Aula 14 - Análise no Domínio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto

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ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
Aula 14
Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em
Tempo Discreto
Prof. Dr. Roberto F. A. Menezes
07 de Maio de 2025Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 07 de Maio de 2025 1 / 60
Introdução
• Para o propósito de análise, consideraremos Sistemas Lineares,
Discretos e Invariantes no Tempo (LDIT).
• Esta é a classe de sistemas onde a entrada x[n] e a sáıda y[n] estão
relacionadas por equações de diferenças genéricas na forma:
y[n+N]+a1y[n+N −1]+ · · ·+aN−1y[n+1]+aNy[n] =
bN−Mx[n+M]+bN−M+1x[n+M−1]+ · · ·+bN−1x[n+1]+bNx[n]
onde todos os coeficientes ai e bi são constantes.
• Como visto para sistemas LCIT, para garantir a causalidade do
sistema admitiremos a ordem N da equação de diferenças, ou seja
definimos M = N na equação anterior:
y[n+N]+a1y[n+N −1]+ · · ·+aN−1y[n+1]+aNy[n] =
b0x[n+N]+b1x[n+N −1]+ · · ·+bN−1x[n+1]+bNx[n]
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Introdução
• Em sistemas cont́ınuos no tempo, usamos o operador D para re-
presentar a operação de diferenciação.
• Para sistemas em tempo discreto utilizaremos o operador E para
representar a operação de avanço da sequência por uma unidade
de tempo:
Ex[n]≡ x[n+1]
E2x[n]≡ x[n+2]
...
ENx[n]≡ x[n+N]
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Introdução
• Exemplo:
y[n+1]−ay[n] = x[n+1]
Ey[n]−ay[n] = Ex[n]
(E −a)y[n] = Ex[n]
• Exemplo:
y[n+2]+
1
4
y[n+1]+
1
16
y[n] = x[n+2](
E2 +
1
4
E +
1
16
)
y[n] = E2x[n]
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Introdução
• Exemplo:
y[n+1]−ay[n] = x[n+1]
Ey[n]−ay[n] = Ex[n]
(E −a)y[n] = Ex[n]
• Exemplo:
y[n+2]+
1
4
y[n+1]+
1
16
y[n] = x[n+2](
E2 +
1
4
E +
1
16
)
y[n] = E2x[n]
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Introdução
• A equação diferença genérica de ordem N pode ser escrita como:
(EN +a1EN−1 + · · ·+aN−1E +aN)y[n] =
(b0EN +b1EN−1 + · · ·+bN−1E +bN)x[n]
ou
Q[E]y[n] = P[E]x[n]
onde Q[E] e P[E] são os operadores polinomiais de ordem N
Q[E] = EN +a1EN−1 + · · ·+aN−1E +aN
P[E] = b0EN +b1EN−1 + · · ·+bN−1E +bN
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Introdução
• Como visto em aulas anteriores, a resposta do sistema LCIT pode
ser expressa como a soma de duas componentes: a Componente
de Entrada Nula e a Componente de Estado Nulo.
• Portanto:
Resposta total = resposta entrada nula + resposta estado nulo
• A componente de entrada nula é a resposta do sistema quando a
entrada x[n] = 0 e, portanto, é resultado somente das condições
internas do sistema (energias armazenadas).
• Já componente de estado nulo é a resposta do sistema à entrada
externa x[n] quando o sistema está em estado nulo, significando a
ausência de qualquer energia interna armazenada.
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Resposta de Entrada Nula
• A Resposta para Condições Internas do Sistema y0[n], ou
simplesmente Resposta do Sistema para Entrada Nula, é a
solução quando a entrada x[n] = 0, tal que:
(EN +a1EN−1 + · · ·+aN−1E +aN)y0[n] = 0
ou
Q[E]y0[n] = 0
ou
y0[n+N]+a1y0[n+N −1]+ · · ·+aN−1y0[n+1]+aNy0[n] = 0
• Esta equação afirma que a combinação linear de y0[n] e avanços
de y0[n] é zero, não para algum valor de n, mas para todo n.
