4 tempos, 4 
cilindros com disposição linear (estas curvas tem um caráter demonstrativos). 
Dado ∑
=
Σ =
i
k
kTrM
1
, onde r = constante, a curva obtida como resultado da construção expressa; ∑
=
i
k
kT
1
 
representa o MΣ em uma nova escala: 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
mm
NmrFmm ppM
610 , onde: 
mp - escala de força T ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅mmm
MN
2 
r - radio da manivela [m] 
4
2DFp
π= - área do pistão [m2] 
D - diâmetro do cilindro [m]. 
 
Para os motores com alternação uniforme dos tempos de potencia, pode ser utilizada uma forma abreviada 
na construção do torque resultante (ver Fig. 4-4). Para isso, a curva T = f(α) se divide em i espaços iguais 
de longitude θ, onde 
i
720=θ para os motores de quatro tempos e 
i
360=θ para os motores de dois 
 
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de motores 
tempos (i é a quantidade de cilindros). Seguidamente se translada os i segmentos de longitude θ da curva 
T, realizando-se a soma sobre um desses segmentos. 
Para ambos os métodos, finalmente se obtém uma força somatória periódica T que em outra escala 
representa a MΣ. 
 
 
4.6 Determinação do momento indicado do motor 
 
O torque indicado do motor multicilindro Mi é igual ao valor médio de seu momento indicado MΣ(med): 
( ) απαπ
ππ
dTmdMMM
i
k
k
M
medi ∫ ∑∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛===
=Σ
Σ
4
0 1
4
0 44
1 
 
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de motores 
Para os motores com distribuição (alteração) uniforme dos tempos de potencia teremos: 
( ) αθαθ
θ θ
dTmdMMM
i
k
k
M
medi ∫ ∫ ∑ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛===
=
ΣΣ
0 0 1
1 
Desta forma temos: 
[ ]Nmm
OA
FFM Mi 21
−= , onde: 
F1 e F2 – áreas respectivamente positivas e negativas abaixo da curva [ ]mmTi
k
k∑
=1
 (ver Fig. 4-4). 
OA - espaço correspondente ao período de variação de [ ]mmTi
k
k∑
=1
 
O valor de Mi obtido deve ser igual ao momento indicado do motor, calculado mediante ao cálculo 
térmico. 
( ) [ ]Nm
n
NM
m
ep
i ηπ ⋅⋅
⋅=
4103 , onde: 
Ne - potencia nominal do motor projetado [KW]. 
n – número de revoluções por minuto do virabrequim no regime de potencia nominal. 
ηm - rendimento mecânico do motor para o regime nominal. 
 
Realizando um correto desenvolvimento do cálculo dinâmico o erro relativo deve cumprir: 
( )
05,0±≤−=∆
i
p
ii
M
MM 
Em vista que para construir o diagrama de torque não se tive em conta, as perdas mecânicas por atrito e 
em acionar os mecanismos auxiliares do motor, o torque efetivo real Me obtido no eixo do motor é: 
mie MM η⋅= 
 
4.7 Construção do diagrama polar de carga do mancal de biela (D.P.C.M.B) 
 
Durante o trabalho do motor, sobre o mancal de biela atuam as forças K e T assim como também a força 
centrífuga Frb originada pela massa em rotação da biela (mbc) concentrada no eixo do mancal de biela. 
Para calcular a carga que atua sobre o mancal de biela se constrói seu diagrama polar de forças do qual se 
determina a magnitude e o caráter da distribuição ao redor da periferia do mancal. 
Para construir o D.P.C.M.B. se parte das relações de K e T obtidas durante o cálculo dinâmico e o ângulo 
de giro do virabrequim (ver Fig. 4-5). 
 
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A cada valor de cálculo do ângulo de giro do virabrequim lhe correspondem os valores das forças Kα e Tα 
na mesma escala mp ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
mmm
MN
2
nos eixos correspondentes de coordenadas do diagrama polar (+T e -K) 
onde se realiza a soma geométrica Tα + Kα = Sα. 
 
 
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O extremo do raio vetor Sα, resulta assim uns dos numerosos pontos do diagrama correspondente ao 
ângulo de giro α (o valor do ângulo α, no qual se determina o ponto dado, se anota ao lado dele para a sua 
identificação). 
 
Unindo sucessivamente todos os pontos, desta forma obtidos (a quantidade de pontos será igual ao dos 
valores de cálculo do ângulo α), resultará o diagrama polar da força S. 
Para sua conversão (D.P.C.M.B), o pólo do diagrama desde o ponto O1 se transporta no comprimento do