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Resposta de Entrada Nula
• Da mesma forma que para sistemas LCIT, a afirmação anterior só
é posśıvel para a função exponencial γn (a prova pode ser vista no
livro do Lathi).
• Lembrando, como visto na Aula 08, que:
γ
n = eλn → γ = eλ
sendo λ um número Real ou Complexo.
• Desta forma, o polinômio assume a forma:
Q[E]y0[n] = (γN +a1γ
N−1 + · · ·+aN−1γ+aN)cγ
n = 0
• Para a solução desta equação:
γ
N +a1γ
N−1 + · · ·+aN−1γ+aN = 0
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Resposta de Entrada Nula
• As ráızes desta equação são chamadas de Ráızes Caracteŕısticas,
Valores Caracteŕısticos, Frequências Naturais e Autovalores.
• Para Ráızes Distintas e Reais tem-se N posśıveis soluções para
Q[E]y0[n] = 0, encontradas a partir de:
y0[n] = c1γ
n
1 + c2γ
n
2 + · · ·+ cNγ
n
N
• Para Ráızes Múltiplas, a solução geral é dada por:
y0[n] =
(
c1 + c2n+ c3n2 + · · ·+ crnr−1
)
γ
n
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Resposta de Entrada Nula
• Assim, para um sistema com o polinômio caracteŕıstico:
Q[γ] = (γ− γ1)
r(γ− γr+1)(γ− γr+2) · · ·(γ− γN)
tem-se como solução para y0[n]:(
c1 + c2n+ c3n2 + · · ·+ crnr−1)
γ
n
1+cr+1γ
n
r+1+cr+2γ
n
r+2+· · ·+cnγ
n
N
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Resposta de Entrada Nula
• Para Ráızes Complexas inicialmente expressamos as ráızes con-
jugadas complexas γ e γ∗ na forma polar.
• Se |γ| é a amplitude (módulo) e β é o ângulo de γ, então:
γ = |γ|e jβ e γ
∗ = |γ|e− jβ
• A resposta à entrada nula é dada por:
y0[n] = c1γ
n + c2(γ
∗)n
= c1|γ|ne jβn + c2|γ|ne− jβn
• Para um sistema real, c1 e c2 devem ser conjugados, assim, pode-
mos defini-los por:
c1 =
c
2
e jθ e c2 =
c
2
e− jθ
• Então:
y0[n] =
c
2
|γ|n
[
e j(βn+θ)+ e− j(βn+θ)
]
= c|γ|n cos(βn+θ)
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Resposta de Entrada Nula
• Assim, a solução geral para Ráızes Complexas é dada por:
y0[n] = c|γ|n cos(βn+θ)
• Observação: Independência das Resposta de Entrada Nula e Es-
tado Nulo.
▷ Da mesma forma que para sistemas LCIT, em sistemas LDIT
estes dois componentes do sistema são mutuamente indepen-
dentes, ou seja, as duas respostas coexistem sem haver inter-
ferência de uma sobre a outra.
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Resposta de Entrada Nula
• Exemplo: Determine y0[n], a componente de entrada nula da
resposta de um sistema LDIT. A equação de diferenças do sistema
é dada por:
y[n+2]−0,6y[n+1]−0,16y[n] = 5x[n+2]
quando as condições iniciais são y[−1]) = 0, y[−2] = 25/4.
Resposta:
y0[n] =
1
5
(−0,2)n +
4
5
(0,8)n
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Resposta de Entrada Nula
• Exemplo: Determine y0[n], a componente de entrada nula da
resposta de um sistema LDIT. A equação de diferenças do sistema
é dada por:
y[n+2]−0,6y[n+1]−0,16y[n] = 5x[n+2]
quando as condições iniciais são y[−1]) = 0, y[−2] = 25/4.
Resposta:
y0[n] =
1
5
(−0,2)n +
4
5
(0,8)n
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Resposta de Entrada Nula
• Exemplo: Para um sistema LDIT especificado por:
(E2 +6E +9)y[n] = (2E2 +6E)x[n]
determine y0[n] se as condições iniciais forem y[−1] = −1/3 e
y[−2] =−2/9.
Resposta:
y0[n] = (4+3n)(−3)n
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Resposta de Entrada Nula
• Exemplo: Para um sistema LDIT especificado por:
(E2 +6E +9)y[n] = (2E2 +6E)x[n]
determine y0[n] se as condições iniciais forem y[−1] = −1/3 e
y[−2] =−2/9.
Resposta:
y0[n] = (4+3n)(−3)n
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Resposta de Entrada Nula
• Exemplo: Para um sistema especificado por:
(E2 −1,56E +0,81)y[n] = (E +3)x[n]
determine y0[n] se as condições iniciaisforem y[−1] = 2 e y[−2] =
1.
Utilizar a relação:
cos(x± y) = cosxcosy∓ sinxsiny
Resposta:
y0[n] = 2,34 · (0,9)n cos
(
π
6
n−0,17
)
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Resposta de Entrada Nula
• Exemplo: Para um sistema especificado por:
(E2 −1,56E +0,81)y[n] = (E +3)x[n]
determine y0[n] se as condições iniciais forem y[−1] = 2 e y[−2] =
1.
Utilizar a relação:
cos(x± y) = cosxcosy∓ sinxsiny
Resposta:
y0[n] = 2,34 · (0,9)n cos
(
π
6
n−0,17
)
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Resposta ao Impulso Unitário
• Para determinar h[n] a partir da equação diferencial de ordem N:
Q(E)y[n] = P(E)x[n]
onde Q(E) e P(E) são os polinômios, considere o caso mais geral
é M = N.
• Portanto, a equação anterior pode ser escrita por:
(EN +a1EN−1 + · · ·+aN−1E +aN)y(t) =
(b0EN +b1EN−1 + · · ·+bN−1E +bN)x(t)
• Fazendo x[n] = δ[n] e y(t) = h[n], tem-se:
(EN +a1EN−1 + · · ·+aN−1E +aN)h[n] =
(b0EN +b1EN−1 + · · ·+bN−1E +bN)δ[n]
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Resposta ao Impulso Unitário
• Para achar h(t) pode-se utilizar o um método semelhante (não
igual) ao utilizado para sistemas LCIT (os detalhes do método
pode ser visto no livro do Lathi).
• Nesse método a resposta h[n] à entrada em impulso unitário é dada
por:
h[n] =
bN
aN
δ[n]+ yc[n]u[n]
onde yc[n] é a combinação linear dos Modos Caracteŕısticos do
sistema obtida a partir das seguintes condições iniciais:
h[−1] = h[−2] = · · ·= h[−N] = 0
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Resposta ao Impulso Unitário
• A determinação da resposta h[n] ao impulso usando esse
procedimento é relativamente simples.
• Entretanto, veremos outro método ainda mais simples
usando a Transformada Z.
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Resposta ao Impulso Unitário
• Exemplo: Determine a resposta h[n] ao impulso unitário para o
sistema especificado pela equação
y[n]−0,6y[n−1]−0,16y[n−2] = 5x[n].
Resposta:
h[n] = [(−0,2)n +4(0,8)n]u[n]
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Resposta ao Impulso Unitário
• Exemplo: Determine a resposta h[n] ao impulso unitário para o
sistema especificado pela equação
y[n]−0,6y[n−1]−0,16y[n−2] = 5x[n].
Resposta:
h[n] = [(−0,2)n +4(0,8)n]u[n]
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Resposta ao Impulso Unitário
• Exemplo: Determine a resposta h[n] ao impulso unitário para o
sistema especificado pela equação
y[n+1]− y[n] = x[n].
Resposta:
h[n] = {−δ[n]+ (1)n}u[n] = u[n−1]
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Resposta ao Impulso Unitário
• Exemplo: Determine a resposta h[n] ao impulso unitário para o
sistema especificado pela equação
y[n+1]− y[n] = x[n].
Resposta:
h[n] = {−δ[n]+ (1)n}u[n] = u[n−1]
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Resposta de Estado Nulo
• Como nos sistemas LCIT, a Resposta de Estado Nulo é a res-
posta y[n] do sistema a uma entrada x[n] quando o sistema está no
estado nulo, ou seja, quando todas as condições iniciais são zero.
• Com esta condição, a resposta de estado nulo irá ser a resposta
total do sistema.
• Utiliza-se a propriedade da superposição para determinar a resposta
do sistema a uma entrada arbitrária x[n].
• Sendo assim, o sinal x[n] pode ser expresso como a soma de com-
ponentes de impulso, como mostrado no próximo slide.
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Resposta de Estado Nulo
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 07 de Maio de 2025 22 / 60
Resposta de Estado Nulo
• A componente de x[n] para n = m é x[m]δ[n−m], e x[n] é a soma
de todas componentes de n =−∞ a ∞:
x[n] = x[0]δ[n]+ x[1]δ[n−1]+ x[2]δ[n−2]+ · · ·
+ x[−1]δ[n+1]+ x[−2]δ[n+2]+ · · ·
=
∞
∑
m=−∞
x[m]δ[n−m]
• Para um sistema linear, conhecendo a resposta ao impulso δ[n], a
resposta a qualquer entrada arbitrária pode ser obtida pela soma
da resposta do sistema aos vários componentes impulsivos.
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Resposta de Estado Nulo
• Seja h[n] a resposta ao impulso de entrada δ[n]. Utilizaremos a
notação:
x[n] =⇒ y[n]
para indicar a entrada e a sáıda correspondente do sistema.
• Portanto, se
δ[n] =⇒ h[n]
então, devido à invariância no tempo:
δ[n−m] =⇒ h[n−m]
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Resposta de Estado Nulo
• Devido à linearidade:
x[m]δ[n−m] =⇒ x[m]h[n−m]
novamente, devido à linearidade:
∞
∑
m=−∞
x[m]δ[n−m]︸ ︷︷ ︸
x[n]
=⇒
∞
∑
m=−∞
x[m]h[n−m]︸ ︷︷ ︸
y[n]
• Logo:
y[n] =
∞
∑
m=−∞
x[m]h[n−m]
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Resposta de Estado Nulo
• O somatório do lado direito é chamado de Somatório de Con-
volução de x[n] e h[n], sendo simbolicamente representado por
x[n]∗h[n]:
x[n]∗h[n] =
∞
∑
m=−∞
x[m]h[n−m]
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 07 de Maio de 2025 26 / 60
Resposta de Estado Nulo e a Causalidade
• Na determinação feita anteriormente de y[n]:
y[n] =
∞
∑
m=−∞
x[m]h[n−m]
consideramos que o sistema é linear e invariante no tempo.
• Em nossas aplicações, quase todos os sinais de entrada são causais
e a maioria dos sistemas também é causal.
• Se a entrada x[n] for causal, x[k] = 0 para k n.
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 07 de Maio de 2025 27 / 60
Resposta de Estado Nulo e a Causalidade
• Portanto, se x[n] e h[n] forem causais, o produto x[m]h[n−m] = 0
quando m n e não nulo apenas para a faixa 0 ≤
m ≤ n.
• Portanto, a equação anterior neste caso se reduz para:
y[n] =
n
∑
m=0
x[m]h[n−m]
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Resposta de Estado Nulo e a Causalidade
• Exemplo: Determine c[n] = x[n]∗g[n] para
x[n] = (0,8)nu[n] e g[n] = (0,3)nu[n]
Utilize o seguinte somatório:
n
∑
m=0
rm =
rn+1 −1
r−1
com r ̸= 1
Resposta:
c[n] = [1,6(0,8)n −0,6(0,3)n]u[n]
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 07 de Maio de 2025 29 / 60
Resposta de Estado Nulo e a Causalidade
• Exemplo: Determine c[n] = x[n]∗g[n] para
x[n] = (0,8)nu[n] e g[n] = (0,3)nu[n]
Utilize o seguinte somatório:
n
∑
m=0
rm =
rn+1 −1
r−1
com r ̸= 1
Resposta:
c[n] = [1,6(0,8)n −0,6(0,3)n]u[n]
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 07 de Maio de 2025 29 / 60
Resposta de Estado Nulo e a Causalidade
• Exemplo: Determine c[n] = x[n]∗g[n] para
x[n] = (0,8)nu[n] e g[n] = u[n]
Utilize o seguinte somatório:
n
∑
m=0
rm =
rn+1 −1
r−1
com r ̸= 1
Resposta:
c[n] = [5−4(0,8)n]u[n]
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 07 de Maio de 2025 30 / 60
Resposta de Estado Nulo e a Causalidade
• Exemplo: Determine c[n] = x[n]∗g[n] para
x[n] = (0,8)nu[n] e g[n] = u[n]
Utilize o seguinte somatório:
n
∑
m=0
rm =
rn+1 −1
r−1
com r ̸= 1
Resposta:
c[n] = [5−4(0,8)n]u[n]
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação- IFES 07 de Maio de 2025 30 / 60
Resposta de Estado Nulo e a Causalidade
• Exerćıcio: Determine a resposta (de estado nulo) y[n] de um sis-
tema LCIT descrito pela equação
y[n+2]−0,6y[n+1]−0,16y[n] = 5x[n+2]
se a entrada for x[n] = 4−nu[n].
Resposta:
y[n] = [−1,26(0,25)n +0,444(−0,2)n +5,81(0,8)n]u[n]
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 07 de Maio de 2025 31 / 60
Operação de Convolução pelo Método Gráfico
• Os passos para a determinação da convolução pelo método gráfico
são semelhantes aos utilizados na integral de convolução.
• Como visto anteriormente, O somatório de convolução de sinais
causais x[n] e g[n] é dado por:
c[n] =
n
∑
m=0
x[m]g[n−m]
• Inicialmente, obtemos o gráfico de x[m] e g[n−m] como funções
de m (e não de n), pois o somatório ocorre em m.
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 07 de Maio de 2025 32 / 60
Operação de Convolução pelo Método Gráfico
• As funções x[m] e g[m] são as mesmas de x[n] e g[n], traçadas
respectivamente como funções de m.
• Exemplo:
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 07 de Maio de 2025 33 / 60
Operação de Convolução pelo Método Gráfico
• A operação de convolução pode ser executada da seguinte forma:
▷ Inverta g[m] com relação ao eixo vertical (m = 0) para obter
g[−m]. Fig36
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 07 de Maio de 2025 34 / 60
Operação de Convolução pelo Método Gráfico
• A operação de convolução pode ser executada da seguinte forma:
(continuação)
▷ Desloque g[−m] por n unidades para obter g[n−m]. Para
n > 0, o deslocamento é para a direita (atraso), para n 6
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 07 de Maio de 2025 38 / 60
Operação de Convolução pelo Método Gráfico
• Um algoritmo alternativo chamado Deslocamento de Fita (ou
Sliding-Tape) pode ser usado quando as sequências x[n] e g[n] são
pequenas e elas estão dispońıveis apenas na forma gráfica.
• O algoritmo é basicamente o mesmo do procedimento gráfico, o
que difere é que ao invés de apresentar os dados em um gráfico,
eles são apresentados em uma sequência de números em uma fita.
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 07 de Maio de 2025 39 / 60
Operação de Convolução pelo Método Gráfico
• Exemplo: Realize a operação de Convolução Gráfica entre os sinais
abaixo através do método Deslocamento de Fita.
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Operação de Convolução pelo Método Gráfico
• Exemplo: (continuação)
Neste procedimento, escrevemos as sequências x[n] e g[n] em qua-
dros em duas fitas: a fita x e a fita g.
Deixe a fita x estacionária (para corresponder a x[m]). A fita g[−m]
é obtida invertendo g[m] na origem (m = 0), tal que o quadro
correspondente a x[0] e g[0] permaneçam alinhados.
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Operação de Convolução pelo Método Gráfico
• Exemplo: (continuação)
Agora deslocamos a fita invertida por n quadros, multiplicamos os
valores adjacentes das duas fitas e somamos todos os produtos para
determinar c[n].
Para o caso de n = 0, por exemplo:
c[0] = (−2×1)+(−1×1)+(0×1) =−3
Para n = 1:
c[1] = (−2×1)+(−1×1)+(0×1)+(1×1) =−2
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Operação de Convolução pelo Método Gráfico
• Exemplo: (continuação)
Similarmente:
c[2] = (−2×1)+(−1×1)+(0×1)+(1×1)+(2×1) = 0
c[3] = (−2×1)+(−1×1)+(0×1)+(1×1)+(2×1)+(3×1) = 3
c[4] = (−2×1)+(−1×1)+(0×1)+(1×1)+(2×1)+(3×1)+(4×1) = 7
c[5] = (−2×1)+(−1×1)+(0×1)+(1×1)+(2×1)+(3×1)+(4×1) = 7
c[n] = 7 para n ≥ 4.
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Operação de Convolução pelo Método Gráfico
• Exemplo: (continuação)
Similarmente, calculamos c[n] para n negativo deslocando a fita
para trás, um quadro por vez, como mostrado nos gráficos corres-
pondentes a n =−1,−2 e −3:
c[−1] = (−2×1)+(−1×1) =−3
c[−2] = (−2×1) =−2
c[−3] = 0
c[n] = 0 para n ≤−3.
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Operação de Convolução pelo Método Gráfico
• Exemplo: (continuação)
Gráfico de Convolução Final:
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Resposta Total
• Da mesma forma que para sistemas LCIT, a resposta total de um
sistema LDIT é a soma das componentes de Entrada Nula e
Estado Nulo:
Resposta Total=
N
∑
j=1
c jγ
n
j︸ ︷︷ ︸
Entrada Nula
+ x[n]∗h[n]︸ ︷︷ ︸
Estado Nulo
assumindo ráızes e distintas.
• Para ráızes repetidas ou complexas, a componente de Entrada Nula
deve ser modificada apropriadamente.
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Resposta Total
• Exerćıcio: Para o sistema descrito pela equação:
y[n+2]−0,6y[n+1]−0,16y[n] = 5x[n+2]
com condições iniciais y[−1] = 0, y[−2] = 25
4 e entrada x[n] =
4−nu[n], determine a Resposta Total.
Resposta:
Resposta Total= 0,2(−0,2)n +0,8(0,8)n︸ ︷︷ ︸
Componente de Entrada Nula
− 1,26(0,25)n +0,444(−0,2)n +5,81(0,8)n︸ ︷︷ ︸
Componente de Estado Nulo
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Interconexão de Sistemas
• Como visto em aulas anteriores, sistemas grandes e complexos po-
dem ser modelados como a interconexão de subsistemas menores.
• Considere duas conexões básicas entre os subsistemas S1 e S2 LDIT:
em paralelo e em cascata.
• A Conexão em Paralelo produzirá um Sistema em Paralelo Sp:
• Nesse sistema aplicando δ[n] na entrada temos as respostas ao
impulso h1[n] e h2[n] somadas:
hp(t) = h1[n]+h2[n]
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Interconexão de Sistemas
• A Conexão em Cascata (Série) produzirá um Sistema em Cascata
Sc:
• Nesse sistema, ao aplicar δ[n] na entrada de Sc, a qual também é
a entrada de S1, produzirá na sáıda de S1 a resposta h1[n], a qual,
por sua vez,é a entrada de S2.
• A resposta de S2 a entrada h1[n] é a convolução:
hc[n] = h1[n]∗h2[n]
• Outras possibilidades de interconexão podem ser trabalhadas, mas
isso será visto no futuro utilizando a Transformada Z.
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Estabilidade Assintótica do Sistema
• Para um sistema LDIT especificado por uma equação diferença, a
resposta de entrada nula é constitúıda dos modos caracteŕısticos
do sistema, sendo o modo correspondente para a raiz caracteŕıstica
γ é γn.
• Para ser mais genérico, seja γ complexo, tal que:
γ = |γ|e jβ e γ
n = |γ|ne jβn
• Como o módulo de e jβn é sempre unitário, independente do valor
de n, faremos a análise com o módulo de γn, ou seja, |γ|n.
• Portanto: 
|γ| 1, γn → ∞ quando n → ∞
|γ|= 1, |γn|= 1 para todo n
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Estabilidade Assintótica do Sistema
• Um sistema LDIT é Assintoticamente Estável se e somente se
todas as ráızes caracteŕısticas estiverem dentro do ćırculo unitário.
• As ráızes podem ser simples (não repetidas) ou repetidas.
• Um sistema LDIT é Instável se e somente se uma ou ambas das
condições a seguir existirem:
▷ Ao menos uma raiz estiver fora do ćırculo unitário;
▷ Existirem ráızes repetidas no ćırculo unitário.
• Um sistema LDIT é Marginalmente Estável se e somente se não
existirem ráızes fora do ćırculo unitário e existirem algumas ráızes
não repetidas no ćırculo unitário.
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Estabilidade Assintótica do Sistema
• Localização das ráızes caracteŕısticas e estabilidade do sistema:
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Estabilidade Assintótica do Sistema
• Localização das ráızes caracteŕısticas e dos modos caracteŕısticos:
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Estabilidade Assintótica do Sistema
• Localização das ráızes caracteŕısticas e dos modos caracteŕısticos:
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Estabilidade Assintótica do Sistema
• Exemplo: Avalie a estabilidade assintótica dos sistemas LDIT des-
critos pelas seguintes equações:
a) y[n+2]+2,5y[n+1]+ y[n] = x[n+1]−2x[n]
b) y[n]− y[n−1]+0,21y[n−2] = 2x[n−1]+3x[n−2]
c) y[n+3]+2y[n+2]+ 3
2y[n+1]+ 1
2y[n] = x[n+1]
d) (E2 −E +1)2y[n] = (3E +1)x[n]
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Estabilidade Assintótica do Sistema
• Exemplo: (continuação)
Ráızes Caracteŕısticas e Estabilidade:
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Bibliografia Utilizada
• ALKIN, Oktay. Signals and Systems: A MATLAB Integrated Appro-
ach. 1. ed. Boca Raton: CRC Press, 2014;
• CHAPARRO, Luis F.; AKAN, Aydin. Signals and Systems Using
MATLAB. 3ª ed. Academic Press, 2019;
• HAYKIN, Simon; VAN VEEN, Berry. Sinais e sistemas. 1ª ed. Porto
Alegre: Bookman, 2003;
• LATHI, Bhagawandas P. Sinais e sistemas lineares. 2ª ed. Porto
Alegre: Bookman, 2007;
• OPPENHEIM, Alan. V.; WILLSKY, Alan. S.; NAWAB, Syed H. Sinais
e sistemas. 2ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
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Dúvidas
• Procurar o professor no horários de atendimento;
• Mandar e-mail para roberto.menezes@ifes.edu.br;
• Procurar o professor ao final da aula.
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Este Material e Materiais Complementares estão no Moodle.
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Roberto F. A. Menezes
roberto.menezes@ifes.edu.br
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